人教版高中数学 教案+学案综合汇编 第1章：数列 课时5

人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第1章 数列 第二十教时教材：求无穷递缩等比数列的和目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题。

过程： 一、例题：例一、已知等比数列 ,21,81,41,21n ，求这个数列的前n 项和；并求当∞→n时，这个和的极限。

解：公比 21=q , n n nn q q a S 211211])21(1[211)1(1-=--=--= 101)21(1)211(lim limlim =-=-=-=∴∞→∞→∞→n n n n n n S解释：“无穷递缩等比数列”1︒ 当∞→n 时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（n项）2︒ 当 | q | <1时，数列单调递减，故称“递缩” 3︒ 数列{a n }本身成GP小结：无穷递缩等比数列前n 项和是qq a S n n --=1)1(1当∞→n 时， )1(11)1(lim lim limlim 11n n n n n n n q q aq q a S S -⋅-=--==∞→∞→∞→∞→qa S -=∴11其意义与有限和是不一样的 例二、求无穷数列 ,0003.0,003.0,03.0,3.0各项和。

解：1013.003.0,1033.01====q a 31931011103==-=∴S214181例三、化下列循环小数为分数：1．⋅⋅31.2 2．⋅⋅1231.1解：1．991329913210011100132100001310013231.2=+=-+=+++=⋅⋅2．333441999013201101110000131.11032110321103211.11231.131074==-+=++++=⋅⋅ 小结法则： 1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数。

2．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同。

人教版高中数学数列教案2023人教版高中数学数列教案（2023）教案一：等差数列1. 教学目标：通过本节课的学习，学生应能够：- 掌握等差数列的概念和基本性质；- 理解等差数列的通项公式以及求和公式；- 能够运用等差数列的性质解决相关问题。

2. 教学重点：等差数列的概念和基本性质。

3. 教学难点：等差数列的通项公式和求和公式。

4. 教学准备：- 讲稿、课件等教学辅助工具；- 相关的教学案例和练习题。

5. 教学过程：5.1 引入（10分钟）- 通过举例子的方式引入等差数列的概念，解释等差数列的特点：公差相等。

- 引导学生思考等差数列的应用场景。

5.2 讲解（30分钟）- 对等差数列的概念进行正式的定义和解释。

- 介绍等差数列的基本性质，包括前n项和、通项公式等。

- 提供不同难度的例题进行讲解，引导学生理解等差数列的运用方法。

5.3 练习（20分钟）- 分发练习题，让学生在课堂上进行练习。

- 注重引导学生独立思考和解决问题的能力。

5.4 总结（10分钟）- 讲解等差数列的求和公式和通项公式的推导过程。

- 总结本节课的重点和难点，强化学生对等差数列的理解。

教案二：等比数列1. 教学目标：通过本节课的学习，学生应能够：- 掌握等比数列的概念和基本性质；- 理解等比数列的通项公式以及求和公式；- 能够运用等比数列的性质解决相关问题。

2. 教学重点：等比数列的概念和基本性质。

3. 教学难点：等比数列的通项公式和求和公式。

4. 教学准备：- 讲稿、课件等教学辅助工具；- 相关的教学案例和练习题。

5. 教学过程：5.1 引入（10分钟）- 通过举例子的方式引入等比数列的概念，解释等比数列的特点：公比相等。

- 引导学生思考等比数列的应用场景。

5.2 讲解（30分钟）- 对等比数列的概念进行正式的定义和解释。

- 介绍等比数列的基本性质，包括前n项和、通项公式等。

- 提供不同难度的例题进行讲解，引导学生理解等比数列的运用方法。

＋4(a 1＋8d )≤7.答案 (－∞，7]3．(2012·南通调研)已知数列{an }的前n 项和为Sn ＝－2n 2＋3n ，则数列{an }的通项公式为________．解析 根据通项公式an 与Sn 的关系求解．当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2＋3＝1，当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝(－2n 2＋3n )－[－2(n －1)2＋3(n －1)]＝5－4n ，n ＝1适合，所以数列{an }的通项公式是an ＝5－4n .答案 an ＝5－4n解 (1)由{a n }是公差不为0的等差数列，可设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＋a 1＋2d 2＝a 1＋3d2＋a 1＋4d 2，7a 1＋7×62d ＝7，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1d ＋5d 2＝0，a 1＋3d ＝1，由d ≠0解得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －7，S n ＝na 1＋n n －12d ＝n 2－6n .(1)证明 由题意，得1＋S n 1＋S n －1＝2，(n ≥2)即1＋S n ＝4(1＋S n －1)，同理，得1＋S n ＋1＝4(1＋S n )． 两式相减，得S n ＋1－S n ＝4(S n －S n －1)， 即a n ＋1＝4a n ，a n ＋1a n＝4(n ≥2)． 又a 1＝3，所以{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，所以a n ＝3·4n －1＝3·22n －2.(2)解 由(1)得a n ＝3·22n －2，所以b n ＝log 2(3·22n －2)＝log 23＋2(n －1)，所以{b n }是首项为log 23，公差为2的等差数列，前n 项和为T n ＝n log 23＋n (n －1)，于是由n 2＜n log 23＋n (n －1)≤2 012，得n ＜ 2 012，又n ∈N *，所以1≤n ≤44，解 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，10a 1＋10×92d ＝15，解得a 1＝2，d ＝－19，A n ＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ＝na 1＋d [1＋3＋7＋…＋(2n －1)]＝na 1＋d (2＋22＋23＋ (2)－n )＝2n －19⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2n ＋11－2－n＝19(19n ＋2－2n ＋1)， 求A n 的最大值有以下两种解法．法一 数列{a 2n }的通项a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝19(19－2n)令a 2n ＝19(19－2n )＞0，得2n ＜19(n ∈N *)，由此可得a 21＞a 22＞a 23＞a 24＞0＞a 25＞…， 故使a 2n ＞0，n 的最大值为4， 所以(A n )max ＝19(19×4＋2－24＋1)＝469.法二 由A n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)，若存在n (n ∈N *)，使得A n ≥A n ＋1，且A n ≥A n －1，则A n 的值最大．⎩⎪⎨⎪⎧1919n ＋2－2n ＋1≥19[19n ＋1＋2－2n ＋2]，1919n ＋2－2n ＋1≥19[19n －1＋2－2n ]，解得9.5≤2n ≤19(n ∈N *)，取n ＝4时，A n 有最大值(A n )max ＝19(19×4＋2－24＋1)＝469.解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝－24＋9d ＞0，a 9＝－24＋8d ≤0，解得－83＜d ≤3.答案 －83＜d ≤3解析 方程x 2－5x ＋4＝0的两个根为1和4，在等比数列{a n }中，a 3a 5＝a 2a 6＝4，a 24＝a 2a 6＝4，又a 4＝a 2q 2＞0，所以a 4＝2，即a 3a 4a 5的值为8.答案 8解析 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，因a 1≠0，得S 3＋S 6≠2S 9，显然q ＝1与题设矛盾，故q ≠1；由S 3＋S 6＝2S 9，得a 11－q 31－q ＋a 11－q 61－q ＝2a 11－q 91－q，整理得q 3(2q6。

高一数学教案数列高一数学教案数列作为一无名无私奉献的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。

那么应当如何写教案呢？以下是小编收集整理的高一数学教案数列，仅供参考，欢迎大家阅读。

高一数学教案数列1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教学建议教材分析（1）知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.（2）重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.教学设计示例课题：等比数列的概念教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的`观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）①－2，1，4，7，10，13，16，19，…②8，16，32，64，128，256，…③1，1，1，1，1，1，1，…④243，81，27，9，3，1，，，…⑤31，29，27，25，23，21，19，…⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…⑧0，0，0，0，0，0，0，…由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列. （这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）等比数列（板书）1.等比数列的定义（板书）根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当时，数列既是等差又是等比数列，当时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：2.对定义的认识（板书）（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0，即；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？（3）公比不为0.用数学式子表示等比数列的定义.是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是等比数列？为什么不能？式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.3.等比数列的通项公式（板书）问题：用和表示第项 .①不完全归纳法②叠乘法，… ，，这个式子相乘得，所以 .（板书）（1）等比数列的通项公式得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.（板书）（2）对公式的认识由学生来说，最后归结：①函数观点；②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.三、小结1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.高一数学教案数列2教学目标1、使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项、（1）理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的、（2）了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第项与项数的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式、（3）已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项、2、通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力、3、通过由求的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯、教学建议（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等、（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系、在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列、函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法、由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法??递推公式法、（3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助、（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用来调整等、如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系、（5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前项和的概念，用表示的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析与的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况、（6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的、教学设计示例数列的概念教学目标1、通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项、2、通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想、3、通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性、教学重点，难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别、教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片教学方法：讲授法为主教学过程一、揭示课题今天开始我们研究一个新课题、先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律、实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象??数列、（板书）第三章数列（一）数列的概念二、讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：（幻灯片）①自然数排成一列数：②3个1排成一列：③无数个1排成一列：④的不足近似值，分别近似到排列起来：⑤正整数的倒数排成一列数：⑥函数当依次取时得到一列数：⑦函数当依次取时得到一列数：⑧请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数、（板书）1、数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列、为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）、以上述八个数列为例，让学生练习了指出某一个数列的.首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数、由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定、所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系、（板书）2、数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集、于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列、遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法、（板书）3、数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法、相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（板书）（1）列举法（如幻灯片上的例子）简记为一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法、（板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形、具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数、从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势、有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式、（板书）（3）通项公式法如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示、通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项、例如，数列的通项公式，则、值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一、除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式、（板书）（4）递推公式法如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项、再如数列中，，这个数列就是、像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式、递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可、可由学生举例，以检验学生是否理解、三、小结1、数列的概念2、数列的四种表示四、作业? 略五、板书设计数列（一）数列的概念涉及的数列及表示1、数列的定义2、数列与函数的关系3、数列的表示法（1）列举法（2）图示法（3）通项公式法（4）递推公式法探究活动将边长为厘米的正方形分成个边长为1厘米的正方形，数出其中所有正方形的个数、解：当时，共有正方形个；当时，共有正方形个；当时，共有正方形个；当时，共有正方形个；当时，共有正方形个；归纳猜想边长为厘米的正方形中的正方形共有个、高一数学教案数列3教学准备教学目标熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

2020高一数学教案第一册数列_0688文档EDUCATION WORD高一数学教案第一册数列_0688文档前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。

其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。

本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】数列、数列的通项公式要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

过程：一、从实例引入（P110））1．堆放的钢管4,5,6,7,8,9,101．堆放的钢管4,5,6,7,8,9,104,5,6,7,8,9,104,5,6,7,8,9,102．正整数的倒数正整数的倒数3．3．4．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…4．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…-1的正整数次幂：-,,-,,…的正整数次幂：-1,1,-1,1,…-1,1,-…-1,1,……5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,……二、提出课题：数列1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2．名称：项，序号，一般公式，表示法2．名称：项，序号，一般公式，表示法，表示法，表示法3．通项公式：与之间的函数关系式3．通项公式：与之间的函数关系式与之间的函数关系式与之间的函数关系式之间的函数关系式如数列1：数列2：数列4：数列1：2：4：1：数列2数列4数列2：数列4：数列2：数列4：数列2：4：2：数列4数列4：数列4：数列4：：4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。

有穷数列、无穷数列。

高中数学人教版《数列》教案2023版高中数学人教版《数列》教案【教案概述】本教案是针对高中数学人教版《数列》这一教材内容所编写的教学计划。

通过系统的教学安排和课堂教学措施，旨在帮助学生全面理解数列的概念、特性和应用，提高他们的数学思维能力和解题能力。

【教学目标】1. 了解数列的基本概念和表示方法；2. 掌握等差数列与等比数列的定义和性质；3. 能够利用数列的特性解决数列相关问题；4. 培养学生的数学思维能力和解题能力。

【教学重点】1. 理解数列的概念和表示方法；2. 掌握等差数列与等比数列的性质；3. 运用数列的特性解决相关问题。

【教学难点】1. 累计求和与通项公式的应用；2. 实际问题转化为数列问题的解决思路。

【教学过程】一、引入数列是数学中重要的概念，它在许多实际问题中有着广泛的应用。

请同学们思考一下，在日常生活中你们遇到过哪些与数列相关的事物或现象？二、概念讲解1. 数列的定义：什么是数列？数列是按照一定顺序排列的一组数，这组数按照一定的规律依次排列。

2. 数列的表示方法：我们可以通过写出数列的前几项，或者用通项公式来表示一个数列。

三、等差数列1. 等差数列的定义：等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为公差。

2. 等差数列的通项公式：An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。

3. 等差数列的性质：等差数列的前n项和Sn = n(A1+An)/2。

四、等比数列1. 等比数列的定义：等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为公比。

2. 等比数列的通项公式：An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示首项，r表示公比。

3. 等比数列的性质：等比数列的前n项和Sn = A1 * (1-r^n) / (1-r)。

五、数列应用1. 求和问题：利用等差数列或等比数列的求和公式，可以方便地计算数列的前n项和。

高中数学新课数列教案第一章：数列的概念与定义1.1 数列的定义引导学生了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数，自变量为正整数。

通过实际例子，让学生理解数列的表示方法，如a_n，以及数列的通项公式。

1.2 数列的性质介绍数列的项、公差、公比等基本概念。

探讨数列的单调性、有界性等性质。

第二章：数列的求和2.1 数列求和的概念与方法引导学生理解数列求和的意义，即求出数列所有项的代数和。

介绍数列求和的基本方法，如相邻项相加、分组求和等。

2.2 等差数列与等比数列的求和探讨等差数列与等比数列的求和公式，并引导学生理解其推导过程。

通过例题，让学生掌握等差数列与等比数列的求和技巧。

第三章：数列的极限3.1 数列极限的概念引导学生了解数列极限的定义，即当自变量趋向于无穷大时，数列的某一项趋向于的值。

解释数列极限的意义，以及其在数学分析中的重要性。

3.2 数列极限的性质与计算方法探讨数列极限的基本性质，如保号性、单调性等。

介绍数列极限的计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。

第四章：数列的收敛性与发散性4.1 数列收敛性的概念引导学生理解数列收敛性的定义，即数列极限存在的性质。

探讨数列收敛性的重要性，以及其在数学分析中的应用。

4.2 数列的收敛性与发散性的判断介绍数列收敛性与发散性的判断方法，如比较判别法、比值判别法等。

通过例题，让学生掌握判断数列收敛性与发散性的技巧。

第五章：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用引导学生了解数列在数学分析中的重要性，如函数的泰勒展开、级数等。

通过实际例子，让学生理解数列在数学分析中的应用。

5.2 数列在其他学科中的应用探讨数列在其他学科中的应用，如物理学的振动序列、经济学的人口增长模型等。

引导学生了解数列在现实生活中的应用价值。

第六章：数列的递推关系6.1 数列递推关系的定义与性质引导学生理解数列递推关系的概念，即数列中每一项与前一项之间的关系。

探讨数列递推关系的性质，如线性递推关系、非线性递推关系等。

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a mnn n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列二、等差数列 知识要点1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 ⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式()1(),(),,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数(),,n a kn b k b =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．3．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2ca b +=；c b a ,,是等差数列⇔c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n +=； 2)1(1dn n na S n -+= 221(),()22n n d dS n a n S f n An Bn =+-==+特征：即2,(,)n S An Bn A B =+为常数⇔数列{}n a 成等差数列．5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2；⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：()()1n n a a d n N*+-=∈常数 ⇒{}na 是等差数列②中项法：()122n n n a a a n N *++=+∈⇒{}na 是等差数列③通项公式法：(),n a kn bk b =+为常数⇒{}na 是等差数列④前n 项和公式法：()2,n S An BnA B =+为常数⇒{}na 是等差数列【应用一】1．若a ≠ b ，数列a ，x 1，x 2，b 和数列a ，y 1，y 2，y 3，b 都是等差数列，则 =--1212y y x x ( )A ．32B ．43C ．1D ．342. 等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450 ，则前9项和S 9= ( ) A.1620 B.810 C.900 D.6753. 在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a =2，b =5B. a =－2，b =5C. a =2，b =－5D. a =－2，b =－54. 首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 5．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－16. 等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是 ( ) A.a 11B.a 10C.a 9D.a 87. 设函数f (x )满足f (n +1)=2)(2nn f +(n ∈N *)且f (1)=2，则f (20)为 ( ) A. 95B. 97C. 105D. 1928．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6 <S 7 ，且S 7 >S 8 ，则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7 最大B ．在数列{a n }中，a 3 或a 4 最大C ．前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等D ．当n ≥8时，a n <0 9. 集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________.10、在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=- 记123n n S a a a a =++++，则13S =_____．11、已知等差数列{}n a 中，79416,1a a a +==，则16a 的值是 ． 12. (1)在等差数列{}n a 中，71,83d a =-=，求n a 和n S ； (2)等差数列{}n a 中，4a =14，前10项和18510=S ．求n a ；13. 一个首项为正数的等差数列{a n }，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大?14. 数列{a n }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=， (1)求数列的通项公式；(2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2)，a 1=21. (1)求证：{nS 1}是等差数列；(2)求a n 的表达式； (3)若b n =2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.【应用二】1．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．172．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ． 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由．5、已知等差数列{}n a 中，79412161a a a a +==，，则等于( )A ．15B ．30C ．31D ．646、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ．8．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲、乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式；③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c的等比中项，且b =2b ac =注：是c b a ,,成等比数列的必要不充分条件．4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列． ④若项数为()*2n n N ∈，则S q S =偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等差数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列．7. 等比数列的判定法 ①定义法：()1n na q a +=⇒常数{}n a 为等比数列； ②中项法：()2120n n n n a a a a ++=⋅≠⇒{}n a 为等比数列；③通项公式法：(),nn a k q k q =⋅⇒为常数{}na 为等比数列；④前n 项和法：()()1,nn S k q k q =-⇒为常数{}na 为等比数列．【性质运用】1．4710310()22222n f n +=+++++设 ()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ． 3．在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4B ．3C ．2D ．15．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( )A ．216B ．－216C ．217D ．－217 6．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．27．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=08．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a9．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．1510．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 13．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q = ___． 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．15．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．16．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．17．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．18．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．P山有木兮木有枝，心悦君兮君不知。

教师课时教案备课人授课时间课题 2.1数列的概念与简单表示法（1）课标要求理解数列及其有关概念，掌握通项公式及其应用教学目标知识目标理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，技能目标会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

情感态度价值观体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

重点数列及其有关概念，通项公式及其应用难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为{}n a，其中na是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序有这样的对应关系：项151413121↓↓↓↓↓序 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序可用一个公式：nan1=来表示学生阅读理解概念老师评价讲解1教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动⒋数列的通项公式：如果数列{}n a的第n项n a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=nna，也可以是|21cos|π+=nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()na f n=，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。