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2019-2019 学年数学人教版九年级上册y=a （x-h ）2的图象和性质同步训练一、选择题1.抛物线的极点坐标为（）A. （3，0）B（. -3,0）C（. 0,3）D（.0，－3）2.对于函数的图象，以下说法不正确的选项是（）A. 张口向下B. 对称轴是C. 最大值为0 D. 与y轴不订交3.要获得抛物线 y=（x﹣4）2，可将抛物线 y=x2（）A.向上平移 4 个单位B.向下平移 4 个单位C.向右平移 4 个单位D.向左平移 4 个单位4.极点为 (-6，0)，张口方向、形状与函数y=x2的图象同样的抛物线所对应的函数是 ( )A.y=(x-6)2B.y=(x+6)2C.y=-(x-6)2D.y=-(x+6)25.抛物线 y=-2(x-1) 2的极点坐标和对称轴分别是( )A.(-1 ，0)，直线 x=-1B.(1，0)，直线 x=1C.(0，1)，直线 x=-1D.(0，1)，直线 x=126.若抛物线y 2 x m m4m 3的极点在A.B.C.或D.7.函数的图象能够由函数A.向左平移 3 个单位B.向右平移 3 个单位C.向上平移 3 个单位D.向下平移 3 个单位x轴正半轴上，则m的值为（）的图象 ()获得8.已知点 A（1，y1），B（，y2），C（2，y3），都在二次函数的图象上，则 ( )A. B. C.D.二、填空题9.抛物线经过点（-2，1），则________。
10.抛物线 y=(x+3)2的极点坐标是 ________.对称轴是 ________。
11.抛物线对于x轴对称的抛物线的分析式是________。
12.已知点 A （4，y1）， B（，y2）， C（﹣ 2，y3）都在二次函数 y=（x﹣2）2的图象上，则 y123的大小关系是 ________．、y 、y13.已知二次函数 y=3(x-a)2的图象上，当 x>2 时， y 随 x 的增大而增大，则a 的取值范围是 ________.14.假如二次函数 y=a(x+3)2有最大值，那么 a________0，当 x=________时，函数的最大值是 ________.三、解答题15.求以下函数图象的极点坐标、张口方向及对称轴。
一、选择题1．已知抛物线()20y ax bx c a =++<过()30A -,、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定2．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =-+，下列平移方法正确的是（ ） A ．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位 B ．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位 C ．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位 D ．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位3．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则点(,)A ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A ．26B ．3C ．6D ．425．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <=B ．312y y y =<C ．312 y y y <<D ．123y y y =<6．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点A ）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点B ）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点C ）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．A ．2148575152y x x =--+ B ．2148575152y x x =-++ C ．2148575152y x x =-+ D ．2148575152y x x =++ 7．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)8．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n9．已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，给出下列结论：①抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；②2a +b =0；③当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；④若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm ≤a +b ．其中正确结论的个数是（ ） x … ﹣1 0 1 2 3 … y…3﹣13…A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米 B ．12米 C ．25米 D ．35米 11．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤12．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x时，0y >，其中正确的是（ ）A ．①②⑤B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤13．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ） A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,114．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．二、填空题16．在ABC 中，A ∠，B 所对的边分别为a ，b ，30C ∠=︒．若二次函数2()()()y a b x a b x a b =+++--的最小值为2a-，则A ∠=______︒． 17．抛物线y ＝﹣12（x +1）2+3的顶点坐标是_____． 18．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 负半轴的夹角为15°，点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为_．19．二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2013A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2013B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201220132013A B A △都为等边三角形，则201220132013A B A △的边长=________．20．已知函数y ＝ax 2﹣（a ﹣1）x +1，当0<x <2时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是_____．21．学校公益伞深受师生欢迎，如图为公益伞骨架结构，点A 为伞开关位置，图1完全收拢状态，图2中间状态，图3完全打开状态，撑伞整个过程中，63AB cm =，10CE cm =，2EF DE =，5BF DF =+，DF 长度保持不变，滑动环扣C 、D 相对距离会变化．（1）图1中，A 、G 重合，此时8AC cm =，则DF =______cm ．（2）图3中，90EDC ∠=︒，因支架、伞布等作用，弹性钢丝BG 近似变形为抛物线2164y x bx c =-++一部分，则AC =______cm ．22．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．23．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．24．将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3绕着点A （2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为_____．25．如图，将抛物线y=−12x 2平移得到抛物线m ．抛物线m 经过点A （6，0）和原点O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=−12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为______．26．如图，抛物线2yx 与直线y x =交于O ，A 两点，将抛物线沿射线OA 方向平移42个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线3x =交于点D ，则点D 经过的路程为______．三、解答题27．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？28．已知：二次函数2y x bx c =++过点（0，－3），（1，－4） （1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x ＜3时，y 的取值范围是 ．29．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x （元/千克） 45 50 55 60 销售量y （千克）70605040y x（2）为了尽可能提高销量且保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 30．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=． （1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．。
2019-2020学年人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数 单元测试题（时间：100分钟 总分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1、若()m m x m y +-=21是关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2或1C ．1D ．不存在2、抛物线y ＝2（x ﹣2）2﹣1的顶点坐标是（ ）A ．（0，﹣1）B ．（﹣2，﹣1）C ．（2，﹣1）D ．（0，1）3、二次函数的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A ．（0，1） B ．（1，0） C ．（－1，0） D ．（0，－1）4、对于抛物线y=﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（ ）①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x=﹣2；③图象不经过第一象限； ④当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．A ．4B ．3C ．2D ．15、已知A （﹣1，y 1）、B （2，y 2）、C （﹣3，y 3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 3＜y 2＜y 16、已知二次函数的图象（0≤≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2，有最小值-2.5B ．有最大值2，有最小值1.5C ．有最大值1.5，有最小值-2.5 C ．有最大值2，无最小值7、如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知，满足不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞58、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9、已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m10、如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C． D．二、填空题（每小题3分，共24分）11、将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．12、若函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为．13、点A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是．14、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是 .15、二次函数y=﹣2（x﹣1）（x﹣3）的图象的对称轴是．16、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0④8a+c＜0，其中正确的有．17、如图，抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=4x2于点B、C，则线段BC的长为．18、如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取m.三、解答题（共66分）19、已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．20、抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有无交点？若无，说出理由，若有，求出交点坐标．21、人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利45元时，平均每天可销售30件．经调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？22、已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．（1）写出这个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值；（2）求出这个抛物线与坐标轴的交点坐标．23、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）点B的坐标为；（2）方程ax2+bx+c=0的两个根为；（3）不等式ax2+bx+c＜0的解集为；（4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为；（5）若方程ax2+bx+c=k﹣1有两个不等的实数根，则k的取值范围为．24、已知二次函数y＝x2－4x＋3.(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．25、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1、A解：若y=（m﹣1）x是关于x的二次函数，则，解得：m=﹣2．2、C【解答】解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴y＝2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）．3、D4、A解：∵y=﹣（x+2）2+3，∴抛物线开口向下、对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故①、②都正确；在y=﹣（x+2）2+3中，令y=0可求得x=﹣2+＜0，或x=﹣2﹣＜0，∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=﹣2，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故④正确；综上可知正确的结论有4个，5、C．．解：∵抛物线y=﹣5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，而B（2，y2）离直线x=﹣1的距离最远，A（﹣1，y1）点离直线x=﹣1最近，∴y2＜y3＜y1．6、A7、A【解答】解：由图可知，二次函数图象为直线x＝2，所以，函数图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），所以，ax2+bx+c＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜5．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目一般都利用数形结合的思想求解，本题求出函数图象与x轴的另一个交点是解题的关键．8、D解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论①4a﹣2b+c＜0；当x＝﹣2时，y＝ax2+bx+c，y＝4a﹣2b+c，∵﹣2＜x1＜﹣1，∴y＜0，故①正确；②2a﹣b＜0；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，与y轴交于（0，1）点，c＝1，∴a﹣b＝1，二次函数的开口向下，a＜0，又﹣1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，故②正确；③因为抛物线的开口方向向下，所以a＜0，故③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，故选：D．9、D．10、A【分析】根据平行线的性质可得∠EDF＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F＝30°，然后证得△EDB是等边三角形，从而求得ED＝DB＝2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠A＝60°，∠DEB＝∠B＝60°∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；∵∠EDB＝∠DEB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝DB＝2﹣x，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴EF＝ED＝（2﹣x）．∴y＝ED•EF＝（2﹣x）•（2﹣x），即y＝（x﹣2）2，（x＜2），故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等．二、填空题11、：y＝x2+2．【分析】先确定二次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：二次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y＝x2+2．故答案为【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12、﹣1．解：∵函数y＝x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△＝22﹣4×1×（﹣m）＝0，解得：m＝﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．13、y2＜y3＜y1；14、-3,215、直线x=2 ．【解答】解：∵y=﹣2（x﹣1）（x﹣3）=﹣2x2+8x﹣6，∴x=﹣=2．16、③④．解：根据图象可得：a＞0，c＜0，对称轴：x=﹣＞0，①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴﹣=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a，∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4（b﹣a）=2b﹣3a，又由①得b=﹣2a，∴a﹣2b+4c=﹣7a＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0；故④正确；故正确为：③④两个．故答案为：③④．17、1【解答】解：∵抛物线y=ax2+1与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，1）．当y=1时，4x2=1，解得x=±，∴B点坐标为（﹣，1），C点坐标为（，1），∴BC=﹣（﹣）=1，18、15三、解答题19、解：解法1：设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，将A(2，－2)，B(1，0)，C(3，0)代入，得所以y＝2x2－8x＋6.解法2：设二次函数表达式为y＝a(x－2)2－2，将B(1，0)代入，得0＝a(1－2)2－2，解得a＝2.所以y ＝2(x－2)2－2，即y＝2x2－8x＋6.解法3：设二次函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)，将A(2，－2)代入，得－2＝a(2－1)(2－3)，解得a＝2.所以y＝2(x－1)(x－3)，即y＝2x2－8x＋6.20、解：令y＝0，得3x2＋x－10＝0，∴Δ＝12－4×3×(－10)＝121＞0.∴抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有交点．∵3x2＋x－10＝0，解得x1＝－2，x2＝，∴抛物线y＝3x2＋x－10与x轴的交点坐标是(－2，0)，(，0)．21、22、【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴开口方向向下，对称轴x＝1，顶点坐标是（1，4）当x＝1时，y有最大值是4（2）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3当x＝0时，y＝3∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），与y轴的交点坐标是（0，3）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用解析式求坐标轴的交点的方法以及顶点坐标公式是本题的关键．23、：k＜2解：（1）由图可得：A、B到直线x=1的距离相等，∵A（﹣1，0）∴B点坐标为：（3，0）故答案为：（3，0）（2）方程ax2+bx+c=0的两个根是：x1=0，x2=2；故答案为：x1=0，x2=2；（3）不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜0或x＞2；故答案为：x＜0或x＞2；（4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是：x＞1；故答案为：x＞1；（5）由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k必须小于y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值，则k＜2．24、解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.∴函数的顶点C的坐标为(2，－1)．∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)；当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)．∴AB＝＝2.过点C作CD⊥x轴于D，S△ABC＝AB·CD＝×2×1＝1.25、【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，∵过点A（﹣3，0），E（0，1），∴，解得：，∴直线AE解析式为y＝x+1，如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，设D（m，m2+2m﹣3），则F（m，m+1），∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝×DF×AG+DF×OG＝×DF×（AG+OG）＝×3×DF＝（﹣m2﹣m+4）＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△ADE的面积取得最大值为．（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设P（﹣1，n），∵A（﹣3，0），E（0，1），∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，①若AP＝AE，则AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，∴P（﹣1，﹣1）；③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．。
人教版 九年级数学上册 第22章复习测试题带答案22.1 二次函数的图象和性质一、选择题1. 对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是22. 二次函数y ＝x 2－2x ＋4化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，下列正确的是( ) A. y ＝(x －1)2＋2 B. y ＝(x －1)2＋3 C. y ＝(x －2)2＋2 D. y ＝(x －2)2＋43. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a ＋c <b ；④b 2－4ac >0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A. 34或1 B. 14或1 C. 34或12 D. 14或345. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到6. 海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为12米．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉喷出的水在空中划出的曲线满足的函数解析式是( )A ．y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3B ．y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋1C ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3D ．y ＝－8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋37. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx 的图象可能是( )8. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (b ＞a ＞0)与x 轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0无实数根；③a －b ＋c ≥0；④a ＋b ＋cb －a的最小值为3.其中，正确结论的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. (2019•泸州)已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 A ．2a < B ．1a >- C ．12a -<≤D ．12a -≤<10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二、填空题11.抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．12. 如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3；③a ＋b ＋c>0；④当x>1时，y 随着x 的增大而增大．正确的说法有________．(请写出所有正确说法的序号)13. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．15. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．16. 已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是________．17. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为____________．三、解答题18. 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)设抛物线与x轴的另一交点为B，在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．19. 2018·南京已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？20. 已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．21. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．22. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．人教版九年级22.1 二次函数的图象和性质培优训练-答案一、选择题1. 【答案】B 【解析】由二次函数y ＝－(x －1)2＋2可知，对称轴为直线x ＝1排除C ，D ，函数开口向下，有最大值，最大值为当x ＝1时y ＝2，故排除A 选B .2. 【答案】B 【解析】将二次函数的一般式经过配方转化成顶点式，可以加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．y ＝x 2－2x ＋4＝x 2－2x ＋1＋3＝(x －1)2＋3.3. 【答案】C 【解析】∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＞0，故①错误；∵图象与y 轴交于x 轴上方，∴c ＞0，故②正确；当x ＝－1时，a －b ＋c <0，则a ＋c <b ，故③正确；图象与x 轴有两个交点，则b 2－4ac ＞0，故④正确．4. 【答案】A 【解析】由二次函数过点(－1，0)可得a ＋b ＝2，把x ＝1代入y ＝ax 2－bx －2得y ＝a －b －2，即a －b ＝2＋y.由a ＋b ＝2和a －b ＝2＋y 得a ＝2＋12y ，由题意得a ＞0，b ＞0，所以2＋12y ＞0，解得y ＞－4，又由顶点在第四象限，可得y ＝－3或－2或－1.当y ＝－3时，可得a ＝12，b ＝32，则ab ＝34；当y ＝－2时，可得a ＝1，b ＝1，则ab ＝1；当y ＝－1时，可得a ＝32，b ＝12，则ab ＝34，综上ab 的值为34或1.5. 【答案】C【解析】二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误； 根据平移的规律，2yx 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+， 故选项D 的说法正确， 故选C ．6. 【答案】C7. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b 异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx 位于第二、四象限，故答案为C.8. 【答案】D 【解析】 序号 逐项分析 正误① ∵b >a >0，∴对称轴－b2a <0，即对称轴在y 轴左侧√ ② ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，∴y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0即ax 2＋bx ＋c ＝－2无实数根√③ 由②得y ＝ax 2＋bx ＋c ≥0，∴当x ＝－1时，a －b ＋c ≥0 √④∵当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ≥0，∴a ＋b ＋c ≥3b －3a ，a ＋b ＋c ≥3(b －a )，∵b ＞a ，∴a ＋b ＋cb －a≥3 √9. 【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+， ∵抛物线与x 轴没有公共点，∴22(2)4(36)0a a a ∆=---+<，解得2a <， ∵抛物线的对称轴为直线22ax a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴1a ≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<， 故选D ．10. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．二、填空题11. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】①②④【解析】由于二次函数开口向上，且与y 轴的交点在负半轴上，∴a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，即①正确；又由于二次函数与x 轴交点的横坐标为－1，3.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3即②正确；当x ＝1时，二次函数上的点在第四象限，即a ＋b ＋c ＜0即③错误；由于(－1，0)，(3，0)两点关于二次函数的对称轴为轴对称，∴此二次函数的对称轴方程为：x ＝1，因为二次函数开口向上，所以当x ＞1时y 随x 的增大而增大，即④正确. 故①②④正确．13. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．14. 【答案】21(4)2y x =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =， 所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．15. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．16. 【答案】0 [解析]依题意可知已知两点关于y 轴对称，∴x 1与x 2互为相反数，即x 1＋x 2＝0.当x ＝0时，y ＝a·02＝0.17. 【答案】x<1或x>3 【解析】∵直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)和B(3，2)，∴根据图象可知，不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜1或x ＞3.三、解答题18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，C(0，－3)，∴⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－3.∴此二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3. (2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴B(－3，0)，∴AB ＝4. 设点P 的坐标为(m ，n)． ∵△ABP 的面积为10， ∴12AB·|n|＝10，解得n ＝±5. 当n ＝5时，m 2＋2m －3＝5，解得m ＝－4或m ＝2，∴P(－4，5)或P(2，5)； 当n ＝－5时，m 2＋2m －3＝－5，此方程无解．故点P 的坐标为(－4，5)或(2，5)．19. 【答案】解：(1)证明：当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m ＋3≠1，即m ≠－2时，方程有两个不相等的实数根． 综上，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)当x ＝0时，y ＝2(x －1)(x －m －3)＝2m ＋6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6，∴当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．20. 【答案】解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．(2分)如图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)， ∴CE ＝OQ ＝1. ∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ， ∴CP CD ＝CE CF .又∵CP ∶PD ＝2∶3， ∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25，∴CF ＝2.5，(4分) ∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5， ∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5， ∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(5分)(2)∵tan ∠PDB ＝54，∴CFDF＝5 4，∴DF＝45CF＝45×2.5＝2，(6分)∵△CFD∽△CEP，∴PEDF＝CE CF，∴PE＝DF·CECF＝2×12.5＝0.8.∵P(1，c－a)，C(0，c)，∴PE＝PQ－OC＝c－(c－a)＝a，∴a＝0.8，(8分)∴y＝0.8x2－1.6x＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，解得c＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1.(10分)21. 【答案】【思维教练】由图象过点(1，－2)，将其带入y1的函数表达式中，解方程即可；(2)由y1＝(x＋a)(x－a－1)可得出y1过x轴上的两点的坐标，然后分两种情况讨论即可；(3)先求出y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴，根据开口向上的二次函数，离对称轴越近，函数值越小即可得解．解：(1)∵函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象经过点(1，－2)，∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分)化简得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1，∴y1＝x2＋x－2；(4分)(2)函数y1＝(x＋a)(x－a－1)图象在x轴的交点为(－a，0)，(a＋1，0)，①当函数y2＝ax＋b的图象经过点(－a，0)时，把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＝b；(6分)②当函数y2＝ax＋b的图象经过点(a＋1，0)时，把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中，得a2＋a＝－b；(8分)(3)∵抛物线y1＝(x＋a)(x－a－1)的对称轴是直线x＝－a＋a＋12＝12，m<n，∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大，∵m<n，∴点Q离对称轴x＝12的距离比P离对称轴x＝12的距离大，(10分)∴|x0－12|<1－12，∴0<x0<1.(12分) 22. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m ， 所以S △PAB ＝12×(－m 2－3m)×3＝－32(m 2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278， 所以当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．22.2 二次函数与一元一次方程一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．32. 根据下列表格中的数值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b 为常数)根的情况是( )A.B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．无实数根3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是( )A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3 D．x＝－24. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s5. 若A(－1，0)为抛物线y＝－3(x－1)2＋c上一点，则当y≥0时，x的取值范围是()A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．－1≤x≤3 D．x≤－1或x≥36. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是()A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜27. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为()A. x1＝－3，x2＝－1B. x1＝1，x2＝3C. x1＝－1，x2＝3D. x1＝－3，x2＝18. 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的取值范围是()A.1.23＜x＜1.24 B．1.24＜x＜1.25C．1.25＜x＜1.26 D．1＜x＜1.239. 如图，抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作C 1，将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．－458＜m ＜－52B ．－298＜m ＜－12C ．－298＜m ＜－52D ．－458＜m ＜－1210. 已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )A ．－254<m<3 B ．－254<m<2 C ．－2＜m ＜3D ．－6＜m ＜－2二、填空题（本大题共7道小题）11. 飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后2 s 滑行的距离是________m.12. 如图，已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴的两个交点分别是A ，B (点A 在点B的左侧)．(1)点A 的坐标为__________，点B 的坐标为________； (2)利用函数图象，求得当y <5时x 的取值范围为________．13. 已知二次函数y＝kx2－6x－9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为____________．14. 设A，B，C三点分别是抛物线y＝x2－4x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是________．15. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．16. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b＞0；②a－b ＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x ＜－1或x＞3时，y＞0.上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)17. 已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.(1)求m，n的值；(2)当x取何值时，y随x的增大而减小？19. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.(1)如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．20. 某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有________个交点，所以对应的方程x2－2|x|＝0有________个实数根；②方程x2－2|x|＝2有________个实数根；③关于x的方程x2－2|x|＝a有4个实数根时，a的取值范围是________．21. 利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请你再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；(2)已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(精确到0.1)．人教版九年级数学22.2 二次函数与一元一次方程同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] 当x＝0时，y＝－x2＋4x－4＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)；当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，则抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选 C.2. 【答案】A【解析】当x＝2时，方程ax2＋bx＋c＝0，因此方程有一个实数根为2.当x 由－1增大到0时，ax 2＋bx ＋c 的值由－3增大到2，因此可以推断当x 在－1与0之间取某一值时，必有ax 2＋bx ＋c ＝0，说明方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有一个根在－1与0之间．3. 【答案】A[解析] ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(1，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1.故选A.4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】A[解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.7. 【答案】C【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a ＋2a＋c ＝0，即3a ＋c ＝0.当x ＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a ＋c ＝0成立，当x ＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a ＋c ＝0(与3a ＋c ＝0不相符)，∴方程的两个根为x 1＝－1，x 2＝3.8. 【答案】B9. 【答案】C【解析】 如图．∵抛物线y ＝12x 2－7x ＋452与x 轴交于点A ，B ，∴B (5，0)，A (9，0)．∴抛物线C 1向左平移4个单位长度得到C 2，∴平移后抛物线的解析式为y ＝12(x －3)2－2.当直线y ＝12x ＋m 过点B 时，有2个交点， ∴0＝52＋m ，解得m ＝－52；当直线y ＝12x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点时，令12x ＋m ＝12(x －3)2－2，∴x 2－7x ＋5－2m ＝ 0，∴Δ＝49－20＋8m ＝0，∴m ＝－298，此时直线的解析式为y ＝12x －298，它与x 轴的交点为(294，0)，在点A 左侧，∴此时直线与C 1，C 2有2个交点，如图所示．∴当直线y ＝12x ＋m 与C 1，C 2共有3个不同的交点时，－298＜m ＜－52.10. 【答案】D【解析】 如图，当y ＝0时，－x 2＋x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3，则A (－2，0)，B (3，0)．将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y ＝(x ＋2)(x －3)，即y ＝x 2－x －6(－2≤x ≤3)．当直线y ＝－x ＋m 经过点A (－2，0)时，2＋m ＝0，解得m ＝－2；当直线y ＝－x ＋m 与抛物线y ＝x 2－x －6有唯一公共点时，方程x 2－x －6＝－x ＋m 有两个相等的实数根，解得m ＝－6.所以当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为－6＜m ＜－2.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】6 【解析】 当y 取得最大值时，飞机停下来， 则y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，此时t ＝20，飞机着陆后滑行600米停下来， 因此t 的取值范围是0≤t ≤20. 当t ＝18时，y ＝594， 所以600－594＝6(米)． 故答案是：6.12. 【答案】(1)(－3，0)(1，0) (2)－4<x <2【解析】(1)当x2＋2x－3＝0时，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．(2)当y＝5时，x2＋2x－3＝5，x2＋2x－8＝0，解得x1＝－4，x2＝2.由函数图象可得，当－4<x<2时，y<5.13. 【答案】k＞－1且k≠014. 【答案】15[解析] 当x＝0时，y＝－5，∴点A的坐标为(0，－5)；当y＝0时，x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，不妨设点B在点C的左侧，∴点B的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(5，0)，则BC＝6，∴△ABC的面积为12×6×5＝15.15. 【答案】x1＝－2，x2＝1[解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.16. 【答案】②③④[解析] 由图可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，∴b＝－2a，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)．①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；②当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0的解是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1的交点的横坐标，由图象可知函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜－1或x＞3，∴④正确．17. 【答案】4[解析] x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴当x＝－1时，x＋y有最大值，最大值是4.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)，对称轴是直线x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝9－3m ＋n ，－m 2＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝－2. (2)由(1)知二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －2.∵a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∴当x ≤－1时，y 随x 的增大而减小．19. 【答案】解：(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个公共点，∴Δ＝b 2－4ac ＝22＋4m ＞0，∴m ＞－1.(2)∵二次函数的图象过点A(3，0)，∴0＝－9＋6＋m ，∴m ＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.令x ＝0，则y ＝3，∴B(0，3)．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1，∴把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2，∴P(1，2)．(3)根据函数图象可知：使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜0或x ＞3.20. 【答案】解：(1)m ＝0.(2分)(2)如解图所示：(4分)(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)以及(1，－1)．②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝0(y轴)．(6分)③从图象信息直接看出：当x＜－1或0＜x＜1时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x＜0或x＞1时，函数值随自变量的增大而增大．④在x＜－2或x＞2时，函数值大于0，在－2＜x＜0或0＜x＜2时，函数值小于0等．(答案不唯一，合理即可)(4)①3，3；②2; ③－1＜a＜0.(10分)【解法提示】①观察图象可知函数图象与x轴有3个交点，∴方程x2－2|x|＝0有3个不相等的实数根；②把抛物线y＝x2－2|x|向下平移2个单位，得抛物线y＝x2－2||x－2，则抛物线y＝x2－2|x|－2与x轴只有2个交点，∴方程x2－2|x|－2＝0有2个不相等的实数根；③把抛物线y＝x2－2|x|向上平移0＜h＜1时，抛物线与x轴有4个交点，∴抛物线解析式y＝x2－2|x|－a中，0＜－a＜1，∴－1＜a＜0.21. 【答案】解：(1)答案不唯一，如在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．(2)在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5，∴方程的解为x≈1.5.22.3【实际问题与二次函数】一．选择题1．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h＝﹣6（t﹣2）2+7，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．7米2．正方形的边长为3，如果边长增加x，那么面积增加y，则y与x之间的函数表达式是（）A．y＝3x B．y＝（3+x）2C．y＝9+6x D．y＝x2+6x3．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（）A．当x＝﹣2时，y的最大值是﹣3B．当x＝2时，y的最小值是﹣3C．当x＝2时，y的最大值是﹣3D．当x＝﹣2时，y的最小值是﹣34．一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y 与x的函数关系式为（）A．y＝50（1﹣x）2B．y＝50（1﹣2x）C．y＝50﹣x2D．y＝50（1+x）2 5．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2B．最小值﹣3C．最大值2D．最大值﹣36．若抛物线y＝x2﹣2x+m的最低点的纵坐标为n，则m﹣n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．27．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值，则a，b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定8．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值最大值范围是（）A．t＝0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对9．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，则a、b的大小比较为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不能确定10．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（）A．y＝﹣x2+20x B．y＝x2﹣20x C．y＝﹣x2+10x D．y＝x2﹣10x 二．填空题11．已知x2﹣3x+y﹣5＝0，则y﹣x的最大值为．12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．13．如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为．14．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．三．解答题16．龙眼是同安的特产，远销国内外．现有一个龙眼销售点在经销时发现：如果每箱龙眼盈利10元，每天可售出50箱．若每箱龙眼涨价1元，日销售量将减少2箱．若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱龙眼应涨价多少元才能获利最高？17．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？（2）某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？18．某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？19．用长12m的一根铁丝围成长方形．（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的较长的边是多少？（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？（3）能围成的长方形的最大面积是多少？20．生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律：每年年产量为x （吨）时所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y＝x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足P甲＝﹣x+14，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；（2）当在乙地生产并销售x吨时，P乙＝﹣x+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？参考答案一．选择题1．解：∵h＝﹣6（t﹣2）2+7，∴a＝﹣6＜0，∴抛物线的开口向下，函数由最大值，∴t＝2时，h最大＝7．故选：D．2．解：∵新正方形的边长为x+3，原正方形的边长为3，∴新正方形的面积为（x+3）2，原正方形的面积为9，∴y＝（x+3）2﹣9＝x2+6x，故选：D．3．解：对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，由于﹣1＜0，所以，当x＝2时，y取得最大值，最大值为﹣3，故选：C．4．解：二年后的价格是为：50×（1﹣x）×（1﹣x）＝50（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝50（1﹣x）2．故选：A．5．解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），所以该抛物线有最大值是﹣3．故选：D．6．解：∵y＝x2﹣2x+m，∴＝＝n，即m﹣1＝n，∴m﹣n＝1．故选：C．7．解：∵y＝a（x﹣1）2+b有最大值，∴抛物线开口向下a＜0，b＝，∴a＜b．故选：B．8．解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，y max＝f（3）＝2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≥t+2时，即t≤1时，y max＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与y max＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．当3≤t，即t≥3时，y max＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3，故选：C．9．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）有最大值2，∴a＜0，b＝2，则a、b的大小比较为：a＜b．故选：B．10．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，故选：C．二．填空题11．解：∵x2﹣3x+y﹣5＝0，∴y＝﹣x2+3x+5，∴y﹣x＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，∴y﹣x的最大值为6，故答案为6．12．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．13．解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，由题意可知：y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，∵墙长为15m，∴16﹣2x≤15，∴0.5≤x＜8，∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32m2；故答案为：32m2．14．解：y与x之间的关系应表示为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．故答案为：y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．15．解：设P（x，x2﹣x﹣4），四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．故答案为10．三．解答题16．解：设每箱龙眼应涨价x元，总利润为y，根据题意可得：y＝（10+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+30x+500＝﹣2（x﹣）2+612.5，答：每箱龙眼应涨价元才能获利最高．17．解：（1）∵y＝﹣0.1（x2﹣26x+169）+16.9+43＝﹣0.1（x﹣13）2+59.9∴对称轴是：直线x＝13即当（0≤x≤13）提出概念至（13分）之间，学生的接受能力逐步增强；（2）当x＝10时，y＝﹣0.1×102+2.6×10+43＝59．18．解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）设每月销售水果的利润为w，则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500＝﹣5x2+100x+1420＝﹣5（x﹣10）2+1920，当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．19．解：设长方形的宽为xm，则长为（12﹣2x）m，即为（6﹣x）m，则6﹣x≥x，得0＜x≤3，（1）根据题意，得x（6﹣x）＝5，即x2﹣6x+5＝0，x1＝5，x2＝1（舍去），∴此时长方形较长的边为5m．（2）当面积为10m2时，x（6﹣x）＝10，即x2﹣6x+10＝0，此时b2﹣4ac＝36﹣40＝﹣4＜0，故此方程无实数根．所以这样的长方形不存在．（3）设围成的长方形面积为k，则有x（6﹣x）＝k．即x2﹣6x+k＝0，要使该方程有解，必须（﹣6）2﹣4k≥0，即k≤9，∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6﹣x＝3m，这时所围成的图形是正方形．20．解：（1）甲地当年的年销售额为（﹣x+14）•x＝（﹣x2+14x）万元；w＝（﹣x2+14x）﹣（x2+5x+90）＝﹣x2+9x﹣90．甲＝﹣×202+9×20﹣90＝30，当x＝20时，w甲所以在甲地生成并销售20吨时利润为30万元；（2）在乙地区生产并销售时，年利润：w＝﹣x2+15x﹣（x2+5x+90）乙＝﹣x2+10x﹣90＝﹣（x﹣25）2+35．∴当x＝25时，w有最大值35万元，乙∴在乙地当年的最大年利润应为35万元．。
九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试习题（含答案）如图，抛物线y＝ax2+bx+3过A(﹣2，0)、B (6，0)两点，交y轴于点C，对称轴交x轴于点E，点D是其顶点，点H为x轴上一动点，连接CD、CH、DH．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点H与点B重合时，求CDH的面积；（3）当DH⊥CD时，求点H的坐标．【答案】（1）y＝﹣14x2+x+3；（2）6；（3）H(4，0)【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）先求得直线BC的解析式，即可求得直线BC与对称轴的交点坐标，然后根据S△CDH＝S△CDF+S△BDF求得即可；（3）过D作DM⊥y轴于M，过H点作HN⊥DM于N，易证得△DCM∽△HDN，根据相似三角形的性质得出124DN=，解得DN＝2，即可求得OH＝MN＝4．【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣2，0）、B （6，0）两点，∴4230 36630a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得141ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线为y＝﹣14x2+x+3；（2）当x＝0时，y＝3，解C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+c，把B（6，0）、C（0，3）代入得603k cc+=⎧⎨=⎩，解得123kc⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为y＝﹣12x+3，设对称轴DE交BC于点F，则F（2，2），∵D（2，4），∴DF＝2，∴S△CDH ＝1262⨯⨯＝6；（3）如图，过D作DM⊥y轴于M，过H点作HN⊥DM于N，则∠CMD ＝∠DNH＝90°，∵DH⊥CD，∴∠MCD+∠MDC＝∠MDC+∠NDH＝90°，∴∠MCD＝∠NDH，∴△DCM∽△HDN，∴CM MD DN HN=，∵D（2，4），C（0，3），∴DM＝2，MC＝1，HN＝4，∴124DN=，解得DN＝2，∴OH＝MN＝4，∴H（4，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．82．数学兴趣小组几名同学到商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．（1）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？（2）若每天盈利为W元，请利用配方法直接写出每箱售价为多少元时，每天盈利最多．【答案】（1）当每箱牛奶售价为50元时，平均每天的利润为900元．（2）60元.【解析】【分析】（1）根据平均每天销售这种牛奶的利润＝每箱的利润×销售量，设每箱售价为x元，根据“每天盈利900元”列出方程（x-40）[30+3（70-x）]=900 求解即可；（2）根据平均每天销售这种牛奶的利润等于每箱的利润×销售量得到W=（x-40）[30+3（70-x）]，整理后根据二次函数的性质求解.【详解】（1）解：设每箱售价为x元，根据题意得：（x-40）[30+3（70-x）]=900化简得：2x-120x+3500=0解得：x1=50或x2=70（不合题意，舍去）∴x=50答：当每箱牛奶售价为50元时，平均每天的利润为900元．（2）由题意得W=（x-40）[30+3（70-x）]＝-32x+360x-9600()2=3601200--+x∴当售价为每箱牛奶60元时，每天盈利最多．【点睛】本题考查了二次函数的应用：先把二次函数关系式变形成顶点式：y=a（x-k）2+h，当a＜0，x=k时，y有最大值h；当a＞0，x=k时，y有最小值h．也考查了利润的含义．83．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E.（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；（2）当PD=PE 时，求AP 的长；（3）设AP 的长为x ，四边形CDPE 的面积为y ，请直接写出y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围.【答案】（1）54；（2）125；（3）2(03)y x x =+<< 【解析】【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AP 的长，从而求出BP 的长，然后求出BE 的长；（2）设AP= x ，则BP=4—x ，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD 和PE 的长，再根据PD=PE 列出方程即可.（3）分别用AP 表示PD 、PE 、BE,再根据ABC APD BPE y S S S ∆∆∆=--即可求出.【详解】（1）在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，12,2BC AB AC ∴==∴== ∵点D 为AC 边的中点3522AD DP AP BP AB AP∴====∴=-=,∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D，∴∠EPB=30°，∴EB15=24BP=（2）设AP= x，则BP=4—x，在两个含有30°的,Rt APD Rt BPE∆∆中得出：AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：(),432PD x PE x==-，∵PD=PE，∴)4x x=-解得125x=即有AP= 125（3）由（2）知：AP= x，)()1,4,42PD x PE x BE x==-=-)()211112?••4?4223222(03)24ABC APD BPEy S S S x x x xx x∆∆∆∴=--=⨯⨯---=-+<<【点睛】本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟练掌握相关知识是解题的关键.84．如图，二次函数y=ax2+bx+c过点A(﹣1，0)，B(3，0)和点C(4，5)．(1)求该二次函数的表达式及最小值．(2)点P(m，n)是该二次函数图象上一点．①当m=﹣4时，求n的值；②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3，-4；(2)①21；②﹣4≤n≤21【解析】【分析】（1）根据题意，设出二次函数交点式(1)(3)=+-，点C坐标代入求y a x x出a值，把二次函数化成顶点式即可得到最小值；（2）①m=-4，直接代入二次函数表达式，即可求出n的值；②由点P到y轴的距离不大于4，得出﹣4≤m≤4，结合二次函数图象可知，m=1时，n取最小值，m=-4时，n取最大值，代入二次函数的表达式计算即可．【详解】解：(1)根据题意，设二次函数表达式为，(1)(3)=+-，点C代入，y a x x得(41)(43)5a+-=，∴a=1，∴函数表达式为y=x2﹣2x﹣3，化为顶点式得：2=--，y x(1)4∴x=1时，函数值最小y=-4，故答案为：2=--；-4；(1)4y x(2)①当m=﹣4时，n=16+8﹣3=21，故答案为：21；②点P到y轴的距离为|m|，∴|m|≤4，∴﹣4≤m≤4，∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，在﹣4≤m≤4时，当m=1时，有最小值n=-4；当m=-4时，有最大值n=21，∴﹣4≤n≤21，故答案为：﹣4≤n≤21．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数求最值，二次函数图象和性质的应用，求二次函数的取值范围，掌握二次函数的图象和性质的应用是解题的关键．85．如图，直线5=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y x2=-++经过A、B两点．y x bx c（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线在第二象限内一点，并且在对称轴的左边，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，与直线AB交于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点N，设点P的横坐标为m．①当矩形PQMN的周长最大时，求ACM∆的面积；②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，G是直线AC上一点，F是抛物线上一点，是否存在点F，使得以点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出F点的坐标．【答案】（1）245y x x=--+（2）①2；②存在，(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)【解析】【分析】（1）先求出A、B两点的坐标，再代入抛物线2y x bx c=-++求出b、c的值即可；（2）①先用m表示出PM的长，再求出抛物线的对称轴及PQ的长，利用矩形的面积公式可得出其周长的解析式，进而可得出矩形面积的最大值，求出C 点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；②根据C点坐标得出P点坐标，故可得出PC的长，再分点F在点G的上方与点F在点G的下方两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）∵y=x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y=0时，x=-5，即A点坐标为(-5，0)，当x=0时，y=5，即B点坐标为(0，5)，将A(-5，0)，B(0，5)代入y=-x2+bx+c，得25505b cc--+=⎧⎨=⎩，解得45b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为245y x x =--+；（2）①∵点P 的横坐标为m ，∴P （m ，-m 2-4m+5），∴PM=-m 2-4m+5． ∵抛物线y=-x 2-4x+5的对称轴为直线：4222b x a -=-=-=-- ∴PQ=2（-2-m ）=-4-2m ．∴矩形PQMN 的周长l=2（PM+PQ ）=2（-m 2-4m+5-4-2m ） ∴l=-2m 2-12m+2=-2（m+3）2+20， ∵-2<0∴当m=-3时，矩形PQMN 的周长l 最大， 此时点C 的坐标为(-3，2)，CM=AM=2， ∴12222ACM S ∆=⨯⨯=； ②存在，点F 坐标为(-2，9)或(1，0)或(-6，-7) 由①可知，(3,8),(3,2)P C --826PC ∴=-=以点P 、C 、G 、F 为顶点的四边形是平行四边形 PC FG ∴=设2(,45)F t t t --+，则(,5)G t t +当点F 在点G 上方时，如图1，即245(5)6t t t --+-+=122,3t t ∴=-=-（舍）(2,9F ∴-）当点F 在点G 下方时，如图2，即25(45)6t t t +---+=121,6t t ∴==-（舍）(1,0F ∴）或(6,7)--∴点F 坐标为(-2，9)或(1，0)或(-6，-7)【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质及二次函数图象上点的坐标特点等知识，在解答（2）②时要先判断出平行四边形的边，再由平行四边形的性质求解．86．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角ADC （两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形ABCD 花园（篱笆只围AB 、BC 两边）.（1）若围成的花园面积为291m ，求花园的边长；（2）在点P 处有一颗树与墙CD ，AD 的距离分别为12m 和6m ，要能将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），又使得花园面积有最大值，求此时花园的边长.【答案】（1）花园的边长为：13m 和7m ;（2）当8x =或12时，y 有最大值为96，此时花园的边长为8cm 或12cm .【解析】【分析】（1）根据等量关系：矩形的面积为91，列出方程即可求解；（2）由在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是12m 和6m ，列出不等式组求出x 的取值范围，根据二次函数的性质求解即可.【详解】（1）设AB 长为xm .由题意得：()2091x x -=解得：113x = 27x =答：花园的边长为：13m 和7m .（2）设花园的一边长为x ，面积为y .()()22202010100y x x x x x =-=-+=--+由题意：62012x x ≥⎧⎨-≥⎩或12206x x ≥⎧⎨-≥⎩ 解得：68x ≤≤，或1214x ≤≤.当8x =或12时，y 有最大值为96，此时花园的边长为8cm 或12cm .【点睛】本题考查了方程的应用，二次函数的应用以及不等式组的应用，认真审题准确找出等量关系是解题的关键.87．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以,,A C Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？【答案】(1) 211433y x x =-++；(2) 存在，()1,3Q 或822⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；；(3) 当2m =时，PN ． 【解析】【分析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；(2)分AC AQ AC CQ CQ AQ ===、、三种情况，分别求解即可；(3)由211sin 44233PN PQ PQN m m m ⎫=∠=-+++-⎪⎝⎭即可求解． 【详解】解：(1)由二次函数交点式表达式得：2()()()3412y a x x a x x =+-=--， 即：124a -=，解得：13a =-， 则抛物线的表达式为211433y x x =-++； (2)存在，理由：点、、A B C 的坐标分别为3,04,()()(04)0,-、、，则5,7,45AC AB BC OAB OBA ===∠=∠=︒，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b =+并解得：4y x =-+…①， 同理可得直线AC 的表达式为：443y x =+， 设直线AC 的中点为4()3,2M -，过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为34-， 同理可得过点M 与直线AC 垂直直线的表达式为：3748y x =-+…②， ①当AC AQ =时，如图1，则5AC AQ ==，设：QM MB n ==，则7AM n =-，由勾股定理得：2272)5(n n -+=，解得：3n =或4(舍去4)，故点()1,3Q ；②当AC CQ =时，如图1，5CQ =，则5BQ BC CQ =-=，则82QM MB -==，故点822Q ⎛- ⎝⎭； ③当CQ AQ =时，联立①②并解得：252x =(舍去)；故点Q 的坐标为：()1,3Q 或822⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； (3)设点21)1,433(P m m m -++，则点4(),Q m m -+， ∵OB OC =，∴45ABC OCB PQN ∠=∠=︒=∠，2211sin 4423633⎛⎫=∠=-+++-=-+ ⎪⎝⎭PN PQ PQN m m m m m ，∵0<，∴PN有最大值，当2m=时，PN．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．88．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）将抛物线向上平移4个单位．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）计算出自变量为﹣2对应的二次函数值，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．【详解】解：（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得10 423b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．89．平面直角坐标系xOy中，对于任意不在同一条直线上的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．点A，B，C的所有“三点矩形”中，面积最小的矩形称为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知()4,1M ，()2,3N -，点()P m n ,．（1）①若1m =，4n =，则点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；②若1m =，点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的面积为24，求n 的值；（2）若点P 在直线24y x =-+上．①求点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围； ②当点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P 的坐标；（3）若点()P m n ,在抛物线2y ax bx c =++上，且当点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”面积为12时，21m -≤≤-或13m ≤≤，直接写出抛物线的解析式．【答案】（1）①18，18；②1n =-或5；（2）①1322m ≤≤；②点P 的坐标为3,72⎛⎫- ⎪⎝⎭或7,32⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）21344y x =+或211344y x =-+． 【解析】【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得x分别为-32，72，点P的坐标为（-32，7）或（72，-3）；（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【详解】解：（1）①如图1，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M（4，1），N（-2，3），∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．（2）如图2，由①易得点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为12，32；结合图象可知：12≤m≤32；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得x分别为-32，72；∴点P的坐标为（-32，7）或（72，-3）；（3）如图3，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点（-1，1），（1，1），（3，3），∴11923a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1434abc⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，∴y＝14x2+34，同理抛物线经过点（-1，3），（1，3），（3，1），可求得抛物线的解析式为y=-14x2+134，∴抛物线的解析式21344y x =+或211344y x =-+． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．90．在平面直角坐标系中，已知抛物线21y x bx c 2=-++（b ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究PQ NP BQ+是否存在最大值．若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）21y x 2x 12=-+-；（2）（i ）M 1（4，﹣1），M 2（﹣2，﹣7），M 3（1+2-+，M 4（12-；（ii ）存在，PQ NP BQ+的最大值【解析】【分析】（1）先求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式．（2）（i ）首先求出直线AC 的解析式和线段PQ 的长度，作为后续计算的基础．若△MPQ 为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：△当PQ 为直角边时：点M 到PQ的距离为．此时，将直线AC 向右平移4个单位后所得直线（y=x ﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M 点．△当PQ 为斜边时：点M 到PQ．此时，将直线AC 向右平移2个单位后所得直线（y=x ﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M 点．（ii ）由（i ）可知，PQ=因此当NP+BQ 取最小值时，PQNP BQ +有最大值．如答图2所示，作点B 关于直线AC 的对称点B ′，由解析可知，当B ′、Q 、F （AB 中点）三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为线段B ′F 的长度．【详解】解：（1）由题意，得点B 的坐标为（4，﹣1）．△抛物线过A （0，﹣1），B （4，﹣1）两点， △c 1{1164b c 12=--⨯++=-，解得b 2{c 1==-． △抛物线的函数表达式为：21y x 2x 12=-+-． （2）（i ）△A （0，﹣1），C （4，3），△直线AC 的解析式为：y=x ﹣1．设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（1）可得P 0的坐标为（2，1），且P 0在直线AC 上．△点P 在直线AC 上滑动，△可设P 的坐标为（m ，m ﹣1）． 则平移后抛物线的函数表达式为：()21y x m m 12=--+-． 解方程组：()2y x 1{1y x m m 12=-=--+-，解得11x m {y m 1==-，22x m 2{y m 3=-=-． △P （m ，m ﹣1），Q （m ﹣2，m ﹣3）．过点P 作PE △x 轴，过点Q 作QE △y 轴，则PE=m ﹣（m ﹣2）=2，QE=（m ﹣1）﹣（m ﹣3）=2，△PQ=0．若△MPQ 为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：△当PQ 为直角边时：点M 到PQ的距离为PQ 的长）， 由A （0，﹣1），B （4，﹣1），P 0（2，1）可知，△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0△AC ，BP 0=如答图1，过点B 作直线l 1△AC ，交抛物线21y x 2x 12=-+-于点M ，则M 为符合条件的点．△可设直线l 1的解析式为：y=x+b 1．△B （4，﹣1），△﹣1=4+b 1，解得b 1=﹣5．△直线l 1的解析式为：y=x ﹣5． 解方程组2y x 5{1y x 2x 12=-=-+-，得：11x 4{y 1==-，22x 2{y 7=-=-． △M 1（4，﹣1），M 2（﹣2，﹣7）．△当PQ 为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M 到PQ． 如答图1，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，﹣1）．由A （0，﹣1），F （2，﹣1），P 0（2，1）可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC．过点F 作直线l 2△AC ，交抛物线21y x 2x 12=-+-于点M ，则M 为符合条件的点．△可设直线l 2的解析式为：y=x+b 2，△F （2，﹣1），△﹣1=2+b 2，解得b 1=﹣3．△直线l 2的解析式为：y=x ﹣3． 解方程组2y x 3{1y x 2x 12=-=-+-，得：11x 1{y 2=+=-+22x 1{y 2=-=- △M 3（1+，2-+），M 4（12-．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（4，﹣1），M 2（﹣2，﹣7），M 3（1+，2-），M 4（12--． （ii ）PQ NP BQ+存在最大值．理由如下： 由（i ）知PQ=为定值，则当NP+BQ 取最小值时，PQ NP BQ+有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为（0，3），BQ=B ′Q ．连接QF ，FN ，QB ′，易得FN △PQ ，且FN=PQ ，△四边形PQFN 为平行四边形．△NP=FQ ．△NP+BQ=FQ+B ′P ≥FB ′==△当B ′、Q 、F 三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为△PQ NP BQ +=．。
九年级数学上册《第二十二章 二次函数》单元测试题及答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1、二次函数定义：一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2、二次函数解析式的表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h ，k )； (3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是图象与x 轴交点的横坐标．3.二次函数的图象是一条抛物线：当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。
|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大。
(0，k ) >0x <0(h 或a b 2-)时，y 随x 的增大而减小；x >0(h 或a b 2-)时，y 随x 的增大而增大。
即在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大。
<0x <0(h 或a b 2-)时，y 随x 的增大而增大；x >0(h 或ab 2-)时，y 随x 的增大而减小。
即在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小。
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系：（1）a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． （2）b 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”（3）c 决定了抛物线与y 轴交点的位置5、二次函数与一元二次方程之间的关系：一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的实数根有两个不相等有两个相等的实数根x1＝x2一、选择题1．下列函数中，二次函数是（）A．y=2x−1B．y=2x2+2C．y=x3+x−1D．y=1x22．已知函数 y＝（m＋2）x m2−2是二次函数，则 m 等于（）A．±2 B．2 C．－2 D．±√23．对于抛物线y=-x2，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴为直线x=0C．顶点坐标为（0，0）D．y随x的增大而减小4．要得到二次函数y=−x2+2x−2图象，需将y=−x2的图象（）A．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位5．二次函数y=kx2−4x+2的图象与x轴有两个交点，则k满足的条件是（）A．k>2B．k=3C．k<2且k≠0D．k≤26．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则对y1，y2和y3的大小关系判断正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2 7．如图，抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)，其顶点坐标为A(−1，3)，抛物线与x轴的一个交点为B(−3，0)，直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交与A、B两点，下列结论：①2a−b=0；②abc>0；③ax2+bx+c−2=0方程有两个不相等的实数根：①抛物线与x轴的另一个交点是(1，0)；⑤当−3<x<−1时，有y2<y1，其中结论正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定二、填空题9．二次函数y=−x2+2的最大值为．x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线的解析式10．若将抛物线y＝﹣12是．11．函数y=x2+m与坐标轴交于A、B、C三点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=．12．已知函数y=x2−2x−3当−1≤x≤a时，函数的最小值是-4，实数a的取值范围是.13．已知二次函数y＝−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+ m＝0的解为．14．如图，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，如图所示建立平面直角坐标系，则该抛物线对应的函数关系式为：．三、解答题15．已知一条抛物线分别过点(3,−2)和(0,1)，且它的对称轴为直线x=2，试求这条抛物线的解析式.16．求抛物线y=x2−2x的顶点坐标，并直接写出y随x增大而增大时自变量x的取值范围．17．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，求实数m的值.18．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．19．某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：（1）求p关于x的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．20.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）抛物线上是否存在点P使得S△PAB=6?如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案 1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B 8．C 9．210．y ＝﹣ 12 （x+1）2﹣3 11．-1 12．a ≥113．x 1=4，x 2=−2 14．y =−125x 2+85x15．解:∵抛物线的对称轴为 x =2 ∴可设抛物线的解析式为 y =a(x −2)2+b把 (3,−2) , (0,1) 代入解析式得 {a(3−2)2+b =−2a(0−2)2+b =1解得 a =1 b =−3∴所求抛物线的解析式为 y =(x −2)2−3 16．解：∵y=x 2-2x= x 2-2x +1-1=（x-1）2-1 ∴该函数的顶点坐标为（1，-1） ∵a=1>0∴抛物线开口向上又抛物线对称轴为直线 x =1 ∴当x>1时，y 随x 的增大而增大． 17．解：该抛物线的对称轴为：x ＝m ； ∵a ＝﹣1＜0 ∴抛物线开口向下∴当x＜m时，y随x的增大而增大；当x＞m时，y随x的增大而减小；当m≥1时∵﹣2≤x≤1，当x＝1时，y取得最大值，即﹣（1﹣m）2+m2+1＝4解得：m＝2.当﹣2≤m≤1时，x＝m时，y取得最大值，即m2+1＝4，解得：m＝﹣√2或√3（不合题意，舍去）；当m≤﹣2时，x＝﹣2时，y取得最大值，即﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得：m＝﹣74（不合题意，舍去）.综上所述，实数m的值为2或- √318．（1）解：由题意得，{a+b＝−3−b2a＝2，解得{a＝1b＝−2∴抛物线的解析式为y=x2-2x令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或2结合图象知，A的坐标为（2，0）根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤2（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F设P（x，x2-2x），∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°，∵∠PAF+∠FPA=90°，∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB∴PFAE =AFBE，即x2−2x2−1=2−x3，解得x= −13，∴x2-2x= 79.∴点P的坐标为（−13，79）∴△PAB 的面积=|- 13 −2|×| 79 −(−3)|- 12 ×|− 13 −2|× 79 - 12 ×|- 13 −1|×| 79 −(−3)|- 12 ×|2-1|×|0-（-3）|= 359 19．（1）解：设p ＝kx+b把p=3.9，x=1；p=4.0，x=2分别代入p=kx+b 中 得： {k +b =3.92k +b =4.0,解得： {k =0.1b =3.8∴p=0.1x+3.8（2）解：设该品牌手机在去年第x 个月的销售金额为w 万元 w ＝（﹣50x+2600）（0.1x+3.8） ＝﹣5x 2+70x+9880 ＝﹣5（x ﹣7）2+10125 当x ＝7时，w 最大＝10125答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元； （3）解：当x ＝12时，y ＝2000，p ＝51月份的售价为：2000（1﹣m%）元，则2月份的售价为：0.8×2000（1﹣m%）元；1月份的销量为：5×（1﹣1.5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1﹣1.5m%）+1.5]万台； ∴0.8×2000（1﹣m%）×[5×（1﹣1.5m%）+1.5]＝6400 解得：m 1%＝ 53 （舍去），m 2%＝ 15 ∴m=20 答：m 的值为2020.（1）解：∵抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴的两个交点分别为A(−1，0)，B(3，0){1−b +c =09+3b +c =0∴{b =−2c =−3∴抛物线的解析式为y =x 2−2x −3．y =x 2−2x −3=(x −1)2−4∴顶点坐标F(1，−4)．（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为y =x 2−2x −3，则C(0，−3)设直线BC的解析式为y=kx−3(k≠0)把B(3，0)代入，得0=3k−3解得k=1，则直线BC的解析式为y=x−3．故当x=1时y=−2，即E(1，−2)由（1）知F(1，−4)∴EF=|−4|−|−2|=2即EF=2（3）解：存在×4y=6设点P(x，y)，由AB=4，得S△PAB=12∴|y|=3∴y=±3当y=−3时x2−2x−3=−3∴x1=0，x2=2当y=3时x2−2x−3=3∴x3=1−√7，x4=1+√7∴当点P 的坐标分别为P1(0，−3)，P2(2，−3)，P3(1−√7，3)，P4(1+√7，3)时。
2019九年级数学二次函数的图象与性质基础达标测试题5（附答案）1．二次函数22y x =-的图象的顶点是（ ）A.(2, -2)B.(-1, 0)C.(1, 9)D.(0, -2)2．抛物线y=﹣3x 2+2x ﹣1与坐标轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线关系式是（ ） A.21(8)2y x =+-9 B.21(8)2y x =-+9 C.21(8)2y x =--9 D.21(8)2y x =++9 4．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是( )A.y ＝－45x 2－1 B.y ＝45x 2－1 C.y ＝－45x 2＋1 D.y ＝45x 2＋1 5．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为()20y ax bx c a =++≠，则下列结论中正确的有（ ）()10a >；()20c <；()320a b -=；()40a b c ++>．A.1个B.2个C.3个D.4个6．已知抛物线y=ax 2﹣（2a+1）x+a ﹣1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，若x 1＜1，x 2＞2，则a 的取值范围是（ ）A.a ＜3B.0＜a ＜3C.a ＞﹣3D.﹣3＜a ＜07．如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交CD 于点F ，设BE=x ，FC=y ，则点E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是A ．B ．C ．D ． 8．抛物线y ＝－(x －1)2＋2的顶点坐标是（ ）A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1，2)9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC 2 ．以上说法正确的有（ ）A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③10．平面上，经过点()2,0A ，()0,1B -的抛物线有无数条，请写出其中一条确定的抛物线的解析式（不含字母系数）：________（写成一般式）．11．已知抛物线的对称轴为1x =，且经过点()0,2和()4,0，则抛物线的解析式为________．12．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且OC ＝OB ，则b ＋c ＝________．13．在抛物线y ＝mx 2与抛物线y ＝nx 2中，若－m ＞n ＞0，则开口向上的抛物线是________，开口较大的抛物线是________．14．抛物线y=﹣x 2+4x ﹣1的顶点坐标为 ．15．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b+c+6=0；③当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0= 准确的有 ．16．已知点P （x ，y ）在二次函数y ＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y 的取值范围是_____．17．填表．18．已知二次函数2y x 4x 5=-++，用配方法化成2y a(x h)k =++的形式为____． 19．已知二次函数()()2212211y k x k x =+--+． （1）若二次函数图象经过点()1,1-，则k 的值为__________；（2）若二次函数图象不经过第三象限，则k 的取值范围为__________．20．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．21．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行于y 轴的抛物线过点A （1，0）、B （3，0）和C （4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使△ACD ∽△AEC （顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并注明方向．22．已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，． （1）求证：； （2）求m 、n 的值；（3）当p ﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 23．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A 和点B(1)求该二次函数的解析式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．24．如图，抛物线2144y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且()2,0B .（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断ABC ∆的形状，证明你的结论；（3）点()0,M m 是y 轴上的一个动点，当AM DM +的值最小时，求m 的值.25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1,0)，B (0,2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象过点C .求抛物线的解析式．26．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长．注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣．27．已知：如图①,在Rt △ACB 中,∠C ＝90º,AC ＝6cm,BC ＝8cm,点P 由B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s ；点Q 由A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动,速度为1cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t(s)（0＜t ＜4）,解答下列问题：（1）当t为何值时,PQ的垂直平分线经过点B？（2）如图②,连接CQ．设△PQC的面积为y（cm2）,求y与t之间的函数关系式；（3）如图②,是否存在某一时刻t,使线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分？若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：二次函数y=x2-2的图象的顶点坐标是（0，-2）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．2．B【解析】试题分析：△=22-4×（-3）×（-1）=-8＜0，所以抛物线与X轴没有交点，因此与坐标轴的交点个数为1个；故选B考点：抛物线与坐标轴的交点3．A【解析】抛物线y=12x2向左平移8个单位，所得抛物线解析式为y=12（x+8）2，再向下平移9个单位后，所得抛物线解析式为y=12（x+8）2－9.故选A.点睛：抛物线如果上下平移一定单位，那么直接在解析式后面加减对应单位，上加下减；抛物线若左右平移一定单位，那么首先将抛物线解析式写成顶点式，再在括号里面加减对应单位，左加右减.4．B【解析】【分析】与抛物线y＝－45x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则只有二次项系数不同，即可得到答案.【详解】解：∵与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则与抛物线y ＝－45x 2－1只有二次项系数互为相反数， ∴y ＝45x 2－1； 故选择：B.【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．5．D【解析】【分析】如图是y=ax 2+bx+c 的图象，根据开口方向向上知道a ＞0，又由与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上得到c ＜0，由对称轴x=−2b a=-1，可以得到2a-b=0，又当x=1时，可以判断a+b+c 的值．由此可以判定所有结论正确与否．【详解】如图，（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0）（如虚线部分），∴y=ax 2+bx+c 的对称轴为：直线x=-1；∵开口方向向上，∴a ＞0，故①正确；（2）∵与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上∴c ＜0，故②正确；（3）∵对称轴x=−2b a=-1， ∴2a-b=0，故③正确；（4）当x=1时，y=a+b+c ＞0，故④正确．故选D ．【点睛】考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定．6．B【解析】由已知抛物线2(21)1y ax a x a =-++-求出对称轴212a x a+=+， 解：抛物线：2(21)1y ax a x a =-++-，对称轴212a x a +=+，由判别式得出a 的取值范围．11<x ，22x >， ∴21122a a+<<， ①2(21)4(1)0a a a ∆=+-->，18a ≥-．②由①②得0<<3a ．故选B ．7．A【解析】【分析】利用三角形相似求出y 关于x 的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．【详解】解：∵BC=4，BE=x ，∴CE=4﹣x ．∵AE ⊥EF ，∴∠AEB+∠CEF=90°，∵∠CEF+∠CFE=90°，∴∠AEB=∠CFE ．又∵∠B=∠C=90°，∴Rt△AEB∽Rt△EFC，∴，即，整理得：y=（4x﹣x2）=﹣（x﹣2）2+∴y与x的函数关系式为：y=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x=2．故选：A．【点睛】点评：本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．8．D【解析】【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【详解】∵顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．9．C【解析】①∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(−1,2)和点N(1,−2)，∴22a b ca b c=-+⎧⎨-=++⎩，解得b=−2.故该选项正确；②由①可得b=−2，a+c=0，即c=−a<0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴.故该选项正确；③根据抛物线图象的特点，M 、A. C 三点不可能在同一条直线上.故该选项错误； ④当a=1时，c=−1，∴该抛物线的解析式为y=x 2−2x−1当y=0时，0=x 2−2x+c ，利用根与系数的关系可得x 1⋅x 2=c ，即OA ⋅OB=|c|，当x=0时，y=c ，即OC=|c|=1=OC 2 ∴若a=1，则OA ⋅OB=OC 2， 故该选项正确. 总上所述①②④正确. 故选：C.点睛：本题是二次函数综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定. 10．2312y x x =--答案不唯一 【解析】 【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）．【详解】设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c把A(2,0),B(0,−1)代入得4a+2b+c=0 ，c=−1 故答案不唯一,如2312y x x =--. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是先设出解析式再代入求解. 11．219(1)44y x =--+ 【解析】 【分析】根据对称轴可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+k ，把（0，2）（4，0）两点代入求出a 、k的值即可.【详解】∵对称轴为x 1=，∴设抛物线解析式为：y=a(x-1)2+k ， ∵抛物线经过点()0,2和()4,0，∴209a k a k =+⎧⎨=+⎩，解得：1494a k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为：y=14-（x-1）2+94，故答案为：y=14-（x-1）2+94，【点睛】本题考查求二次函数解析式，选用适当的二次函数解析式的表示形式是解题关键. 12．-1 【解析】 【分析】先确定抛物线与y 轴交点C 的坐标为（0，c ），利用OB =OC 可确定B 点坐标为（c ，0），然后根据二次函数图象上点的坐标特征把B （c ，0）代入y =x 2+bx +c 后经过变形即可得到b +c的值． 【详解】解：当x =0时，y =c ，则C 点坐标为（0，c ）， ∵OC =OB ，∴B 点坐标为（c ，0），把B （c ，0）代入y =x 2+bx +c 得c 2+bc +c =0，∴b +c =-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点的坐标必满足函数的解析式，先求出C点的坐标，然后根据OC=OB得出B点的坐标是解决此题的关键．13．y＝nx2；y＝nx2【解析】【分析】根据y＝ax2的图像可知，a>0，可判断开口方向;y＝ax2中a的绝对值越大，开口越大即可判断.【详解】根据－m>n>0知n>0，则抛物线y＝nx2开口向上，且m n>,故开口较大的抛物线是y ＝nx2.【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键.14．（2，3）【解析】试题分析：利用配方法将抛物线的解析式y=﹣x2+4x﹣1转化为顶点式解析式y=﹣（x﹣2）2+3，然后求其顶点坐标为：（2，3）．考点：二次函数的性质15．②③④【解析】试题分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；②正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故③正确当x=1时，y=1+b+c=1，∴b+c=0；当x=3时，y=9+3b+c=3；∴3b+c=-6∴b=-3;c=3,则()23332222=+-=+cb；故④正确；考点: 二次函数图象与系数的关系16．﹣3≤y≤5【解析】【分析】先根据二次函数的性质得顶点坐标为（-1，-3），所以当-2＜x≤1时，x=-1时，y的最小值；x=1时，y的最大值，从而得到y的取值范围．【详解】抛物线的顶点坐标为（-1，-3），抛物线的对称轴为直线x=-1，当x=-1时，函数有最小值为-3，因为当-3＜x≤2时，x=-1时，y的最小值为-3；x=1时，y有最大值=2×22-3=5，所以y的取值范围为-3≤y≤5．故答案为-3≤y≤5．【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.17．答案见解析.【解析】试题分析：根据二次项系数的符号判断开口方向，利用配方法或顶点式的特点确定顶点坐标及对称轴，由开口方向及顶点坐标确定函数的最大（小）值．试题解析：解：填表如下：点睛：本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式y=（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．18．2y (x 2)9=--+ 【解析】 【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】y =−x 2+4x +5=−(x 2−4x +4)+4+5=−(x −2)2+9，即y =−(x −2)2+9.故答案为：y =−(x −2)2+9．【点睛】二次函数的三种形式．19．（1）2-；（2）12k >. 【解析】试题解析：(1)由于210,k +≠ 将点(−1,1)代入二次函数解析式得：()()2112211k k =++-+，解得：1222k k =-=- (2)()()2212211y k x k x =+--+的图象不经过第三象限，而二次项系数()21010a k c =+>=>，，∴抛物线开口方向向上，抛物线与y 轴的正半轴相交， ∴抛物线是对称轴在y 轴的右侧，()2210k ∴--<，1.2k ∴>故答案为：(1)2-; (2) 1.2k > 20．y =−43x²−83x +4【解析】 【分析】把三个点的坐标代入抛物线2y ax bx c =++，利用待定系数法即可求得求二次函数解析式. 【详解】∵抛物线y =ax 2+bx +c 过(−3,0),(1,0)两点,与y 轴的交点为(0,4)，∴93004a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得,43834a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以,抛物线的解析式为：y =−43x²−83x +4； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的解法等知识是解决本题的关键.21．（1）y=2x 2﹣8x+6；（2）向下平移6个单位．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）设出D ，E 坐标，根据平移，用k 表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标轴上点的特点得出m +n =16，mn =63﹣2k，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出k ． 试题解析：解：（1）∵抛物线过点A （1，0）、B （3，0），∴设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）（x ﹣3）。
九年级数学上册第二十二章二次函数单元测试习题（含答案）已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为 A．2 B．0 C．2 D．2.5 【答案】D 【解析】 试题分析：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1， ∵m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为
1
2．∵0≤k12．
又2k2﹣8k+6=2（k﹣2）2﹣2， ∵a=2＞0，∵k≤2时，代数式2k
2
﹣8k+6的值随x的增大而减小．
∵k=
12时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（12）2﹣8×1
2+6=2.5．
故选D． 32．抛物线y＝12019x2，y＝﹣2019x2+2020，y＝2019x2共有的性质是（ ） A．开口向上 B．都有最低点 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．对称轴是y轴 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质和题目中的函数解析式，利用开口方向和对称轴以及顶点性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 220192020yx开口向下，所以A错误；212019yx和22019yx有最
低点，220192020yx有最高点，所以B错误；在2
20192020yx中，当
x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；抛物线212019yx，
220192020yx，22019yx共有的性质是对称轴都是y轴，所以D正确．
故选：D. 【点睛】 考查了二次函数的图象性质，函数的对称轴，开口方向和顶点的特征，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 33．平面直角坐标系中，抛物线2 2(0)yaxaxca与直线21yx上有三个不同的点123,,,,,AxmBxmCxm，如果123nxxx，那么m和n的关系是（ ） A．21mn B．21mn C．23mn D．23mn
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步训练题含答案(人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．二次函数y=ax2+4x+a的最大值为3，则a的值为（）A．－4 B．－1 C．1 D．42．若抛物线经过（0，1）、（﹣1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=﹣x2+1 D．y=﹣x2﹣13．抛物线y=x2−2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．抛物线的函数表达式为y=3(x−2)2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．y=3(x+1)2+3B．y=3(x−5)2+3C．y=3(x−5)2−1D．y=3(x+1)2−15．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2<4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=06．若二次函数y=x2−6x+c的图象经过A(−1，y1)、B(2，y2)、C(3+√2，y3)三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是（）A．y3<y2<y1B．y2<y1<y3C．y2<y3<y1D．y3<y1<y27．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（）A．0 B．3 C．1 D．0或38．已知y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列说法中：①ac＜0；②3a+c=0；③4a+2b+c＞0；④当x＞1时，y随着x的增大而增大；⑤2a+b=0；⑥a+b+c=0．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题9．二次函数y=2x2+t的图像向下平移2个单位后经过点（1，3），那么t= ．10．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为．11．已知函数y＝ax2﹣（a﹣1）x+1，当0 < x < 2时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是.12．对于二次函数y=−2(x+3)2−1，当x的取值范围是时，y随x的增大而减小．13．若把函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象向左平移a个单位，再向上平移b个单位，所得图象的函数表达式是y＝（x+3）2+2，则a＝，b＝.三、解答题14．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3）、B（2，﹣3）、C（﹣1，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数图象平移，使顶点移到点P（0，﹣3）的位置，求所得新抛物线的表达式．15．已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，M(2，−3)是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．若以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），B两点，交y轴于点D．（1）求点B、点D的坐标（2）判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．18．如果抛物线C1：y=ax2+bx+c与抛物线C2：y=−ax2+dx+e的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C2是C1的“对顶”抛物线.（1）求抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线y=x2−4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y=x2−4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积.（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c 与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.19．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B、C两点，交y轴于点A.（1）根据图象请用“＞”、“＜”或“=”填空：a 0，b 0，c 0；OB，BC＝3，求这个二次函数的解析式；（2）如果OC＝OA＝12（3）在（2）中抛物线的对称轴上，存在点Q使得△OQA的周长最短，试求出点Q的坐标.参考答案1．B2．C3．A4．C5．D6．C7．B8．C9．310．y=− 12 x 2+2x+ 5211．−13≤a ≤112．x ＞-313．6；414．解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，由题意得{c =−34a +2b +c =0a −b +c =0解得{a =1b =−2c =3．所以这个二次函数的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）因为新抛物线是由抛物线y=x 2﹣2x ﹣3平移得到，而新抛物线的顶点坐标是（0，﹣3）所以新抛物线的解析式为y=x 2﹣3．15．解：因为 y =x 2+bx +c 的对称轴为 x =1所以 −b 2=1 ．解得 b =−2 ．又因为 M(2，−3) 是抛物线上一点所以 −3=22+(−2)×2+c ．解得 c =−3 ．所以抛物线的解析式为 y =x 2−2x −3 ．16．解：（1）由抛物线的轴对称性及A （﹣1，0），可得B （﹣3，0）；（2）设抛物线的对称轴交CD 于点M ，交AB 于点N由题意可知AB ∥CD ，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM ．∵MN ∥y 轴，AB ∥CD∴四边形ODMN 是矩形．∴DM=ON=2∴CD=2×2=4．∵A （﹣1，0），B （﹣3，0）∴AB=2∵梯形ABCD 的面积=12（AB+CD ）•OD=9∴OD=3，即c=3．∴把A （﹣1，0），B （﹣3，0）代入y=ax 2+bx+3得{a −b +3=09a −3b +3=0解得{a =1b =4． ∴y=x 2+4x+3．将y=x 2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E （﹣2，﹣1）；（3）①当t 为2秒时，△PAD 的周长最小；当t 为4或4﹣√6或4+√6秒时，△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形．故答案为：2；4或4﹣√6或4+√6．②存在．∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°∴∠DPM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°∴∠PDM=∠APN∵∠PMD=∠ANP∴△APN ∽△PDM∴AN PM =PN DM∴13−PN =PN 2∴PN 2﹣3PN+2=0∴PN=1或PN=2．∴P （﹣2，1）或（﹣2，2）．17．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4）∴可设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+4∵与x 轴交于点A （3，0）∴0=4a+4，解得a=﹣1∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+4=﹣x 2+2x+3令y=0，可得﹣x 2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，令x=0，可得y=3 ∴B 点坐标为（﹣1，0），D 点坐标为（0，3）；（2）∵A （3，0），D （0，3），C （1，4）∴AD=√32+32=3√2，CD=√(1−0)2+(4−3)2=√2，AC=√(1−3)2+(4−0)2=2√5 ∴AD 2+CD 2=（3√2）2+（√2）2=20=（2√5）2=AC 2∴△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形∴S △ACD =12AD •CD=12×3√2×√2=3．18．（1）解：∵y ＝x 2−4x ＋7＝（x −2）2＋3∴顶点为（2，3）∴其“对顶”抛物线的解析式为y ＝−（x −2）2＋3即y ＝−x 2＋4x −1；（2）解：如图由（1）知，A （2，3）设正方形AMBN 的对角线长为2k则点B （2，3＋2k ），M （2＋k ，3＋k ），N （2−k ，3＋k ） ∵M （2＋k ，3＋k ）在抛物线y ＝（x −2）2＋3上∴3＋k ＝（2＋k −2）2＋3解得k ＝1或k ＝0（舍）；∴正方形AMBN 的面积为 12 ×(2k)2＝2；（3）解：根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C 1：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为（ −b 2a ，4ac−b 24a ）抛物线C 2：y ＝−ax 2＋dx ＋e 的顶点为（ d 2a ， −4ae−d 2−4a ） ∵抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线 ∴−b 2a =d 2a∴b =−d∵抛物线C 1与C 2的顶点位于x 轴上 ∴4ac−b 24a =−4ae−d 2−4a∴c =−e即 {b =−d c =−e. 19．（1）>；>；<（2） 如图，∵OC=OA=12OB ，BC=3∴C （1，0），A （0，-1），B （-2，0）∴{a +b +C =0c =−14a −2b +c =0解得：{a =12b =12c =−1∴二次函数解析式为：y=12x 2+12x-1.（3） 解：由（2）知y=12x 2+12x-1=12（x+12）2-98 ∴函数对称轴为：x=-12 设点O 关于直线x=-12的对称点为O ´ ∴O ´（-1，0）要使△OAQ 周长最短，则C △OAQ =OA+OQ+QA=OA+O ´Q+QA=OA+AO ´ ∴Q 点即直线AO ´与直线x=-12的交点 设直线AO ´解析式为：y=kx+b ∴{−k +b =0b =−1解得：{k =−1b =−1∴直线AO ´解析式为：y=-x-1∵x=-12∴y=-12∴Q （-12，-12）。
