(全国卷数学2017年高考一轮)导数的应用

全国百所名校高考数学一轮复习试卷专题四：函数与导数满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()sin f x x =的导数为（ ）A ．()'sin cos f x x x =B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =2．已知函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ）A ．(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-'B ．(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<'C ．(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-'D ．(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<<3．设函数()f x 可导，则()()11lim3x f f x x∆→-+∆∆等于（ ）A ．()1f -'B ．()31f 'C ．()113f -' D ．()113f ' 4．函数3()31f x x x =-+，[3,0]x ∈-的最大值.最小值分别是（ ） A ．3,－17 B ．1,－1 C ．1,－17 D ．9,－195．函数()21xxf x x =++的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足2()()0f x f x x '+<，则不等式(2020)(2020)5(5)52020x f x f x ++<+的解集为（ ） A ．{}20202015x x -<<- B ．{}2015x x <- C ．{}20200x x -<<D ．{}2015x x >-7．若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2g x x a =+有两条公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B．13ln ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C．3ln 4⎛⎤-- ⎥⎝⎦D．13ln ,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦8．设函数()1xxe f x e=-，下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 的单调递增区间为(,0)(0,)-∞+∞B ．()f x 图象的对称中心为10,2⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()f x 图象的对称中心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 的值域为(1,0)-9．若对任意()0,x ∈+∞，不等式22ln ln 0x e a a a x --≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） AB ．eC ．2eD ．2e10．已知函数()21(1)2xxf x x e ae ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） B ．（﹣∞，0]∪[13，+∞）。

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=．14．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．15．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828K2=．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•新课标Ⅱ）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：===2﹣i，故选D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．4．（5分）（2017•新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．6．（5分）（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选：D．【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．7．（5分）（2017•新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．8．（5分）（2017•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k值，当k=7时，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；7≤6不成立，退出循环输出，S=3；故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．9．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．10．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．11．（5分）（2017•新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．12．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．14．（5分）（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题15．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．16．（5分）（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=6．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin （A+C），利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，=ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题18．（12分）（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.0500.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828K2=．【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其平均数．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg 总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l 过C的左焦点F．【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足=．可得（x﹣x0，y）=（0，y0），可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，解得m=，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF=，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），从而可得结论；（2）通过（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（22．（10分）（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可；（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（2）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题。

导数中的同构问题专练【八大题型】【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】 (2)【题型2 同构：利用f(x)与e x构造函数】 (3)【题型3 同构：利用f(x)与sin x，cos x构造函数】 (3)【题型4 指对同构问题】 (4)【题型5 利用同构比较大小】 (5)【题型6 利用同构解决不等式恒成立问题】 (5)【题型7 利用同构证明不等式】 (6)【题型8 与零点有关的同构问题】 (7)1、导数中的同构问题导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的同构问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，难度较大.【知识点1 导数中的同构问题的解题策略】1．导数中的同构问题是通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，主要有以下几种类型：(1)利用f(x)与x构造函数①出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=x n f(x).②出现xf'(x)-nf(x)(2)利用f(x)与e x构造函数.(3)利用f(x)与sin x，cos x构造函数.2．同构式的应用(1)在方程中的应用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈现同构特征，则a,b可视为方程f(x)=0的两个根.(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而利用导数找到和函数单调性、最值等之间的练习，来解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.【知识点2 指对同构问题】1．指对同构解决不等式问题在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数取值范围或证明不等式，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法.(1)五个常见变形：.(2)三种基本模式：三种同构方式①积型：【题型1 同构：利用f(x)与x构造函数】【例1】（2024·全国·模拟预测）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)=0，当x>0时，xf′(x)―f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是（）A．(―∞,―2)∪(2,+∞)B．(―2,2)C．(―∞,―2)∪(0,2)D．(―2,0)∪(2,+∞)【变式1-1】（2024·安徽·一模）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （2）＝1，当x ＞0时，xf ′（x ）+f （x ）＞1，则不等式f(x)―1x<0的解集为（ ）A ．(-∞，2)∪(2，+∞)B ．(-∞，2)∪(0，2)C ．(-2，0)∪(2，+∞)D ．(-2，0)∪(0，2)【变式1-2】（23-24高二下·天津南开·期中）已知f (x )是定义在(―∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，若对于任意的x ∈(0,+∞)，都有2f (x )+xf ′(x )>0成立，且f (2)=12，则不等式f (x )―2x 2>0解集为（ ）A ．(2,+∞)B ．(―2,0)∪(0,2)C ．(0,2)D ．(―2,0)∪(2,+∞)【变式1-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，有xf ′(x )+2f (x )>0恒成立，则（ ）A ．f (1)>4f (2)B ．f (―1)<4f (―2)C ．4f (2)<9f (3)D ．4f (―2)<9f (―3)【题型2 同构：利用f (x )与e x 构造函数】【例2】（2024·湖北武汉·一模）若函数f (x )的定义域为R ，满足f (0)=2，∀x ∈R ，都有f (x )+f ′(x )>1，则关于x 的不等式f (x )>e ―x +1的解集为（ ）A ．{x |x >0}B ．{x |x >e}C ．{x |x <0}D ．{x |0<x <e}【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则下列不等式关系正确的是（ ）A ．f (1)>e f (0)，f (2023)<e 2023f (0)B ．f (1)<e f (0)，f (1)>e 2f (―1)C ．f (1)<e f (0)，f (1)<e 2f (―1)D ．f (1)<e f (0)，f (2023)>e 2023f (0)【变式2-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知函数f (x )及其导函数f ′(x )定义域均为R ，且f (x )―f ′(x )>0，f (0)=e ，则关于x 的不等式f (x )>e x +1的解集为（ ）A ．{x |x >0 }B ．{x |x <0 }C ．{x |x <e }D ．{x |x >e }【变式2-3】（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f(x ―12)+f(―x ―1)=0，e 4f(2022)=1，若f(x)>f ′(―x)，则关于x 的不等式f(x +2)>1e x 的解集为（ ）A ．（4，+∞）B ．（-∞，4）C ．（-∞，3）D ．（3，+∞）【题型3 同构：利用f (x )与sin x ，cos x 构造函数】【例3】（2023·重庆九龙坡·二模）已知偶函数f (x )的定义域为―π2f ′(x )，当0≤x <π2时，有f ′(x )cos x +f (x )sin x >0成立，则关于x 的不等式f (x )>⋅cos x 的解集为（ ）A ．―π3BC ．―π2,∪D ．―π3,0∪【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在―π2f (x )满足f (―x )=f (x )，当x ∈不等式f (x )sin x +f ′(x )cos x <0恒成立（f ′(x )为f (x )的导函数），若a cos1=f (―1)，b cos 12=f (―，c = ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【变式3-2】（23-24高二上·重庆沙坪坝·期末）已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (x )―f (―x )=0，且对于任意的x ∈0,f ′(x )cos x >f (―x )sin (―x )．则下列不等式一定成立的是（ ）A <f cos 12B ．f >C ．f (―1)<D >f 【变式3-3】（2024·河南信阳·一模）已知函数y =f (x )对x ∈(0,π)均满足f ′(x )sin x ―f (x )cos x =1x ―1，其中f ′(x )是f (x )的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）A <B ．<C ．<D <【题型4 指对同构问题】【例4】（2024·陕西安康·模拟预测）若存在x ∈(0,+∞)，使得不等式a 2x 4+x ≥e ax 2+ln 2x 成立，则实数a 的取值范围为（ ）A +∞B +∞C ．―∞D ．―∞【变式4-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数f(x)=ae x +1n ax+2―2，若f (x )>0恒成立，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．0<a <eB ．a >e 2C ．a >eD ．a >2e【变式4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数f (x )=e kx +1，g (x )=1x .若kf (x )≥g (x )，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,e]B ．[e,+∞)C +∞D ．【变式4-3】（2024·甘肃兰州·二模）若关于x 的不等式e x +x +2ln 1x ≥mx 2+ln m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．12B ．e 24C ．e 22D ．e 2【题型5 利用同构比较大小】【例5】（2024·湖南益阳·三模）若a =2ln1.1，b =0.21，c =tan0.21，则（ ）A ．b <c <aB ．a <c <bC ．c <a <bD ．a <b <c【变式5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）若0<x 1<x 2<1，则（ ）A ．e x 2+ln x 1>e x 1+ln x 2B ．e x 2+ln x 1<e x 1+ln x 2C ．x 2e x 1>x 1e x 2D ．x 2e x 1<x 1e x 2【变式5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设a =ln1.01，b =sin0.01，c =1101，则a ，b ，c 大小关系（ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．a <c <b【变式5-3】（2024·安徽·三模）已知实数x1,x 2,x 3满足x 12―x 1=e x 22―1==120，则（ ）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3【题型6 利用同构解决不等式恒成立问题】【例6】（2024·内蒙古·三模）已知函数f (x )=x 2―ax +2ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a >0,f (x )≤e ax 恒成立，求a 的取值范围.【变式6-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数f(x)=a e ax―ln x+ln a+1．x(1)当a=1时，请判断f(x)的极值点的个数并说明理由；(2)若f(x)≥2a2―a恒成立，求实数a的取值范围．【变式6-2】（2024·天津武清·模拟预测）已知f(x)=a x―x a（x≥0，a>0且a≠1）.(1)当a=2时，求f(x)在x=0处的切线方程；(2)当a=e时，求证：f(x)在(e,+∞)上单调递增；(3)设a>e，已知∀x∈a,+∞，有不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.【变式6-3】（2024·河北·模拟预测）已知函数f(x)=a ln x―x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当a>0时，f(x)≤―1.【题型7 利用同构证明不等式】【例7】（2024·湖北荆州·三模）已知函数f(x)=x e x―a(ln x+x)，其中e是自然对数的底数.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜截式方程；(2)当a=e时，求出函数f(x)的所有零点；(3)证明：x2e x>(x+2)ln x+2sin x.【变式7-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数f(x)=x e ax（a>0）.(1)求f(x)在区间[―1,1]上的最大值与最小值；(2)当a≥1时，求证：f(x)≥ln x+x+1.【变式7-2】（2024·山东·二模）已知函数f(x)=mx―ln x,x∈(1,+∞).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若e(m―1)x+1f(x)≥x2―x恒成立，求实数m的取值范围.【变式7-3】（2024·四川眉山·三模）已知函数f(x)=x ln x―ax2―2x.(1)若过点(1,0)可作曲线y=f(x)两条切线，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同极值点x1,x2.①求a的取值范围；②当x1>4x2时，证明：x1x22>16e3.【题型8 与零点有关的同构问题】【例8】（2024·四川自贡·三模）已知函数f(x)=1+1x +a ln x(a >0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)函数f(x)有唯一零点x 1，函数g(x)=x ―sin x ―ae 2在R 上的零点为x 2．证明：x 1<x 2．【变式8-1】（2024·广东茂名·一模）设函数f (x )=e x +a sin x ，x ∈[0,+∞).(1)当a =―1时，f (x )≥bx +1在[0,+∞)上恒成立，求实数b 的取值范围；(2)若a >0,f (x )在[0,+∞)上存在零点，求实数a 的取值范围.【变式8-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数f (x )=x ―1x +a ln x ，其中a ∈R .(1)当x ∈[1,+∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围.(2)若a <―2，证明：f (x )x 1，x 2，x 3（x 1<x 2<x 3），且x 1，x 2，x 3成等比数列.【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x )=x 2ln x ―m 有两个不同的零点x 1，x 2，且t =x 21+x 22．(1)求实数m 的取值范围；(2)求证：t <1；(3)比较t 与2e 及2m +3e 的大小，并证明．一、单选题1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知a =ln 65,b=16,c =17e 17，则（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b2．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知a ∈N ∗，函数f (x )=e 3x ―x a >0恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．73．（2024·四川南充·模拟预测）设a >0，b >0，且a +b =1，则下列结论正确的个数为（ ）①log 2a +log 2b ≥―2 ②2a +2b ≥③a +ln b <0A ．0B ．1C ．2D ．34．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在(0,+∞)上的单调函数f (x )，对任意的x ∈(0,+∞)有f [f (x )―ln x ]=1恒成立，若方程f (x )⋅f ′(x )=m 有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(―∞,1)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(―∞,1]5．（2024·四川南充·模拟预测）设a >0,b >0,且a +b =1,则下列结论正确的个数为（ ）①log 2a +log 2b ≥―2 ②2a +2b ≥③a +ln b <0 ④sin a sin b <14A ．1B ．2C ．3D ．46．（2024·河南郑州·三模）设x 1,x 2∈(0,+∞)，且e x 1+ln x 2=1，则（ ）A ．若x 1=x 2，则x 1∈B ．若x 1x 2=1，则x 1存在且不唯一C ．x 1+x 2>1D ．x 1+ln x 2>07．（2024·四川·三模）已知关于x 的方程e 2x ―ax e x +9e 2x 2=0有4个不同的实数根，分别记为x 1,x 2,x 3,x 4，则(e x 1x 1―e)(e x 2x 2―e)(e x 3x 3―e)(e x 4x 4―e)的取值范围为（ ）A ．(0,16e 4)B ．(0,12e 4)C ．(0,4e 4)D ．(0,8e 4)8．（2024·湖北·模拟预测）已知函数f (x )=ln x ，g (x )为f (x )的反函数，若f (x )、g (x )的图像与直线y =―x 交点的横坐标分别为x 1，x 2，则下列说法正确的为（ ）A ．x 2>ln x 1B ．x 1+x 2<0C ．x 1∈D ．x 1―x 2∈1,12+ln2二、多选题9．（2024·湖北武汉·模拟预测）对于函数f(x)=xln x ，下列说法正确的是（ ）A ．函数f(x)的单调递减区间为(0,1)∪(1,e)B ．f(π)<f(2)C ．若方程|f(|x|)|=k 有6个不等实数根，则k >eD ．对任意正实数x 1,x 2，且x 1≠x 2，若f (x 1)=f (x 2)，则x 1x 2>e 210．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数f (x )=x cos x ―sin x ，下列结论中正确的是（ ）A ．函数f (x )在x =π2时，取得极小值―1B ．对于∀x ∈[0,π]，f (x )≤0恒成立C ．若0<x 1<x 2<π，则x 1x 2<sin x 1sin x 2D ．若对于∀x ∈a <sin x x<b 恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为111．（2024·江苏·模拟预测）设x 1,x 2(x 1<x 2)是直线y =a 与曲线f (x )=x(1―ln x)的两个交点的横坐标，则（ ）A ．x 1x 2<eB ．x 2ln x 1>x 1ln x 2C ．∃a ∈(0,1),x 2―x 1>e aD ．∀a ∈(0,1),x 1ln x 1+x 2>a三、填空题12．（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)=(x ―1)e x +|e x ―a |有且只有两个零点，则a 的范围是 ．13．（2024·四川成都·三模）若不等式e mx (mx ―ln2)―x ln x 2≥0，对任意x ∈+∞恒成立，则正实数m的取值范围是.14．（2024·四川凉山·三模）已知函数f (x )=e x ―2e x ln x x―x 2ln x x >t ，则2t 3e t―1=．四、解答题15．（2024·陕西渭南·二模）已知函数f(x)=x ln x ，g(x)=2f(x)x―x +1x .(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若当x >0时，mx 2―e x ≤mf(x)恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数f(x)=e x+(a―1)x―1，其中a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=2时，证明：f(x)>x ln x―cos x．17．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f(x)=(ax―b)a x(a>0,a≠1)，b∈R．(1)若y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=e x，求a，b的值；(2)当b=1时，y=f(x)存在极小值点x0，求证：f(x0)≤―e1e．18．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数f(x)=ln x+ax+1,a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；≤e2x．(2)当a≤2时，证明：f(x)x19．（2024·福建南平·模拟预测）已知函数f(x)=ln(e x)，其中e为自然对数的底数．ax(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2．(i)求a的取值范围；(ii)证明：x21+x22>2．。

第67课简单的复合函数的导数及其应用[最新考纲]1．复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数，如y＝sin 2x是由y＝sin_u 及u＝2x复合而成的．2．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x sin x是复合函数．()(2)y＝cos(－x)的导数是y＝sin x．()(3)函数y＝e2x在(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1.()(4)函数y＝ln 1x在(0，＋∞)上单调递增．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若f(x)＝(3x＋1)2－ln x2，则f′(1)＝________.22[∵f′(x)＝18x－2x＋6，∴f′(1)＝18－2＋6＝22.]3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________.3 [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]4．函数y ＝ln x2的单调递增区间是________．(0，＋∞) [y ′＝2x ·12＝1x ，且原函数的定义域为(0，＋∞)， 故当x >0时，y ′>0恒成立，所以原函数的单调递增区间为(0，＋∞)．]5．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．y ＝－2x －1 [因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.](1)y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4；(2)y ＝x1－x； (3)y ＝x 2e 2x ； (4)y ＝ln (2x ＋1)x. [解] (1)∵y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π22＝1－sin 4x2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12′－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4x 2′＝－12(sin 4x )′ ＝－12cos 4x ·(4x )′ ＝－12cos 4x ×4 ＝－2cos 4x .(2)y ′＝x ′1－x －x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x21－x 1－x ＝2－x2(1－x )1－x.(3)y ′＝(x 2)′e 2x ＋x 2(e 2x )′＝2x e 2x ＋x 2e 2x ·(2x )′＝2x e 2x ＋2x 2e 2x . (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.[规律方法] 复合函数求导的一般步骤：(1)分层：即将原函数分解成基本初等函数，找到中间变量； (2)求导：对分解的基本初等函数分别求导；(3)回代：将上述求导的结果相乘，并将中间变量还原为原函数． 上述过程即所谓的“先整体，后部分”．[变式训练1] (1)若f (x )＝ln(8－3x )，则f ′(1)＝________.(2)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最小距离为________．(1)－35 (2)5 [(1)f ′(x )＝(8－3x )′8－3x ＝－38－3x ，故f ′(1)＝33×1－8＝－35. (2)∵y ′＝22x －1，由22x －1＝2得x ＝1.又当x ＝1时，y ＝ln(2－1)＝0，所以平行于2x －y ＋3＝0的曲线的切线方程为 2x －y －2＝0.所以d min ＝|3－(－2)|4＋1＝ 5.](1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性. 【导学号：62172354】[解] (1)因为当a ＝1时，f (x )＝x 2e －x ，f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝(2x －x 2)e －x ， 所以f (－1)＝e ，f ′(－1)＝－3e.从而y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －e ＝－3e(x ＋1)，即y ＝－3e x －2e.(2)f ′(x )＝2x e －ax －ax 2e －ax ＝(2x －ax 2)e －ax . ①当a ＝0时，若x ＜0，则f ′(x )＜0，若x ＞0， 则f ′(x )＞0.所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．②当a ＞0时，由2x －ax 2＜0，解得x ＜0或x ＞2a ，由2x －ax 2＞0，解得0＜x ＜2a .所以f (x )在区间(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上为增函数．③当a ＜0时，由2x －ax 2＜0，解得2a ＜x ＜0，由2x －ax 2＞0，解得x ＜2a 或x ＞0.所以，当a ＜0时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上为增函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为减函数． 综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递增；当a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递增．[规律方法] 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．3．个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．[变式训练2] (2017·如皋中学第一次月考)已知常数a >0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性. 【导学号：62172355】 [解] ∵f (x )＝ln(1＋ax )－2x x ＋2.∴f ′(x )＝a 1＋ax －4(x ＋2)2＝ax 2－4(1－a )(1＋ax )(x ＋2)2， ∵(1＋ax )(x ＋2)2>0，∴当1－a ≤0时，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当0<a ≤1时，由f ′(x )＝0得x ＝±2a (1－a )a ，则函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a (1－a )a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫2a (1－a )a ，＋∞上单调递增.f (x )在区间[0,1]上的最大值．[解] ∵f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ，(1)当a ＝0时，由f ′(x )＝0得x ＝0， ∴x >0时，f ′(x )>0，x <0时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[0,1]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (1)＝1.(2)当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2a .①当－2<a <0时，－2a >1，所以f (x )在[0,1]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (1)＝e a .②当a ≤－2时，0<－2a ≤1，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，－2a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－2a ，1上单调递减， ∵f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＝4a 2e 2.[规律方法] 1.解答含有参数的最值问题的关键是讨论极值点与给定区间的位置关系．如本例中要讨论－2a与区间[0,1]的关系．此时要注意结合导函数图象的性质进行．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[变式训练3]已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．[解](1)对f(x)求导，得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)恒成立，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，当且仅当2e2x＝2e－2x，即x＝0时，“＝”成立．故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x ＝0时等号成立． 下面分三种情况进行讨论：当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －4>0，此时f (x )无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c －c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1，x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0； 又当x >x 2时，f ′(x )>0， 当x <x 1时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．[思想与方法]1．对复合函数的求导，一般要遵循“先整体，后部分”的基本原则，在实施过程中，要注意复合函数的构成，2．含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f′(x)＝0是否有根；②若f′(x)＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．3．对于参数的范围问题，不等式的证明问题，常用构造函数法，求解时尽量采用分离变量的方法，转化为求函数的最值问题．[易错与防范]1．复合函数为y＝f(g(x))的形式，并非y＝f(x)g(x)的形式．2．复合函数的求导要由外层向内层逐层求导．3．含参数的极(最)值问题要注意讨论极值点与给定区间的位置关系．课时分层训练(十一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．(2017·如皋市高三调研一)已知函数f (x )＝e 3x －6－3x ，求函数y ＝f (x )的极值． [解] 由f ′(x )＝3e 3x －6－3＝3(e 3x －6－1)＝0，得x ＝2.所以，由上表可知f (x )极小值＝f (2)＝－5， 所以f (x )在x ＝2处取得极小值－5，无极大值． 2．(2017·镇江期中) 已知函数f (x )＝e 2x －1－2x . (1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)证明：当x ∈R 时，f (x )≥0 恒成立. 【导学号：62172356】 [解] (1)函数f (x )＝e 2x －1－2x ，定义域为R ， f ′(x )＝e 2x －1×(2x －1)′－2＝2e 2x －1－2. (2)由题意f ′(x )＝2e 2x －1－2，x ∈R ， x ，f ′(x )，f (x )在x ∈R 上变化如下表：当x ＝12时f (x )取得极小值也是最小值， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故f (x )≥0恒成立．3．(2016·北京高考)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． [解] (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x ＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝x －e ax (a ＞0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2a 上的最大值. 【导学号：62172357】[解] (1)f (x )＝x －e ax (a ＞0)，则f ′(x )＝1－a e ax ，令f ′(x )＝1－a e ax＝0，则x ＝1a ln 1a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的增区间为⎝ ⎭⎪⎫－∞，1a ln 1a ；减区间为⎝ ⎛⎭⎪1a ln 1a ，＋∞.(2)当1a ln 1a ≥2a ，即0＜a ≤1e 2时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝2a －e 2；当1a ＜1a ln 1a ＜2a ，即1e 2＜a ＜1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ＝1a ln 1a －1a ；当1a ln 1a ≤1a ，即a ≥1e 时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －e.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·如皋市高三调研一)设函数f (x )＝ax ＋x e b －x (其中a ，b 为常数)，函数y ＝f (x )在点(2,2e ＋2)处的切线的斜率为e －1.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解] (1)因为f ′(x )＝a ＋e b －x －x e b －x ，所以f ′(2)＝a －e b －2＝e －1，① 且f (2)＝2a ＋2e b －2＝2e ＋2，②由①②得a ＝e ，b ＝2，所以f (x )＝e x ＋x e 2－x .(2)f ′(x )＝e ＋e 2－x －x e 2－x ，由f ″(x )＝－e 2－x －e 2－x ＋x e 2－x ＝e 2－x (x －2)＝0，得x ＝2. 当x 变化时，f ″(x )，f ′(x )的变化情况如下表：f ′(x )最小值＝e －1>0，即f ′(x )>0恒成立． 所以f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝(x －k )2e xk . (1)求f (x )的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1e ，求k 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝(x －k )2e xk ，得f ′(x )＝1k (x 2－k 2)e xk ， 令f ′(x )＝0，得x ＝±k ，若k >0，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－k )和(k ，＋∞)，单调递减区间是(－k ，k )．若k <0，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e k＋1k>1e，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1 e.当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2 e.所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e等价于f(－k)＝4k2e≤1e，解得－12≤k<0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时，k的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.3．已知函数f(x)＝e x－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．[解](1)f′(x)＝e x＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(e x－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(e x＋e－x)＋(4b－2)]＝2(e x＋e－x－2)(e x＋e－x－2b＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.②当b>2时，若x满足2<e x＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.4．设函数f(x)＝e2x－a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－a x，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－ax在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b满足0<b<a4且b<14时，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋a ln2a≥2a＋a ln2a.故当a>0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.。

(完整版)高考数学历年函数试题及答案试题一（2019年全国卷I）已知函数 $f(x) = \ln(x + 1) - \frac{1}{x + 1}$，求函数 $f(x)$ 的单调区间。

解析：1. 求导数：首先求出函数 $f(x)$ 的导数：\[f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(x + 1) - \frac{1}{x + 1} \right) = \frac{1}{x + 1} +\frac{1}{(x + 1)^2}\]2. 分析导数符号：由于 $x + 1 > 0$，则$f'(x) > 0$。

因此，函数 $f(x)$ 在定义域内单调递增。

答案：函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1, +\infty)$。

试题二（2018年全国卷II）已知函数 $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，求函数$g(x)$ 的极值。

解析：1. 求导数：首先求出函数 $g(x)$ 的导数：\[g'(x) = 3x^2 - 6x\]2. 求导数为0的点：令 $g'(x) = 0$，解得 $x= 0$ 或 $x = 2$。

3. 分析导数符号变化：当 $x < 0$ 时，$g'(x) > 0$；当 $0 < x < 2$ 时，$g'(x) < 0$；当 $x >2$ 时，$g'(x) > 0$。

因此，$x = 0$ 是极大值点，$x = 2$ 是极小值点。

4. 求极值：代入原函数，得 $g(0) = 4$，$g(2) = 0$。

答案：函数 $g(x)$ 的极大值为4，极小值为0。

试题三（2017年全国卷III）已知函数 $h(x) = x e^x - 2x$，求函数$h(x)$ 的单调区间。

解析：1. 求导数：首先求出函数 $h(x)$ 的导数：\[h'(x) = e^x + xe^x - 2 = (x + 1)e^x - 2\]2. 分析导数符号：当 $x < -1$ 时，$h'(x) <0$；当 $x > -1$ 时，$h'(x) > 0$。

2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年江苏，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =,则实数a 的值为_______．【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=,解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．（2）【2017年江苏，2,5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙 种型号的产品中抽取630018100⨯=件．【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．(4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为116，则输出y 的值是_______．【答案】2-【解析】初始值116x =,不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5)【2017年江苏，5，5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ，则12VV 的值是________．【答案】32【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ⋅=．则313223423V R R V ππ==．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(7）【2017年江苏，7,5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】59【解析】由260x x +-≥得260x x --≤，得23x -≤≤，则2[]3D =-，，则在区间[45]-，上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率()()325549P --==--． 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．（8）【2017年江苏,8，5分】在平面直角坐标系xoy 中 ，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______． 【答案】23【解析】双曲线2213x y -=的右准线:32x =，双曲线渐近线方程为：33y x =，所以33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ()12,0F -．()22,0F ．则四边形12F PF Q 的面积是：143232⨯⨯=．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．（9)【2017年江苏，9，5分】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =,则8a =________． 【答案】32【解析】设等比数列{}n a 的公比为1q ≠,∵374S =，6634S =，∴()311714a q q -=-，()6116314a q q -=-， 解得114a =,2q =．则7812324a =⨯=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （10）【2017年江苏，10,5分】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________． 【答案】30【解析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=6009006442240x x x x⨯+≥⨯⨯⋅=（万元）． 当且仅当30x =时取等号．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2120f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()312x xf x x x e e =-+-的导数为：()21132220x xxx f x x e e e e '=-++≥-+⋅=，可得()f x 在R 上 递增;又()()()331220x x x x f x f x x x e e x x e e--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则()()2120f a f a -+≤，即有()()()2211f a f a f a ≤--=-，即有221a a ≤-，解得112a -≤≤．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC ，的模分别为1，1,2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒。

热点探究课(二) 函数、导数与不等式[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的X 围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有.热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的X 围.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值X 围.【导学号：62172114】[思路点拨] (1)求出导数后对a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a 的X 围．[规X 解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .2分若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.3分若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.5分所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.11分 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.12分令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值X 围是(0,1).14分[答题模板] 讨论含参函数f (x )的单调性的一般步骤 第一步：求函数f (x )的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．第三步：根据f ′(x )＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f ′(x )>0或令f ′(x )<0)． 第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规X ．温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．2.若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解.[对点训练1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，某某数c 的取值X 围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.2分当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.4分(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.8分(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立， 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值X 围是[11，＋∞).14分热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值X 围.(2016·高考节选)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值X 围． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .2分 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .4分 (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.6分令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.8分f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：x (－∞，－2)－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )c c －3227所以，当c ＞0且c －27＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.14分[规律方法] 用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．[对点训练2] 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数. 【导学号：62172115】[解] (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.2分 ∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.4分(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).6分设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.10分又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.14分热点3 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题. ☞角度1 证明不等式设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x＞x 2－2ax ＋1.[解] (1)由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，f ′(x )＝e x－2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减2(1－ln 2＋a )单调递增故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a ).6分(2)设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)． 又g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x－x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1.14分 ☞角度2 不等式恒成立问题(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值X 围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞).1分 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2.3分故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.6分 (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a x －1x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a x －1x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a x ＋12＝x 2＋21－a x ＋1x x ＋12，g (1)＝0.9分 ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－a －12－1，x 2＝a －1＋a －12－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值X 围是(－∞，2].14分 ☞角度3 存在型不等式成立问题设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值X 围．[解] (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1.3分 (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1).5分①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.7分②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增.10分所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 221－a ＋a a －1>a a －1，所以不合题意． ③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a ＞1.综上，a 的取值X 围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞).14分 [规律方法] 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题．2.不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论．3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．应特别关注等号是否成立问题．热点探究训练(二)1.设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值X 围. 【导学号：62172116】 [解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝ 6x ＋a e x －3x 2＋ax exe x 2＝－3x 2＋6－a x ＋aex.3分 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0.7分(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋6－a x ＋aex， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.9分当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数； 当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数.11分由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92.故a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.14分2.(2017·某某模拟)设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值X 围． [解] (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k x －2x 2＝x －2e x－kx x 3.由k ≤0可得e x－kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞).6分 (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x－kx ，x ∈[0，＋∞)． 因为g ′(x )＝e x－k ＝e x－e ln k，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x－k >0，y ＝g (x )单调递增， 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点； 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减，x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g 0>0，g ln k <0，g 2>0，0<ln k <2，解得e<k <e22.13分综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22. 14分3.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值X 围．[解] (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a ).1分 (ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.3分 (ⅱ)设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x－e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞－e2，则ln(－2a )＜1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减.5分③若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减.7分(2)(ⅰ)设a ＞0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，所以f (x )有两个零点.9分(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a ＜0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；若a ＜－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值X 围为(0，＋∞).14分4.(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]函数g (x )＝x 3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X 围；(3)求证：ln 22×ln 33×ln 44×…×ln n n <1n (n ≥2，n ∈N ＋). 【导学号：62172117】[解] (1)f ′(x )＝a 1－xx(x >0)． 当a >0时，f (x )的单调增区间为(0,1]，减区间为[1，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数.4分(2)由f ′(2)＝－a 2＝1得a ＝－2，∴f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t <0，g ′3>0.由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧g ′1<0，g ′2<0，g ′3>0，∴－373<m <－9.8分(3)证明：令a ＝－1，此时f (x )＝－ln x ＋x －3，所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ∈(1，＋∞)时f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0，∴ln x <x －1对一切x ∈(1，＋∞)成立，∵n ≥2，n ∈N ＋，则有0<ln n <n －1，∴0<ln n n <n －1n.word11 / 11 ∴ln 22×ln 33×ln 44×ln n n <12×23×34×…×n －1n ＝1n(n ≥2，n ∈N ＋).16分。