(完整版)不等式证明的若干方法开题报告

关于不等式的若干证明方法一、初等数学中不等式的证明方法（一）、比较法比较法是证明不等式中最常用的方法，包括求差比较法和求商比较法。

求差比较法就是把要比较的两个式子相减，判断差的符号；求商比较法一般就是对两个大于零的式子相除后，判断商是大于1，还是小于1。

例1 已知 0,,,>∈b a R y x 且1=+b a 求证 ()222by ax by ax +≥+证明 ()222ax by ax by +-+2222222ax by a x abxy b y =+---)()(222222abxy y b by abxy x a ax --+--= ])1[(])1[(ax y b by by x a ax --+--= 因为,1=+b a 所以a b b a =-=-1,1则()222ax by ax by +-+()()ax bx by by ay ax =-+- )()(y x aby y x abx ---= ))((y x y x ab --= 2)(y x ab -= 因为 ,0,>b a 所以0>ab又因为 ,0)(2≥-y x 所以0)(2≥-y x ab ，故原不等式成立。

例2 已知 +∈R b a , 求证 a b b a b a b a ≥证明 因为b a a b b a b aba b a -=)( ，+∈R b a ,所以当b a >时，1)(,0,1>>->-b a ba b a b a 当b a ≤时，1)(,0,1≥≤-≤-b a ba b a ba于是,1≥a b ba ba b a 即a b b a b a b a ≥（二）、分析法分析法是从证不等式出发，不断用充分条件替换前面不等式，直到找到成立的不等式，也就是“执因索果”。

利用分析法证明例1证明 为了证明 ()222by ax by ax +≥+ 只需证明 abxy y b by x a ax 2222222≥-+- 也即证明 abxy y b b x a a 2)1()1(22≥-+- 因为 1=+b a ，所以a b b a =-=-1,1 也即证明 abxy aby abx 222≥+ 因为 0,>b a ，所以0ab > 即需要证明 xy y x 222≥+因为 ,x y R ∈，所以 222x y xy +≥恒成立，故原不等式成立。

毕业论文开题报告数学与应用数学用高等代数方法证明不等式一、选题的背景、意义柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

柯西不等式的基本形式1、在初等数学中，,,1,2,,,i i a b R i n ∀∈=L ，有，当且仅当存在不全为零的常数1k ，2k ，使120,1,2,,i i k a k b i n +==L时，等式成立。

2、在积分学中，[](),(),f x g x C a b ∀∈，有，，当且仅当存在不全为零的常数12,k k ，使12()()0k f x k g x +=时，等式成立。

柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

Hadamand 不等式是关于正定矩阵的行列式上界估计的不等式Hadamand 不等式222111n n ni i i ii i i a b a b ===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑[]222()()()()bba af xg x dx f x dx g x dx≤⋅⎰⎰我们总约定：n n R ⨯为实数域R 上n n ⨯矩阵的集合，()1nii i tr A a ==∑为()n n ij A a R ⨯=∈的迹, det A 为A 的行列式，且用(),1,2,i A i n λ=L 表示A 在复数域上的所有特征根。

设()n n ij A a R ⨯=∈使正定矩阵，则A 的行列式1det nii i A a =≤∏当且仅当A是对角矩阵时，上式成立。

尤其应该指出的是，高等代数方法在证明不等式中有着独特的作用，参见[1]-[17]。

国内外研究现状、发展动态本人以1999—2010十一年为时间范围，以“柯西不等式”、“柯西不等式的应用” “Hadamand 不等式“为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对可惜不等式的其研究进展主要分配在以下领域：一、柯西不等式、Hadamand 不等式的证明 ； 二、柯西不等式的推广； 三、柯西不等式的应用举例；二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 【研究内容】 柯西不等式的证明 一、常规方法配方（Lagrange 恒等式）法 数学归纳法 △判别法 向量内积法 二、新方法基本不等式法 Jensen 总和不等式法 利用二次型正定利用2维随机变量的数学期望 利用算术平均-几何平均不等式柯西不等式的推论： 推论1：设1212,n n a a a b b b L L 、、、、、、为实数，则有当且仅当1,2,,i i a b i n λ==L 时等号成立。

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表
4、为结合学科竞赛；
5、模拟仿真；
6、其它
题目来源――A.指导教师出题；B.学生自定、自拟
开题报告内容：（调研资料的准备与总结，研究目的、要求、思路与预期成果；任务完成的阶段内容及时间安排；完成毕业设计（论文、创作）所具备的条件因素等。

一研究内容：主要研究导数在不等式证明中的一些应用，其次研究导数的一些性质和证明不等式的一些方法；
二研究目的：不等式证明是数学学习中的重要内容之一，其常用的方法有：比较法, 分析法，综合法，归纳法，特殊不等式法。

导数作为微积分学的主要内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解。

三研究方法：1.参考大量的相关文献及相关论文，通过中国知识网，中国学术期刊网等收集所需资料
2. 借助学过的专业知识，尤其是数学分析方面的知识和理论，微积分理论，深入分析题目，提出提纲，确定论文思路。

3. 整理导数在不等式证明中各种应用，并归纳总结。

4. 对各种应用进行比对，分析，并进行深入研究
四预期成果及形式：通过导数在不等式证明中的各种应用进行深入分析研究，并形成5000字论文。

五时间安排：1――3周，对论题有大致的了解，通过查阅资料和请教老师确定论文的方向并完成开题报告。

4 ――5周，查阅资料，知识回顾复习，以确定主要努力的方向及目标
6 ----- 12周，整理相关资料，认真思索，研究细节并形成论文。

13 ―― 14周，完成毕业论文，进行毕业答辩。

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）开题报告
学生签名: 指导教师审核签名: 日
期：。

一些不等式的证明及推广【开题报告】毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。

因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。

由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。

闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。

在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。

因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。

由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。

这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。

他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。

当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。

深度研究报告：不等式证明的若干方法研究1. 研究目标本研究旨在探讨不等式证明的若干方法，包括传统的数学推理方法和现代的数值计算方法，分析它们在不同场景下的优势和劣势，并总结适用的条件和注意事项。

通过深入研究这些方法，我们希望为解决各种实际和理论问题中的不等式证明提供有价值的思路和方法论。

2. 方法为达到研究目标，我们采取以下方法进行研究：2.1 文献综述通过查阅相关文献，了解不等式证明的研究历史、发展和现状。

对先前的研究成果进行归纳总结，明确已有研究方法的特点和优缺点，为我们的研究提供理论基础。

2.2 推理方法分析分析传统的数学推理方法，如数学归纳法、反证法、代入法等，从理论角度剖析其原理和适用范围。

对这些方法在不等式证明过程中的应用进行案例研究，探讨其实际效果和局限性。

2.3 数值计算方法探索探索现代数值计算方法在不等式证明中的应用。

选取一些典型的不等式，利用计算机和数值计算软件进行模拟实验，观察和记录数值计算方法的效果。

分析数值计算方法的优点和缺陷，以及在特定场景下的适用性。

2.4 综合分析和对比在完成以上研究之后，我们将对传统推理方法和数值计算方法进行综合分析和对比。

比较它们在不同情景下的优劣，总结适用的条件和注意事项。

基于实际案例和数值实验结果，我们将给出不同方法的使用建议，并探讨可能的优化方向。

3. 发现经过深入研究和实验，我们得到了以下主要发现：3.1 传统推理方法的优势传统推理方法具有严密的逻辑性和数学基础，特别适用于具有严格证明要求的数学问题。

在形式化证明和理论推导中，传统推理方法依然具有不可替代的地位。

对于简单的不等式问题，传统推理方法能够提供简洁和直观的解决方案，体现了数学的学科特性和美感。

3.2 数值计算方法的优势数值计算方法在复杂的不等式问题中展现出独特的优势。

通过计算机和数值计算软件的支持，我们能够高效地对大量数据进行处理和分析，发现数学问题的规律和特点。

数值计算方法还能够通过模拟实验验证不等式的成立情况，为实际问题的求解提供可靠的依据。

不等式开题报告引言不等式是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题和证明数学定理中起到关键作用。

不等式的研究可以帮助我们理解数学规律和推广解决问题的方法。

本篇文章将介绍不等式的基本概念、性质以及一些常见的解法方法。

基本概念不等式是描述数值关系的一种数学表达式。

它们使用不等号（>、<、≥、≤）来表示两个数或表达式之间的大小关系。

例如，a>b表示 a 大于 b，x≤5表示 x 小于等于 5。

不等式可以包含变量和常数，我们通常通过将变量表示为字母来描述不等式。

不等式的解是满足不等式关系的数值范围，即使不等式成立的数值。

例如，对于不等式x>2，解集为所有大于 2 的实数。

常见类型的不等式在数学中，我们常常遇到以下几种类型的不等式：1.一元一次不等式：这种不等式只包含一个变量，并且变量的最高次数为 1。

例如，2x+3>5就是一个一元一次不等式。

2.一元二次不等式：这种不等式包含一个变量，并且变量的最高次数为2。

例如，x2−3x+2>0就是一个一元二次不等式。

3.绝对值不等式：这种不等式包含一个绝对值表达式，例如，|x−3|>2。

>3。

4.分式不等式：这种不等式包含分式表达式，例如，1x不等式的性质不等式有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们解决不等式问题和证明不等式定理。

1.传递性：如果a>b且b>c，则a>c。

这意味着如果两个数之间存在不等关系，那么它们之间的所有数也满足相同的不等关系。

2.加法性：如果a>b，则对于任意的正数c，有a+c>b+c。

这意味着不等式两边同时加上相同的正数，不等关系仍然成立。

3.乘法性：如果a>b且c>0，则ac>bc。

这意味着如果不等式两边同时乘以正数，不等关系仍然成立。

需要注意的是，如果乘以负数，则需要改变不等式的方向。

4.反转性：如果a>b，则−a<−b。

这意味着不等式两边同时取负，不等关系改变方向。

毕业论文开题报告数学与应用数学不等式证明的教学研究一、选题的背景、意义不等式的理论很早就被Gauss, Cauchy 等人关注并研究过，但是不等式作为一门系统的学科出现始于1934年，Hardy, Littlewood 和G.Polya 合作出版《不等式》（Inequalities ）之后。

在此之前不等式只是出现于数学家们研究领域中所使用的引理，证明及研究得到的副成果而已。

直到Hardy 等人对不等式做了系统的研究和总结之后，不等式才真正成为了一门系统学科。

20世纪数学已经确认数学不等式的力量上升到巨大的新结果和问题以及产生的新领域的数学。

对不等式研究所得到的一些成果被广泛运用到其他领域中去，比如经济学，游戏理论，数学规划，控制理论，变分理论，运筹学，概率统计等。

由此可以看出不等式的有用性，研究不等式的重要性。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题不等式是数学中被广泛运用的工具，在很多数学问题的分析与解答中,我们都需要用到不等式，然而要想能够在问题中运用一些不等式的定理或推论，我们首先要证明所用不等式的可行性，尤其是在数学教学中。

因此对一些不等式的证明深入的讨论就显得很重要，也具有一定的教育意义。

首先在这给出一些常见的不等式，以及比较常用到的几个定理，同时给出其中一部分不等式的证明。

Cauchy （柯西）不等式 设有两组实数12,,...n ααα和12,,...n βββ，则有222222*********(...)(...)(...)n n n n αβαβαβαααβββ+++≤++++++或写成222111()()()n n ni i i i i i i αβαβ===≤∑∑∑。

当且仅当(1,2,...,)i i k i n αβ==时等号成立。

推论22221212......()nn n n αααααα++++++≤当且仅当12...n ααα===时，等号成立。

Jensen 不等式[1] 如果()f x 为连续实值凸函数，且121...,1,0,1,2,...,nn i i i x x x i n λλ=≤≤≤=≥=∑，则有 11()()n ni i i ii i f x f x λλ==≥∑∑。

不等式证明的开题报告不等式证明的开题报告一、引言不等式是数学中重要的概念之一，它在解决实际问题和推导数学结论中起着重要的作用。

本开题报告将探讨不等式证明的方法和技巧，以及在解决实际问题中的应用。

二、不等式证明的基本方法1. 数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明不等式的方法。

它基于以下两个步骤：首先证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立，通过推理证明当n=k+1时不等式也成立。

这种方法常用于证明与自然数相关的不等式，例如证明n(n+1)/2 > n。

2. 反证法反证法是一种常用的证明不等式的方法。

它基于以下思路：假设不等式不成立，通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。

这种方法常用于证明与实数相关的不等式，例如证明√2是无理数。

3. 代入法代入法是一种常用的证明不等式的方法。

它基于以下思路：将不等式中的变量用特定的值代入，通过计算得出结果，从而证明不等式成立。

这种方法常用于证明与特定数值相关的不等式，例如证明当x>0时，x^2 > 0。

三、不等式证明的技巧1. 利用基本不等式基本不等式指的是诸如AM-GM不等式、柯西-施瓦茨不等式等常用的不等式。

在证明不等式时，可以利用这些基本不等式进行变形和推导，从而得到所要证明的结果。

2. 利用等价不等式等价不等式指的是与所要证明的不等式具有相同结构但不等号方向相反的不等式。

在证明不等式时，可以通过将所要证明的不等式转化为等价不等式，然后利用已知的结论进行推导，最终得到所要证明的结果。

3. 利用对称性质有些不等式具有对称性质，即交换不等式两边的变量不会改变不等式的成立性。

在证明这类不等式时，可以利用对称性质进行变形和推导，从而得到所要证明的结果。

四、不等式证明的实际应用不等式证明不仅仅是数学理论的研究，还具有广泛的实际应用。

以下是几个不等式在实际问题中的应用示例：1. 经济学中的应用在经济学中，不等式的证明可以用于分析市场供求关系、收入分配等问题。

毕业论文开题报告数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。

它不仅是数学分析的重要工具，还和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间有着密切的联系。

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，适当、巧妙地引入柯西不等式，可以简化解题过程，起到事半功倍的作用。

因此柯西不等式在初等数学、微分方程和泛函分析等领域都有重要的应用，再加上本身有着优美的对称形式、简洁的统一证法和命题间的内在联系，关于它的研究一直受到人们的关注。

由此促使我们进一步了解柯西不等式的各种形式及它的应用。

闵可夫斯基不等式是由闵可夫斯基（Minkowski）于1896年证明的，它的出现对于促进泛函空间理论的飞速发展起到了至关重要的作用。

在1881年法国大奖中，闵可夫斯基深入钻研了高斯、狄利克雷和爱因斯坦等人的论著。

因为高斯曾在研究把一个整数分解为三个平方数之和时用了二元二次型的性质，闵可夫斯基根据前人的工作发现：把一个整数分解为五个平方数之和的方法与四元二次型有关。

由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理论体系。

这样一来，上述问题就很容易从更一般的理论中得出，闵可夫斯基交给法国科学院的论文长达140页，远远超出了原题的范围。

闵可夫斯基此后继续研究n元二次型的理论。

他透过三个不变量刻画了有理系数二次型有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论，现称“Minkowski约化理论”。

当闵可夫斯基用几何方法研究n 元二次型的约化问题时，他获得了十分精彩而清晰的结果。