勾股定理常见题型总结

勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形； ③ 若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cba HG F EDCBA bacba c ca bcab a bc c baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例 4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积ABC30°DCB A ADBCCB DA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =勾股定理练习一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。

《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。

②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。

常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。

二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。

9.Rt △ ABC 的周长为2 + u 希，其中斜边AB= 2，求这个三角形的面积。

10•如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广 (1)如图，以Rt A ABC 的三边长为边作三个等边三角形，那么这三个等边三角形的面积 S i 、S 2、S 之间有何关系？并说明理由。

〔2〕如图，以Rt △ ABC 的三边长为直径作三个半圆， 那么这三个半圆的面积 S 、S?、S 3之间有何关系？ 〔3〕如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影局部的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。

〔此阴影局部在数学史上称为“希波克拉底月牙〃〕题型二：利用勾股定理测量长度例1•如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?2•一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 长为13米，那么云梯可以达该建筑物的最大高度是〔 〕A 、12 米B 、13 米C 、14 米D 、15 米3•如图，有两颗树，一颗高 10米，另一颗高4米，两树相距8米•一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的 树梢，问小鸟至少飞行〔 〕 A 、8 米 B 、10 米 C 、12 米 D 、14 米 题型三：勾股定理和逆定理并用一一― 1 _例3.如图3,正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且FB AB 那么△ DEF 是直4跟踪练习：1•如图〔8〕，水池中离岸边 D 点1.5米的C 处,才长着一根芦苇，出水局部 拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到D 点，并求水池的深度 AC aJ直立 11=1 0.5*CM/x+0.5/ ,n c * 七 mD-/ I、＞角三角形吗？为什么？注：此题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

跟踪练习：1. 如图，正方形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF，求证：/ AEF=90°例1•如图4，长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点丘，将厶ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：1•如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB的长.2•如图，在△ ABC 中，AB=BC，/ ABC=90°, D 为AC 的中点，DE 丄DF，交AB 于E,交BC 于F,〔1〕求证：BE=CF;〔2〕假设AE=3 , CF=1，求EF 的长•3•如图，CA=CB,CD=CE, / ACB= / ECD=90° ,D 为 AB 边上的一点•假设 AD=1 , BD=3，求 CD 的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直 一一例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动翻开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好翻开？跟踪练习:1.如图，每个小正方形的边长都是 〔，△ ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断厶2.以下各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是〔 〕111A 、9，12，15B 、7,24,25C 、沖爲电瘢『肉D 、，，ABC 的形的值3•在△ ABC 中，以下说法①/ B= / C- Z A ;②佥=密晋韻滋’喝；③/ A: / B: / C=3: 4: 5;④a:b:c=5:4:3 ;⑤.：：=1:2:3，其中能判断△ ABC 为直角三角形的条件有〔 〕A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 4•在△ ABC 中，Z A 、/ B 、/ C 的对边分别是a 、b 、c.判断以下三角形是否为直角三角形？并判断哪一个 是直角？〔1〕a=26, b=10, c=24;〔 2〕a=5, b=7, c=9;〔 3〕a=2, '—A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5.A ABC 的三边长为a 、b 、c ,且满足「一【：”亠二-’丨亠「一 ’ 一； 「，那么此时三角形一定是〔 〕A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等腰直角三角形D 、锐角三角形21 , b=2n , c=n 1，那么△ ABC 是〔 8•在△ ABC 中，Z A 、/ B 、/ C 的对边分别是a 、b 、c ,以下说法中，错误的选项是〔 A 、如果Z C- Z B= Z A,那么 Z C=90°B 、如果Z C=90°,那么 c 2 - a 2=C 、如果〔a+b 〕〔 a-b 〕=，那么 Z A=90 °D 、如果Z A=30° ,那么 AC=2BC 9.A ABC 的三边分别为 a , b , c ,且 a+b=3, ab=1,求汗+沪的值，试判断厶ABC 的形状，并 说明理由10.观察以下各式：•:一叮，敌J 汀"•，1! 一二—!■'：■ ................................. ，根据其中规律,写出下一个式子为 ______________11., m > n , m 、n 为正整数，以 和'一N 厂，2mn ，川 +"为边的三角形是 ________ 三角形.12・一个直角三角形的三边分别为 n+1 , n-1 ,8，其中n+1是最大边，当n 为多少时，三角形为直角三角形？ 题型六：旋转问题：PA=2,PB= 2 3 ,PC=4,求厶 ABC 的边长.跟踪练习1.如图，△ ABC 为等腰直角三角形，Z BAC=90 ° , E 、F 是BC 上的点，且Z EAF=45 °，试探究BE 2、CF 2、EF 2间的关系，并说明理由.26•在△ ABC 中，假设 a= n A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 7•如图，正方形网格中的△ ABC 是〔C 、等腰三角形 〕D 、直角三角形A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形或钝角三角形 ABC 内一点,题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm , BC=6cm , E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B 恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习1•如图，AD是厶ABC 的中线，/ ADC=45 求，把△ ADC沿直线AD翻折，点C落在点C'的位置，BC=4,BC '的长•（一）折叠直角三角形1•如图，在厶ABC中，/ A = 90，。

勾股定理在数学竞赛中的常见题型勾股定理作为数学中的一条重要定理，经常在数学竞赛中出现。

它被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。

在这篇文章中，我们将介绍勾股定理在数学竞赛中的常见题型，并给出一些解题思路。

一、勾股定理的基本定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是描述直角三角形三边关系的定理。

它的基本定义如下：在一个直角三角形中，直角的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

若直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。

二、题型一：已知两边求第三边这是勾股定理中最基本的应用题型之一。

题目给出两条边的长度，要求求解第三条边的长度。

解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。

2. 然后，将已知的两条边的长度代入方程，解出未知的边的长度。

3. 最后，根据题目要求确定解的范围并进行答案验证。

例如，题目给出一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，要求求解斜边的长度。

根据勾股定理，可得方程3² + 4² = c²，解得c = 5。

所以答案是5。

三、题型二：已知斜边和一直角边，求另一直角边这个题型要求根据给定的斜边和一直角边的长度，求解另一直角边的长度。

解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。

2. 其次，将已知的直角边和斜边的长度代入方程，并整理得到关于未知边的方程。

3. 最后，解方程得到未知边的长度。

例如，题目给出一个直角三角形的斜边长度为5，一直角边长度为3，要求求解另一直角边的长度。

根据勾股定理，可以得到方程3² + b²= 5²，整理得b² = 25 - 9，解得b = √16 = 4。

所以答案是4。

四、题型三：求直角三角形的面积这个题型要求根据给定的直角三角形两个直角边的长度，求解其面积。