二维正态分布

第14讲 二维正态分布 中心极限定理教学目的：了解二维正态分布，理解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯定理。

教学重点：独立同分布的中心极限定理。

教学难点：应用独立同分布的中心极限定理解决实际问题。

教学学时：2学时 教学过程:第四章 正态分布§4.4 二维正态分布定义 若二维连续随机变量),(Y X 的联合概率密度为])())((2)([)1(21222222121),(y y yx y x x x y y x r x r y x er y x f σμσσμμσμσπσ-+-------=（ +∞<<∞-+∞<<∞-y x , ）则称),(Y X 服从二维正态分布，记作 ),,,,(~),(222r N Y X x y x σσμμ。

其中y x μμ,，1|| ,0 ,0<>>r y x σσ都是分布的参数。

),(y x f 满足概率密度的两条基本性质：（1）0),(≥y x f 。

（2）⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f 。

下面我们来讨论二维正态分布的边缘分布问题。

随机变量X 的边缘概率密度为⎰⎰∞+∞--∞+∞--==dy erdy y x f x f y x u y x X ),(2121),()(σπσ其中])())((2)([)1(21),(22222yy y x y x x x y y x r x r y x u σμσσμμσμ-+-----=2222])([)1(212)(xx yyx x x r y r x σμσμσμ----+-=设t x r y rxx yy=----])([1212σμσμ，则有⎰∞+∞----=dt eex f tx xX xx 22)(22221)(σμπσ222)(21x x x xeσμσπ--=由X 与Y 的对称性可求得Y 的边缘密度为)(y f Y 222)(21y y y yeσμσπ--=由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且可以知道)(,)(),(),(Y D X D Y E X E y x y x ====σσμμ下面我们可以看到参数r 为随机变量Y X ,的相关系数。

)()()]}()][({[)()(),cov(),(Y D X D Y E Y X E X E Y D X D Y X Y X R --==⎰⎰+∞∞-+∞∞---=dxdy y x f y x y x yx ),())((1μμσσ r =（定积分计算略）注 由第三章的内容可知，若随机变量X 与Y 相互独立，则相关系数0),(=Y X R ；但是，当0),(=Y X R 时，X 与Y 却不一定相互独立。

然而，在正态分布的情形下，当相关系数0),(==r Y X R 时，二维正态分布的联合概率密度可化为])()[21222221),(y y x x y x yx e y x f σμσμσπσ-+--=222)(21x x x xeσμσπ--=.222)(21y y y yeσμσπ--=.)()(y f x f Y X所以，若随机变量),(Y X 服从二维正态分布，则随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是0=r 。

例1 若随机变量X 与Y 相互独立，都服从标准正态分布)1,0(N ，求随机变量 函数22Y X Z +=的概率密度。

解 由于X 与Y 都服从标准正态分布)1,0(N ，概率密度分别为2221)(x X ex f -=π，2221)(y Y ex f -=π又随机变量X 与Y 相互独立，联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π由此得随机变量22Y X Z +=的分布函数)()()(22z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=当0≤z 时，显然有0)(=z F Z ；当0>z 时，有 dxdy ez F zy x y x Z ⎰⎰≤++-=2222221)(π22021212z zed ed ---==⎰⎰ρρθππρ所以z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-001)(2z z ez F z Z 由此得z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0021)(2z z ez f zZ 注 若随机变量X 与Y 相互独立，都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量函数22Y X Z +=的分布称为自由度为2的2χ分布。

§4.5 中心极限定理中心极限定理是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和∑=ni i X 1的分布收敛于正态分布的问题。

定理1 （林德伯格（Lindeberg ）—列维（Levy ）中心极限定理）设相互独立的随机变量 ,,,,21n X X X 服从同一分布，且 μ=)(i X E ， ,,,2,1,0)(2n i X D i =>=σ，则对于任意实数x ，有⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-x t n i i n dt e x n n X P 21221lim πσμ定理的证明略，仅对定理的含义作一些说明。

设∑==ni i n X Y 1，则有∑∑=====n i ni i i n n X E X E Y E 11)()()(μ∑∑=====n i ni i i n n X D X D Y D 112)()()(σσσσn n Y n ==2)(又设随机变量σμσn n X Y Y E Y Z ni i n n n n ∑=-=-=1)()(，则n Z 的分布函数=≤=)()(x Z P x F n Z )(1x n n X P ni i ≤-∑=σμ趋于标准正态分布函数。

结论 设相互独立的随机变量n X X X ,,,21 服从同一分布，已知均值为μ，方差为02>σ，但分布函数未知。

当n 充分大时，随机变量n X X X ,,,21 的和∑==ni i n X Y 1将近似地服从正态分布),(2σμn n N 。

推论 设相互独立的随机变量n X X X ,,,21 服从同一分布，已知均值为μ，方差为02>σ，但分布函数未知。

当n 充分大时,∑==ni i X n X 11近似服从正态分布),(2n N σμ。

由推论知，不论n X X X ,,,21 服从什么分布，只要它们相互独立且服从同一分布，则它们的平均数X ，当n 充分大时，总是近似地服从正态分布。

例2 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的。

问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?解 令),260,2,1( 01=⎩⎨⎧=k k k X K 个分机不用外线第个分机要用外线第，26021,,,X X X 是260个相互独立的随机变量，且04.0)(=i X E 。

26021X X X m +++= 表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x 使%95}{≥<x m P 成立。

由上面的定理知⎰∞--≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≤--=<b tdt e p p p x p p pm P x m P 2221)1(260260)1(260260}{π 查得95.09505.0)65.1(>=Φ，故取65.1=b 。

于是有61.1504.026096.004.026065.1260)1(260≈⨯+⨯⨯⨯=+-=p p p b x也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。

例3 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精。

求一箱味精净重大于20500克的概率。

解 设一箱味精净重为X 克，箱中第k 袋味精的净重为k X 克，200,,2,1 =k 。

则20021,,,X X X 是相互独立的随机变量，且100)(,100)(==k k X D X E ，200,,2,1 =k 。

故2100)(,20000)(,20000)()(20021===+++=X D X D X X X E X E因而有}20500{1}20500{≤-=>X P X P0002.0)54.3(121005002100200001=Φ-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=X P定理2 （德莫佛（De Movire ）—拉普拉斯（Laplace ）中心极限定理）设在独立试验序列中，事件A 发生的概率为p )10(<<p ，随机变量n Y 表示事件A 在n 次试验中发生的次数。

则对任意实数x ，有⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x tn n dt e x p np np Y P 2221)1(lim π证 随机变量i X 表示事件A 在第i 次试验中发生的次数),,2,1( n i =，则这些随机变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，且有 ,,,2,1),1()(,)(n i p p X D p X E i i =-==， 则∑==ni i n X Y 1。

由定理1知⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t n i i n n n dt e x p np np X P x p np np Y P 21221)1(lim )1(lim π注 在n 次独立试验中，事件A 发生的次数),(~p n B Y n 。

定理2说明：当n 充分大时，服从二项分布的随机变量n Y 将近似地服从正态分布。

一般来说，当n 较大时，二项分布的概率计算非常复杂，这时我们可以用正态分布来近似地计算二项分布。

计算公式为})1()1()1({}{)1(212121p np np n p np np m p np np n P n m n P p p C n n n k n k n k k n --≤--≤--=≤≤=-∑=-))1(())1((12p np np n p np np n --Φ---Φ≈例4 设随机变量X 服从)8.0,100(B ，求}10080{≤≤X P 。

解))1(100)1()1(80(}10080{p np np p np np X p np np P X P --≤--≤--=≤≤≈)2.08.01008080()2.08.010080100(⨯⨯-Φ-⨯⨯-Φ5.05.01)0()5(=-=Φ-Φ=例5 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是相互独立的。

求：（1） 同一时刻有8100户以上用电的概率。

（2） 若每户用电功率为100W ，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？解 （1）设随机变量n Y 表示在10000户中同时用电的用户，则),8.0,10000(~B Y n 于是402.08.010000)1(,80008.010000=⨯⨯=-=⨯=p np np 。