材料力学课件(哈工大)第6章扭转

torsion扭转变形受力特点：承受的外力或其合力均是绕轴线转动的外力偶变形特点：杆件相邻两横截面绕轴线要发生相对转动发生扭转变形的杆件称为轴6-1 扭转杆件的内力用截面法可求得该杆任一横截面n—n上只有扭矩一个内力分量，其值为由内力符号的规定，扭矩的正负号正的扭矩矩矢背向截面；负的扭矩矩矢指向截面。

xMT6-1 扭转杆件的内力解：1）求作用在轴上的外力偶nP n P PM kk ⋅⨯===π10330/π10004ωm N 703m N 3001.22π103π10344⋅=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⋅⨯=n P M A A m N 471m N 3008.14π103π10344⋅=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⨯=⋅⨯=n P M B B m N 232m N 3003.7π103π10344⋅=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⨯=⋅⨯=n P M C C 例1 传动轴，转速n =300 rpm ，主动轮A 输入功率P A =22.1kW ，从动轮B 、C 输出功率分别为P B =14.8kW 、P C =7.3kW 。

试求：1）作用在轴上的外力偶矩；2）横截面上的扭矩。

6-1 扭转杆件的内力解：1）求作用在轴上的外力偶矩2）计算横截面上的扭矩OC 与段各截面扭矩均为零CA 段任一截面（图中Ⅰ—Ⅰ截面）AB 段任一截面（图中Ⅱ—Ⅱ截面）3) 作扭矩图1BO N.m232 N.m 471 N.m 703===C B A M M M ，，N.m232 0 011-=-==+=∑C C x M T M T M ，，N.m471 0- 022===+=∑B B x M T M T M ，，例1 传动轴，转速n =300 rpm ，主动轮A 输入功率P A =22.1kW ，从动轮B 、C 输出功率分别为P B =14.8kW 、P C =7.3kW 。

试求：1）作用在轴上的外力偶矩；2）横截面上的扭矩。

1）平面假设6-2 圆轴扭转横截面上的切应力6-2 圆轴扭转横截面上的切应力1）平面假设2）横截面上的切应力公式•几何方程采用柱坐标系ρφx ，取d x 微段6-2 圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式•几何方程•物理方程纯切应力状态)a ( d d d d d tan xx f f x s x x φργγφφ='==≈φφγτx x G =(b)d d xG x φρτφ=切应力沿径向线性分布采用柱坐标系ρφx ，取d x 微段6-2 圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式•几何方程•物理方程•静力平衡方程式(b)代入上式（c ）：式(6-1)代入式(b)：截面的极惯性矩为抗扭刚度(b) d d xG x φρτφ=(c)0d 0=-=∑⎰⎰T A M x Ax φτρ，1)-(6 d d pGI T x =φ2)-(6 d 2A I Ap ⎰⎰=ρp GI 3)-(6 ρτφpx I T=6-2 圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式最大切应力发生在截面外圆周的各个点上令称为抗扭截面系数3)-(6 ρτφpx I T= R I T I T pp x == m ax maxρτφ4)-(6 RI W p t =5)-(6 maxtx W T=φτ6-2 圆轴扭转横截面上的切应力1）平面假设2）横截面上的切应力公式3）截面的极惯性矩与抗扭截面系数•实心圆截面•空心圆截面32πd π2d 42/022DA I D Ap ===⎰⎰⎰ρρρρ16π3DR I W pt ==)(32π44d D I p -=)1(16π43α-=D W t Dd =α例2传动轴，转速n =300 rpm ，主动轮A 输入功率P A =22.1kW ，从动轮B 、C 输出功率分别为P B =14.8kW ，P C =7.3kW 。

要求：1）若该轴为 d =20mm 的实心轴，求整个轴的最大切应力；2）若该轴为外径 D =40mm ,内径 d =20mm 空心圆轴，求整个轴的最大切应力和最小切应力。

解：1）求外力偶，作扭矩图（见例1）6-2 圆轴扭转横截面上的切应力2）求实心圆轴的最大切应力mN 471m ax ⋅=T MPa 300π02.047116π33m ax m ax m ax=⨯===d T W T x φτ最大切应力在AB 段各截面外圆周各点上3）求空心圆轴的最大切应力6-2 圆轴扭转横截面上的切应力m N 471m ax ⋅=T 47116)1(16π43m axm ax m ax ⨯-==ατφD T W T tx 2）求实心圆轴的最大切应力MPa300m ax =φτx 最大切应力发生在AB 段各截面外圆例2传动轴，转速n =300 rpm ，主动轮A 输入功率P A =22.1kW ，从动轮B 、C 输出功率分别为P B =14.8kW ，P C =7.3kW 。

要求：1）若该轴为 d =20mm 的实心轴，求整个轴的最大切应力；2）若该轴为外径 D =40mm ,内径 d =20mm 空心圆轴，求整个轴的最大切应力和最小切应力。

解：6-2 圆轴扭转横截面上的切应力4）求空心圆轴的最小切应力3）求空心圆轴的最大切应力2）求实心圆轴的最大切应力MPa300m ax =φτx MPa 40m ax =φτx 232162)(32π244m in m in m in ⨯-==dd D T d I T p x φτ最小切应力发生在CA 段各截面上内圆周解：例2传动轴，转速n =300 rpm ，主动轮A 输入功率P A =22.1kW ，从动轮B 、C 输出功率分别为P B =14.8kW ，P C =7.3kW 。

要求：1）若该轴为 d =20mm 的实心轴，求整个轴的最大切应力；2）若该轴为外径 D =40mm ,内径 d =20mm 空心圆轴，求整个轴的最大切应力和最小切应力。

6-3 圆轴扭转破坏模式的分析塑性材料脆性材料从圆轴表面取一单元体与轴线夹角为α的任一斜截面上应力x'ατατασσσσσϕϕϕϕ2sin2sin2cos22xxxxx=+-++='σσ-6-3 圆轴扭转破坏模式的分析塑性材料脆性材料塑性材料抗剪切能力比抗拉伸能力弱；脆性材料抗拉伸能力比抗ατατασσσσσϕϕϕϕ2sin 2sin 2cos 22x x x x x =+-++='ατατασστϕϕϕϕ2cos 2cos 2sin 2x x x x =+--=''ϕϕϕττταx x x ==''''=maxϕϕϕττταx x x -==''''=min90σϕτσσαx x x ==''=max 45ϕτσσαx x x -==''-=min 45=τ6-4 圆轴扭转变形与变形能1）圆轴扭转变形公式由式（6-1），d x 微段的扭转角为整个圆轴的扭转角为——抗扭刚度（torsional rigidity ）x GI T pd d =ϕ6)-(6 d d 00⎰⎰==lplx GI Tϕϕ7)-(6 pGI Tl =ϕpGI6-4 圆轴扭转变形与变形能2）圆轴扭转的变形能Ge x x x 22121ϕϕϕτγτ⋅==()xGI T x G x A G x A e e p Dx A x Ad 2 d d π22 d d 2d d d 22022=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰⎰⎰ρρττϕϕ纯切应力状态的应变能密度杆d x 微段的变形能整个杆的变形能8)-(6 d 2d 020⎰⎰==l pl x GI Te E γ9)-(6 2lT E =6-5 非圆截面杆扭转1）自由扭转与约束扭转自由扭转约束扭转2）矩形截面杆的自由扭转•周边线上，切应力方向与周边相切•四个角点处切应力等于零•在周边线的中点处，切应力极大•在长边中点处切应力最大α、b 、γ 是与h /b 有关的系数，可查表得到。

对于狭长矩形截面，即b <<h 时2maxhb T xyατ=maxmaxxy xzγττ=3GhbTl b φ=16-5 非圆截面杆扭转1）自由扭转与约束扭转自由扭转约束扭转2）矩形截面杆的自由扭转•周边线上，切应力方向与周边相切•四个角点处切应力等于零•沿着宽度方向（z 方向）认为线性分布•在长边有很长一段各点切应力最大对于狭长矩形截面，即b <<h 时1hGb Tl h b Txy 3233max ==φτα、b 、γ 是与h /b 有关的系数，可查表得到。

6-6 薄壁杆的自由扭转剪力流1）开口薄壁杆的自由扭转•视为若干狭矩形截面杆拼接而成•扭转时横截面轮廓不变从式（b ）中解出hGb Tl h b T xy323 3max==φτ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅===i φφφφ21(a)21i i T T T T T ∑=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=(b) ),,2,1( 33n i Gh l T ii i i ⋅⋅⋅==δφ⋅⋅⋅⋅⋅⋅i T T T 21、、1111G G 再代入式（a ）中6-6 薄壁杆的自由扭转剪力流1）开口薄壁杆的自由扭转令式（c ）改写为由于h Gb Tlh b T xy 323 3max ==φτ(c)313i i h l G T δφ∑=(d)313i i t h I δ∑=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅===i φφφφ21(e) tGI Tl=φ(f) 3)(2m ax ii ii h T δτ=ti i i GI TlGh l T =23δtii I T δτ=)(m ax tI T m ax m axδτ=6-6 薄壁杆的自由扭转剪力流2）闭口薄壁杆的自由扭转由于杆壁很薄，可认为切应力沿厚度方向均匀分布并平行于截面中线的切线。

称q 为剪力流在横截面的图面内取任一点O ，计算切应力对点O 的力矩，有1）开口薄壁杆的自由扭转横截面上切应力=∑x F dd zx yx 21δτδτ=21δτδτzx yx =q=τδT s h s=⎰d τδTs h s=⎰d τδ6-6 薄壁杆的自由扭转剪力流称q 为剪力流在横截面的图面内取任一点O ，计算切应力对点O 的力矩，有而h d s /2为d s 所对扇形区的面积d ω，所以1）开口薄壁杆的自由扭转21δτδτzx yx =q=τδT s h s=⎰d τδTs h s=⎰d τδω2d =⎰s h sωδτ2T =m inm ax 2ωδτT =2）闭口薄壁杆的自由扭转横截面上切应力6-6 薄壁杆的自由扭转剪力流应变能密度变形1）开口薄壁杆的自由扭转2）闭口薄壁杆的自由扭转ω2d =⎰s h sωδτ2T =222282δωτG T G e ==⎰⎰==s s sG l T s e l E δωδγd 8d 22⎰=s sG l T M δωφd 82122⎰=ss G Tl δωφd 42。