2009年新知杯试题

2009年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2009年3月22日 星期日 上午8：30~10：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,,,(1,)a a a ∈+∞，则121012102009200920092009log log log loga a aa a a +++的最小值是 。

2. 已知,*x y N ∈，且12121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解析式是y = 。

3. 已知函数2()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。

4. 满足方程222213log [2cos ()]2cos ()4xy y y xy +=-++的所有实数对(,)x y = 。

5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2[tan ]2sin x x =的解是 。

6.不等式223242xx ≤⋅+⋅的解集是 。

7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2,,2009}A =，集合L A ⊆，且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。

8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。

二、解答题9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意,[0,1],x y x y ∈≤，都有22()(1)()()2x yf a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。

10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2214x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。

新知杯模拟试题一一、填空题1. 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则b aa a bb +的值为____________.2. 实数x 、y 、z 满足263 3220x y x y xy z =-⎧⎨+-+=⎩，则2y z x +的值为______________.3． 旅游车上乘坐着日本、美国、法国三个国家的游客。

现知道日本游客有18人，法国游客有9人，成年男游客中，美国5人，法国3人；成年女游客中，法国3人，日本5人；男孩中日本3人，美国2人；女孩中美国2人，法国1人。

还知道成年女游客比成年男游客少2人，而男孩和女孩一样多，则美国游客有____________人。

4．如图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2. 若△ABC 的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG 的面积S 等于_______________.5．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ， 那么x +y 等于_________________.6． 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ，︒=∠60BAD ，则=∠E D C （度）.7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2d kmnT =的关系(k 为常数) . 现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次（用t 表示）.8．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a .9． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC >AD )，︒=∠90D ，BC =CD =12, ︒=∠45ABE ，若AE =10，则CE 的长为 .10．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是 .三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11． 如图，锐角A B C ∆中，PQRS 是A B C ∆的内接矩形，且ABC PQ RS S nS ∆=矩形，其中n 为不小于3的自然数，求证B S A B 为无理数。

2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷详解解答本试卷可以使用计算器一、 填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1. 已知31=+x x ，则=+++10551011x x x x 15250解：31=+xx21)1(222++=+∴x x x x 即7122=+x x=+331x x )1(22xx +)1(x x +-18321)1(=-=+x x =+441x x 472492133=-=-+xx =+551x x )1(44x x +)1(x x +-=+331xx 47*3-18=123 =+10101x x 1512721232)1(2255=-=-+x x 故=+++10551011xx x x15250 2. 满足方程()()33222=-+++y x y x 的所有实数对()y x ，为 （-2，-1） 解：由题意知，062)26(222=++-+y x y x0)1(12)62(8)26(222≥+-=+--=∆y y y故0122≤++y y 1-=y 可得2-=x3已知直角三角形ABC 中，3690===∠CA BC C ，，，CD 为C ∠的角平分线，则 CD=22解：令CD=x 由面积正弦定理可知45sin 62145sin 3219x x S abc ⨯⨯+⨯⨯⨯== 故x=22ABCD4 若前2011个正整数的乘积201121⨯⨯⨯ 能被k2010整除，则正整数k 的最大值为 30 解：675322010⨯⨯⨯= 30]672010[= 故 k max= 305 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为)43,45( 解;)43,45()23,25(3,2()0,1(11M N A C AN MN NMAN CA BC OB ∴=∴=⨯⨯6 如图，矩形ABCD 中，AB=5，BC=8，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O 在线段HF 上，使得四边形AEOH 的面积为9，则四边形OFCG 的面积是 6.5 解：连接AO,OD,BO,OC 面积比如图2 所示且已知 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+93245.2a c d c b a 5.692*43*5.232=-+=+∴b d7整数q p ，满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两个根均为正整数，则=p -2278解：令 p=67a, q=67b, 可知 a+b=30yxMN O CBA由根与系数的关系可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=+b q x x a p x x 6767212131)1)(1(30212121=--=+=--x x b a x x x x 设⎩⎨⎧=-=-3111121x x⎩⎨⎧==32221x x 故⎩⎨⎧=-=6434b a p=67a=-22788. 已知实数c b a ，，满足0=++≥≥c b a c b a ，且0≠a 。

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轨迹的总长是＿＿＿＿＿（保留π）。 Image
9、如图，△ABC中，AB＝BC＝10，点M、N在BC上，使得MN＝AM＝4， ∠MAC＝∠BAN，则△ABC的面积是＿＿＿＿。
10、△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝10，BC＝8，则AC的长是＿＿＿＿。 二、（本题16分） ，均为正整数，若关于的方程的两个实数根都大于1，且小于2，
则S△DEF∶S△ABC= ．
14．已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，都成立，则这样的有序数
组（a，b，c）共有 组．
15．如图，I是Rt△ABC（）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB
于E、F．已知，，则用m、n表示S△ABC=
．
B
C
A
E
F
m
n
I
求，的值。
三、（本题16分） 如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在
BC、CD上，使得△CMN的周长为2。求 （1）∠MAN的大小； （2）△MAN面积的最小值。
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四、（本题18分） 某学生为了描点作出函数的图象，取自变量的7个值：，且，分别算
出对应的的值，列出下表：
式的乘积，则这样的n共有＿＿＿＿＿个。 6、设正整数m，n满足m < n，且，则的值是＿＿＿＿。 7、数1，2，3，…，按下列方式排列：
12…
…
……
…
任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了次后，所取出的个 数的和是＿＿＿。
8、如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的正方形 MNPQ内，且NB在边NP上。若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、 QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成