高中数学 第三章《概率》章末复习课教学设计 新人教A版必修3

第三章概率小结（人教A版高中课标教材数学必修3）教学设计一、教学内容解析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修3第三章《概率》的小结课，本节教学内容为梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合运用知识解决问题的能力．掌握随机现象中的必然事件、不可能事件、随机事件的概念；掌握古典概型、几何概型的特点及概率运算；掌握互斥事件、对立事件的概念，会利用公式计算有关的问题的概率．概率小结是对概率概念和运算的丰富与升华，是对概率认识的又一次质的飞跃．根据本节课的内容特点以及学生的实际情况，在小结课之前让学生自己总结本章知识网络结构，在课堂上学生分组讨论并展示，加之老师对知识网络结构的归纳、总结和评价，使学生对本章内容有一个全面的认识．通过各类题组训练，让学生自己体会知识的横向、纵向联系，对相关概念的认识更加精准和深刻，同时也把它们作为本节课的教学重点．本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．另外，概率问题可以与其他模块知识交汇形成不同背景的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力，因此本节的内容起到了新旧知识相互迁移、融会贯通的重要作用；并且通过本节内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、等价转化的数学思想方法提供了重要的素材．二、教学目标设置新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：通过具体实例，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别；理解古典概型及其概率计算公式；初步体会几何概型的意义．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：1.在具体情景中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别和联系，培养良好的思维品质．2.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识．3.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，从而渗透转化的数学思想方法．4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义，从而深入体会数形结合的思想方法．5.营造和谐的课堂氛围，通过独立思考，合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及严谨的思维方式．三、学生学情分析本节课面对的是高一年级的学生，这个年龄段的学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导．通过之前的学习学生已经了解了概率的意义以及频率与概率的区别和联系，理解了古典概型和几何概型的概念及其计算．同时对于数形结合、等价转化的数学思想方法也有了初步的认识．为了更好的实现本节课的教学目标，需要学生从原有的知识和能力出发进一步体会频率与概率、古典概型和几何概型的内在联系，从而深入感受转化、类比的数学思想方法．让学生充分感受两种概率模型的研究方法和生成过程，从而深入体会数形结合的思想方法．从数形结合、等价转化的数学思想方法的初步具备到本节课的深入强化，从概率的意义、古典概型和几何概型的概念及其计算到整章知识的综合应用，可通过实际教学中积极的双边活动让学生自主寻求解决问题的途径．激发学生学习热情，提高课堂效率，使知识得到螺旋式的巩固与提高．而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面，还有待于教师的指导帮助．根据本节课的教学内容及学生的实际情况，我将本节课的教学难点制定为：对概率本质的深入理解，古典概型和几何概型的概念及其计算的实际应用．学生根据教师提供的情境，采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识，归纳知识．通过创设情境疑问，引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流，探求解决问题的方法．鼓励学生创新思考，加强数学实践，培养学生的理性思维，同时注重培养学生良好的数学学习习惯．四、教学策略分析1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法.2．为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助多媒体或实物投影仪等信息技术手段，增加信息量，为学生的数学探究与数学思维提供支持．3．数学是一门培养重要思维的学科．根据本课特点及学生情况，教学中教师通过创设情境，设置问题，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究、合作交流，实现动眼、动手、动脑操作来达到对知识的发现和接受．围绕本节课的教学重点，教学过程中以问题为驱动，逐层递进，使学生对知识的探究由表及里，逐步深入．通过思考题，以“问题串”形式组织教学，通过探究，引导学生思考、归纳、总结．例题、练习、变式题的设置从浅入深，课后作业分层布置，设置为巩固型、思维拓展型两个阶段，为不同认知基础的学生提供相应的学习机会．在教学过程中，反馈应体现在学生对于课堂所学知识的掌握情况，同时也体现在教师对于学生解题过程中的诊断性评价．例题的自主完成要给学生足够的时间，通过学生板演反馈知识内化情况．通过反馈教师给予学生更有针对性的指导帮助，从而真正实现知识的内化．五、教学过程教学流程：问题1：小组活动，组内学生讨论总结的知识网络结构．师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】学生及时查漏补缺，让学生再经历知识由零乱到系统的过程，构建起完整的单元知识网络，为单元复习课的深入开展奠定坚实的基础，同时可以使学生逐步形成自主归纳的意识，增强归纳知识的能力．在数学课堂教学中，让学生围绕中心议题展开合作交流，能充分展示学生的主体地位，使学生从“学会”向“会学”转化，促使学生主动地、开放地学习.同时它能充分发扬民主，吸引学生参与，激活思维火花，开启智慧闸门，给学生以发展个性、展示才华的机会，使学生的探索能力得到提高与发展，另外还能培养学生的团结协作能力和社会交往能力．（二）目标训练，突出重点学生完成一组基础训练题，回顾《概率》一章基本概念和基本运算．1.下列说法正确的序号是①不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1；0,1之间；②任何事件的概率总是在()③频率是客观存在的，与试验次数无关；④随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率；⑤概率是随机的，在试验前不能确定；⑥某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的概率是0.8 ．2．下列事件：①如果a>b，那么a－b>0；②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝log a x是增函数；③某人射击一次，命中靶心；④从装有1个红球、2个白球共3个球的袋子中，摸出一球是黄球；其中是随机事件的为( )A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③3．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )A ．3个都是正品B ．至少有一个是次品C ．3个都是次品D ．至少有一个是正品4. 如果事件A 、B 互斥，且事件A 、B 分别是A 、B 的对立事件，那么（ ）A. 事件A B 是必然事件； B ．事件A B 是必然事件；C ．事件A 与B 一定互斥；D ．事件A 与B 一定互斥．5.下列结论不正确的是（ ）A. 若(A)0P =，则(A)1P =；B. 若事件A 、B 对立，则(A B)1P +=；C ．若事件A 、B 、C 两两互斥，则事件事件A 与B C +也互斥；D ．若事件A 与B 互斥，则事件A 与B 一定不互斥．6．(2014·江苏)从1、2、3、6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．7．(2013·江苏)现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m 、n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．8. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( )A. 116B. 18C. 14D. 12 9. 在长方体1111ABCD A B C D -内任意取点，则该点落在四棱锥1B ABCD -内部的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16 10. 在棱长为2正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体1111ABCD A B C D -内随机取点P ，则该点P 到点O 的距离大于1的概率是（ ）A ．12πB ．112π-C ．6πD ．16π- 学生自主完成，小组讨论，回答老师提出的问题．问题1：恒成立问题、可成立问题、不成立问题分别对应那些事件？问题2：事件的关系有哪些？问题3：事件的关系与集合论的哪些概念等价？问题4：如何利用集合韦恩图解释第4、5题？问题5：第8、9、10题的几何概型的测度分别是什么？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】通过设计一组简单的，全面包含要复习的各类知识点的题组进行引入，它的落脚点绝非是为巩固知识技能而进行的简单重复，而是将学生的知识结构分散在不同的知识之中，将渗透或运用的思想、方法有共同点的习题重新组合呈现．这种引入方式有利于激发学生反思，使其产生探究欲望，有利于学生针对具体情况建构用于指引问题解决的图式，形成背景性经验．题目的设置主要是学生以前的错题的再现与澄清，要有层次、有梯度．不仅考查学生的基础知识，还要考查学生基本能力，让学生进行限时训练，力图发现新问题，突出重点和补救性，这是对复习的数学知识和思想方法的运用，是培养学生解题能力的又一次升华．教师借题点拨，系统归纳、总结出有关的基础知识、思想方法和规律等，并板书．（三）典型例题，探究分析1.频率与概率1.下列说法中正确的个数是（）①频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生可能性的大小；②概率为0的事件一定是不可能事件，概率为1的事件一定是必然事件；③每个实验结果出现的频率之和不一定等于1；④频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值．A. 4B. 3 C．2 D．1师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．问题1：概率为0的事件一定是不可能事件吗？为什么？问题2：你能举几个实例吗？师生活动：教师引导学生设计三个测度不同的几何概型问题．2.古典概型中事件的关系和运算2.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,那么下列事件中是互斥事件的个数是( )①至少有一个白球,都是白球；②至少有一个白球,至多有一个红球；③恰有一个白球,恰有2个白球；④至少有一个白球,都是红球.A. 0B. 1C. 2D. 3问题1：分别说明每一组事件是什么关系？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．3.一个箱子中有红、黄、白三色球各一个, 求：⑴.从中不放回地抽取2个球，①有红色球的概率；②没有红色球的概率；(2).从中不放回地抽取2次，①第一次取到红色球的概率；②没有红色球的概率；(3).从中每次任取一个,有放回地抽取2次，①2次全是红球的概率；②2次颜色全相同的概率；③2次颜色不相同的概率；④2次至少有一次是红球的概率；⑤2次至多有一次是红球的概率.问题1：以上三种不同的抽取方式下的所有基本事件总数分别是多少？如何表示？渗透了哪种数学思想？问题2：分别求解各个事件的概率？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．3.几何概型中的不同测度4．如图，在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求下列事件的概率：（1）在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；（2）在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB．问题1：以上两个问题是什么概型？为什么？问题2：它们的测度分别是什么？如何求其概率？ACPB第4题问题3：本题体现了什么数学思想？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．4.古典概型和几何概型综合应用5．已知向量(1,1),(,)a b x y =-=．（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b =-的概率；（2）若,x y ∈[]1,6，求满足1a b >-的概率．问题1：以上两个问题分别是什么概型？为什么？问题2：事件A ：1a b =-等价于什么？ 事件B ：1a b >-等价于什么？问题3：第二个问题的测度是什么？如何求其概率？问题4：本题体现了什么数学思想？师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充、完善．【设计意图】数学复习离不开解题教学，应以知识和能力并重、螺旋上升的原则设置典型例题题组．对每个例题由老师设置问题链引导学生思考，突破一个个问题，从而打通解题的思路以及相关知识点之间的逻辑关系，在引导的过程中不能就题论题，而要引导学生对解题规律进行总结，对知识进行提升，做到让学生知其所以然，既重视基础知识、基本技能的训练，又重视核心思想方法的渗透，以期达到“讲一题、得一法、会一类、通一片”的效果，切实提高学生的解题能力．（四）高考链接，拓展提高1．（2016年北京高考）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）（A ）15 （B ）25 （C ）825 （D ）9252．（2016年天津高考）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ）（A ）65 （B ）52 （C ）61 （D ）31 3．（2016年全国I 高考）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）344．（2007年海南 宁夏）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．师生活动：小组讨论，代表发言交流．【设计意图】高考题有一定的系统性、针对性，有明确的考查目标和培养方向，有利于多方面地促使学生对知识本质的认识，有利于对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性．（五）归纳总结，反思升华【设计意图】教学中要有意识地关注学生在学习过程中的感悟，引导学生反思:每个题组复习了哪些知识？重温了哪些方法？用到了哪些技能？体现了哪些思想？哪道题可以推广、引申？将一题多解及多题一解的疑问交给学生，让学生深入探讨，教师要引导学生根据问题进行反思，在反思中巩固知识、深化认识、提高水平，使学生的知识就能由点到线、由线到面、由面到整体，最终形成最为科学的知识框架和体系．每次学习仅是一种经历，只有通过不断的反思，把经历提升为经验，学习才具备了真正的价值和意义.从这个意义上说，帮助学生养成学习反思的习惯，培养学生的反思意识，对学生的个性发展有不可估量的作用.布置作业：一张练习题【设计意图】课后作业是课堂教学的延伸，它既是对单元知识的巩固训练，也是对单元知识的拓展延伸，可加深对知识的理解、形成数学能力．作业设置一要有针对性，在复习中针对学生学习中的重点、难点、易错点进行选题，避免过多的重复训练．二要有层次性，作业不是一味的罗列习题，而是要将题目有梯度的安排，使每一位学生在做题中都能感受到挑战的存在．教学中还应关注学生的个体差异，允许学生思维方式的多样化和思维水平的不同层次，同时应努力为学有余力的学生提供平台，立足于单元知识，为他们提供几道拓展探究性的习题，并给予个别指导，实现分层提高．。

二 几何概型
几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验 概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并 掌握几何概型试验的两个基本特征，即每次试验中基本事件的 无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试 验的概率．下面举例说明．
【例4】 一个球形容器D的半径为3 cm，里面装有纯净 水，因不小心混入了一个感冒病毒，从中取3 mL水，则水中含 有感冒病毒的概率是多少？
一 古典概型
专题探究
计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总 个数n；②求出事件A包含的基本事件个数m；③代入公式P(A) ＝mn 求出概率．下面精选几道题分析运用公式解决问题．
【例1】 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的 四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取 出的可能性相等．
(1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下6种： (1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)． 故所求概率P＝166＝38. 即取出的两个球上标号为相邻整数的概率是38.
(2)取出的两个球上标号之和能被3整除的结果为 (1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种． 故所求概率P＝156. 即取出的两个球上标号之和能被3整除的概率为156.
第三章 概率
本章回顾
知识结构
重点知识回顾 一、要点归纳 1．根据概率的统计定义，我们可以由频率来估计概率，因此 应理清频率与概率的关系，频率是概率的近似值，是随机的，随 着试验的不同而变化，而概率是进行多次试验中的频率的稳定 值，是一个常数，不要以一次或少数次试验中的频率来估计概 率．
2．理解概率的意义，对一些随机现象作出正确的概率解释， 澄清日常生活中的一些错误认识．

第三章 概率1．本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )(事件A 与事件A 互为对立事件)求解．3．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序，做到不重不漏．4．对于几何概型事件概率的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解．题型一随机事件的概率1．有关事件的概念(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解(1)由题意得，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越多时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定．(4)不一定．题型二互斥事件与对立事件1．对互斥事件与对立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用概率加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法(1)若A1，A2，…，A n互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①是公式的使用条件，如不符合，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．3．对立事件概率的求法P(Ω)＝P(A∪A)＝P(A)＋P(A)＝1，由公式可得P(A)＝1－P(A)(这里A是A的对立事件，Ω为必然事件)．4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．例2 某人在如图所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X (单位：株)之间的关系如下表所示：(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：(2)解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株树为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46.(2)由(1)，知P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.跟踪训练2 A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C (2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各任取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小(结论不要求证明)．解 (1)C 班学生人数约为100×85＋7＋8＝100×820＝40(人)．(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5. 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，j ＝1,2，...，5，j ＝1,2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.题型三 古典概型及其应用古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．例3 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以这6件样品中来自A ，B ，C 三个地区的数量分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D “抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.跟踪训练3 甲、乙、丙3个盒中分别装有大小相等、形状相同的卡片若干张．甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A 和B ；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C ，D 和E ；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H 和I .现要从3个盒中各随机取出1张卡片，求： (1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率各是多少？ (2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率． 解 根据题意画出如图所示的树状图．由树状图可以得到，所有可能出现的基本事件有12个，它们出现的可能性相等．(1)只有1个元音字母的结果有5个， 所以P (1个元音字母)＝512；有2个元音字母的结果有4个， 所以P (2个元音字母)＝412＝13；有3个元音字母的结果有1个， 所以P (3个元音字母)＝112.(2)全是辅音字母的结果有2个， 所以P (3个辅音字母)＝212＝16.题型四 几何概型及其应用若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．例4 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4s 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4s 为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s 的概率是( ) A.14B.12C.34D.78 答案 C解析 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s”，即|x －y |≤2，其表示的区域为如图所示的阴影部分．由几何概型概率公式，得P (A )＝42－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×242＝34. 跟踪训练4 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( )A.413B.213C.113D.313 答案 C解析 设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中有22＋(x ＋2)2＝(13)2，解得x ＝1或x ＝－5(舍)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.1.两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A 1，A 2，A 3，…，A n彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：(1)试验结果是否有限且是等可能的？(2)试验的基本事件有多少个？(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．4．关于随机数与随机模拟试验问题随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，可以从以下两方面考虑：(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．。

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解 (1)表中次品频率(pínlǜ)从左到右依次为0.06，0.04，0.025， 0.017，0.02，0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率(pínlǜ)在0.02附近摆 动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－ 0.02)≥2 000，因为x是正整数， 所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
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跟踪演练(yǎn liàn)1 某射击运动员为备战奥运会，在相同 条件下讲行射击训练，结果如下：
射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心
次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心
的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击(shèjī)运动员射击(shèjī)一次，击中靶心的概率大约是多少 ？ (2)假设该射击(shèjī)运动员射击(shèjī)了300次，则击中靶心的次数 大约是多少？
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(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U， 则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)． 2．互斥事件概率的求法 (1)若A1，A2，…，An互斥：则P(A1∪A2∪…∪An)＝ P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． (2)利用这一公式(gōngshì)求概率的步骤是：①要确定这一 些事件彼此互斥；②这一些事件中有一个发生；③先求出 这一些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：① 、②两点是公式(gōngshì)的使用条件，不符合这两点，是 不能运用互斥
几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之