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2020-2021学年河南省郑州一中高三（上）第一次质检
数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M={x|x2＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）
A．∅B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜0} D．{x|x＜1}
2．若复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）
A．B．C．D．
3．已知命题，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在△ABC中，||=||，||=||=3，则=（）
A．3 B．﹣3 C．D．﹣
5．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为（）
A．3.119 B．3.124 C．3.132 D．3.151
6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A．207 B．C．216﹣36πD．216﹣18π
7．函数y=sin2x+cos2x如何平移可以得到函数y=sin2x﹣cos2x图象（）
A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移
8．函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）
A．B．C．D．
9．如图直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，△ABC为边长为2的等边三角形，AA'=4，点E、F、G、H、M分别是边AA'、AB、BB'、A'B'、BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC'A'，则动点P的轨迹长度为（）
A．2 B．2π C．D．4
10．已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．
11．已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）
A．[1，4] B．[2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）
12．已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且（m﹣2）（x﹣2）＜f（x）对任意的x＞2恒成立，则m的最大值为（）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为，则= ．
14．已知实数x，y满足不等式组则z=x+y的最小值为．
15．如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是．16．对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x∈R|f（x）=0}，μ∈{x∈R|g（x）=0}，使得|λ﹣μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点密切函数”，现已知函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）已知数列{a
n }的前n项和S
n
=，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设b
n =+（﹣1）n a
n
，求数列{b
n
}的前2n项和．
18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知，M是SD上任意一点，，且m ＞0．
（1）求证：平面SAB⊥平面MAC；
（2）试确定m的值，使三棱锥S﹣ABC体积为三棱锥S﹣MAC体积的3倍．
19．（12分）近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：
PM2.5[0，
50]（50，
100]
（100，
150]
（150，
200]
（200，
250]
（250，
300]
＞300
空气质
量优良轻微污
染
轻度污
染
中度污
染
中度重污
染
重度
污染
天数413183091115
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．
（1）试写出S（x）的表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？
附：
P（K2
≥k
0）
0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k
1.32
2.07 2.70
3.74 5.02 6.637.8710.828
，其中n=a+b+c+d．
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计100
