复杂网络(度相关性与社团结构)ppt
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复杂网络的社团结构分析页数:34
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复杂网络中分析社团结构算法研究概述页数:5
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复杂网络(度相关性与社团结构)ppt页数:20
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社团结构分析页数:41
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复杂网络(度相关性与社团结构)页数:21
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《复杂网络的同步》课件
《复杂网络的同步》PPT 课件
这是一份关于复杂网络同步的PPT课件，通过介绍复杂网络的定义、同步现象、 条件、类型、应用、挑战等内容，帮助你了解和掌握复杂网络的同步重要性 和未来发展方向。
什么是复杂网络
复杂网络是由大量节点和连接组成的非线性系统，其特点包括节点之间的相互连接和适应性。该部分将介绍复 杂网络的定义和特点。
பைடு நூலகம்
复杂网络同步的应用
复杂网络同步在科学、工程和社会领域中有广泛的应用。探讨这些应用将展 示复杂网络同步对我们生活的重要性。
复杂网络同步的挑战
实现复杂网络同步面临着一些困难和挑战，如节点异质性和网络拓扑结构等。这一部分将阐述这些挑战对复杂 网络同步的影响。
结论
通过总结复杂网络同步的重要性和未来发展方向，我们可以更好地认识到复 杂网络同步在推动科学和社会进步方面的潜力。
复杂网络的同步现象
复杂网络同步是指网络中的节点在时间上趋于一致的现象。这一部分将解释复杂网络同步的含义以及同步现象 的重要性。
复杂网络同步的条件
复杂网络同步的实现需要满足一定的条件。讨论这些条件将帮助我们了解复杂网络同步的必要性和挑战。
复杂网络同步的类型
复杂网络同步现象可以分为几种类型，例如相位同步、频率同步等。分析这 些类型将帮助我们更好地理解复杂网络同步的多样性。
复杂网络简介
1引言
两百多年来, 对这个问题的研究经历了三个阶段。在最初 的一百多年里, 科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以 用一些规则的结构表示, 例如二维平面上的欧几里德格网, 它 看起来像是格子体恤衫上的花纹; 又如最近邻环网, 它总是会 让你想到一群手牵着手、围着篝火跳圆圈舞的姑娘.
到了20 世纪50 年代末, 数学家们想 出了一种新的构造网络的方法, 在这种方 法下, 两个节点之间连边与否不再是确定 的事情, 而是根据一个概率决定. 数学家 把这样生成的网络叫做随机网络, 它在接 下来的40 年里一直被很多科学家认为是描 述真实系统最适宜的网络.
3复杂网络模型
小世界网络
上述的构造过程有可能破坏网络的连通，因此Newman和 Watts稍后提出了通过随机化加边的方法构造小世界网络的模型， 即NW 模型。还有许多改进的模型：加点、加边、去点、去边 以及不同形式的交叉，产生多种形式的小世界模型。
小世界网络具有高的聚类系数，WS小世界网络的聚类系 数为：
3复杂网络模型
小世界网络
许多现实网络如技术网络、生物网络和社会网络等，既不 是完全规则的，也不是完全随机的，而是介于两者之间。Watts 和Strogatz基于这些观察, 提出了WS模型，是指对一个具有n个 节点的环格，初始时每个节点有k个邻居，将每条边以概率p进 行随机重绕的过程。由于该模型生成的网络具有较短的特征路 径，即网络具有小世界效应，故称为小世界网络，WS模型也因 此常称为小世界网络(模型)。
-
整个网络的聚类系数C就是所有节点i的聚类系数C i的平均值, 且有0≤ C≤ 1。
对于一些无标度网络, 局部聚类系数Ci 随着节点i的度下降而下降。随 机网络的聚类系数为O(n‐1) ，当网络规模极大时趋于零，而多数现实网络 的聚类系数显著大于零，a即具有明显的聚类特性。
复杂网络的社团划分
实验三复杂网络的社团划分
a=[0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;
1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0;
1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0;
1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
说明：
1、实验目的要写清楚为什么要做这个实验，其目的是什么，做完这个实验要达到什么
结果，实验的注意事项是什么等；
2、实验题目一栏要填写清楚具体的实验题目；
3、实验原理要将实验所涉及的基础理论、算法原理详尽列出；
4、实验内容列出实验的实施方案、步骤、数据准备、算法流程图以及可能用到的实验
设备（硬件和软件）；
5、实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及最终结果，复杂的结果可用表格或图
形形式实现，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现；
6、实验结果分析要对实验的结果进行认真的分析，进一步明确实验所涉及的算法的优
缺点和使用范围，要求实验结果应能在计算机上实现或演示，由实验者独立编程实现，程序清单以附录的形式给出；
7、报告填写用“宋体”（小四）格式字体。
复杂网络介绍（NetworkAnalysis）
复杂⽹络介绍（NetworkAnalysis）⼀、复杂⽹络的进化史⽹络，数学上称为图，最早研究始于1736年欧拉的哥尼斯堡七桥问题，但是之后关于图的研究发展缓慢，直到1936年，才有了第⼀本关于图论研究的著作。
1960年，数学家Erdos和Renyi建⽴了随机图理论，为构造⽹络提供了⼀种新的⽅法。
在这种⽅法中，两个节点之间是否有边连接不再是确定的事情，⽽是根据⼀个概率决定，这样⽣成的⽹络称作随机⽹络。
随机图的思想主宰复杂⽹络研究长达四⼗年之久，然⽽，直到近⼏年，科学家们对⼤量的现实⽹络的实际数据进⾏计算研究后得到的许多结果，绝⼤多数的实际⽹络并不是完全随机的，既不是规则⽹络，也不是随机⽹络，⽽是具有与前两者皆不同的统计特征的⽹络。
这样的⼀·些⽹络称为复杂⽹络，对于复杂⽹络的研究标志着⽹络研究的第三阶段的到来。
1998年，Watts及其导师Strogatz在Nature上的⽂章《Collective Dynamics of Small-world Networks》，刻画了现实世界中的⽹络所具有的⼤的凝聚系数和短的平均路径长度的⼩世界特性。
随后，1999年，Barabasi及其博⼠⽣Albert在Science上的⽂章《Emergence of Scaling in Random Networks》提出⽆尺度⽹络模型(度分布为幂律分布)，，刻画了实际⽹络中普遍存在的“富者更富”的现象，从此开启了复杂⽹络研究的新纪元。
随着研究的深⼊，越来越多关于复杂⽹络的性质被发掘出来，其中很重要的⼀项研究是2002年Girvan和Newman在PNAS上的⼀篇⽂章《Community structure in social and biological networks》，指出复杂⽹络中普遍存在着聚类特性，每⼀个类称之为⼀个社团(community)，并提出了⼀个发现这些社团的算法。
从此，热门对复杂⽹络中的社团发现问题进⾏了⼤量研究，产⽣了⼤量的算法。
复杂网络
表现
复杂网络复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性的主要表现以下几个方面：
1）结构复杂的主要表现为节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化的主要表现为节点或连接的产生与消失。例如world-wide network，网页或链接随时可能出现 或断开，导致网络结构不断发生变化。
复杂网络
具有自组织、自相似或全部性质的网络
01 概念
03 内容 05 研究方向
目录
02 表现 04 特性
复杂网络（Complex Network），是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的 网络。特征：小世界、集群即集聚程度的概念、幂律的度分布概念。
概念
复杂网络钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部 分或全部性质的网络称为复杂网络。
第二，集群即集聚程度(clustering coefficient)的概念。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈， 其中每个成员都认识其他成员。集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念 反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的 相互关系。
3）连接样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。
5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体， 万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络 需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间 的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。
复杂网络-第二讲
t m0 t
网络度分布服从指数分布
P(k )e
k m
（2）特殊情形B： M=t+m0 在这种特殊情形，每个节点的局域世界其 实就是整个网络，因此，局域世界模型就 完全等价于BA无标度网络模型。
模块性与等级网络
模块（module）与模体（motif） 模块是指一组物理上或功能上连接在一起 的、共同完成一个相对独立功能的节点。 模体可能是复杂网络的基本模块。网络的高 聚类性表明网络可能包含由高度连接的节 点构成的子图。如三角形，正方形和五角 形，其中一些子图所占的比例明显高于同 一网络的完全随机化形式中这些子图所占 的比例。这些子图就称为模体。
j
• 可见，适应度模型与BA无标度模型的区别在于，在适应度 模型中的优先连接概率与节点的度和适应度之积成正比， 而不是仅与节点的度成正比，这样，在适应度模型中，如 果一个年轻的节点具有的较高的适应度，那么该节点就有 可能在随后的网络演化过程中获取更多的边。
局域世界演化网络模型
• 在许多实际网络中，每个节点都有各自的局域世界， 研究者们建立了局域世界演化网络模型，其构造算 法如下： • ①增长：网络初始时有m0个节点和e0条边，每次 新加入一个节点和附带的m条边。 • ②局域世界优先连接：随机地从网络已有的节点中 选取M个节点（ M m ），作为新加入节点的局域 世界，新加入的节点根据优先连接概率
Local (ki ) ' (i LW )
j
ki
Local
kj
M m0 t
j
ki
Local
kj
来选择与局域世界中的m个节点相连，其中LW是 由新选择的M个节点组成。
m M m0 t ，因此上述局域世界演化网 在t时刻， 络模型有两个特殊情形：M=m和M=t+m0。 （1）特殊情形A ： M=m 这时，新加入的节点与其局域世界中所有的节点 相连接，这等价于BA无标度网络模型中只保留增 长机制而没有优先连接。此时，第i个节点的度的 ki m 变化率为
网络度分布服从指数分布
P(k )e
k m
（2）特殊情形B： M=t+m0 在这种特殊情形，每个节点的局域世界其 实就是整个网络，因此，局域世界模型就 完全等价于BA无标度网络模型。
模块性与等级网络
模块（module）与模体（motif） 模块是指一组物理上或功能上连接在一起 的、共同完成一个相对独立功能的节点。 模体可能是复杂网络的基本模块。网络的高 聚类性表明网络可能包含由高度连接的节 点构成的子图。如三角形，正方形和五角 形，其中一些子图所占的比例明显高于同 一网络的完全随机化形式中这些子图所占 的比例。这些子图就称为模体。
j
• 可见，适应度模型与BA无标度模型的区别在于，在适应度 模型中的优先连接概率与节点的度和适应度之积成正比， 而不是仅与节点的度成正比，这样，在适应度模型中，如 果一个年轻的节点具有的较高的适应度，那么该节点就有 可能在随后的网络演化过程中获取更多的边。
局域世界演化网络模型
• 在许多实际网络中，每个节点都有各自的局域世界， 研究者们建立了局域世界演化网络模型，其构造算 法如下： • ①增长：网络初始时有m0个节点和e0条边，每次 新加入一个节点和附带的m条边。 • ②局域世界优先连接：随机地从网络已有的节点中 选取M个节点（ M m ），作为新加入节点的局域 世界，新加入的节点根据优先连接概率
Local (ki ) ' (i LW )
j
ki
Local
kj
M m0 t
j
ki
Local
kj
来选择与局域世界中的m个节点相连，其中LW是 由新选择的M个节点组成。
m M m0 t ，因此上述局域世界演化网 在t时刻， 络模型有两个特殊情形：M=m和M=t+m0。 （1）特殊情形A ： M=m 这时，新加入的节点与其局域世界中所有的节点 相连接，这等价于BA无标度网络模型中只保留增 长机制而没有优先连接。此时，第i个节点的度的 ki m 变化率为
复杂网络基础4
图4.1 100个节点的ER随机网络及其度分布 (a)ER随机网络；(b)度分布
由图4.1(b)可见，ER随机网络的度分布在10附近， 是一种均匀网络，计算得到其平均度为＜k＞≈pN＝ 1 10，所以根据式 k 可知其传播阈值为：
c
c
1 1 0.1 k pN
4.2.1流行病传播的基本模型
4. SIRS模型 SIRS模型适合描述免疫期有限或者说免疫能力有限 的疾病。 与SIR模型不同的是，在SIRS模型中，处于移除状 态的个体(治愈后具有免疫力)还会以概率γ失去免疫 力。 S (i ) I ( j ) I (i ) I ( j )
4.2.1流行病传播的基本模型
需要采用不同的数学模型来表征不同的传播规律，它 们是复杂网络传播动力学研究的基础。 传播模型中的每一类个体都处于同一种状态。基本状 态包括：易感状态(S)，即健康的状态，但有可能被 感染；感染状态(I)，即染病的状态，具有传染性； 移除状态(R)，即感染后被治愈并获得了免疫力或感 染后死亡的状态。处于移除状态的个体不具有传染性， 也不会再次被感染，即不再对相应动力学行为产生任 何影响，可以看作已经从系统中移除。 在真实系统中不同种类的传染病具有不同的传播方式， 研究它们的传播行为通常采用不同的传播模型。
d s (t ) d t i (t ) s (t ) i (t ) d i (t ) i (t ) s (t ) i (t ) dt
令有效传染率λ＝α／β，该方程存在阈值λc，当λ＜λc 时，稳态解i(T)＝0；而当λ＞λc时，稳态解i(T)＞0。 其中，T代表达到稳态所经历的时间。
4.2.1流行病传播的基本模型
复杂网络-总结的还可以
29
3.2 如何区分复杂网络中的一般连接和随机连接
• k-means • 谱聚类 • 模块Q函数
30
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• T. Hossmann, T. Spyropoulos, and F. Legendre,
"Know Thy Neighbor: Towards Optimal Mapping of Contacts to Social Graphs for DTN Routing", in Proc. INFOCOM, 2010, pp.866-874.
Figure 18.SimBet转发机制
44
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• Bubble Rap：
P.Hui,J Crowcroft,and E.Yoneki,“Bubble rap:Socialbased forwarding in delay tolerant networks,”in ACM MobiHoc,2008.
的数量。
12
1.2 复杂网络的特性
• 相似性：节点u和v的相似性反应的是节点u和v的相同邻居
节点的情况。
Figure 5.节点相似性图
13
1.2 复杂网络的特性
• 介数：节点u的介数含义为网络中所有的最短路径之中，经
过u的数量。它反映了节点u的影响力。
14
1.3 复杂网络的主要表现方面
• 复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性主
38
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• INFO:INFOCOM是IEEE组织在通信网络领域中的旗舰型会议，
也是目前国际通信网络领域的一大标志性会议。该实验是 将一种小型的蓝牙设备部署到参加参加2005年INFOCOM会议 的54为参与者身上，从而获取人们的社会行为。
3.2 如何区分复杂网络中的一般连接和随机连接
• k-means • 谱聚类 • 模块Q函数
30
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• T. Hossmann, T. Spyropoulos, and F. Legendre,
"Know Thy Neighbor: Towards Optimal Mapping of Contacts to Social Graphs for DTN Routing", in Proc. INFOCOM, 2010, pp.866-874.
Figure 18.SimBet转发机制
44
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• Bubble Rap：
P.Hui,J Crowcroft,and E.Yoneki,“Bubble rap:Socialbased forwarding in delay tolerant networks,”in ACM MobiHoc,2008.
的数量。
12
1.2 复杂网络的特性
• 相似性：节点u和v的相似性反应的是节点u和v的相同邻居
节点的情况。
Figure 5.节点相似性图
13
1.2 复杂网络的特性
• 介数：节点u的介数含义为网络中所有的最短路径之中，经
过u的数量。它反映了节点u的影响力。
14
1.3 复杂网络的主要表现方面
• 复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性主
38
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• INFO:INFOCOM是IEEE组织在通信网络领域中的旗舰型会议，
也是目前国际通信网络领域的一大标志性会议。该实验是 将一种小型的蓝牙设备部署到参加参加2005年INFOCOM会议 的54为参与者身上，从而获取人们的社会行为。
第5讲复杂网络1
Over 1 billion documents
P(k) ~ k-
R. Albert, H. Jeong, A-L Barabasi, Nature, 401 130 (1999).
28
万维网是无数个网络站点和网页的集合， 它们在一起构成了因特网最主要的部分（因 特网也包括电子邮件、Usenet以及新闻组）。 它实际上是多媒体的集合，是由超级链接连 接而成的。我们通常通过网络浏览器上网观 看的，就是万维网的内容
19
Watts D J. Six Degrees: The
Science of a Connected Age. New York: Norton, 2003
这本书对于作者在攻读博士
学位期间是如何着手研究小 世界现象的有详细的描述， 既有成功建立小世界模型的 喜悦也有未能揭示幂律特性 的遗憾。把这本书与 Barabasi的Linked一起比较 阅读会更有启发。
17 R,
Vespignani A. Evolution and Structure of the Internet: A Statistical Physics Approach. Cambridge University Press, 2004 这是一本介绍应用复杂网 络理论研究Internet结构与 演化的著作。
目前国内个人网站的数量已经突破了3000 万
29
Friends network友谊网络
Nodes: People Links: Friend
30
SCIENCE COAUTHORSHIP科技合作网络
Nodes: scientist (authors) Links: write paper together
9
复杂网络理论和应用研究-PPT课件
k C N
网络(图)的基本概念
7
2
5
2
5 1 3 7
5
3
1 5
网络(图)的基本概念
节点1到7之间的最短路13，平均路径长度5.47，
平均度为3.4，集群系数为0.48。
3、规则图和随机图
规则图的特征 如果系统中节点及其与边的关系是固定的， 每个节点都有相同的度数，就可以用规 则图来表示这个系统。 随机图的特征 如果系统中节点及其与边的关系不确定， 就只能用随机图来表示这个系统。
因特网是一个复杂网络。（本图绘制于2019年 2月6日，描绘了从某一测试站点到其他约10万 个站点的最短连结路径。图中以相同的颜色来 表示相类似的站点。Nature 2000）
1 引论
复杂网络具有如下5个特征：
•
网络的大规模性和行为的统计性:网络节点数可以有成百上千万, 甚至更多,超大规模网络的行为具有统计特性。 节点动力学行为的复杂性: 各个节点本身可以是各非线性系统 （可以有离散的和连续微分方程描述）, 具有分岔和混沌等非 线性动力学行为。 网络连接的稀疏性:一个有N个节点的具有全局耦合结构的网络 的连接数目为Ｏ（N ^2）,而实际大型网络的连接数目通常为 Ｏ(N)。 连接结构的复杂性: 网络连接结构既非完全规则也非完全随机, 但却具有其内在的自组织规律。 网络的时空演化的复杂性: 复杂网络具有空间和时间的演化复 杂性, 展示出丰富的复杂行为,特别是网络节点之间的不同类型 的同步化运动。
b
d
e
网络(图)的基本概念
节点的度分布是指网络（图）中 ) 度为 k 的节点的概率 p ( k随节点 度 的变化规律。 k
网络(图)的基本概念
【原创】社会网络分析 网络结构 网络 课件 PPT 完整版 图文
2.2 接近性
共有g-1个非中心节点，1个中心节点。中心节点的接近性是1/(g1)，标准化的结果是1；非中心节点的接近性是1/(1+2(g-2))，标 准化的结果是(g-1)/(2g-3).所以最大可能为(g-1)(1-(g-1)/(2g-3)) = (g-1)(g-2)/(2g-3)
中心度最大在星 型图取到，最小 在正则图取到
1.图属性
1.2 最大（最小）测地线距离
Eccentricity： 节点v的eccentricity表示的是这个节点 到所有其他节点之间测地线距离最长 的 半径radius： 图的半径是所有节点的eccentricity里 面最短的
直径diameter： 图的直径是所有节点的eccentricity里 面最长的
2.图中心性
2.4 声望（prestige）
Graph pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱestige
2.图中心性
2.4 中心性与声望
中心性：算出度（能找到谁） 声望：算入度（谁来找你） 和我们在现实生活当中的场景不一定匹配。例如，在微博转发构成的 数据里面，如果B转发了A的原文，形成了一条从B指向A的边，那么对 于A来说，可能算入度反而能体现中心性。所以具体问题要具体分析。
2.图中心性
2.3 中介性
在星型图中，中心节点处于g-1个节点的中心，所以他的中介性 是(g-1)(g-2)/2，则求和的结果也就是图最大可能中介性为 (g-1)(g-1)(g-2)/2
Freeman, L.C. (1979). Centrality in Social Networks I: Conceptual Clarification. Social Networks, 1, 215-239.
1 中心度最大 在星型图取 到，最小在 正则图取到
共有g-1个非中心节点，1个中心节点。中心节点的接近性是1/(g1)，标准化的结果是1；非中心节点的接近性是1/(1+2(g-2))，标 准化的结果是(g-1)/(2g-3).所以最大可能为(g-1)(1-(g-1)/(2g-3)) = (g-1)(g-2)/(2g-3)
中心度最大在星 型图取到，最小 在正则图取到
1.图属性
1.2 最大（最小）测地线距离
Eccentricity： 节点v的eccentricity表示的是这个节点 到所有其他节点之间测地线距离最长 的 半径radius： 图的半径是所有节点的eccentricity里 面最短的
直径diameter： 图的直径是所有节点的eccentricity里 面最长的
2.图中心性
2.4 声望（prestige）
Graph pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱestige
2.图中心性
2.4 中心性与声望
中心性：算出度（能找到谁） 声望：算入度（谁来找你） 和我们在现实生活当中的场景不一定匹配。例如，在微博转发构成的 数据里面，如果B转发了A的原文，形成了一条从B指向A的边，那么对 于A来说，可能算入度反而能体现中心性。所以具体问题要具体分析。
2.图中心性
2.3 中介性
在星型图中，中心节点处于g-1个节点的中心，所以他的中介性 是(g-1)(g-2)/2，则求和的结果也就是图最大可能中介性为 (g-1)(g-1)(g-2)/2
Freeman, L.C. (1979). Centrality in Social Networks I: Conceptual Clarification. Social Networks, 1, 215-239.
1 中心度最大 在星型图取 到，最小在 正则图取到
Complex_Network
复杂网络和复杂社会网络近期研究热点From：复杂社会网络的结构测度与模型研究上海交大杨波复杂网络的研究对象：复杂网络研究对象涉及来自不同学科分支领域的网络，包括生物网络（如代谢路径网络、蛋白质相互作用网络、基因调控网络、食物网、神经网络等）、技术网络（如电力传输网络、航空网、因特网、城市交通网络、铁路网络、河流网络、电话线路网络等）、信息网络（如万维网、引文网络、语义网络等）关系：生物网络（生理基础）（自然）理解方式技术网络（硬件）（人工）信息网（软件）（人工）有关社会网络的定义可表述为，社会网络是以人或人的群体为结点构成的集合，这些结点之间具有某种接触或相互作用模式（Scott 2000;Wasserman,Faust 1994）。
研究对象：人、关系。
研究方法：数学（拓扑学）物理学（统计物理）研究适用范围：大群体。
节点数量足够多。
也有研究小群体的例：基于社会网络分析法的组织知识网络及实例研究钟琦，汪克夷大连理工大学管理学研究方法：基本概念及基本数学表述：一个网络G由结点和边所构成，记为G=(V(G),E(G))。
V(G)和E(G)分别是网络的结点集合与边集合。
一条连接结点i,j∈V(G)的边记为(i,j)（或(j,i)）。
给定一个包含N个结点的对于加权网络，则邻接矩阵中元素代表了相应边上的权重，这种权重通常反映了关系强度的度量。
排除自环和多重边的情况，对于无向网络而言，A是对称的，并且对角线上元素为0；若网络是有向的，则邻接矩阵的对称性不能保证。
在邻接矩阵中，如果a ij=1，则称结点i,j是邻接的。
a ij可以不=1邻接矩阵：用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。
邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵邻接矩阵（Adjacency Matrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。
设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。
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4.2.3 余平均度
条件概率：网络中随机选取的一个度为k的节点的一个邻居的 度为j的概率，记为 Pc ( j | k ) .它与联合概率 P( j, k )之间具有如下关系：
Pc ( j | k ) Pn (k ) P( j, k ).
如果条件概率与k相关，那么就说明节点度之间具有相关性， 且网络结构具有层次结构；反之，说明网络没有度相关性。考虑到 任一条边与某个节点相连的概率与该节点的度成正比，度不相关网 络的条件概率为
其中，m(质：
（1）对称性，即
P( j, k ) P(k , j ), j, k
k max
（2）归一性，即
（3）余度分布，即
j , k k min
P( j, k ) 1,
k max
P n (k )
j k min
4.2 度相关性与同配性
4.21 高阶度分布的引入
网络的0阶度分布特性：平均度<K>=2M/N
只告诉我们网络中有多少条边，并没有给出这些边是如何安置在网络中。给定网络的节 点数N和边数M，那么任一与该网络具有相同节点数和边数的网络模型也具有相同的平均度。
网络的1阶度分布特性：度分布P(k)=n(k)/N
P( j, k ),
其中kmin和kmax分别为网络中节点的度 的最小值和最大值。
记
Pk P(k ), qk Pn (k ), e jk P( j, k ).
下式表明网络的二阶度分布特性包含了1阶度分布特性：
k Pk k
k e jk qk . k j k min
同配就是指属性相近的节点倾向于互相连接。这里的属性可 以是度也可以是其他特性，例如社会网络中个体的职业、年龄、种 族、信仰等。 社会网络同质性的两种基本解释： 1、选择，即人们倾向于和相似的人成为朋友； 2、影响，即人们由于成为朋友而相互影响，从而变得更相 为似。
社会网络面临的重大挑战：区分选择和影响这两个因素以 及如何判断哪一个因素的作用更大。 （P128）
j、k j k
jk j k jk (e jk q
q)
q k
2 j、k
2
q
k
[ k q ]2
k k
（4-16）
于是得到归一化系数（同配系数）：
r 1
2 q
jk (e
j、k
jk
q
j
q)
k
（4-17）
r>0，网络是同配的； r<0，网络异配。 r的数值大小反应了网络的同配或异配强弱程度。
4.2.5 实际网络的同配性质
蛋白质交互网络和神经网络以及交互互联网和WWW等技术都 是异配的； 科研人员合作和电影演员合作等许多现实网络呈现同配性质； 不同的在线网络呈现不同的性质。
度同配起源的解释 1、社会学 2、心理学
近些年的社会网络发展冲破了社会阶层之间的无形壁垒。 （P127）
4.2.6 同配概念的一般化
knn
je (k ) e
j j
jk
jq q
j
j k
jk
qk
k2 jq j j . k k j j jp j
4.2.4 同配系数
网络是度相关的就意味着 e jk 和 qj qk 之间不恒等。 用二者的差刻画网络的同配或者异配程度，即： （4-15） 当网络完全同配时，（4-17）达到最大，即为余度分布：
联合概率：网络中随机选取的一条边的两个端点的度分别为j和k的概率， 即为网络中度为j的节点和度为k的节点之间存在的边数占网络总数的比例。
m( j, k ) ( j, k ) j k , ( j, k ) 2 P( j , k ) ， 2M j k , ( j, k ) 1
k max
如果网络中两个节点之间是否有边相连与这两个节点的度值无 关，也就是说，网络中随机选择的一条边的两个端点的度是完全随 机的，即有
e jk q j qk , j, k
那么就称网络不具有度相关性，或者称网络是中性的；否则就称网 络具有度相关性。 对于度相关的网络，如果总体上度大的节点倾向于连接度大的 节点，就称网络是度正相关的，或称网络是同配的；如果总体上度 大的节点倾向于连接度大小的节点，就称网络是度负相关的，或称 网络是异配的。具有相同度序列/度分布的网络可以具有完全不同 的度相关性（P122图4-2）。
第4章 度相关性与社团结构
4.1 引言
度分布尽管是网络的一个重要拓扑特征，但是不能由它唯一的刻画一个网 络，因为具有相同度分布的两个网络可能具有非常不同的其他性质或行为。 为进一步刻画网络的拓扑结构，需考虑包含更多结构信息的高阶拓扑特征。 本章介绍刻画网络的二阶度分布特性（也称度相关性）的几种不同方法，包 括最为一般但较为复杂的联合概率分布、更为简洁但不宜比较的条件概率和 余平均度以及可以定量刻画度相关性但过于粗略的相关系数。 即使是联合概率分布也仍然不能完全刻画网络拓扑。一个典型例子就是 复杂网络的社团结构；实际网络往往可以视为是由若干个社团构成，每个社 团内部的节点之间的连接相对较为紧密，但是各个社团的连接相对比较稀疏。 本章将介绍大规模网络社团结构分析所面临的挑战以及几个有代表性的算法。
其中n(k)是网络中度为k的节点数；度分布刻画了网络中不同度的节点各自所占的比例。 显然度分布中已经包含了平均度的信息 k kP(k ).
具有相同度分布的两个网络可能具有非常不同的其他性质或行为。eg:P121
为进一步刻画网络的拓扑结构，考虑包含更多结构信息的高阶拓扑特性。
k 0
4.2 联合概率分布（2阶度分布特性）
k'e
kk '
如果 knn (k ) 是k的增函数，那么就意味着平均而言，度大的 节点倾向于与度大的节点连接，从而表明网络是同配的；反之， 那么就意味着平均而言，度大的节点倾向于与度小的节点连接，从 而表明网络是异配的；如果网络不具有度相关性，那么 knn (k ) 是 一个与k无关的常数：
' ' k P ( k ) ' Pn (k | k ) Pn (k ) . k
knn (k ) 与条件概率和联合概率之间具有如下关系：
knn (k )
k max k ' k min
1 kP c (k | k ) qk
' '
k max
k ' k min