2020版高考数学(理)一轮总复习层级快练：第八章 立体几何 作业56 含解析

由 OP2＋OB2＝PB2 知 OP⊥OB. 由 OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知 PO⊥平面 ABC.
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答案
②作 CH⊥OM，垂足为 H.又由①可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM.
故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离． 由题设可知 OC＝12AC＝2，CM＝32BC＝432，
答案
解析 如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面 PBC. 又∵BC⊂平面 PBC，∴PA⊥BC.同理 PB⊥AC，PC⊥AB. 但 AB 不一定垂直于 BC.
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课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
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1．设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l⊂α，m⊂ β，下列结论正确的是( )
A．若 l⊥β，则 α⊥β B．若 α⊥β，则 l⊥m C．若 l∥β，则 α∥β D．若 α∥β，则 l∥m
答案 A
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答案
解析 由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面 HEF，故选A.
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学科素养直线与平面垂直的判定与性质 角度1 利用线线垂直证明线面垂直 例 2 (1)(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝2 2， PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点．

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触类旁通 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的 情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意 判定．
2通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出 一个反例即可.
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(2)(2019·贵州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观 图可以是( )
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即时训练 2.(2019·桂林模拟)已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么△
ABC 的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A. 43a2
B. 83a2
C. 86a2
D. 166a2
答案 D
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答案
解析 如图①、②所示的平面图形和直观图．
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6．(2019·四川模拟)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体 积是________．
答案
3 3
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答案
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在长方体(长为 2 3，宽、高均为 1)中作出此三棱锥，如图所示，
则 VP－ABC＝13×12×2
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第七节立体几何中的向量方法［最新考纲］［考情分析］［核心素养］1。

理解直线的方向向量与平面的法向量。

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。

4。

能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

主要通过空间角(异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角）的求法考查向量方法应用，多为解答题第2问，分值为12分.1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算‖知识梳理‖空间角的求法（1)求异面直线所成的角设a,b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π）错误!错误!求法cos β＝a·b|a｜｜b|cos θ＝｜cos β|＝｜a·b|｜a｜｜b｜►常用结论两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．(2）求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sin θ＝错误!｜cos<a，n〉|＝错误!错误!．(3）求二面角的大小①如图①,AB，CD是二面角α－l－β的两条面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝错误!〈错误!，错误!>．②如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ｜＝错误!|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．►常用结论解空间角最值问题时往往会用到最小角定理cosθ＝cosθ1cos θ2如图，若OA为平面α的一条斜线,O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角,即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2。

第5讲直线、平面垂直的判定及性质配套课时作业1．若α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若α⊥β，m⊂α，则m与β平行、相交或m⊂β都有可能，所以充分性不成立；若m⊥β，m⊂α，则α⊥β，必要性成立，故选B.2．(2019·重庆模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，故A错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；对于D，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D正确．故选D.3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析若α∥β，由题中条件可知m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；若l⊥β，则有l∥n，与题设条件l⊥n矛盾，故B错误；由于m⊥α，n⊥β，则m，n都垂直于α，β的交线，而m和n是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面γ，则α，β的交线垂直于平面γ，同理也有l⊥γ，故l平行于α，β的交线，C错误，D 正确．4．(2019·襄阳模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行答案 D解析如图所示，连接C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A，C正确，D 错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析因为在图1中，AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，所以AD⊥BC.在图2的四面体ABCD中，AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD 与BC是异面直线，所以AD与BC的位置关系是异面且垂直．6．(2018·济南模拟)已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是( )A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD答案 D解析A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD 不垂直．故选D.7．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )答案 A解析A中，CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB 与CD夹角的正切值为 2.故选A.8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案 D解析 因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，所以AB ⊥平面ADC ，即平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.9．(2019·甘肃二诊)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝4，若在棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0,2]C ．(1，3]D ．[1,4)答案 B解析 连接DP ，由D 1P ⊥PC ，DD 1⊥PC ，且D 1P ，DD 1是平面DD 1P 上两条相交直线，得PC ⊥平面DD 1P ，PC ⊥DP ，即点P 在以CD 为直径的圆上，又点P 在AB 上，则AB 与圆有公共点，即0<AD ≤12CD ＝2，故选B.10．如图，在三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，PC 上的动点，则下列说法错误的是( )A ．当AE ⊥PB 时，△AEF 一定是直角三角形 B ．当AF ⊥PC 时，△AEF 一定是直角三角形 C ．当EF ∥平面ABC 时，△AEF 一定是直角三角形D ．当PC ⊥平面AEF 时，△AEF 一定是直角三角形 答案 B解析 由PA ⊥底面ABC ，得PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，BC ⊥AE .又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，故A 正确；当EF ∥平面ABC 时，因为EF ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，所以EF ∥BC ，故EF ⊥平面PAB ，AE ⊥EF ，故C 正确；当PC ⊥平面AEF 时，PC ⊥AE ，又BC ⊥AE ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，故D 正确．故选B.11．(2019·绵阳一诊)已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，则①m ⊥β；②l ⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 答案 ②④解析 因为γ∩β＝l ，所以l ⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m ，l ⊥m ，所以l ⊥α；因为γ∩β＝l ，所以l ⊂β，又l ⊥α，所以α⊥β.由于β可以绕l 转动，位置不定，所以m ⊥β和β⊥γ不一定成立，即②④正确，①③错误．12．(2019·西安模拟)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .答案 BM ⊥PC (或DM ⊥PC )解析 ∵△PAB ≌△PAD ，∴PB ＝PD ，∴△PDC ≌△PBC ，当BM ⊥PC 时，有DM ⊥PC ，此时PC ⊥平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .故填BM ⊥PC (或DM ⊥PC )．13．(2019·泉州模拟)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，V A －D 1PC ＝V P －AD 1C ，点P 到平面AD 1C 的距离即为线BC 1与平面AD 1C 的距离，为定值，故①正确；对于②，因为平面A 1C 1B ∥平面ACD 1，所以线A 1P ∥平面ACD 1；对于③，由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直于BC 1，故③错误；对于④，由于B1D⊥平面ACD1，所以平面PDB1⊥平面ACD1.14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴DE∥A1C1.∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1.∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥A 1C 1. ∵A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.∵B 1D ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥B 1D ， 又∵B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，∴B 1D ⊥平面A 1C 1F . ∵直线B 1D ⊂平面B 1DE ， ∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .15．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若PC ＝2，求三棱锥C －PAB 的高． 解 (1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC .因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . (2)由PC ＝2，PC ⊥CB ，得S △PBC ＝12×(2)2＝1.由(1)知，AC 为三棱锥A －PBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA ＝AB ＝PB ＝2， 于是S △PAB ＝12×22×sin60°＝ 3.设三棱锥C －PAB 的高为h ，则1 3S△PAB·h＝13S△PBC·AC，13×3h＝13×1×2，解得h＝63，故三棱锥C－PAB的高等于63.16．(2019·河北衡水中学模拟)如图，在底面为梯形的四棱锥S－ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，AD＝DC＝2，SA＝SC＝SD＝2.(1)求证：AC⊥SD；(2)求三棱锥B－SAD的体积．解(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD.∵SA＝SC，∴OS⊥AC.∵DA＝DC，∴DO⊥AC.又∵OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO＝O，∴AC⊥平面SOD，且SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD.(2)连接BD，在△ASC中，∵SA＝SC，∠ASC＝60°，点O为AC的中点．∴△ASC为正三角形，且AC＝2，OS＝ 3.∵在△ADC中，DA2＋DC2＝4＝AC2，O为AC的中点，∴∠ADC＝90°，且OD＝1.∵在△SOD中，OS2＋OD2＝SD2，∴∠SOD＝90°.∴SO⊥OD.又∵OS ⊥AC ，且AC ∩DO ＝O ，∴SO ⊥平面ABCD .∴V B －SAD ＝V S －BAD ＝13S △BAD ·SO ＝13×12AD ·CD ·SO ＝13×12×2×2×3＝33.17．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，且EC ＝2FB .(1)证明：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1；(2)若AB ＝EC ＝2，求三棱锥C －AEF 的体积．解 (1)证明：取AE 的中点G ，AC 的中点M ，连接MG ，GF ，BM ，则MG ＝12EC ＝BF ，MG ∥EC ，又MG ∥EC ∥BF ，∴四边形MBFG 是平行四边形， ∴MB ∥FG .∵MB ⊥AC ，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ， ∴MB ⊥平面ACC 1A 1， ∴FG ⊥平面ACC 1A 1. ∵FG ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)得FG ⊥平面AEC ，FG ＝BM ＝3，所以V C －AEF ＝V F －ACE ＝13×S △ACE ×FG ＝13×12×2×2×3＝233.。