ScienceandTechnology&Innovation┃科技与创新2020年第17期
·67·文章编号：2095－6835（2020）17－0067－03
基于MATLAB的二自由度和四自由度汽车振动模型分析
金琦珺，罗骞＊
（武汉理工大学汽车工程学院，湖北武汉430070）
摘要：以普通乘用车为例，将汽车简化成独立悬架整车二自由度与四自由度动力学模型，根据牛顿第二定律求
出系统的运动微分方程，并利用MATLAB研究了汽车振动的频率响应特性，求解得到该振动系统的固有频率和各
主振型，绘制出车身、前后轴振动对前后轮激励的频率响应曲线图。并着重研究了轮胎阻尼对汽车平顺性的影响。
该研究能够对减轻汽车振动及提高汽车行驶平顺性提供一定有益的参考。
关键词：MATLAB；二自由度：四自由度；自由振动
中图分类号：TH701文献标识码：ADOI：10.15913/ki.kjycx.2020.17.026
1引言
机械振动对于人类的生产生活来说是一把双刃剑，既可
以服务于人类，又对人类的生产活动有重大危害。机械振动
既有有利的一面也有有害的一面。需对振动进行动态分析，
通过研究物体偏离平衡位置的位移、速度、加速度等的动态
变化来达到目的。在物体的平衡点附近出现的物体的来回运
动，有线性和非线性两种振动模式。由于外界对系统的激励
或作用，使得机械设备产生噪声及有损于机械结构的动载
荷，从而影响设备的工作性能和寿命。尤其是发生共振情况
时，可能使机器设备受到损坏，所以急需对机械振动的相关
原理进行研究。为了合理减小振动对设备的危害，充分利用
振动进行机器运作，对机械振动产生的规律进行了探讨和研
究。随着计算机智能系统的快速发展，相关的仿真技术都出
现了极大的提升空间，在日常的生产活动中，人们经常用到
的相关软件有adams、abaqus等。目前MATLAB计算机软
件在计算机的仿真方面使用更加广泛一些，MATLAB是一
款拥有强大绘图能力的工程计算高级计算机语言。
1.复习模态分析理论
1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等）
系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H()是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。即有：
i()()edtHhtt 1i()()ed2πthtH ()()ed0stHshtt 1i()()edi2πisthtHs
复频率响应的实部 21(/)Re[()]222[1(/)](2/)nHnn
复频率响应的虚部 2/Im[()]222[1(/)](2/)nHnn
单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征1(w)2Hkmwjk，对频响函数特征的描述采用的几种表达式
1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线
2）相频图：相位与频率之间的关系曲线
3）实频图：实部与频率之间的关系曲线
4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线
5）矢端轨迹图（Nyquist图）
1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式
频响函数的基本表达式：11111()22222100Hmkkmjkjj
频响函数的极坐标表达式：()|()|jHHe，11w2221Hk（） —幅频特性，
arctan21—相频特性。
频响函数的直角坐标表达式：()()()RIHHjH，211()2221RHk—实频特性，1()2221IHk—虚频特性
频响函数的矢量表达式：()()()RIHHHij
1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征
幅频特性：1|()|0Hk
固有频率：0D
阻尼比：00BA
多自由度振动系统分析
引言：
振动是物体在受到外力作用后，由于其固有特性而产生的周期性运动。在实际生活和工程中，我们经常会遇到各种各样的振动现象，如桥梁的振动、机械系统的振动等。而多自由度振动系统是一种复杂的振动系统，其分析和研究对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。
一、多自由度振动系统的基本概念
多自由度振动系统是指由多个质点组成的振动系统，每个质点都可以在空间中自由运动。在这种系统中，每个质点都有其自身的质量、刚度和阻尼等特性。多自由度振动系统的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到，其中包括了每个质点的加速度、速度和位移等信息。
二、多自由度振动系统的分析方法
1. 模态分析
模态分析是一种常用的多自由度振动系统分析方法。它通过求解系统的特征值和特征向量，得到系统的固有频率和振型。在模态分析中，我们可以利用拉格朗日方程对系统进行建模，并通过数学方法求解得到系统的模态参数。模态分析可以帮助我们理解系统的固有特性，如共振频率、振动模态等。
2. 频域分析
频域分析是一种基于傅里叶变换的多自由度振动系统分析方法。通过将系统的运动方程转化为频域中的复数形式，我们可以得到系统在不同频率下的响应。频域分析可以帮助我们研究系统在不同频率下的振动特性，如频率响应函数、频谱等。
3. 时域分析 时域分析是一种基于时间的多自由度振动系统分析方法。它通过求解系统的运动方程，得到系统在不同时间下的响应。时域分析可以帮助我们研究系统的动态特性，如振动幅值、振动周期等。
三、多自由度振动系统的应用
多自由度振动系统的分析和研究在工程领域有着广泛的应用。例如，在桥梁工程中，我们需要对桥梁的振动特性进行分析，以确保桥梁在自然灾害或车流等外力作用下的安全性。在机械工程中，我们需要对复杂机械系统的振动进行分析，以减少系统的振动噪声和提高系统的稳定性。此外，多自由度振动系统的分析方法还可以应用于建筑结构、航空航天等领域。
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第4章 多自由度系统的振动题解
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4-1 在题3-10中，设m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。
题4-1图
解：由题3-10的结果
，，，
代入，，
可求出刚度矩阵K和质量矩阵M
；
由频率方程，得
，
为求系统主振型，先求出adjB的第一列
分别将频率值代入，得系统的主振型矩阵为
题4-2图
4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角和物块位移x为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。
设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到，
，
设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到，
，
得作用力方程为
由频率方程，得
题4-3图 4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为m1及m2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m1=m2=m和k1=k2=k时系统的固有频率。
解：如图取为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，
整理得到，
则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，
，
系统的质量矩阵为
由频率方程，并代入已知条件得，
整理得到 ,求得，。
用刚度影响系数法求解刚度矩阵。令，分别由两杆的受力图，列平衡方程为
；
同理，令得到
题4-4图
4-4 题4-4图所示，滑轮半径为R，绕中心的转动惯量为2mR2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。
解：如图选x1，x2，x3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵。
设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，
