多自由度振动系统分析

1.复习模态分析理论

1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等）

系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H()是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。即有：

i()()edtHhtt 1i()()ed2πthtH ()()ed0stHshtt 1i()()edi2πisthtHs

复频率响应的实部 21(/)Re[()]222[1(/)](2/)nHnn

复频率响应的虚部 2/Im[()]222[1(/)](2/)nHnn

单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征1(w)2Hkmwjk，对频响函数特征的描述采用的几种表达式

1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线

2）相频图：相位与频率之间的关系曲线

3）实频图：实部与频率之间的关系曲线

4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线

5）矢端轨迹图（Nyquist图）

1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式

频响函数的基本表达式：11111()22222100Hmkkmjkjj

频响函数的极坐标表达式：()|()|jHHe，11w2221Hk（） —幅频特性，

arctan21—相频特性。

频响函数的直角坐标表达式：()()()RIHHjH，211()2221RHk—实频特性，1()2221IHk—虚频特性

频响函数的矢量表达式：()()()RIHHHij

1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征

幅频特性：1|()|0Hk

固有频率：0D

阻尼比：00BA

4.2 多自由度系统的固有频率与主振型

自由振动微分方程：

设它为：

可得如下主振型方程

（4-11）与（4-12）化成具有相同的形式，对（4-11）式两端乘以，可得

可化为

）可化为

）就有着相同的形式。 柔度矩阵之间存在着互逆关系，即有 或

两种系统矩阵之间有着互逆关系：

、柔度矩阵以及质量矩阵一般都是对称矩阵，但是其系统矩阵和一般已不再是对称矩阵。

振型问题。鉴于方程（4-15）与（4-17）属于同一形式，故只需讨论其中之一。

征方程。对它展开的结果，可得一个关于的次代数方程：

（4-20） 的特征根，亦称矩阵的特征值。特征值与系统固有频率之间有如下关系：

可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的，有

上述结论。

半正定）的系统，称为正定系统（或半正定系统）。所以，上述结论可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征18），可求得各个相应的，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵的特征矢量。这样，对于任何一个自由度系征矢量）。 统的特征矢量也可以从的伴随矩阵得出。事实上，按逆阵的表示，有

中各列与充其量只相差一个常数乘子。 统中，有，。求系统的主振型。

（4-23）

中第三列正是取为基准的主振型：

第三章 两自由度系统振动

§3-1 概述

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]

第２０卷第２期　北京工商大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．２０　Ｎｏ・２　２００２年６月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｂｕｓｉｎｅｓｓ　ＵｎｉＶｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａＩ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊｕｎ・２００２　文章编号：１６７１—１５１３（２００２）０２—００４９—０３　多自由度系统振动方程的确定　江　伟，　王锡明　（北京工商大学机械自动化学院，北京　１０００３７）　摘　要：解决多自由度系统振动问题要正确建立多自由度系统振动方程式．正确确定系统的惯性　矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵．用达朗伯原理和动力学基本定理解决这个问题．　关键词：惯性矩阵；刚度矩阵；阻尼矩阵　中图分类号：ＴＢ１２３　文献标识码：Ａ　建立由若干质点或物体组成的多自由度系统的　振动方程式可采用两种方法．一种方法是用动力学　的基本定律或定理直接对系统中的质点或物体建立　各自的运动方程式，这些运动方程式的总和就是系　统运动方程式．对于一些简单的问题采用这种方法　比较直接简便．第二种方法是分析力学的方法，对于　一些自由度数目较多的系统，合理地选取系统的广　义坐标，求出动能和势能用广义坐标表示的表达式，　在存在非势力时再用计算虚功的方法求得广义力，　就可比较简单的得到运动微分方程式．与动力学方　法相比这种采用了拉格朗１３方程式建立的运动方程　式比较规格化＿＿】］．　１有阻尼多自由度系统运动微分方程　式　有阻尼多自由度系统运动微分方程式的形式　为：　［　］［孑］＋［ｃ］［弓］＋［Ｋ］［ｇ］一ｆｒ］．　（１）　式中，［　］为惯性矩阵，Ｉｔ］为阻尼矩阵，［Ｋ］刚度矩　阵，以上三个矩阵是由系统自身性质决定的：　］由系统广义坐标构成，称为广义坐标的列向　量；［　］是广义坐标对时间的一阶导数；Ｅｑ］是广义　坐标对时间的二阶导数；ＩＦ］作用于系统上的力组　成的列向量．　故（１）式可写成具体的形式为：　ｇ１　ｑ２　：　●　●　：　ｑ　≯　ｇ　２惯性矩阵的确定　当［ｇ］和Ｅｑ］为零向量时（２）式变为：　收稿Ｅｌ期：２００１—１２—２６　作者简介：江伟（１９７６－－），男，江西南昌人，研究生，研究方向为转子动力学．　＋　＋