《微积分》讲义
第一章 极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴ x 为变量；⑵ A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝A f＝A， f＝A
例：判定 是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴ ＝f± g
⑵ ＝f · g
⑶ ＝ …… g≠0
⑷ k·f＝k· f
四、例：
⑴
⑵
⑶
⑷
五、两个重要极限 ⑴ ＝1 ＝1
⑵ ＝e ＝e ………
型
理论依据：
⑴ 两边夹法则：若f≤g≤h，且 limf＝limh＝A，
则：limg＝A
⑵ 单调有界数列必有极限。
例题：
⑴ ＝
⑵ ＝
⑶ ＝
⑷ ＝
⑸ ＝
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理： f＝A f＝A＋a （ a＝0）
七、函数的连续性 1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴ x0时，y0。即： y＝0
⑵ f＝f
⑶ 左连续： f＝f 右连续： f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：
⑴ 若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。
⑵ 若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数 f(j(x)) 在点处连续。
例： ＝
＝
＝
4、函数的间断点：
⑴ 可去间断点： f＝A，但 f 不存在。
⑵ 跳跃间断点： f＝A ， f＝B，但 A≠B。
.
. . . 经济数学微积分学习讲义
合川电大兰冬生
知识点一：5个基本函数
1，常数函数，cy （c是常数）
例如：3y，1y，这些函数可以看成是x隐含，例如3y可看成30xy。
2，幂函数，xy（是一个数）
形如2xy，3xy，5xy是幂函数，
注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2xy是幂函数，22xy就不是幂函数，只能是下面x，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此
3，指数函数，xay，（a是一个数）
例如：xy2，xy23不是指数函数。
4，对数函数xyalog，这里要求x必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”
这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是xyln，他是xyelog的简写，e是一个数，718.2e，和我们知道的14.3一样，另一个是xylg，他是xy10log的简写。
5，三角函数xysin，xycos，
特别注意的是xysin2，xy2sin，都不是三角函数。
这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
例如：12sin232xxeyx，二次函数，由幂函数，常数函数构成632xxy。
知识点二：极限
1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数.
. . . 列。数学符号记为：}{na
例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n2 变化，,4,3,2,1,0n……
1，21，41，81，……，发展规律依n21 变化，,4,3,2,1,0n……
2，极限
学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小”
- 1 - 隐函数存在定理几何解释
隐函数存在定理是微积分学中的一个重要定理，它告诉我们，如果给定一组方程，其中至少有一个方程无法表示成 y=f(x) 的形式，但是这组方程在一定条件下仍然能够确定一个函数 y=f(x)，那么这个函数就是隐函数存在的。这个定理在数学上有着重要的应用，但是它的几何解释也非常有趣。
我们可以将隐函数存在定理的几何解释简单地描述为以下三步：
1. 给定一个曲面 S，它的方程可以用 f(x,y,z)=0 来表示。
2. 假设我们想要在曲面 S 上找到一个函数 z=f(x,y)。
3. 如果在曲面 S 上每个点 (x,y,z) 的某个邻域内，存在唯一的 z=f(x,y) 与 f(x,y,z)=0 同时成立，那么 z=f(x,y) 就是隐函数存在的。
这个几何解释告诉我们，如果一个曲面在某些点上不是 y=f(x)
的形式，但是在这些点的某个邻域内，曲面上的每个点都可以用
y=f(x) 的形式表示，那么这个曲面就存在一个隐函数 y=f(x)。这个隐函数与曲面的几何形状密切相关，它可以帮助我们理解曲面的特征。
隐函数存在定理的几何解释提供了一种直观、有趣的方法来理解这个重要的数学定理。它让我们看到了数学与几何之间的紧密联系，同时也让我们认识到了数学的实用性。
多元函数的隐函数公式推导
在微积分学中，多元函数的隐函数是一种十分重要的概念。由于多元函数在不同的自变量下可能有不同的函数值，因此有时候我们需要通过隐函数来表示其具体的函数形式。而隐函数公式就是用来求解隐函数的一种方法。在本篇文章中，我们将深入探讨多元函数的隐函数公式的推导过程。
假设有一个二元函数 $f(x,y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是独立的变量。现在我们要求得 $f(x,y)=c$ 这条曲线的表达式，其中 $c$ 是一个常数。此时，我们可以使用隐函数来表示 $y$ 关于 $x$ 的函数形式。假设 $y=g(x)$，那么 $f(x,g(x))=c$，即 $g(x)$ 是方程 $f(x,y)=c$ 的解。
对于一般的二元函数 $f(x,y)$，求出其隐函数是一件相当困难的事情。但是，如果我们可以找到一个点 $(x_0,y_0)$，使得在该点处 $f(x_0,y_0)=c$，同时 $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq
0$，那么我们就可以使用隐函数公式来求出 $y$ 关于 $x$ 的函数形式。
隐函数公式可以表示为：
$$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial
x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$$
其中，$\frac{\partial y}{\partial x}$ 表示在曲线 $f(x,y)=c$ 上，$y$ 关于 $x$ 的斜率。根据链式法则，我们可以得到：
$$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial
y}\frac{\partial y}{\partial x}=0$$
我们可以将上式变形得到隐函数公式：
$$\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial
