河南省洛阳市高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
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1 洛阳市2016年第一学期期末考试
高二数学理科试题卷
一、 选择题
1. 已知集合21{|1},{|1}AxxBxx，则ABI（）
A. (－1, 0) B. (0, 1) C. (1, +∞) D. Ф
解析：{|11},{|0 or 1}AxxBxxx
答案：A
解析：求集合交集转换为解不等式问题
{|11},{|0 or 1}AxxBxxx，故选A
注意B集合要讨论求解.
2. 已知实数x,y满足不等式组113xyxy，则y/x的最大值为（）
A.0 B.1/2 C.1 D.2
答案：D
解析：转化为求交点到原点连线斜率问题
交点分别是(1,1),(1,2),(2,1)，分别代入得斜率1,2,1/2
故选D
3. 抛物线24yx的准线方程为（）
A.x=-1 B.y=-1 C.x=-1/16 D.y=-1/16
答案：D
解析：转化为抛物线标准方程2/4xy，故选D
4. 已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，260,Bbac，则A=（）
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：C
解析：考查余弦定理
2222cosbacacBac，因此2()0ac，a=c
等边三角形，故选C
5. “方程22121xynn表示双曲线”是“n>-1”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：双曲线要求(2)(1)0nn，因此n>-1或n<-2 2 6. 已知等差数列{}na中，前n项和为Sn，1100710080,0aaa，则当Sn取最大值时，n=（）
A.1007 B.1008 C.2014 D.2015
答案：A
解析：把题设条件转换为首项和公差
112201302/2013adad
211(1)[(12/d)]22nnndSnadnan 对称轴为n=2014/2
7. 双曲线2222:1(0,0)xyCabab与直线y=x交于不同的两点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）
A.(1,2)(2,)U B. (2,) C. (1,2) D. (2,2)
答案：B
解析：转化题设条件为渐近线斜率的限制范围
||1ba即222112beea
8. 已知ABCD-A’B’C’D’为正方体，则二面角B-A’C’-A的余弦值为（）
A. 23 B.22 C.63 D. 32
答案：C
解析：把二面角转换为平面角
如图所示，sin''/BEBBBBE
9. 若命题“2(1,),(2)20xxaxa”为真命题，则实数a的取值范围是（）
A. (－∞，－2] B. (－∞，2] C.[－2，2] (1, +∞) D. (,2][2,)U
答案：B
解析：考查分类整合能力
（1）二次函数开口向上，当判别式≤0时恒有f(x)≥0，解得22a
（2）当判别式>0时，21x，解得2a
综上，a≤2
10. 已知椭圆2212516xy与双曲线2215xym有共同的焦点12,FF，两曲线的一个交点为P，则12PFPFuuuruuuur的值为（）
A. 3 B.7 C. 11 D. 21
答案：C 3 解析：椭圆与双曲线同焦点，解得m=4
设焦半径1122rPFrPF，根据圆锥曲线定义得121210,4rrrr
解得127,3rr，而焦距为6，由余弦定理得
22273611cos22121，因此数量积为37cos11
11. 已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，以下说法：
①在ABC中，“a,b,c成等差数列”是“22A3coscos222Cacb”的充要条件；
②命题“在锐角ABC中，sinsin.AB”的逆命题和逆否命题均为真命题；
③命题“对任意ABC，sinsinsin.ABC”为假命题.
正确的个数为（）
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
答案：B
解析：综合考查解正弦定理的正反应用
显然②③均不正确，下面只证明命题①的正确性
必要性：首先化简得(1cosC)(1cos)3acAb
已知sinsin()sincosCcossinCBACAA，使用正弦定理得cosCcosbacA
因此(cosCcos)3acacAb，即2acb
充分性：23acbabcb，把cosCcosbacA代入得
(cosCcos)3acacAb，即22A3coscos222Cacb
12. 如图，设椭圆2222:1(0)xyEabab的左右顶点分别为12,AA，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，且2//ABOP，2105FA，过A2作x轴的垂线l，点M是l上任意一点，1AM交椭圆于点N，则OMONuuuuruuur（）
A. 10 B.5 C. 15 D. 随点M在直线l上的位置变化而变化
答案：A
解析：已知点坐标12(,0),(,0)AaAa，(,0),(0,)FcBb
因此直线OP的斜率等于BA2的斜率/kba
由通径知2(,)bPca，故OP的斜率2bbkbcaca
由于2105FAac联立方程解得221105xy 4 取特殊位置M与A2重合处，向量的数量积为210a，故选A
二、 填空题
13. 已知数列{}na的前n项和公式为23nnSn，则678aaa___
答案：215
解析：考查错差法求通项公式
11123(233)23nnnnnnaSSnn
取n=6,7,8代入求和即可
14. 已知实数x,y满足2214xy，则x+2y的最大值为___
答案：22
解析：考查参数方程
2cos,sinxy代入目标函数得22(cossin)22sin()xy
15. 四棱柱ABCD-A’B’C’D’各棱长均为1，1160AABAADBAD，则点B与点D1两点间的距离为___
答案：2
解析：考查棱柱的性质
显然ABD三边相等，可知AA1⊥BD
四条侧棱相互平行，因此DD1⊥BD
等腰1RTBDD中斜边BD1＝2
16. 已知222:0,:210(0)2xpqxxmmx，命题“若p则q”为假命题，“若q则p”为真命题，则实数m的取值范围是为___
答案：m≥3
解析：逆否命题与原命题等价，于是若p则q，故集合P是集合Q的子集
{x|2x2}P {x|11}Qmxm
12312mmm
三、 解答题
17. （10分）已知2:21paxa，2:3(1)620qxaxa，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.
解析：若P是Q的子集，则xP是xQ的充分条件
:(2)((31))0qxxa 5 当3a+1≥2时，222131aaa解得[1,3]
当3a+1≤2时，223112aaa解得a=-1
综上，131aa或
18. 已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，cos3sin0aCaCbc.
(1)求角A;
(2)若a=2，ABC面积为3 求b,c.
解析：考查正弦和余弦定理
(1)由正弦定理得sincos3sinsinsinsin0ACACBC
其中sinsin()BAC，因此3sinsincossinsin0ACACC
由于sin0C，化简为3sincos1AA即2sin(/6)1A
因此/6/6A，/3A
(2) ABC面积为3 转换为13sin424SbcAbcbc
由余弦定理得2222cosabcbcA，因此228bc
综上，b=c=2
19. 已知等差数列{}na的首项11a，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{}nb的第2项、第3项、第4项.
(1)求数列{}na与{}nb的通项公式;
(2)设数列{}nc对于任意*nN均有3121123...nnnccccabbbb成立，求cc的值.
解析：(1)依题意得221baad，3514baad，414113baad
由等比中项得2(14)(1)(113)ddd，解得d=2或0（舍）
因此12(1)21nann
2343,9,27bbb故首项为1，公比为3 6 因此13nnb
(2)考查通项作差法
31121231...nnnccccabbbb
作差得1123nnnnnncaadcb，
注意到12113cacb因此数列131231nnncn
因此2014201520156(13)3313S
20. 已知抛物线2:2(0)Expyp 直线2ykx 与E交于A,B两点，且2OAOBuuuruuur
其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点C(0,-2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1,k2，求222122kkk的值.
解析：(1)平面向量坐标运算，故设1122(,),(,)AxyBxy
联立直线与抛物线方程得2240xpkxp
因此12122,4xxpkxxp，212121212(2)(2)2()44yykxkxkxxkxx
由数量积得12122xxyy，即p=1/2，故抛物线方程为2xy
(2)由(1)知1212,2xxkxx
依题意得2211221211222222,yxyxkkxxxx
22222222121212122222212221112121222121212222()()2()22()()2()2()2()816xxkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
21. 已知函数21()lnfxxx.
(1)求函数f(x)在21[,]ee上的最值；
