高考数学复习指数函数和对数函数教案
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高考数学复习指数函数和对数函数教案
一．知识整理：
基本概念及相关知识点：
1、对数、对数的底数、真数：一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记为logaN=b．a叫做对数的底数．N叫做真数．负数和零没有对数．
2、常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数．
3、自然对数：以e为底的对数叫自然对数，N的自然对数logaN简记作lnN．
4、对数的运算性质：
如果a＞0，a≠1，M>0，N>0，那么
（1）loga（MN）=logaM＋logaN； （2）NMalog=logaM－logaN；
（3）logaMn=nlogaM（n∈R）．
5、对数换底公式： bNNaablogloglog(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)
6、指数函数：函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量,函数的定义域是R．
7、指数函数的图象与性质：
a＞1 0＜a＜1
图
像
（1）定义域：R
（2）值域：（0+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
(4)在R上是增函数 （4）在R上是减函数
8、对数函数：
函数y= logax（a>0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0,+∞）．
9、对数函数的图象与性质：
a>1 0＜a＜1
图
像
性
质 （1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即x＝1时，y＝0
(4)在（0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
10、指数方程与对数方程：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程．它们都属于超越方程，一般不可用初等方法求解．
11、最简单的指数方程：xa＝b(a＞0,a≠1,b＞0)，它的解是x＝alogb
12、最简单的对数方程：alogx＝b(a＞0,a≠1)，它的解是x＝ba
概念辨析：
1．指数函数
(1) 指数函数的定义：函数y=ax叫做指数函数，其中a是一个大于零且不等于1的常量．函数的定义域是实数集R．
在定义中，必须注意：①指数函数的形状，例如y=－2x，121xy都不能认为是指数函数，它们都是有关指数函数的复合函数；②指数函数的底在应用时的范围；③指数函数的定义域在求复合函数定义域的应用．
(2) 在函数y=ax中规定底数a>0且a≠1的理由：
如果a=0，则当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．
如果a<0，比如y=(－4)x，这时对于41x，21x，等等，在实数范围内，函数值不存在．
如果a=1，y=1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述情况，所以规定底数a>0且a≠1．
(3) 指数函数y=ax在其底数a>1及0
底数 a>1 0
xyOy=1y=ax(a>1) xyOy=1y=ax(0
性
质 ①定义域 (－∞，+∞)
②值域 (0，+∞)．图象都位于x轴上方且以x轴为渐近线
函数值的分布情况 ③当时x=0，y=1．图象都经过点(0，1) ．
④当x>0时，y>1
当x<0时，00时，0
当x<0时，y>1
单调性 ⑤在(－∞，+∞)上是增函数 ⑤在(－∞，+∞)上是减函数
注：① 注意根据图象记忆和应用性质：
② 性质④可表述为：若(a－1)x>0，则ax>1；若(a－1)x<0，则0
③ 性质③实际上是性质④与性质②的推论．
2．对数
(1) 对数的定义：如果a (a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN也叫做对数式．
(2) 指数式与对数式的互化
ab=N b=logaN (a>0且a≠1，N>0)
(3) 对数恒等式：NaNalog(a>0，a≠1，N>0)
(4) 对数的性质：
① 负数和零没有对数．
② 1的对数是零，即loga1=0． ③ 底的对数等于1，即logaa=1．
(5) 对数运算法则(a>0且a≠1，M>0，N>0)
① loga(MN)= logaM+logaN ② NMNMaaalogloglog
③ MnManaloglog(n∈R) ④MnManalog1log(n∈R，n≠0)
(6) 对数换底公式：
bNNaablogloglog(a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)
推论：abbalog1log bmnbanamloglog
(7) 常用对数与自然对数．
① 常用对数既是以10为底的对数，简记为lgN (N>0)．
② 自然对数即是以无理数e=2.71828…为底的对数，简记为lnN (N>0)．
(8)对可化为形如)(xfa＝)(xga(a＞0,a≠1)的指数方程，可转化为它的同解方程f(x)＝g(x)求解；因为当且仅当幂指数相等时同底的幂相等．
而对可化为形如alogf(x)＝ alogg(x)(a＞0,a≠1)的对数方程，在转化为方程f(x)＝g(x)求解时，必须把所得的解代回原方程检验；因为从前者变为后者时，x的取值范围可能扩大，有可能产生增根．
某些指数方程与对数方程可以分别化为关于xa与alogx的可解方程，这时可用换元法先求出xa与alogx的值，再求x的值；特别对形如xa2＋b·xa＋c＝0，可用换元法化为二次方程，先求出xa或alogx，再求x．但解对数方程时，始终要注意变形的同解性．
二．课堂练习：
1．设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么 [ ]
2．已知1＜x＜d， 令a=(xdlog)2， b=2logxd， c=xddloglog，则[ ]．
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
3．已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是 [ ]．
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．(2，+∞)
4 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么( )
A g(x)=x, h(x)=lg(10x+10－x+2)
B g(x)=21［lg(10x+1)+x］,h(x)= 21［lg(10x+1)－x］
C g(x)=2x,h(x)=lg(10x+1)－2x D g(x)=－2x,h(x)=lg(10x+1)+2x
5 当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )
6．若函数 axfx131)(（a≠0）是奇函数，则满足65)(xf的x的取值集合为（ ）．
(A) { log32 } (B) { 1 } (C) {2 log32 } (D)
７．已知函数f ( x )的图象关于坐标原点成中心对称图形，且x <
0时，xxf31)(，那么21f的值等于（ ）．
(A) 33 (B) 3
(C) 3 (D) 33
８．若2145m，3156n， 2156p，则（ ）．
(A) m < p < n (B) n < m < p
(C) p < m < n (D) n < p < m
9．函数y = log2x与)4(log21xy的图象（ ）．
（A）关于直线x = 1对称 （B）关于直线y = x对称
（C）关于直线y=－1对称 （D）关于直线y = 1对称
10．函数5loglog2241xxy在区间[2，4]上的最大值是( )
(A) 4 (B) 7 (C) 423 (D) 41
11．已知 -1≤x≤2，则函数f(x)=3+2·3x+1-9x的最大值为
最小值为 ；
12．方程 9－x－2·31－x = 27的解集为_____________________________．
13．方程 logx(3x+4)=2的解集为__________________________．
14．函数12log2xy的反函数是________．
15．已知函数f (x)=loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则实数a的取值范围是____________．
16．方程log2(9－2x)=3－x的解集是__________．
17．已知函数0,1,022logbaabxbxxfa
(1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)指出函数f(x)的单调区间； (4)求函数f(x)的反函数f-1(x)．
18．设10a，函数33logxxxfa的定义域为nm,，值域为[1logna， 1logma]． (1)求证： m＞3；(2)求a的取值范围．
19．已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求y=f(x)的定义域；
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．
20．函数f(x)=xalog在区间[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立，求实数a的取值范围．
21．已知函数f(x)=12log22xax． (1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
22．已知函数1,01log2aaxxxfa
(1)求f(x)的定义域； (2)指出f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)求满足f(x)＜2的x的取值范围．
三．课后练习：
