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韩信点兵问题与中国剩余定理今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？这段文字翻译成现代数学语言其实并不难，就是一个数同时满足除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2，问这个数是多少？此类问题古人称为“韩信点兵问题”,据说是韩信不用过问兵的数量，只需让士兵变换方阵即可快速得出士兵的数量，也不知道是真是假，如果是真的，那韩信也算是一个数学过硬的将军了.上过小学的同学都知道，我们随便试几个数就可以很快发现，23就是第一个满足的数字.然而，你要找到更多的数字，那就有些难度了.要是换成更大的数字，例如一个数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，那这样的数如何去求呢？这就是今天小编要分享的是中国剩余定理.中国剩余定理是唯一一个以国家命名的定理，“韩信点兵问题”的记载最早出自南北朝数学名著《孙子算经》,中国剩余定理也叫孙子定理.这个问题放在现在肯定是不难求解的，接触过初等数论的同学就知道，只需解一个同余式组.)5(mod 3)3(mod 2N )7(mod 2{≡≡≡N N 的最小正整数解.方法一：大衍求一术公元13世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得超越前人的辉煌成果，系统的阐述了“大衍求一术”，到了明代，著名大数学家程大位，在他的《算法统宗》中，还编写了四名歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.意思不难理解：三个人一同走路，70岁的老者很少，五棵梅花树上一共有21朵梅花，7个孩子在每月十五团圆，把这些数减去105便能得出答案.为什么？其中的原理还是让多数人摸不着头脑的,程大位数学家就更加详细了：①找出能被5与7整除而被3除1的数70，被3与7除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7余1的数15；②把70、21、15这三个数字分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是2.同理，233与63被5除余数是3；233与30被7除余数是2，所以233是满足题目的一个数；③而3，5，7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3，5，7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求.故105n+23就是问题的解.方法二：等差数列法学过小学奥数的同学或者学过高中数学数列的同学非常好理解，三三数之余二，即3n+2，穷举得2，5，8，11，14........，从这些数中找到除以5余数是3的数，第一个数是8，故15n+8满足前两条件；再从15n+8的数中找到23满足除以7余2，而15和7的最小公倍数为105，故105n+23即满足所有条件.是不是相当简单？方法三：不定方程法设这个数为n ，则有273523+=+=+=z n y n x n 消去n 可得,175135-=--=-z y x y ，再消去y 得z z z x 31237+==，而x 为整数，可令k =z 31，即有z =3k ,x =7k ，代入可得5y -21k =-1,可得y =21k ′+4，代入可得n =105k ′+23,此法亦不难理解，初中生学过方程的即可.当然，还是一个核心的问题，这类问题有没有固定的解法，一旦数字改变，那解法可能会变得复杂，甚至算不出来.其实是有的.古人也早就提出了解法，不过具体原因在哪里，很多人是不明白的.如下：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
韩信点兵的故事及数学知识
韩信点兵的故事是一个著名的数学问题，它在中国古代数学史上占有重要地位。
这个故事描述的是韩信在点兵时，通过利用余数的方法来判断士兵的数量。
故事背景是秦朝末年，楚汉相争时期。
韩信作为刘邦的部下，需要点兵迎战。
他让士兵们每排站3人，结果多出2名；每排站5人，结果多出3名；每排站7人，结果多出2名。
通过这一系列条件，韩信得知了总共有1073名士兵。
这个问题的核心是利用余数来判断士兵的数量。
当士兵们每排站3人时，多出2人，即士兵总数除以3的余数是2。
同样地，当每排站5人时，多出3人，即士兵总数除以5的余数是3。
当每排站7人时，多出2人，即士兵总数除以7的余数是2。
因此，我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
中国剩余定理是指在整数系中，给定一组线性同余方程（组），存在一个整数n，使得n对这组同余方程（组）的余数均为0。
在这个问题中，我们可以设士兵总数为n，那么n对3、5、7的余数分别为2、3、2。
因此，我们可以得到一组线性同余方程：
n ≡ 2 (mod 3)
n ≡ 3 (mod 5)
n ≡ 2 (mod 7)
通过解这组方程，我们可以得到士兵的总数为1073。
这个故事展示了数学在古代中国的广泛应用。
通过数学方法来解决实际问题，不仅体现了数学的实用性，也展示了古代中国在数学领域的卓越成就。
小学信息技术六年级上册第12课《韩信点兵同余法的实现》教案（一）年级：六年级上册学科：信息技术版本：浙教版（2023）【教材分析】以探究为导向，以活动为主线，以学生为主体，以教师为主导，通过情境引导、自主探究、协作交流等方法，突出思维的训练，为不同层次的学生提供参与学习、体验成功的机会，带着学生做思维体操。
【学情分析】本学期采用的是新版教材，虽然新教材五年级时就重点开始培养学生的计算思维，但是学生接触的是老教材。
本学期前面几课已经让学生接触到了算法，但是学生们的算法思维水平也是良莠不齐，所以对算法的理解还是有一定的困难，对计算机的解题思路也不是非常清楚。
而且六年级的学生也是刚刚接触Python语言，用Python语言解决“韩信点兵”的问题是具有一定的挑战性的。
一、教学目标1.知识与技能：学生能理解韩信点兵（同余）问题的基本概念，掌握用编程实现同余法的步骤。
2.过程与方法：通过实际操作，学生能运用编程思维解决实际问题，提升逻辑思维和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学和编程的兴趣，培养他们的创新精神和实践能力。
二、教学重难点重点：让学生经历同余法的探索过程，尝试使用自然语言、流程图等方式，正确进行同余法求解的算法描述。
难点：掌握用Python语言编写验证同余法的程序。
了解枚举法、筛选法和同余法在解决“韩信点兵”问题时在时间效率上的差别。
三、教学内容1.韩信点兵问题的介绍2.同余法的基本原理3.使用编程语言实现同余法四、教学方法1.讲解法：解释韩信点兵问题和同余法的基本概念。
2.案例分析法：通过具体实例，让学生理解同余法的运用。
3.实践操作法：学生通过编程实践，掌握同余法的实现步骤。
五、教学过程1.导入新课：通过讲述韩信点兵的历史故事，引出同余法的概念。
2.讲解新知：解释同余法的基本原理，如何通过除法和余数来解决点兵问题。
3.实例演示：教师演示如何使用编程语言实现同余法，解释代码含义。
[阅读材料]世界名题与小升初之：韩信点兵问题在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。
例1：韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）这个数就满足要求。
韩信点兵问题，是后人对物不知其数问题的一种故事化。
这个问题俗为［韩信点兵］，又叫做「秦王暗点兵」、「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「神奇妙算」、「大衍求一术」等等），它属于数论(Number theory) 中的「不定方程问题」(Indeterminate equations)。
例2：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
在《孙子算经》里（共三卷，据推测约成书于公元400年左右），下卷的第26题，就是鼎鼎有名的「孙子问题」原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。
求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
中国剩余定理——韩信点兵民间传说着一则故事韩信点兵。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是神仙下凡、神机妙算。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为韩信点兵.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为中国剩余定理，这是由中国人首先提出的.①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23.它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，.除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，.它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，.一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋12整数，整数可以取0，1，2，，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把除以3余2，除以4余1两个条件合并成除以12余5一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：当某数被3除余1对，即写上70（因为70是5和7的倍数，是3的倍数多1），余2时即写702＝140，这140仍是5和7的倍数，是3的倍数余2。
2024浙教版信息技术六年级上册《第12课韩信点兵同余法的实现》教学设计一、教材分析本课是浙教版信息技术六年级上册的内容，属于算法模块的一部分，旨在通过“韩信点兵”这一经典数学问题，引导学生理解同余法的概念和应用。
本课内容包含对同余法思想的引入、探索同余法解决问题的过程，以及通过Python编程实现同余法解决问题。
教材通过情境导入、抽象建模、算法设计和程序实现等环节，逐步引导学生体验算法解决问题的全过程，并理解算法与程序之间的关系。
二、教学目标1.知识与技能：-理解同余法的概念，掌握同余法的基本思想。
-学会使用同余法解决“韩信点兵”等实际问题。
-掌握Python编程语言中实现同余法的基本语法和逻辑结构。
2.过程与方法：-通过观察、分析、归纳和推理等过程，探索同余法解决问题的过程。
-通过小组合作、讨论和展示等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：-培养学生的算法思维习惯，体会算法的多样性和效率。
-激发学生对信息技术学科的兴趣和热爱，形成积极的学习态度。
三、教学重难点1.教学重点：-掌握同余法的原理和使用方法。
-理解同余法在解决实际问题中的应用。
2.教学难点：-灵活运用同余法解决实际问题。
-理解韩信点兵问题的数学背景，用程序实现同余法解决问题。
四、教学过程1.情境导入（5分钟）-播放关于韩信点兵的动画或故事，激发学生兴趣。
-提出问题：如何用数学方法解决韩信点兵问题？2.抽象与建模（10分钟）-引导学生理解同余法的概念，并探索其在解决韩信点兵问题中的应用。
-通过小组讨论，尝试建立同余法解决韩信点兵问题的数学模型。
3.算法设计（10分钟）-教师演示使用自然语言或流程图描述同余法解决韩信点兵问题的算法。
-学生根据教师的演示，尝试自己设计算法，并绘制流程图。
4.程序实现（15分钟）-教师介绍Python编程语言中实现同余法的基本语法和逻辑结构。
-学生根据算法设计，使用Python编写程序解决韩信点兵问题。
韩信点兵数学题公元前202年，刘邦率军攻打楚国，而楚王项羽听信谗言，派遣将领韩信前去抢夺荆州，此时刘邦已经率领大部分军队前往攻打襄阳，只留下3万人守卫荆州，而韩信率领20余万楚军进攻荆州。
刘邦听说此事，便让将军邹阳前去协助抵抗，但荆州城仅半日便被攻陷，荆州守将伍翕只身逃脱。
面对强大的楚军，邹阳决定出奇制胜，派出间谍韩信前去窃听楚军军情。
韩信前往楚军营地，偷听得到楚王项羽的点兵数：三人一排、四人余二、五人余三、六人一排。
韩信把数目记在腰带上，趁夜回到刘邦军营。
当韩信向邹阳报告楚军的点兵数时，邹阳很快就弄明白了他是怎么记下这些数字的，并看出了楚军的实力。
邹阳决定利用这些信息来计算出楚军的兵力，以制定有效的作战计划，但他并不知道楚军的精确人数，所以他请求韩信帮他解决这个难题。
于是，韩信开始思考这个数学问题，他的计算依据4个方程式：1. 三人一排，余x，当排数为n时，总人数为3n+x。
2. 四人余二，当排数为m时，总人数为4m+2。
3. 五人余三，当排数为p时，总人数为5p+3。
4. 六人一排，当排数为q时，总人数为6q。
韩信想到了用这些方程来求解楚军的人数，他认为：每个方程都是一个线性同余方程，可以直接通过计算求解x的值，再带入相应的方程式即可求出楚军的人数。
韩信迅速解出了4个余数分别是2、3、0和5，这些余数分别对应第1、2、3、4个方程式，于是他可以通过计算5p+3和4m+2的公倍数，来确定原有的战士人数。
其他3个方程式的余数并不需要用到。
韩信解算后得出，楚军的人数为：20×3+2=62×4+2=26×5+3=113×6=66。
邹阳看到计算结果后，深感惊讶，因为楚军的最终人数比他预料的要少得多。
他感慨万分，这说明了韩信不仅智谋非凡，而且数学能力也非常突出，这是一个完美的将领应该具备的优秀素质。
本题的解法，可以通过解线性同余方程的方法来解决。
套用韩信解题的公式，我们可以写出：3n+x ≡ 2(mod 4)3n+x ≡ 3(mod 5)3n+x ≡ 0(mod 6)根据同余原理，我们可以将最后一行转化为：3n ≡ -x(mod 6)然后，代入第二个方程式中，得到：x ≡ 3n+3(mod 5)再代入第一个方程式中，得到：3n+3 ≡ 2(mod 4)将上式化简得到：n ≡ 3(mod 4)然后将n的值代入上面的方程中，可以解得x的值为2。
二韩信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：第1步先列出满足其中一个条件的数（一般从小到大），即除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…，第2步再列出满足其中第二个条件的数，即除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，….第3步归纳前面第3步首先出现的公共数是8.8就是满足除以3余2，除以5余3的最小的那个数。
3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×n (n=0，1，2，…)。
列出这一串数是8，23，38，…，第4步再列出满足其中第三个条件的数，即除以7余2的数2，9，16，23，30，…，第5步归纳第3步第4步得到的数列。
就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个。
3，5，7的最小公倍数是105 ，满足三个条件的所有数是23+105×n(n=0，1，2，…) 第6步那么韩信点的兵在1000-1100之间，应该是23+105×10=1073人如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒以内），假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？中国剩余定理（韩信点兵）的计算方法是：第1步用3个一数剩下的余数，将它乘以70（因为70既是5与7的倍数，又是以3去除余1的数）；第2步用5个一数剩下的余数，将它乘以21（因为21既是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；第3步7个一数剩下的余数，将乘以15（因为15既是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），第4步将这些数加起来，若超过105（105是3,5,7的最小公倍数），就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。
这样，所得的数就是原来的数了。
根据这个道理，你可以很容易地把前面的题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105 ＝142－105 ＝37因此，可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。
【例4】求最小非负整数N，使他在除以5,7,11以后所得余数分别是a,b,c。
【韩信点兵法口诀的原理】①能被7,11除尽数是77k,当k=3，即231除5正好余1，231a 除5正好余a。
②能被5,11除尽数是55k,当k=6，即330除7正好余1，330b 除7正好余b。
③能被5,7除尽数是35k,当k=6，即210除11正好余1，210c 除11正好余c。
那么 231a+330b+210c 除以5,7,11以后所得余数一定分别是a,b,c。
5,7,11的最小公倍数是385，根据【符合要求的最小数N必满足0≤N＜385】，所以当 231a+330b+210c 大于或等于385时，还必须减去若干个385 直到比385小为止，才可以得到符合题意要求的最小数。
【说明】231a+330b+210c + 385k 也一定满足“除以5,7,11以后所得余数分别是a,b,c”。
【例5】求最小非负整数N，使他在除以5,7,11以后所得余数分别是3,5,7。
【解】231a+330b+210c=231×3+330×5+210×7=3813.因为 3813＞385，所以减去9个385后，得到比385小的 3813-9×385=348 就是符合题意的最小非负整数了这些题可转化为余数问题解决。
如果你知道中国剩余定理，可直接用，如果不知道，也没有关系，可采取余数常用方法，先找一个最小的满足第一个数，然后调整一下满足第二个数，再调整满足第三个数。
在调整时，一定不要改变你前面已经满足的数的特点，每次加前面已经满足的数的最小公倍数，这样它的余数就不会被改变。
课堂练习(用上面介绍的两种方法)1 有一个数，除以3余1，除以5余3，问这个数除以16余几？2 韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人。
韩信令活着的兵士3人站一排，多出2人；5人站一排，多出4人；7人站一排，多出6人。
韩信有多少士兵？人数：10493 有一堆苹果五个五数剩3，七个七数剩1，九个九数剩2，这堆苹果最少有多少个同余问题上面的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。
一同余的定义：如果两个正整数a和b除以n后余数相同，那么我们就说 a和 b关于模n同余，记作：a ≡b (mod n)读作a与b同余，mod为n。
或者a同余于b模m表示同余关系的数学表达式，与等式相似。
将等式中的等号“=”换成同余符号“≡”，在式尾缀以(mod n) 注明模n（即除数），就是同余式。
含有未知数的同余式叫做同余方程，求未知数的值就是解同余式。
上面求到余数的和或者积，如果比除数大，所求的余数等于余数的和或者积再除以c的余数。
三弃九法原理：++++=是不是正确的检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为1，1898除以9的余数为8，18922除以9的余数为4，678967除以9的余数为7，178902除以9的余数为0，这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
即：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
这个特性，不仅可以检验几个数相加的结果有没有错误，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
(注)X6000能够被8除尽，故（2）式里不列出它先试除得3对19可除尽，把1919个2对19一组折算成为3对19一组，即3838个19。
3837个可以除尽，剩下下一个就是余数。
97+23=120 答；除数与余数的和是120练习1 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．2已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件．这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，3=⨯⨯，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所19982337以符合题目条件的自然数共有11个．3有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数．【解析】 (法1) 39336-=，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．4有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】 (70110160)50290++-=，50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，11058 1......52÷=，5052>，所以除数不是58．7029 2......12÷=，11029 3......23÷=，16029 5......15÷=，50152312=++，所以除数是295用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n 不能大于63．符合条件的只有43．6一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034-=的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．7甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？【解析】 根据题意，这三个数除以A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603A K r ÷= 22939A K r ÷= 33393A K r ÷=由于122r r =，232r r =，要消去余数1r ， 2r ， 3r ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减． 这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4． 于是我们可以得到下面的式子： 11603A K r ÷= ()22939222A K r ⨯÷= ()33393424A K r ⨯÷=这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被A 整除．93926031275⨯-=，3934603969⨯-=，()1275,96951317==⨯．51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A 等于17．8 20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】 找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222⨯+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．【巩固】2008222008+除以7的余数是多少？【解析】 328=除以7的余数为1，200836691=⨯+，所以200836691366922(2)2⨯==⨯＋，其除以7的余数为：669122⨯=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．【例 1】 (2009年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？ 【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数． 由于200954014÷=，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？ 【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列： 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0．【例 2】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________． 【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．19～共有9个数字，1099～共有90个两位数，共有数字：902180⨯= (个)， 100999～共900个三位数，共有数字：90032700⨯= (个)，所以数连续写，不会写到999，从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602......2--÷=，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978÷= (组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-27 =．【例 3】 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和． 【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8，所以等式一边除以9的余数为8，那么□1031除以9的余数也必须为8，□只能是3．将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217=⨯=⨯所以两个三位数是143和217，那么两个三位数的和是360【例 4】 设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D =？ 【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以20092009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222⨯+==⨯除以9的余数为52除以9的余数，即为5．另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036位，那么它的各位数字之和不超过9803672324⨯=，即72324A ≤；那么A 的各位数字之和9545B <⨯=，B 的各位数字之和9218C <⨯=，C 小于18且除以9的余数为5，那么C 为5或14，C 的各位数字之和为5，即5D =．同余补充练习1有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过400，并且A 除以B 商是5余5，A 除以C 商是6余6，A 除以D 商是7余7。
