高中数学知识点总结(第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示)

最新整理高三数学高三数学必背知识点：数列的概念与简单表示法高三数学必背知识点：数列的概念与简单表示法1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。

数列知识点总结 数列的概念与简单表示法知识点一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a简记为{}n a 。

项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列；4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 知识点二、通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

知识点三、数列的前n 项和1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。

2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n等差数列知识点一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

知识点二、等差中项有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。

1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2ba A +=，则b A a ,,是等差数列。

2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项()*+-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切*∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是等差数列。

第六章　数列第1讲　数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通考试要求项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.01聚焦必备知识知识梳理1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照__________________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是__________，对应的函数值是________________，记为a n＝f (n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.提醒2.数列的表示法解析式法、表格法、____________.3.数列的单调性从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都_________它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，__________________的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的__________________与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_______________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.提醒(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n项和公式如果数列{a n}的前n项和S n与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( )夯基诊断√××√(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝____________.答案：2n －1当n＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝____________.答案：5n －4由a1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.02突破核心命题考 点 一由an与S n的关系求通项公式C(2)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2n＋2－3，则a n＝_____.已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.反思感悟训练1　(1)已知数列{a n}的前n项和为S n，且2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n a n＝n·2n，则数列{a n}的通项公式为a n＝____________.(2)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n S n＋1＝－a n＋1(n∈N*)，则a10＝____________.例2　设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________.考 点 二由数列的递推关系求通项公式考向1累加法例3　已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝_______.2累乘法反思感悟B考 点 三数列的性质考向 1数列的单调性D2数列的周期性答案：13数列的最值A反思感悟训练3　(1)如表，定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝( )A.1B.2C.5D.4C x12345f (x )54312C　由题意，a1＝4，a n＝f(a n－1)，所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，a7＝f(a6)＝f(1)＝5，…，则数列{a n}是以4为周期的周期数列，所以a2023＝a2020＋3＝a3＝5，故选C.突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(四十)ADB4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为( )CA.760B.800C.840D.924BCD6.(2023·珠海质检)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2且a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，则该数列的前40项之和为( )A.－170B.80C.60D.230C C 由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.。

第1讲数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．知识梳理1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{an}的前n 项和Sn ，则an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1 （n ＝1），Sn －Sn －1 （n≥2）.诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．(×)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(4)如果数列{an}的前n 项和为Sn ，则对∀n ∈N*，都有an ＝Sn －Sn －1.(×)2．(2014·保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an ＋1＝2an ＋1，则其通项公式为an ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1＋1 C ．2n －1 D ．2(n －1)解析 法一 由an ＋1＝2an ＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an ＝2n －1.法二 由题意知an ＋1＋1＝2(an ＋1)，∴数列{an ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an ＋1＝2n ，∴an ＝2n －1. 答案 A3．设数列{an}的前n 项和Sn ＝n2，则a8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64解析 当n ＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15. 答案 A4．(2014·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an ＋1＝11－an ，a8＝2，则a1＝________．解析 由an ＋1＝11－an ，得an ＝1－1an ＋1，∵a8＝2，∴a7＝1－12＝12，a6＝1－1a7＝－1，a5＝1－1a6＝2，…， ∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝12. 答案 125．(人教A 必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an ＝________．答案 5n －4考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an ＝(－1)n(6n －5)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为an ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为an ＝n22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为an ＝59(10n －1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】 (1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式an ＝________．(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an ＝________． 解析 (1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶然项为正，所以它的一个通项公式为an ＝(－1)n 1n （n ＋1）.(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an ＝2n ＋1n2＋1.答案 (1)(－1)n 1n （n ＋1） (2)2n ＋1n2＋1考点二 利用Sn 与an 的关系求通项【例2】 设数列{an}的前n 项和为Sn ，数列{Sn}的前n 项和为Tn ，满足Tn ＝2Sn －n2，n ∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. (2)n≥2时，Tn －1＝2Sn －1－(n －1)2，则Sn ＝Tn －Tn －1＝2Sn －n2－[2Sn －1－(n －1)2] ＝2(Sn －Sn －1)－2n ＋1＝2an －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a1＝S1＝1也满足上式， 所以Sn ＝2an －2n ＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn －1＝2an －1－2(n －1)＋1， 两式相减得an ＝2an －2an －1－2，所以an ＝2an －1＋2(n≥2)，所以an ＋2＝2(an －1＋2)， 因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以an ＋2＝3×2n －1，∴an ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以an ＝3×2n －1－2.规律方法 数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n ≥2.当n ＝1时，a1若适合Sn －Sn －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项an ；当n ＝1时，a1若不适合Sn －Sn －1，则用分段函数的形式表示．【训练2】 (1)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，Sn ＝2an ＋1，则Sn ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1 D.12n －1(2)已知数列{an}的前n 项和Sn ＝3n2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 (1)∵Sn ＝2an ＋1， ∴当n≥2时，Sn －1＝2an ，∴an ＝Sn －Sn －1＝2an ＋1－2an(n≥2)， 即an ＋1an ＝32(n≥2)，又a2＝12，∴an ＝12×⎝⎛⎭⎫32n －2(n≥2)．当n ＝1时，a1＝1≠12×⎝⎛⎭⎫32－1＝13， ∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，∴Sn ＝2an ＋1＝2×12×⎝⎛⎭⎫32n －1＝⎝⎛⎭⎫32n －1.(2)当n ＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝3n2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 显然当n ＝1时，不满足上式，故数列的通项公式为an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 (1)B (2)an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2考点三 由递推关系求通项 【例3】 在数列{an}中，(1)若a1＝2，an ＋1＝an ＋n ＋1，则通项an ＝________； (2)若a1＝1，Sn ＝n ＋23an ，则通项an ＝________．深度思考 本题中an ＋1－an ＝n ＋1与an ＋1an ＝n ＋1n 中的n ＋1与n ＋1n 不是同一常数，由此想到推导等差、等比数列通项的方法：累加法与累乘法．解析 (1)由题意得，当n≥2时，an ＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an －1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1. 又a1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此an ＝n （n ＋1）2＋1. (2)由题设知，a1＝1.当n ＞1时，an ＝Sn －Sn －1＝n ＋23an －n ＋13an －1， ∴anan －1＝n ＋1n －1， ∴an an －1＝n ＋1n －1，…，a4a3＝53，a3a2＝42，a2a1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到an a1＝n （n ＋1）2，又∵a1＝1，∴an ＝n （n ＋1）2. 答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)n （n ＋1）2规律方法 已知递推关系式求通项，一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式． 【训练3】 (1)在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝3an ＋2，则它的一个通项公式为an ＝________． (2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a2n ＋1－na2n ＋an ＋1·an ＝0(n ＝1，2，3，…)，则它的通项公式an ＝________．解析 (1)an ＋1＝3an ＋2，即an ＋1＋1＝3(an ＋1)，即an ＋1＋1an ＋1＝3，法一a2＋1a1＋1＝3，a3＋1a2＋1＝3，a4＋1a3＋1＝3，…，an ＋1＋1an ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得an ＋1＋1a1＋1＝3n.因为a1＝1，所以an ＋1＋11＋1＝3n ，即an ＋1＝2×3n －1(n≥1)，所以an ＝2×3n －1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故an ＝2×3n －1－1. 法二 由an ＋1＋1an ＋1＝3，即an ＋1＋1＝3(an ＋1)， 当n≥2时，an ＋1＝3(an －1＋1)，∴an ＋1＝3(an －1＋1)＝32(an －2＋1)＝33(an －3＋1)＝… ＝3n －1(a1＋1)＝2×3n －1， ∴an ＝2×3n －1－1；当n ＝1时，a1＝1＝2×31－1－1也满足．∴an ＝2×3n －1－1.法三 由an ＋1＋1an ＋1＝3，所以数列{an ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an ＋1＝2×3n －1，即an ＝2×3n －1－1. (2)∵(n ＋1)a2n ＋1＋an ＋1·an －na2n ＝0， ∴(an ＋1＋an)[(n ＋1)an ＋1－nan]＝0， 又an ＋1＋an ＞0，∴(n ＋1)an ＋1－nan ＝0， 即an ＋1an ＝n n ＋1，∴a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·an an －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∴an ＝1n . 答案 (1)2×3n －1－1 (2)1n 微型专题 数列问题中的函数思想数列的单调性问题作为高考考查的一个难点，掌握其处理的方法非常关键，由于数列可看作关于n 的函数，所以可借助函数单调性的处理方法来解决．常见的处理方法如下：一是利用作差法比较an ＋1与an 的大小；二是借助常见函数的图象判断数列单调性；三是利用导函数．【例4】 数列{an}的通项公式是an ＝n2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． (2)对于n ∈N*，都有an ＋1＞an.求实数k 的取值范围．点拨 (1)求使an ＜0的n 值；从二次函数看an 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn ＋4.f(n)在N*上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n 的取值． 解 (1)由n2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N*，∴n ＝2，3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.∵an ＝n2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，an 有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an ＋1＞an 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式an ＝n2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N*， 所以－k 2＜32，即得k ＞－3.点评 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决． (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k ＞－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.[思想方法]1．由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调an 与Sn 的关系：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1 （n ＝1），Sn －Sn －1 （n≥2）.3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式． [易错防范]1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an ＝f(n)和函数y ＝f(x)的单调性是不同的． 2．数列的通项公式不一定唯一．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an ＝Sn －Sn －1的形式，但它只适用于n≥2的情形．基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an 等于 ( )A.（－1）n ＋12B ．cos n π2 C ．cosn ＋12πD ．cosn ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案 D2．(2014·开封摸底考试)数列{an}满足an ＋1＋an ＝2n －3，若a1＝2，则a8－a4＝ ( ) A ．7B ．6C ．5D ．4解析 依题意得(an ＋2＋an ＋1)－(an ＋1＋an)＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即an ＋2－an ＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4. 答案 D3．数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝1，an ＋1＝3Sn (n≥1)，则a6等于 ( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析 当n≥1时，an ＋1＝3Sn ，则an ＋2＝3Sn ＋1，∴an ＋2－an ＋1＝3Sn ＋1－3Sn ＝3an ＋1，即an ＋2＝4an ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.∴当n ＝6时，a6＝3×46－2＝3×44. 答案 A4．设an ＝－3n2＋15n －18，则数列{an}中的最大项的值是( )A.163B.133C ．4D ．0解析 ∵an ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，an 最大，最大为0.答案 D5．(2014·东北三校联考)已知数列{an}的通项公式为an ＝n2－2λn(n ∈N*)，则“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若数列{an}为递增数列，则有an ＋1－an ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N*都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案 A 二、填空题6．(2015·大连双基测试)已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2＋2n ＋1(n ∈N*)，则an ＝________． 解析 当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝12n ＋1，n ≥27．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n ∈N*，都有a1·a2·a3·…·an ＝n2，则a3＋a5＝________．解析 由题意知：a1·a2·a3·…·an －1＝(n －1)2， ∴an ＝⎝⎛⎭⎫n n －12(n≥2)，∴a3＋a5＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫542＝6116.答案 61168．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)，则a7＝________． 解析 由已知an ＋1＝an ＋an ＋2，a1＝1，a2＝2， 能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.答案 1 三、解答题9．已知数列{an}中，an ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N*，a ∈R ，且a≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{an}的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N*，都有an ≤a6成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为an ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N*，a ∈R ，且a≠0)，又a ＝－7，所以an ＝1＋12n －9.结合函数f(x)＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4， a5＞a6＞a7＞…＞an ＞1(n ∈N*)．所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. (2)an ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2.因为对任意的n ∈N*，都有an ≤a6成立， 结合函数f(x)＝1＋12x －2－a 2的单调性，所以5＜2－a2＜6，解得－10＜a ＜－8. 故实数a 的取值范围是(－10，－8)．10．(2015·陕西五校模拟)设数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝4an －p ，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)当p ＝3时，数列{bn}满足bn ＋1＝bn ＋an(n ∈N*)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式．(1)证明 因为Sn ＝4an －p ， 所以Sn －1＝4an －1－p (n≥2)，所以当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝4an －4an －1， 整理得an an －1＝43.由Sn ＝4an －p ，令n ＝1，得a1＝4a1－p ，解得a1＝p3. 所以{an}是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)解 当p ＝3时，由(1)知，an ＝⎝⎛⎭⎫43n －1， 由bn ＋1＝bn ＋an ，得bn ＋1－bn ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，当n≥2时，可得bn ＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn －bn －1)＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3⎝⎛⎭⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{bn}的通项公式为bn ＝3⎝⎛⎭⎫43n －1－1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．数列{an}的通项an ＝nn2＋90，则数列{an}中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119D.1060解析 因为an ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N*，不难发现当n＝9或10时，an ＝119最大． 答案 C12．(2015·大庆质量检测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn ＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是()A．a2 014＝－1，S2 014＝2 B．a2 014＝－3，S2 014＝5C．a2 014＝－3，S2 014＝2 D．a2 014＝－1，S2 014＝5解析由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，an ＋3＝－an，…，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以当k∈N时，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2 014＝a4＝－1，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.答案 D13．(2014·山西四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________．解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an ＝2n－1.答案2n－114．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N*，于是，当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a1＝a 不适合上式，故an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋（a －3）2n －2，n ≥2.an ＋1－an ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，当n≥2时，an ＋1≥an ⇔12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞).第2讲 等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知 识 梳 理 1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)，或an －an －1＝d(n≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d ，则其通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：an ＝am ＋(n －m)d(m ，n ∈N*)． (2)等差数列的前n 项和公式 Sn ＝n （a1＋an ）2＝na1＋n （n －1）2d(其中n ∈N*，a1为首项，d 为公差，an 为第n 项)． 3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{an}为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d ，则ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…(k ，m ∈N*)是公差为md 的等差数列．(4)数列Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…也是等差数列．(5)S2n －1＝(2n －1)an.(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n.数列{an}是等差数列⇔Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d ＜0，则Sn 存在最大值；若a1＜0，d ＞0，则Sn 存在最小值． 诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n ∈N*，都有2an ＋1＝an ＋an ＋2.(√) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d 决定的．(√)(4)数列{an}满足an ＋1－an ＝n ，则数列{an}是等差数列．(×)2．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14解析 由题知3a1＋3×22d ＝12，∵a1＝2，解得d ＝2，又a6＝a1＋5d ， ∴a6＝12.故选C. 答案 C3．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 ∵数列{an}为等差数列，且前n 项和为Sn ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 也为等差数列．∴Sm －1m －1＋Sm ＋1m ＋1＝2Sm m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C. 答案 C4．(2014·北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大． 答案 85．(人教A 必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90， ∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案 180考点一 等差数列的性质及基本量的求解【例1】 (1)设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析 法一 (常规解法)：设公差为d ，则8a1＋28d ＝4a1＋8d ，即a1＝－5d ，a7＝a1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a9＝a7＋2d ＝－6.法二 (结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 答案 A(2)(2014·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d ＞0.设{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，S2·S3＝36.①求d 及Sn ；②求m ，k(m ，k ∈N*)的值，使得am ＋am ＋1＋am ＋2＋…＋am ＋k ＝65. 解 ①由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 将a1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而an ＝2n －1，Sn ＝n2(n ∈N*)．②由①得am ＋am ＋1＋am ＋2＋…＋am ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N*知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.规律方法 (1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【训练1】 (1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________． 解析 (1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an ＋1＋bn ＋1)－(an ＋bn)＝(an ＋1－an)＋(bn ＋1－bn)＝d1＋d2， ∴{an ＋bn}为等差数列， 又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an ＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100.(2)因为a1＋a2＋a3＝34，an －2＋an －1＋an ＝146， a1＋a2＋a3＋an －2＋an －1＋an ＝34＋146＝180， 又因为a1＋an ＝a2＋an －1＝a3＋an －2， 所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an ＝60， 所以Sn ＝n （a1＋an ）2＝n ·602＝390，即n ＝13. (3)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， ∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60. 答案 (1)C (2)A (3)60 考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (2014·梅州调研改编)若数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋2SnSn －1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明 当n≥2时，由an ＋2SnSn －1＝0， 得Sn －Sn －1＝－2SnSn －1，所以1Sn －1Sn －1＝2，又1S1＝1a1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1Sn ＝2n ，∴Sn ＝12n . 当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a1＝12不适合上式．故an ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an －an －1＝d(n≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2an ＋1＝an ＋an ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练2】 (2015·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝Sn n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{an}的公差为d ，且d ＞0， 由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x ＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，故通项为an ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知Sn ＝n （1＋4n －3）2＝2n2－n ，所以bn ＝Sn n ＋c ＝2n2－nn ＋c . 法一 所以b1＝11＋c ，b2＝62＋c ，b3＝153＋c (c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c ＝－12. 当c ＝－12时，bn ＝2n2－n n －12＝2n ，当n≥2时，bn －bn －1＝2.故当c ＝－12时，数列{bn}为等差数列．法二 由bn ＝Sn n ＋c ＝n （1＋4n －3）2n ＋c ＝2n ⎝⎛⎭⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到bn ＝2n. ∵bn ＋1－bn ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N*)， ∴数列{bn}是公差为2的等差数列． 即存在一个非零常数c ＝－12， 使数列{bn}也为等差数列．考点三 等差数列前n 项和的最值问题【例3】 等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n 项和为Sn ，且S5＝S12，则当n 为何值时，Sn 有最大值？深度思考 解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考．解 法一 由题意知d ＜0，因为Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n ，则可设f(x)＝d 2x2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2x ，由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172， 由图可知，当1≤n≤8时，Sn 单调递增； 当n≥9时，Sn 单调递减．又n ∈N*，所以当n ＝8或9时，Sn 最大．法二 设等差数列{an}的公差为d ，由S5＝S12得5a1＋10d ＝12a1＋66d ， d ＝－18a1＜0.所以Sn ＝na1＋n （n －1）2d ＝na1＋n （n －1）2·(－18a1) ＝－116a1(n2－17n)＝－116a1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a1，因为a1＞0，n ∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 有最大值． 法三 设等差数列{an}的公差为d ，由法二得d ＝－18a1＜0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧an ≥0，an ＋1≤0，即⎩⎨⎧an ＝a1＋（n －1）·⎝⎛⎭⎫－18a1≥0，an ＋1＝a1＋n·⎝⎛⎭⎫－18a1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n≤9，又n ∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 有最大值． 法四 同法二得d ＝－18a1＜0，又S5＝S12，得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0， ∴7a9＝0，∴a9＝0，∴当n ＝8或9时，Sn 有最大值．规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【训练3】 (1)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)(2014·望江中学模拟)设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n 项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．11(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和Sn 的最大值为________． 解析 (1)依题意得2a6＝4，2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S6＝6a1＋15d ＝5a1＋10d ，所以a6＝0，故当n ＝5或6时，Sn 最大，选C. (3)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得， Sn ＝na1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2 ＝－n2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122， 又因为n ∈N*，所以n ＝10或n ＝11时，Sn 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)C (3)110[思想方法]1．判断数列为等差数列的方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．3．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．[易错防范]1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列．3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·温州二模)记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S33－S22＝1，则其公差d ＝( )A.12 B ．2 C ．3D ．4解析 由S33－S22＝1，得a1＋a2＋a33－a1＋a22＝1， 即a1＋d －⎝⎛⎭⎫a1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )A ．2B ．－2C.12D ．－12解析 由题意知S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S22＝S1·S4，即(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12，故选D. 答案 D3．(2015·石家庄模拟)已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．104D ．52解析 因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48，所以a4＋a10＝8，其前13项的和为13（a1＋a13）2＝13（a4＋a10）2＝13×82＝52，故选D. 答案 D4．(2015·广州综合测试)设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak ＝24，则正整数k 的值为 ( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析 依题意得S11＝11（a1＋a11）2＝11a6＝132，a6＝12，于是有a3＋ak ＝24＝2a6，因此3＋k ＝2×6＝12，k ＝9，故选A. 答案 A5．(2014·武汉调研)已知数列{an}满足an ＋1＝an －57，且a1＝5，设{an}的前n 项和为Sn ，则使得Sn 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9解析 由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－57的等差数列，所以an ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn 取得最大值时，n ＝7或8，故选C. 答案 C 二、填空题6．(2014·肇庆二模)在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________． 解析 a25－a15＝10d ＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 997．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________． 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋d ＝6a1＋6×52d ，a1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝7，d ＝－2，∴a5＝a4＋d ＝1＋(－2)＝－1.答案 －18．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．解析∵{an}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45.答案45三、解答题9．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．(1)证明由题设知，anan＋1＝λS n－1，an＋1an＋2＝λS n＋1－1.两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λa n＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2 015＝0.(1)求Sn 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使an ≥Sn. 解 (1)设公差为d ，则由S2 015＝0⇒ 2 015a1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a1，a1＋an ＝2 015－n 1 007a1，∴Sn ＝n 2(a1＋an)＝n 2·2 015－n 1 007a1＝a12 014(2 015n －n2)． ∵a1<0，n ∈N*，∴当n ＝1 007或1 008时，Sn 取最小值504a1. (2)an ＝1 008－n1 007a1，Sn ≤an ⇔a12 014(2 015n －n2)≤1 008－n 1 007a1. ∵a1<0，∴n2－2 017n ＋2 016≤0， 即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n≤2 016. 故所求n 的取值集合为{n|1≤n≤2 016，n ∈N*}． 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2015·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为 ( ) A.53B.103C.56D.116解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝100，a ＋（a ＋m ）＋（a ＋2m ）＝7（a －2m ＋a －m ），解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a 12＝53，即其中最小一份为53，故选A. 答案 A12．(2014·杭州质量检测)设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，(n ＋1)Sn ＜nSn ＋1(n ∈N*)．若a8a7＜－1，则( )A ．Sn 的最大值是S8B ．Sn 的最小值是S8C ．Sn 的最大值是S7D ．Sn 的最小值是S7解析 由条件得Sn n ＜Sn ＋1n ＋1，即n （a1＋an ）2n ＜（n ＋1）（a1＋an ＋1）2（n ＋1）， 所以an ＜an ＋1，所以等差数列{an}为递增数列．又a8a7＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn 的最小值为S7，故选D. 答案 D13．(2014·陕西卷)已知f(x)＝x1＋x，x ≥0，若f1(x)＝f(x)，fn ＋1(x)＝f(fn(x))，n ∈N*，则f2 014(x)的表达式为________． 解析 由已知易知fn(x)＞0， ∵fn ＋1(x)＝f(fn(x))＝fn （x ）1＋fn （x ），∴1fn ＋1（x ）＝1＋fn （x ）fn （x ）＝1fn （x ）＋1⇒1fn ＋1（x ）－1fn （x ）＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn （x ）是以1f1（x ）＝1＋x x 为首项，1为公差的等差数列．∴1fn （x ）＝1＋x x ＋(n －1)×1＝1＋nx x ， ∴fn(x)＝x 1＋nx ，∴f2 014(x)＝x1＋2 014x .答案x1＋2 014x14．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为Sn ，且Sk ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{bn}的通项bn ＝Snn ，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n 项和Tn.解 (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a ，a2＝4，a3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以Sk ＝ka1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k2＋k. 由Sk ＝110，得k2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得Sn ＝n （2＋2n ）2＝n(n ＋1)，则bn ＝Sn n ＝n ＋1， 故bn ＋1－bn ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.第3讲 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知 识 梳 理 1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：anan －1＝q(n≥2，q 为非零常数)，或an ＋1an ＝q(n ∈N*，q 为非零常数)．2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q ，则其通项公式为an ＝a1qn －1； 通项公式的推广：an ＝amqn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，Sn ＝na1；当q ≠1时，Sn ＝a1（1－qn ） 1－q ＝a1－anq1－q .3．等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G2＝ab.(2)若{an}为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n(k ，l ，m ，n ∈N*)，则ak ·al ＝am ·an ．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…仍是等比数列，公比为qm ．(4)当q≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 仍成等比数列，其公比为qn ． 诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)满足an ＋1＝qan(n ∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b2＝ac.(×)(3)数列{an}的通项公式是an ＝an ，则其前n 项和为Sn ＝a （1－an ）1－a .(×)(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×) 2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析 法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q3＝－2，a1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 法二 由⎩⎪⎨⎪⎧a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a4＝－2，a7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a4＝4，a7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q3＝－2，a1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 答案 D3．(2014·大纲全国卷)设等比数列{an}的前n 项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64解析 由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.答案 C4．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．解析 由等比数列的性质可知，a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10·a11＝e5，于是 ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10ln e5＝50. 答案 505．(人教A 必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，81考点一 等比数列中基本量的求解【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172(2)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则an ＝________．(3)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an ＝1，则n ＝________． 解析 (1)显然公比q≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1q·a1q3＝1，a1（1－q3）1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S5＝a1（1－q5）1－q＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314. (2)由a7a4＝q3＝8，知q ＝2，所以an ＝a4qn －4＝2·2n －4＝2n －3. (3)因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q ＝12，由a1q ＋a1q4＝18，知a1＝32， 所以an ＝a1qn －1＝1，解得n ＝6. 答案 (1)B (2)2n －3 (3)6规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【训练1】 在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n 项和．解 设该数列的公比为q ，由已知可得a1q －a1＝2， 4a1q ＝3a1＋a1q2，所以a1(q －1)＝2，q2－4q ＋3＝0， 解得q ＝3或q ＝1.由于a1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a1＝1. 所以数列的前n 项和Sn ＝3n －12. 考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7。