从高等代数和近世代数看中学数学

高观点下的中学代数试题解题方法初探1 研究背景“高观点”是指使用高等数学（包括经典高等数学和现代数学）的知识、方法以及思想来解决和分析初等数学中的问题。

共包含3个方面的内容：现代数学的思想和方法在中学数学中的渗透;高等数学对中学数学的具体指导;中学数学某些难以处理的问题在高等数学里的背景分析。

新课程标准指出，为了在大学中学习数学打下基础，高中阶段的学生应该具备更高的数学素养。

新课程改革之后，中学的数学教学内容和高考题中均增加了高等数学的内容和问题，主要包括分析、几何等内容。

通过相关文献的查阅发现，有160余篇文章研究高等数学与中等数学的关系。

这些文章可分为三类：高等数学对于中等数学教学的启示;高等数学对于高考题的编制与解答的应用;中等数学教学中高等数学的应用现状。

如：2021年周玛莉、张劲松在《高观点的数学思想对数学教学的启示》一文中，对某市的中小学教师进行了相关问卷调查，而后统计中发现，93.06%的老师对现代数学几乎没有了解，很少关注高观点下初等数学的老师占总共的80. 56%。

2021年闫李铮、李三平的《中学数学教学中高等数学的应用现状及原因浅析》一文[]，对深圳多所学校进行了相关的问卷调查，通过回收问卷中的数据发现，对高等数学内容遗忘较多占61%，并且大部分教师在课堂中不会使用高等数学的知识和思想，偶尔会在课堂中运用高等数学的教师不足10%。

这表明了很多老师对于高等数学的遗忘较多，了解太少，在教学中很少涉及高等数学的内容，所以对于高观点下的初等数学的研究很有必要。

已有的高观点解题的研究，大都是较为宽泛。

为了提高中学生的数学素养，需要对高观点下的解题进行详细的研究。

本研究选择中学代数的典型试题，对初等数学和高等数学的解题方法进行比较，以此分析高观点给初等数学解题带来的简洁性和一般性，从而更好的认识数学问题的实质。

2 研究实例2.1 数学分析對中学数学试题的作用例题1：求实数x，y的值，使得（y-1）2+（x+y一3）2+（2x+y-6）2的最小值分析：对于中学生，解决此题有两个方向，一是配方，二是均值不等式;但是配方如果展开所有项数，那么项数过多，难度太大;如果使用均值不等式，那么从何人手？在哪里使用均值不等式又是难点。

数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。

⾼等数学在中学数学中的应⽤----毕业论⽂【标题】⾼等数学在中学数学中的应⽤【作者】丁海云【关键词】⾼等数学中学数学联系应⽤【指导⽼师】陈强【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1 引⾔近⼏年来，⾼等师范院校数学系的不少⼤学⽣对学习⾼等数学存在不少看法，如“现在学的⾼等数学好像与初等数学没有多⼤联系”，“学习⾼等数学对今后当中学数学教师作⽤不⼤”，有的甚⾄提出“⾼等数学在中学教学⾥根本⽤不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的⼤学⽣⼀⼊学就发现，他⾯对的问题好像和中学⾥学过的东西⼀点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了⽼师，他们⼜突然发现，要他们按⽼师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受⼤学数学训练之间的联系，于是很快坠⼊相沿成习的教学⽅法，⽽他们所受的⼤学训练⾄多成为⼀种愉快的回忆，对他们对教学毫⽆影响”．然⽽在新的数学教材中已经出现了⼀些基础的⾼等数学知识，可以说是数学发展的⼀种必然．现在的中学数学教师必须掌握⾼等数学的基础知识以适应数学发展和教材改⾰，⽽⾼等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等⽅⾯的作⽤就尤为突出了．本⽂探讨⼀些⾼等数学知识和⽅法在初等数学中的应⽤．2 初等数学与⾼等数学的联系⼀般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典⾼等数学时期、现代⾼等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．⽆论何种⽅法，都把第⼆发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,⽽把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“⾼等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“⾼等数学”．理论意义下的初等数学和⾼等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，⾼等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R? Descartes)1637年发明的解析⼏何看成为出现⾼等数学或进⼊⾼等数学时期的标志．⽽教育意义下的初等数学和⾼等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、⼩学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视⾼等教育阶段的数学主要内容为⾼等数学．当然，由于社会和教育的思想、⽅法、⼿段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“⾼等数学”也是⼀个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是⼀个不可分割的整体，它的⽣命⼒在于各部分之间的有机联系，只从学科表⾯上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深⼊研究初等数学，理清其中最基本的思想和⽅法，努⼒寻求初等数学和⾼等数学的结合点．2.1 知识⽅⾯的联系⾼等代数在知识上是中学数学的继续和提⾼．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性⽅程组理论等．从以下⼏个⽅⾯说明：⾸先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.⾼等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最⼤公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常⽤⽅法.⾼等代数⾸先⽤不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯⼀因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲⼀元⼀次⽅程、⼀元⼆次⽅程的求解⽅法及⼀元⼆次⽅程根与系数的关系.⾼等代数接着讲⼀元n次⽅程根的定义，复数域上⼀元n次⽅程根与系数的关系及根的个数，实系数⼀元n次⽅程根的特点，有理系数⼀元n次⽅程有理根的性质及求法，⼀元n次⽅程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲⼆元⼀次、三元⼀次⽅程组的消元解法．⾼等代数讲线性⽅程组的⾏列式解法和矩阵消元解法、讲线性⽅程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为⾼等代数的数环、数域提供例⼦；中学代数学习的有理数、实数、复数、平⾯向量为⾼等代数的向量空间提供例⼦．中学代数中的坐标旋转公式成为⾼等代数中坐标变换公式的例⼦.其次，中学⼏何的内容体系主要是由平⾯⼏何、⽴体⼏何和平⾯解析⼏何三部分构成．平⾯⼏何研究由点的集合⽽形成的平⾯⼏何图形的性质；⽴体⼏何研究空间⼏何图形的性质诸如直线、平⾯及旋转体；平⾯解析⼏何研究形与数结合的问题，重点是⼆次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就⼆次曲线⽽⾔也侧重于定义的直观描述和各⾃所具有的性质．作为⾼等⼏何⽽⾔，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及⼆次曲线⼀般理论的研究，具有普适性、全⾯性．中学⼏何学习的向量的长度和夹⾓为欧⽒空间向量的长度和夹⾓提供模型，三⾓形不等式为欧⽒空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平⾯上的投影为欧⽒空间中向量在⼦空间的投影提供模型.第三，⾼等数学分⽀之⼀数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想⽅法上发⽣了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的⼀些基本概念如导数、积分、⽆穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运⽤代数运算求直线斜率这⼀问题的基础上，发展成为运⽤极限⽅法求曲线上的点的斜率⽽形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到⼀定阶段的必然结果．第四，集合论是关于⽆穷集合和超穷数的数学理论．它的建⽴是数学发展史上的⼀个⾥程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语⾔，同时也树⽴了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使⽤了点集、解集合等集合论语⾔．综上所述可知，⾼等代数在知识上的确是中学数学的继续和提⾼.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性⽅程组理论等问题，⽽且以整数、实数、复数、平⾯向量为实例，引⼊了数环、数域、向量空间、欧⽒空间等代数系统．这对⽤现代数学的观点、原理和⽅法指导中学数学教学是⼗分有⽤的.2.2 思想⽅⾯的联系中学数学思想和⽅法主要体现为三个层次，第⼀层次指数学各分科的具体解题⽅法和解题模式，如代数中的加减消元法、代⼊消元法、韦达法、判别式法、公式法、⾮负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；⼏何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助⾯的作法、⾯积⽅法、体积⽅法、图形及⼏何体的割补⽅法、三⾓形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第⼆层次指适⽤⾯很⼴的⼀些“通法”，如配⽅法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、⼀般化与特殊化法、参数法、反证法、同⼀法、观察与实验、⽐较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类⽐与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即⼈们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在⾼等数学教育活动中，上述数学思想和⽅法将得到进⼀步强化，⾼等数学各分⽀学科中⼏乎渗透了三个层次的思想和⽅法，在空间解析⼏何、⾼等⼏何、微分⼏何等学科中明显渗透着第⼀层次的思想和⽅法，第⼆、第三层次的思想和⽅法是数学学习和研究的重要⽅法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和⽅法的训练．除上述所举的思想和⽅法外，⾼等数学各分⽀学科中也渗透着许多新的思想和⽅法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性⽅程组的矩阵解法、⼆次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和⾼等数学教学的⼀个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学⽣的数学思想和⽅法，会⽤数学思想和⽅法来解决问题．3 ⾼等数学在中学数学中的应⽤⽤⾼等数学的观点、原理和⽅法，认识、理解和解决中学数学问题是我们⼤多数⼈的共同⽬的，也是⾼等数学价值的⼀种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等⽅⾯，体现⾮常明显．3.1 ⾼等数学在中学数学教学中的作⽤我们知道，初等数学与⾼等数学之间⽆论在观点上还是在⽅法上都有着很⼤的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学⽣不需要懂得什么⾼等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是⼀种误解．诚然，我们在课堂上不能把⾼等数学知识传授给学⽣，但我们作为⼀名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚⾄连⾃⼰对⼀些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：⼀⽅⾯，⾼等数学是初等数学的继续和提⾼；另⼀⽅⾯，初等数学⾥很多理论遗留问题必须在⾼等数学中才能得以澄清．因此，我们对⾼等数学在初等数学教学中的作⽤不能掉以轻⼼，下⾯就这个问题谈谈笔者的⼀些初浅的体会．3.1.1 ⾼等数学原理与中学数学教学⾸先，注重⾼等数学对初等数学的指导作⽤,运⽤原理，把握本质.多数教育⼯作者实践中认识到：教师只有深⼈研究⾼等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居⾼临下，把课教活．如有这样⼀道题⽬：例1 解⽅程．解此题若按三次⽅程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是⼀个关于“”的“⼀元⼆次⽅程”，，解之得= ．所以原⽅程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题⽬的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚⾄常数看作变量,⽽将字母间的关系看作函数关系,运⽤变量和函数的观点去考察它,会使⼀些问题变得容易或为解题提⽰⼀种可⾏的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学⽣的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的⼀些知识内容不可能严谨透彻,例如⾼中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推⼴到有理数,⽽指数函数的定义域是实数集.然⽽要在中学阶段讲清这个问题是不⼤容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,⼀些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作⽤,⼤都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过⾼等数学的知识加以证明和完善.可以说,运⽤⾼等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为⾼等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运⽤⾼等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提⾼⾼师⽣数学解题能⼒.其次，在教学中讲解⾼等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握⾼等数学中的概念、思想、⽅法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这⽅⾯的讲解，就能使学⽣充分地认识到⾼等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居⾼临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和⽅法没有加以解释和说明，就交给学⽣应⽤，虽然使⽤时能解决问题，但深⼊理解是不可能的．⽽作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的⽔平上，⽽应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这⾥的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这⾥的“+”只能看作是将a与bi连结成⼀个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表⽰复数的加法与乘法，则（C；+，）是⼀个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从⽽复数域就是实数域的⼀个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是⽅程的⼀个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全⼀致.3.1.2 ⾼等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透⾼等数学思想、观点,使它们相结合．现代⾼等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙⽽诱⼈的技巧和⽅法,使它更具有魅⼒．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的⽅法,⽽且⼜引进新的思想⽅法———极限法．运⽤极限⽅法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“⾮均匀”等可实现相互转化．所以，从⽅法论的⾓度来讲，数学分析的有关知识和⽅法对理解和解决⼀些中学数学问题会起导向作⽤．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，⽤微分⽅法求函数极值.解所以当>0时，⽆驻点，因⽽也⽆极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时⽆极值点；当 0时，有⼆驻点，⼜所以函数在处取得极⼤值在处取得极⼩值.这从思想、⽅法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运⽤这样的⽅法，将会使我们中学数学问题的解决思路⼤为开阔,⽅法更加灵活有效,从⽽摆脱对问题束⼿⽆策或盲⽬乱试的困境.另外⾼等数学知识进⼀步探讨和学习，可增强学⽣的求知欲，达到培养学⽣的学习兴趣．教师运⽤⾼等数学知识可以提⾼对学⽣提出的⼀些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 ⾼等⼏何思想与中学数学教学⾼等⼏何对教材内容的安排⼀般不同于中学⼏何，它是先给出定义、定理⽽后直观解释和证明，中学⼏何⼀般是先通过实例描述⽽后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同⼀问题得出的结论相同．全⾯了解欧⽒⼏何、仿射⼏何、射影⼏何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，⼜从局部上深⼊，才能深刻认识动与静、特殊与⼀般的辩证关系．就内容⽽⾔，⾼等⼏何⽐中学⼏何丰富，⽽且分析问题、处理问题的观点新颖，⽅法独特．如对偶原则，在研究点⼏何的同时，也研究了线⼏何的内容，对⼆次曲线的定义，既有⼏何定义，⼜有代数定义，开拓了认识眼界．从⽅法论来看，⾼等⼏何对具体问题处理的⽅法独特，⽽且灵活，对解决中学⼏何的有关命题提供了⼀种新的模式，也为中学⼏何的有关问题提供了知识背景．如利⽤中⼼射影投影⼀直线到⽆穷远来证明中学⼏何问题：若在平⾯上给定⼀个与直线有关的本质上是射影性质的⼏何命题，则只要恰当选择射影中⼼和向平⾯，总可以使直线的象直线是上的⽆穷远直线．由于⽆穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和⽅法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语⾔，⽽且树⽴了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学⽅法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有⼒研究⼯具，也是数学中⼗分重要的化归⽅法，利⽤映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从⽽实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射⽅法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有⼀⼀对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,⼜可⽤来指导数学发现.如：数学模型⽅法. 数学模型⽅法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的⼀种数学⽅法.中学数学中的解应⽤题是最简单的数学模型⽅法.过程如下图:图1：运⽤数学模型⽅法解题过程框图3.2 ⾼等数学在中学数学解题过程中的作⽤初等数学是⾼等数学的基础，⼆者有本质的联系．将⾼等数学的理论应⽤于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进⽽去指导初等数学的教学⼯作，是⼀个值得研究的课题．俗话说，站得⾼才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等⽅法外，还应善于⽤⾼等数学⽅法解决中学数学问题，特别是⼀些⽤初等数学⽅法难以解决或虽能解决但显得难、繁，⽽⽤⾼等数学⽅法则易于解决的中学数学问题,从⽽拓⼴解题思路和技巧，提⾼教师专业⽔平，促进中学数学教学．下⾯略⼏举例说明之：3.2.1 变换⾓度，化繁为简例3 求满⾜⽅程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上⾯的⽅程只能确定之间的函数关系，⽽不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是⽅程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题⽬⾥⾯却是两个未知数⼀个⽅程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的⽅程.在实数范围内，将⼀个等式分成⼏个等式，最常见的⽅法是利⽤⾮负数，即若⼏个⾮负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将⽅程变形为进⽽变为，由是锐⾓知，上式中两项均为负，故都都等于零．从⽽解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较⾼层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将⾼等数学的原理、⽅法应⽤于⼀些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学⽣的视野，⽽且可使学⽣体会到教师所使⽤的⾼等数学的原理、⽅法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进⽽更加有兴趣学习数学．3.2.2 利⽤函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的⼯具之⼀，有许多不等式在数学研究中有着重要的作⽤.但⽤初等数学知识证明⼀些不等式⽐较困难，下⾯利⽤⾼等数学的原理和⽅法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，⼜,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上⽅法体现了⽤初等数学知识证明⽐较难的不等式时，可充分利⽤⾼等数学的原理和⽅法思考，进⽽收到很好的效果．3.2.3 利⽤⾼等⼏何思想解初等⼏何问题在中学数学教学中往往会碰到⼀些初等⼏何问题,欲⽤传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,⽽⽤解析法却轻⽽易举,可⼜不能将此法告知学⽣,⾯临如何将它转化为纯⼏何的证明⽅法的问题,往往⼗分棘⼿．但利⽤⾼等⼏何知识进⾏思考，可收到很好的效果．例5 过⼀圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平⾯⼏何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三⾓形的对应边，宜将沿直线翻折⾄,则有, ,故知.这样，⼜将线段相等归结为⾓的相等，⽽⾓的相等关系在圆上⼜可利⽤圆周⾓定理进⾏转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利⽤⾼等⼏何的交⽐来证明，就⾮常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，⽽且还把结论推⼴到了⼆次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，⼀对平⾏线或⼀对相交直线，结论仍成⽴.⾼等数学的许多⽅法和技巧都能直接应⽤于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓⼴的作⽤．以上只是给出两个实例说明⾼等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等⼏何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学⽣，对于丰富学⽣的解题⽅法，特别是作为教师在将来的数学教学中⽤它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作⽤．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作⽤微积分在⾼等数学⾥占有⾮常⾼的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了⼀种新的思想⽅法——极限法．俗话说，站得⾼才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利⽤微积分思想解决中学数学问题特别是⼀些⽤初等数学⽅法难以解决或虽能解决但显得难、繁，⽽⽤微积分思想则易于解决的中学数学问题，从⽽拓⼴解题思路和技巧，提⾼教师专业⽔平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得=对上式取不定积分,得其中是常数,此处是含有变量的代数式,从⽽得恒等式.上式中令,得,于是= .⽤导数和积分进⾏因式分解,常可使解法简便、巧妙.3.3 ⾼等数学对中学数学问题的诠释在中⼩学数学教学中，⼈们往往重视对教学⽅法和解题思路的研究，这在许多教学经验⽂章中都可以看到.同时，⼈们也常常重视研究中⼩学数学教材的衔接问题以及初⾼中数学教材的衔接问题，这在许多教学研究⽂章中也可以看到.然⽽,在初等数学教学中涉及与⾼等数学衔接的问题却很少有⽂章谈到.笔者从阅读⼤量前辈的⽂章中总结于下，供分享.3.3.1 映射所引出的问题⾼中数学课本代数上册第⼀章幂函数、指数函数和对数函数中，叙述了映射、⼀⼀映射的概念.中学⼀级教师焦鸣讲述了他在课堂教学中曾经举的⼀个例⼦.例7 设集合A={弧CD上的点}，集合B={弦CD上的点},试建⽴⼀个对应关系f，使得f:A→B为⼀⼀映射.解:如图3所⽰,弧CD上的点与弦CD上的点建⽴如下对应关系f:过弧CD上的任⼀点P作弦CD的垂线得垂⾜T，则这样建⽴的映射f:A→B是⼀⼀映射．举了上述例⼦之后,当时就有学⽣提出疑问:根据平⾯⼏何知识可知,弧CD的长度⼤于弦CD的长度,即弧CD上的点多于弦CD上的点.⽽由上述例⼦,它们之间的点⼀⼀对应起来了,这不是⽭盾了吗?回答这个问题确实⽐较困难,它超出了初等数学的范围,⽽要到⾼等数学中去寻找答案.为此,先引进⼀个定义: 图3定义1 对于两个集合A和B,如果存在对应关系f,使A和B成为⼀⼀对应,则A和B叫做具有相同基数的或对等的集合.记作:A B.这⾥应注意A B与A=B的区别.例如:设A= {1、2、3、4},B= {红、黄、⿊、⽩},C={东、南、西、北}.显然有A B,B C,C A.可以看出,有限集合之间对等的充要条件就是它们的元素个数相同．可以告诉学⽣的是:⾃然数集和有理数集是对等的,和⽆理数集是不对等的,和弦CD上的点所成的集合也是不对等的.3.3.2 ⾼等数学对中学数学概念的诠释在⾼中数学课本代数上册第⼀章中,⽤描述性的语⾔给出了函数y=f(x)的反函数的定义.在谈到函数y=f(x)时,把它称为反函数的“原来的函数”.然⽽,有的数学复习资料及有些数学教师为了⽅便,往往把它说成是反函数的“原函数”.就是这两个字之差，就出现了科学性的错误．如以下两例：“反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，⽽应当是原函数的值域”.“反函数的定义域是原函数的值域，必须通过求原函数的值域得到”.⽽关于“原函数”的定义在⾼等数学的数学分析中早有定论.定义2 设已知函数f(x)，如果有函数F(x)使得=f(x),那么F(x)便叫做f(x)的原函数.(这⾥的是指F(x)的导数) 由此可见,“原函数”早就有它特定的含义,是不能随便乱⽤的.如果象⽂献上述两种说法，就是犯了科学性的错误．虽然学⽣由于所学知识的限制,不可能发现这个错误,但作为教师应该注意避免发⽣．这就提醒我们,在中学数学教学中,不能为了表达⽅便或其他原因,随意杜撰⼀个相关的词语来说明有关的问题．这样往往会在不知不觉中犯科学性错误,误⼈⼦弟．在这⾥我认为还是⽤“原来的函数”来表达⽐较贴切．从上述例⼦我们可以看到:中学数学教学虽然基本不涉及⾼等数学的内容,但⾼等数学起着潜在的作⽤.对于⼀个中学数学教师来说,只有掌握了相关的⾼等数学知识,才能在讲述有关内容时,做到讲得清楚,讲得透彻,讲得不含糊,不出现科学性错误.4 总结加强⽤⾼等数学的思想⽅法来指导中学数学研究，着眼研究中学数学与初等数学的接轨处，⽴⾜于更⾼观点，教学中⽤⾼等数学的⽅法去剖析初等数学，能培养学⽣⾯对新问题、新情境及综合运⽤所学知识解决问题的能⼒，对提⾼中学⽣的数学素养有着重要的意义；中学数教师善于⽤⾼等数学的观点处理中学数学中的问题，不但体现了⾼等数学具有居⾼临下的作⽤，⽽且对中学数学中有些较难的题型通过⽤⾼等数学的理论与⽅法较易解决，充分现了⾼等数学的优越性；⾼等数学能在更⾼层次上认识初等数学，特别是⼀些接轨处，不但让中学数学教师教轻松驾驭数学课堂，还使学⽣感到⾼等数学与初等数学存在联系，增。

数学系指导教师提供论文选题题目理论研究室一．汪义瑞老师备选题目：1．中学数学的高等数学背景研究。

2．关于一道数学分析题的猜想。

3．数学分析中某个问题的探索与研究。

4．点集拓扑中某个问题的探索与研究。

5．一道中学不等式证明题的推广（2010年中考与高考题中某个问题的探索与研究）。

二．石卫国老师备选题目：1．升本院校学生考研现状的调查研究；（如：对我校学生考研现状进行调查（可采用问卷调查并辅之以座谈、个别访谈），对收集的资料进行统计分析，总结分析，提出建议或对策。

）2．立足考研的高等数学研究（可对某一类问题进行研究，如：从一类考研题看不定积分与变限定积分的关系等）；3．数学分析某一内容的研究；（如：数学分析思想在中学数学解题中的应用；浅谈幂指函数的性质与应用；浅谈反例在函数连续性学习中的作用及构造研究；对称性在积分中的应用；等）；4.（中学、大学）数学竞赛某一内容的研究；（如：一道数学竞赛题的简解与推广）；三．邵春芳老师备选题目：1．原函数与定积分的关系；2．对2010年一道高考题的联想；3．泰勒展开式在求解函数极限中的应用；4．新课程下的教师角色的转变。

四．吴苏朋老师备选题目：1数学创新教育的课堂设计（以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则）2推测和猜想在数学中的应用3微分中值定理的再讨论4二阶变系数齐次微分方程的求解问题5利用几何知识求函数最值（不等式证明的若干方法）数学教育研究室李善明推荐1.谈谈反证法2.向量方法在中学几何中的应用研究3.双曲面渐近锥面的一些性质研究4.浅谈数学中的构造法5.数学归纳法教学研究6.初等函数值域的求法浅谈数学教学中“愤”、“悱”情境的创设.数形结合思想及其应用9.中学数学渗透数学史知识的作用与意义10.二次曲面的计算机作图11.数学的文化性研究12.高等数学在中学数学中的应用成波1.导数在初等数学中的应用研究。

2.导数在经济生活中的应用研究。

3.数学分析中的一些重要不等式（如Cauchy，Schwarz不等式等）的证明及应用。

浅析高等代数与中学数学的关联作者：方次军来源：《新校园·上旬刊》2013年第04期摘要：本文分析了高等代数与中学数学在知识方面的联系，找出其在知识上的众多关联。

高等代数在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展，更具抽象化和归一化。

关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；数学观念信计专业从大学一年级就开设了高等代数课程。

它是大学数学专业的重要的基础课程，也是学生感到比较抽象难学的课程，需要学生初步地掌握基本、系统的代数知识和抽象、严格的代数方法。

在近几年的教学中，笔者发现高等代数教学一直存在着如下的问题：一方面，由于高等代数的抽象性且与中学知识难以直接衔接，不少大一学生一接触到高等代数课程，就会产生畏难情绪；另一方面，由于高等数学理论与中学教学脱节，许多学生会感到有点不知所措。

不少学生普遍感到这门课程“难学”，上课能听懂，但习题“难做”，似乎无规律可循。

为了解决上述问题，笔者从知识内容和思想方法上将高等代数课程与中学数学进行比较。

通过比较后发现：高等代数课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想内容上是中学数学的因袭和扩展，在观念上是中学数学的深化和发展。

在教学中，教师要尽量注意到新旧知识的衔接和中学知识的延伸，通过具体的、深入浅出的讲解，提高学生的学习兴趣。

这样，高等数学类课程的学习难度就会大大降低。

一、高等数学类课程与中学数学在知识方面的联系中学代数中讲过多项式的加、减、乘、除运算法则和因式分解的一些常用方法，如求根法和十字相乘法等。

高等代数在第一章多项式中就拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数，在加法、乘法运算的基础上给出了多项式环的概念。

接着讲了多项式的整除理论及最大公因式理论，用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式与唯一因式分解的存在和唯一性定理，分别给出了复数系、实数系和有理数系的因式分解中学代数讲过一元一次、二元一次、三元一次方程组的解法，特别是二元一次方程。

数学分支学科的历史发展摘要：数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。

本文简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。

关键字：代数学几何学分析学代数学范畴一、算术算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。

另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。

现在一般所说的“算术”，往往指研究自然数(正整数)、分数、小数的简单性质，及其加、减、乘、除、乘方、开方运算法则的一门学科,是数学中最基础的部分,中国古代将数学和数学书也统称为算术。

如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。

作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。

它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。

日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。

为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。

它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。

15世纪，它被改造成现在的形式。

在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。

毕业论文文献综述数学与应用数学高等代数对中学代数的指导作用一、前言部分人们常有一种片面的观点, 认为高校里所学的专业知识在中学数学教学中几乎无用. 甚至有些中学数学教师和师范院校数学系的学生认为学习高等数学对于中学数学教学作用不大。

其实高等数学知识在开阔中学教师的视野、指导中学数学解题等方面有很大的作用.我们还认为要把初等数学教好, 不仅要学习高等数学, 而且还一定要学“好”。

学“好”高等数学是指不仅要学习它的定理和方法, 更重要的是要学习它的“观点” ,也即必须掌握高等数学处理问题的特点, 并且将这些观点应用在处理初等数学的问题与教学中去。

众所周知, 我们可以用求导数的方法来求函数的极值, 用微分学中值定理来证明一些不等式、用行列式来求线性方程组的解、用空间解析几何来解立体几何的一些问题。

可能有些同志会说即使熟练地掌握了这些内容, 也不能对中学生讲, 因而在初等数学教学工作中还是用不上。

但是, 我们应该注意到, 学好高等数学不仅要学会这些方法, 而且要了解这些方法的精神实质以及为什么要这样处理问题。

这一切都将成为从事初等数学教学工作的指导思想。

我们可以用高等数学中的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些方法是完全初等的, 可以为中学生所接受的, 而应用这些方法都可以将相当数量的、表面上看来完全无关的初等数学问题用儿乎相同的方法解出。

高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的因素和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展。

高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方法。

注意与中学数学的联系对比，不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学的指导作用。

通过研究高等代数与中学数学的联系、区别，探讨高等代数对中学数学的指导,可以更好的学习高等代数和中学数学。

二、主题部分高等代数与中学代数是一脉相承的，是相辅相成的，高等代数是中学代数的深化与进一步研究，中学代数是中学生学习的比较简单基础的高等代数，已有许多教学第一线的教学工作者和数学家及相关研究人员，从不同的角度对高等代数与中学代数的关系。

数学的三大核心领域——代数学范畴数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。

大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。

这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。

在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。

本章简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。

一、代数学范畴1、算术算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。

另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。

现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。

作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。

算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。

它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。

自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。

日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。

为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。

现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。

它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。

15世纪，它被改造成现在的形式。

在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。

19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。

后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。

算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。

尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，^_^---因此我们几乎离不开它。

从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系
首先，高等代数和中学数学都是数学的一部分，它们都基于数学的基
本概念和性质展开研究。

无论是高等代数还是中学数学，都涉及因式分解、运算规则、代数方程、几何图形等基本概念。

学习中学数学的时候，学生
们已经接触过代数方程的解法、数列的求和、几何图形的性质等知识，这
些知识都包含了高等代数的基础概念和性质。

其次，高等代数提供了更为抽象和一般化的数学方法，而中学数学则
更加注重具体问题的解决。

在高等代数中，通过引入向量空间、线性映射
等概念，可以将不同学科领域的问题抽象为一个个矩阵或向量的运算问题，从而用更通用的方法来解决。

而在中学数学中，更多地是通过具体的例子
和问题来引导学生学习，注重运用知识解决实际问题。

此外，高等代数的一些概念和方法在中学数学中也有所应用。

例如，
矩阵的乘法在高等代数中是一个重要的概念和运算方法，而在中学数学中，矩阵的乘法被应用于几何变换的研究中，如平移、旋转、缩放等。

同样，
高等代数中的行列式和特征值也有在中学数学中的应用，如解二元一次方
程组、矩阵的对角化等。

最后，学习高等代数可以加深对中学数学的理解和应用。

高等代数涉
及的概念和方法更加抽象和一般化，学习高等代数可以帮助学生更好地理
解和应用中学数学中的一些基本概念和性质。

通过学习高等代数，学生可
以更深入地了解中学数学中的代数、几何和概率等知识，从而提高数学素
养和解决实际问题的能力。