弹性力学网络课程
第一章绪论
内容介绍
知识点
弹性力学的特点
弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务
弹性力学的研究方法
内容介绍：
一. 内容介绍
本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点
1.课程的研究对象；
2.基本分析方法和特点；
3.弹性力学的基本假设；
4.课程的学习意义；
5.弹性力学的发展。
特点：
弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。
材料的应力和应变关系通常称为本构关系，它表达的是材料在外力作用下抵抗变形的物理性能，因此又称为物理关系或者物理方程。本构关系满足完全弹性假设的材料模型包括线性弹性体和非线性弹性体。
线性弹性体是指载荷作用在一定范围内，应力和应变关系可以近似为线性关系的材料，外力卸载后，线性弹性体的变形可以完全恢复。线性弹性材料的本构关系就是物理学的胡克定理。在应力小于弹性极限条件下，低碳钢等金属材料是典型的线弹性材料。
另外，一些有色金属和高分子材料等，材料在载荷作用下的应力应变关系不是线性的，但是卸载后物体的变形可以完全恢复，这种材料性质可以简化为非线性弹性本构关系。
如果从研究内容和基本任务来看，弹性力学与材料力学是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有比较大的差别。弹性力学和材料力学
研究问题的方法都是从静力平衡关系，变形协调和材料的物理性质三方面入手的。但是材料力学的研究对象是杆件，杆件横截面的变形可以根据平面假设确定，因此综合分析的结果，就是问题求解的基本方程是常微分方程。对于常微分方程，数学求解是没有困难的。而弹性力学研究完全弹性体，如板，三维物体等。因此问题分析只能从微分单元体入手，分析单元体的平衡、变形和应力应变关系，因此问题综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。也就是说，问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。而偏微分方程边值问题，在数学上求解困难重重，除了少数特殊边界问题，一般弹性体问题很难得到解答。
当然，这里并不是说弹性力学分析不再需要假设，事实上对于任何学科，如果不对研究对象作必要的抽象和简化，研究工作都是寸步难行的。
任务：
弹性力学是固体力学学科的理论基础。是学习有限单元法、复合材料力学、断裂力学和疲劳等的基础课程。课程的学习对于培养学生的专业基础，思维方法和独立工作能力有着重要意义。
弹性力学作为一门基础技术学科，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。弹性力学又是一门基础理论学科，它的研究方法被应用于其他学科。近年来，科技界将弹性力学的研究方法用于生物力学和地质力学等边缘学科的研究中。
弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是它的基本方程－偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。
弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题建立必要的理论基础。
基本假设：
应当指出，对于工程材料，无论是金属材料还是高分子材料，微观上都是按一定规则排列构成的，而且材料内部经常会有缺陷存在。因此工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固体材料微观结构的复杂性。
弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、
应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。因此根据问题性质建立力学模型时，必须作出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使研究的问题限制在一个方便可行的范围之内。对于弹性力学分析，这是十分必要的。
在今后的讨论中，如果没有特别的提示，均采用以下的弹性力学基本假设。
基本假设是弹性力学讨论问题的基础。超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。
1. 连续性假设假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。这就是说，物体的介质粒子连续地充满物体所占的空间，而且变形后仍然保持这种连续性。根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。
当然，由于固体材料都是由微粒组成的，微观上这个假设不可能成立。但是，对于工程材料，微粒尺寸和微粒之间的距离远小于物体的几何尺寸，采用这一假设并不会引起明显的误差。
研究方法：
弹性力学虽然是一门古老的学科，但现代科学技术的发展给它仍然提出越来越多的理论问题和工程应用问题，至今仍然在工程领域发挥重要作用。特别是对于现代工程技术和科研工作者的培养，弹性力学作为机械，建工以及力学等专业的一门专业基础课，它的学习对于专业基础，思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。
弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。本书主要讨论弹性力学数学方法，就是应用数学分析工具建立弹性力学的基本方程和基础理论，并且根据边界条件求解弹性体的应力场和位移场。
弹性力学的基本方程，在数学上，是偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。由于解析方法的应用困难，因此近似解法在弹性力学的发展中有着重要意义。
弹性力学的另一解法为数值解法，它是采用计算机处理的近似解法。近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。以有限元方法为代表的计算力学的发展，迅速改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。以计算机的强大计算能力为后盾开发的有限元程序，可以求解数十万自由度的线性代数方程组，目前已经成为工程技术人员手中强大的结构分析工具。在此基础之上，CAD, CAE等技术的应用使得计算机不仅成为数值分析的工具，而且成为设计分析的工具。有限元方法的发展是以弹性力学的基本理论为基础得到发展的，而且弹性力学的各种变
分原理，都给有限元方法提供了理论基础。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。
本课程将重点讨论基于能量原理的变分方法，并且介绍有限元素方法的概念和基本思想。
发展：
弹性力学的早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。
近代弹性力学的发展可以认为是从柯西（A.L.Cauchy）1828年明确提出应力和应变的概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律开始的。柯西所做的工作是近代弹性力学和连续介质力学的一个起点，他的工作使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。
而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发展阶段。1856年，圣维南（A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论；1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论；1881年，赫兹（H.Hertz）建立了接触应力理论；1898年，基尔霍夫(G.R.Kirchoff)建立了平板理论，1930年，Гадёркин发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。另一个理论上的重要成果是建立了各种能量原理，并且提出了一系列基于这些能量原理的近似计算方法。许多科学家.像拉格朗日(https://www.doczj.com/doc/9119142263.html,grange)，乐甫(A.E.H.Love)，铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡献。中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦，胡海昌等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。
弹性力学的发展对促进数学和自然科学基本理论的建立和发展，特别是对促进造船、建筑、航空和机械制造等工业技术的发展起了相当重要的作用。弹性力学为社会发展和人类的文明进步起了重要的作用，例如造船，铁路，水利工程，机械制造，建筑工程，航空航天，军事工程等领域的发展，都离不开力学工作者的贡献。广泛的工程应用也使得弹性力学得以迅速发展，并根据实际的需求形成了一些专门的分学科，如热弹性力学，弹性动力学，弹性稳定，断裂力学，复合材料弹性力学等。
弹性力学虽然是一门古老的学科，但现代科学技术的发展仍然给它提出越来越多的理论和工程应用问题，使其在许多重要领域继续展现出它的重要性。
第二章应力状态分析
第一节体力和面力
作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。
所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。
为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V, 如图所示
设△V的体力合力为△F，则P点的
体力定义为
令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。
物体内任一点的体力用F b表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。
体力沿三个坐标轴的分量用F b i( i = 1,2,3)或者F b x,F b y,F b z表示，称为体力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。
类似于体力，可以给出面力的定义。
对于物体表面上的任一点P，在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S，
如图所示。设△S上作用的面力合力为△F，则P 点的面力定义为
面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。
弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。
第二节应力概念
物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之间将产生相互作用，物体内部相互作用力称为内力。为讨论弹性体的强度，将单位面积的内力，就是内力集度定义为应力。
p n为过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。
凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
学习要点：
物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。
内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。
内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，在截面上选取一个包含M的微面积单元ΔS，如图所示
则可认为微面积上的内力主矢ΔF 的分布是均匀的。设ΔS 的法线方向为n，则定义：
上式中p n为微面积ΔS 上的平均应力。如果令ΔS 逐渐减小，并且趋近于零，取极限可得
上述分析可见：p n是通过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。
应力p n是矢量，方向由内力主矢ΔF确定，又受ΔS方位变化的影响。
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。
讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
应力矢量的一种分解方法是将应力矢量p n在给定的坐标系下沿三个坐标轴方向分解，如用p x, p y, p z表示其分量，则
p n=p x i + p y j+ p z k
这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为工具用于推导弹性力学基本方程。
另一种分解方法，如图所示，是将应力矢量p n 沿微分面ΔS的法线和切线方向分解。与微分面ΔS法线n方向的投影称为正应力，用σ n表示；平行于微分面ΔS 的投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用τ n表示。
弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经常使用的应力分解形式。
由于微分面法线n的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力 σ n 的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力τ n不仅需要确定截面方位，还必须指明方向。
为了表达弹性体内部任意一点M的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微分面，通过M点截取一个平行六面体单元，如图所示
。
将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向3个坐标轴投影，可以得到应力分量σij。
应力分量的第一脚标i 表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线的方向；
第二脚标j 表示应力的方向。如果应力分量与j 坐标轴方向一致为正，反之为负。
如果两个脚标相同，i＝j，则应力分量方向与作用平面法线方向一致，这是正应力，可以并写为一个脚标，例如σ x。
如果两脚标不同，i≠j，则应力分量方向与作用平面法线方向不同，这是切应力，例如τxy。
六面体单元的3对截面共有九个应力分量σij。
应该注意：应力分量是应力矢量在坐标轴上的投影，因此是标量，而不是矢量。
在已知的坐标系中应力状态通常用应力张量
表示。使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态。
3斜截面上的应力
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且也由于截面的法线方向n的方向改变而变化，研究这一变化规律称为应力状态分析。如果应力分量能够描述一点的应力状态，那么应力分量与其它应力参数必然有内在联系。
本节分析应力矢量与应力分量之间的关系，为深入讨论应力状态作准备。
利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元，通过四面体单元探讨坐标平面的应力分量和斜截面上的应力矢量的关系。
根据平衡关系，推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力分量之间的关系。
分析表明：一点的应力分量确定后，任意斜截面的应力矢量是确定的。
学习要点：
1微分四面体单元
一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截面上的应力矢量。
为了说明这一问题，在O点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四面体单元，
如图所示。
斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。
设斜截面上的应力为p n，i，j和k分别为三个坐标轴方向的单位矢量，p n 在坐标轴上的投影分别为p x, p y, p z。则应力矢量可以表示为
p n= p x i+ p y j+ p z k
同样，把单位体积的质量所受的体积力F b沿坐标轴分解，有
F b= F b x i+ F b y j+ F b z k
设S为ΔABC的面积，则
ΔOBC=lS, ΔOCA=mS, ΔOAB=nS
ΔABC的法线方向的单位矢量可表示为
n= l i+ l j + m k
2、应力矢量和应力分量
微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设h为O点至斜面ABC 的高，由x方向的平衡，可得
将公式代入上式，则
对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，因此与1相比为小量，趋近于零，因此
同理
如果采用张量记号，则上述公式可以表示为
上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力之间的关系。这一关系式表明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。
§2.4 平衡微分方程
学习思路:
物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。平衡不仅是指整个物体，而且弹性体的任何部分也是平衡的。
本节通过微分平行六面体单元讨论弹性体内部任意一点的平衡。
应该注意：在讨论微分单元体平衡时，考虑到坐标的微小变化将导致应力分量的相应改变。即坐标有增量时，应力分量也有对应的增量。这个增量作为高阶小量，如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑的。
微分平衡方程描述了弹性体内部任意一点的平衡，确定了应力分量与体力之间的关系。又称为纳维（Navier）方程。
平衡微分方程描述弹性体内部应力分量与体力之间的微分关系，是弹性力学的第一个基本方程。
切应力互等定理是弹性体力矩平衡的结果。
学习要点：
1、微分单元体和平衡关系
物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。不仅整个物体是平衡的，而且弹性体的任何部分也都是平衡的。
为了考察弹性体内部的平衡，通过微分平行六面体单元讨论任意一点M 的平衡。在物体内，通过任意点M，用三组与坐标轴平行的平面截取一正六面体单元，单元的棱边分别与x，y，z轴平行，棱边分别长d x，d y，d z。如图所示
，讨论微分平行六面体单元的平衡。
在x面上有应力分量σx ， τ xy和τ xz；在x+d x面上，应力分量相对x截面有一个增量，取一阶增量，则
。对y，z方向的应力分量作同样处理。
根据微分单元体x方向平衡，∑F x=0，则
简化并且略去高阶小量，可得
2、平衡微分方程与切应力互等定理
同理考虑y，z方向，有
上述公式给出了应力和体力之间的平衡关系，称为平衡微分方程，又叫纳维（Navier）方程。
用张量形式表示，可以写作
如果考虑微分单元体的力矩平衡，则可以得到
τ xy =τ yx，τ yz=τzy，τzx=τxz
由此可见，切应力是成对出现的，9个应力分量中仅有6个是独立的。
上述关系式又称作切应力互等定理。用张量形式表示，则
σij = σji
§2.5 面力边界条件
学习思路:
在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，以维持弹性体表面的平衡。
面力边界条件的推导时，参考了应力矢量与应力分量关系表达式。只要注意到物体边界任意一点的微分四面体单元表面作用应力分量和面力之间的关系就可以得到。
面力边界条件描述弹性体表面的平衡，而平衡微分方程描述物体内部的平衡。当然，对于弹性体，这仅是静力学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。
面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。
学习要点：
1. 面力边界条件。
由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面积上的面力分量为F s x、F s y和F s z，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，可得
用张量符号可以表示为
上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量。公式给出了应力分量与面力之间的关系，称为静力边界条件或面力边界条件。
平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表示物体内部的平衡，后者表示物体边界部分的平衡。
显然，若已知应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，则物体平衡；反之，如物体平衡，则应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。
学习思路:
应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且也由于截面的法线方向n的方向改变而变化，研究这一变化规律称为应力状态分析。如果应力分量能够描述一点的应力状态，那么应力分量与其它应力参数必然有内在联系。
本节分析应力矢量与应力分量之间的关系，为深入讨论应力状态作准备。
利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元，通过四面体单元探讨坐标平面的应力分量和斜截面上的应力矢量的关系。
根据平衡关系，推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力分量之间的关系。
分析表明：一点的应力分量确定后，任意斜截面的应力矢量是确定的。
学习要点：
1. 微分四面体单元；
2. 应力矢量与应力分量。
§2.6 坐标变换的应力分量和应力张量
学习思路:
一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。
本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。
应力分量的转轴公式说明：应力分量满足张量变换条件。
根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。
转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。
学习要点：
1.坐标系的变换；
一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。
应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。
当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。
容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。
假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为
如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。设新坐标系与原坐标系之间有如下关系:
其中，l i，m i，n i表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。
2.坐标平面的应力矢量;
如果用
表示同一点在新坐标系下的应力分量
。
作斜截面ABC与x'轴垂直，其应力矢量为p n，则
根据应力矢量与应力分量的表达式
3.应力分量的投影;
设i'，j'，k'为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量，
如图所示。
将p n ，即p x'向x'轴投影就得到σ x'；
向y'轴投影就得到τ x'y'；
向z'轴投影就得到τ x'z'；
所以
4.应力分量转轴公式;
将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑y，z方向，则可以得到转轴公式
注意到, τx'y' =τy'x' , τy'z' =τz'y' , τx'z' =τz'x'。
用张量形式描述，则上述公式可以写作
应力变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。
应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。
5. 平面问题的转轴公式。
弹性力学总结 第一章绪论 一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。 二、弹性力学的基本量 1、外力 （1）体力 （2）面力 2、内力——应力 3、应变 4、位移 以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。 三、弹性力学中的基本假定 1、连续性 2、完全弹性 3、均匀性 4、各向同性 以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。 5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定） 要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。 习题举例： 1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。 A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力； C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。 2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。 A．体力和应力；B．应力和面力； C．体力和面力；D．应力和应变。 3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力； B ．面力； C ．体力； D ．应变。 4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。 A ．应力； B ．面力； C ．体力； D ．应变。 5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。 A ．0lim V F f V ?→?=?，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ?→?=?，-1-2L MT ； C ．0 lim A F p A ?→?=?，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ?→?=?，-1-2L MT 。 6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。 A ．完全弹性； B ．连续性； C ．均匀性； D ．各向同性。 7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。 A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性； B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形； C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形； D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。 8、弹性力学的研究中，根据（ C ）假定，在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便地用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不致引起显著的误差。 A ．完全弹性； B ．连续性； C ．小变形； D ．各向同性。 第二章 平面问题的基本理论 一、两类平面问题的概念 1、平面应力问题 2、平面应变问题 要求掌握两类问题的条件及应力、应变特点，对给定的问题（图形）会判断属于哪类问题。 二、平面问题的基本方程
1、连续体力学包括固体力学、流体力学、热力学和电磁动力学，非连续体力 学包括原子级、波动方程、量子力学。 2、弹性力学所研究的范围属于固体力学中弹性阶段。 3、弹性力学的基本假定为：假设物体是连续的、假设物体是匀质的和各项同 性的、假设物体是完全弹性的、假设物体的变形是很少的、和假设物体内无初 应力。 4、连续性假设是指：物体内部由连续介质组成，物体中应力、应变和位移分量为连续的，可用连续函数表示。 5、均匀性和各向同性假设是指：物体内各点和各方向的介质相同，即物理性质相同，物体的弹性常数弹性模量和泊松比不随坐标和方向的变化而变化。 6、完全弹性假设是指：物体在外载荷作用下发生变形，在外载荷去除后，物体能够完全恢复原形，材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 7、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程为：平衡方程、几何方程和物理方程，三组方程分别表示：应 力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。 8、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。 9、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，压缩时为负，与正应力的正负号规定相适应。 10、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 11、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变 和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1 MT-2 。 12、建立平衡方程时，在正六面微分体的6个面上共有9 个应力分量，分别为：，其中正应力为：，剪应力为：，这些应力分量与外载荷共同建立3个方程。
1平面应变问题的无限长柱形体，以任一横截面为xy面，任 一纵向为z轴，试简述z面上的应力情况及原因。 Z面上由于z方向的伸缩杯阻止，所以所有一切应力分量，形 变分量和位移分量都不沿z方向变化，所以σz不等于0，由于 对称条件τzx=0，τzy= 0. 2、在什么条件下平面应力问题和平面应变问题的3个应力分 量σxσy和τxy与材料特性无关？并简述原因 当体力为常量事，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性 体具有相同边界形状，收到同样的分布外力，那么句不管这两个弹性体的材料是否相同，在平面应力或平面应变情况下σxσy 和τxy的分布是相同的，因为在体力为常量的情况下，平衡微 分方程，相容方程，和应力便捷条件中都不包含弹性常数 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问 题的三类基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）哪些相同，哪些不同？并简述原因 平衡方程，几何方程相同，物理方程不同。在平面问题中，因 为物体的搜有各点都不沿z方向移动即w=0，多亿z方向的线段 都没有伸缩，即εz=0，σz=μ（σx+σy）带入其中可得 4、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分
别应用了哪些基本假定？ 连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形 5、有限单元法中，位移模式应满足什么条件？下列位移函数 甜=aix+a2y+a3x2v=blx+b2y+b3y2能否作为三结点三角形单元 的位移模式？简要说明理由。 位移模式必须能反应单元的钢铁位移， 6弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（B．边界条件）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、 应变、位移。 7弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题 的三类基本方程具有下列关系(平衡方程、几何方程相同，物理 方程不同) 8根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用 下列( A．静力上等效)的力系代替，则仅在近处应力分布有改变， 而在远处所受的影响可以不计 9三结点三角形单元中的位移分布为( B．线性分布)。 10在什么条件下，平面应力问题的仃。，仃，，T_与平面应变 问题的仃。，a，，T可是相同的？ 边界相同，外力相同
弹性力学网络课程 第一章绪论 内容介绍 知识点 弹性力学的特点 弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务 弹性力学的研究方法 内容介绍： 一. 内容介绍 本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。 弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。 偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 本章介绍弹性力学分析的基本假设。弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。 课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点 1.课程的研究对象； 2.基本分析方法和特点； 3.弹性力学的基本假设； 4.课程的学习意义； 5.弹性力学的发展。 特点： 弹性力学，又称弹性理论。作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。 弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。完全弹性使得物体变形成为一种理想模型，以便作进一步的数学和力学处理。完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。这种关系与时间无关，也与变形历史无关。 材料的应力和应变关系通常称为本构关系，它表达的是材料在外力作用下抵抗变形的物理性能，因此又称为物理关系或者物理方程。本构关系满足完全弹性假设的材料模型包括线性弹性体和非线性弹性体。 线性弹性体是指载荷作用在一定范围内，应力和应变关系可以近似为线性关系的材料，外力卸载后，线性弹性体的变形可以完全恢复。线性弹性材料的本构关系就是物理学的胡克定理。在应力小于弹性极限条件下，低碳钢等金属材料是典型的线弹性材料。 另外，一些有色金属和高分子材料等，材料在载荷作用下的应力应变关系不是线性的，但是卸载后物体的变形可以完全恢复，这种材料性质可以简化为非线性弹性本构关系。 如果从研究内容和基本任务来看，弹性力学与材料力学是基本相同的，研究对象也是近似的，但是二者的研究方法却有比较大的差别。弹性力学和材料力学
弹性力学知识点总结 弹性力学是力学的一个重要分支，研究固体物体的变形和回复过程。在本文中，将对弹性力学的几个重要概念和原理进行总结和介绍。 1. 弹性模量 弹性模量是衡量固体物体抵抗形变的能力的物理量。根据胡克定律，弹性模量E可以通过应力σ和应变ε的比值得到：E = σ/ε。其中，应力表示受力物体单位面积上的力的大小，应变表示物体在应力作用下产 生的形变程度。 2. 胡克定律 胡克定律是弹性力学的基本原理，描述了理想弹性体在弹性应变范 围内的力学行为。根据胡克定律，应变与应力成正比。即ε = σ/E，其 中E为杨氏模量。 3. 杨氏模量 杨氏模量是衡量固体材料抗拉性能的物理量，表示固体在单位面积 上受到的拉力与单位长度的伸长量之比。杨氏模量的定义为：E = F/AΔL/L0，其中F为受力物体的拉力，A为受力物体的横截面积，ΔL 为拉伸后的长度增量，L0为原始长度。 4. 泊松比
泊松比是衡量固体材料体积收缩性的物理量。泊松比定义为物体在 一轴方向上受力引起的形变量与垂直方向上的形变量之比。公式表示为：μ = -εlateral/εaxial。 5. 应力-应变关系 弹性力学中的应力-应变关系描述了材料在受力作用下的力学行为。对于弹性材料，应力与应变成线性关系，即应力和应变成比例。 6. 弹性极限 弹性极限是指固体材料可以弹性变形的最大程度。超过弹性极限后，材料将会发生塑性变形。 7. 弹性势能 弹性势能是指物体在形变后能够恢复到初始状态的能力。弹性势能 可以通过应变能来表示，其大小等于物体在受力作用下形变所储存的 能量。 8. 弹性波传播 弹性波是在固体中传播的一种机械波。根据介质的不同，弹性波可 以分为纵波和横波。 9. 斯内尔定律 斯内尔定律描述了弹性力学体系中应力与应变之间的关系。根据斯 内尔定律，弹性变形是由应力和应变之间的线性关系所描述的。 10. 压力容器设计
弹性力学基本概念总结 弹性力学是研究物体在受力作用下产生的变形与应力分布规律的科学。在弹性力学中，存在一些基本的概念，这些概念对于理解物体的弹性变形和力学响应非常重要。本文将对弹性力学中的一些基本概念进行总结。 一、应力和应变 1. 应力 应力是单位面积上的力，用符号σ表示。在弹性力学中，常用的应力有拉伸应力、压缩应力和剪切应力。拉伸应力表示物体在拉伸力作用下的应力，压缩应力表示物体在压缩力作用下的应力，剪切应力表示物体在层叠力作用下的应力。 2. 应变 应变是物体在受力作用下发生的变形程度，用符号ε表示。与应力类似，应变也有拉伸应变、压缩应变和剪切应变。拉伸应变表示物体在拉伸力作用下的应变，压缩应变表示物体在压缩力作用下的应变，剪切应变表示物体在层叠力作用下的应变。 二、胡克定律 胡克定律是弹性力学的基础定律之一，它描述了弹性固体的线弹性响应。根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以用以下公式表示：σ = Eε
其中，σ为应力，E为杨氏模量，ε为应变。胡克定律表明，线弹性材料的应力与应变成正比。 三、杨氏模量和剪切模量 1. 杨氏模量 杨氏模量是衡量材料抵抗拉伸应力的能力的物理量。它表示了单位应力下的应变程度。杨氏模量用符号E表示，单位是帕斯卡（Pa）。杨氏模量越大，材料越具有抵抗拉伸应力的能力。 2. 剪切模量 剪切模量是衡量材料抵抗剪切应力的能力的物理量。它表示了单位剪切应力下的剪切应变程度。剪切模量用符号G表示，单位也是帕斯卡（Pa）。剪切模量越大，材料越具有抵抗剪切应力的能力。 四、弹性极限和屈服点 1. 弹性极限 弹性极限是材料在弹性变形过程中能够承受的最大应力。当应力超过弹性极限时，材料将发生剧烈的塑性变形或破裂。 2. 屈服点 屈服点是材料在受力过程中的一个关键点。在屈服点之前，材料仅发生弹性变形，应力与应变成正比。而在屈服点之后，材料开始发生塑性变形，应变增加的同时应力逐渐减小。 五、弹性体和弹性力学模型
弹性力学公式总结 弹性力学是研究物体在受力后的形变与应变关系的力学分支。在弹性力学中，常使用一些公式来描述物体的力学性质。下面是一些弹性力学中常用的公式： 1. 应变（strain）公式： 应变是物体在受力后发生的形变相对于初始状态的比例。应变可以分为线性应变和剪切应变两种类型。 线性应变公式： ε=ΔL/L 其中，ε表示线性应变，ΔL表示长度变化，L表示初始长度。 剪切应变公式： γ=Δθ 其中，γ表示剪切应变，Δθ表示切变角度的变化。 2. 应力（stress）公式： 应力是物体表面上的内力，是由外力作用于物体上的单位面积所产生的力。 法向应力公式： σ=F/A 其中，σ表示法向应力，F表示受力，A表示作用面积。 切向应力公式：
τ=F/A 其中，τ表示切向应力，F表示受力，A表示作用面积。 3.长度变形公式： 受力作用下，物体的长度会发生变化，有两种类型：拉伸和压缩。拉伸变形公式： ΔL=FL/AE 其中，ΔL表示长度变化，F表示受力，L表示初始长度，A表示截面积，E表示弹性模量。 压缩变形公式： ΔL=-FL/AE 4.钢材弹性模量公式： 钢材弹性模量是衡量材料抵抗外力而形变的能力指标。 E=σ/ε 其中，E表示弹性模量，σ表示法向应力，ε表示线性应变。 5.线性弹性体系恢复力公式： 恢复力是物体受到外力作用后恢复到初始状态所产生的力。 F=kΔx 其中，F表示恢复力，k表示弹性系数，Δx表示位移。 6.钢丝绳伸长公式：
钢丝绳在受拉伸力作用下会发生伸长。 ΔL=FL/EA 其中，ΔL表示伸长长度，F表示受力，L表示初始长度，A表示截面积，E表示钢丝绳的弹性模量。 7.矩形梁弯曲公式： 在作用力下，矩形梁会发生弯曲。 M = -EI(d^2y / dx^2) 其中，M表示弯曲力矩，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，y表示梁的纵轴位移，x表示位置。 这些公式是弹性力学中的一些基本公式，用于描述物体在受力后的形变与应变关系，以及恢复力、弯曲等力学性质。掌握这些公式对于深入理解和研究弹性力学具有重要意义。
弹性力学的基本概念 弹性力学是工程力学中的一个重要分支，研究的是物体在受到外力作用后，产生的形变和应力，并且在外力作用撤去后能够恢复到原来的形态的一种力学学科。弹性力学的研究对象包括杆件、梁、板、壳、轮胎等结构体和波动现象等。 弹性力学的基本概念包括： 1. 应力 应力是物体内部抵抗外部力作用的一种表现形式，指的是单位面积上的力，在弹性力学中通常用符号σ表示。应力是与受力区域的形状和受力方向有关的，包括拉应力、压应力、剪应力等。 2. 应变 应变是指物体在受到外力作用时，产生的形变程度，通常用符号ε表示。应变可以分为线性应变和非线性应变，其中线性应变通常用胡克定律表示。 3. 模量 模量是衡量物体材料性质的指标，包括弹性模量、剪切模量等。弹性模量是物体在外力作用下，产生形变时单位应力的比例因子，通常用符号E表示。不同材料的弹性模量不同，例如钢材的弹性模量比橡胶大，说明钢材的刚性更高。 4. 弹性极限
弹性极限是指物体在受到应力作用时，达到最大的应力值，此时物体开始发生塑性变形。弹性极限是物体强度的一个重要参数，在设计和使用中需要特别考虑。 5. 断裂强度 断裂强度是指物体在受到意外应力作用时，在未达到弹性极限之前就发生破裂的应力值。断裂强度是物体材料强度的一个重要指标，通常在设计和选材时需要考虑。 6. 安全系数 安全系数是指为保证物体在工作时不发生失效，所采用的强度设计值与实际强度之间的比值。安全系数是一个重要的设计参量，在设计和制造物体时需要保证一定的安全系数。 总之，弹性力学是工程力学中非常重要的分支，它的基本概念包括应力、应变、模量、弹性极限、断裂强度和安全系数等。这些基本概念对于工程设计和材料选择具有重要的指导意义。
1 / 1 第一章 绪论 弹性力学基本假设： 1、连续性假设 指组成物体的介质充满了物体所占的空间，物体中不存在任何间隙。 2、均匀性假设 物体内的每一点都具有相同的力学性质 3、各向同性假设。 指物体内一点的各个方向上的力学性质相同。 4、完全弹性假设 指物体在载荷作用下发生变形，当这些荷载拆除以后物体能完全恢复到原来的形状和大小，而没有任何残余变形。 5、小变形假设 假定物体内各点在载荷作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1。 6、无初应力假设 假定物体的初始状态为自然状态，即载荷作用以前物体内没有应力。 第二章 弹性力学的基本方程 平衡微分方程： 000yx x zx x xy y zy y yz xz z z F x y z F x y z F x y z τσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂ 边界条件： ()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 斜面应力公式（Cauchy 公式）： x x xy zx y xy y zy z xz yz z T l m n T l m n T l m n στττστττσ=++=++=++ 斜截面上的全应力： T υ 斜截面上的正应力： x y z T l T m T n υσ=++ 斜截面上的总剪应力： 2 2 2T υυυτσ=- 几何方程： ;;;x yz y xy z xy u w v x y z v u w y z x w v u z x y εγεγεγ∂∂∂= =+∂∂∂∂∂∂==+ ∂∂∂∂∂∂==+ ∂∂∂ 物理方程： ()()()2(1)1 ;2(1)1;2(1)1 ;x x y z xy xy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E v v E E v v E E εσσσγτ εσσσγτεσσσγτ ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦+=-+=+=-+=+=-+=体积应变：x y z θ εεε=++ x =()y z σσσΘ++ 12E v θ-= Θ 第三章 平面问题的直角坐标解法 平衡方程： 00yx x x xy y y F x y F x y τστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂ 几何方程： ;;x y xy u v u v x y y x εεγ∂∂∂∂= ==+∂∂∂∂ 边界条件： ;x yx x xy y y l m T l m T σττσ+=+=位移边界条件：;x x y y u u u u == 平面应变： 22 222y xy x xy y x ετε∂∂∂+=∂∂∂ 平面应力： 2222 20;0;0z z z xy x y εεε∂∂∂===∂∂∂ 平面问题应力解： 22222x x y y xy F x y F y x x y ϕ σϕ σϕ τ∂=-∂∂=-∂∂=- ∂∂ 相容方程： 4444224 20y x x y ϕϕϕ ∂∂∂++=∂∂∂∂ 第四章 平面问题的极坐标解法 平衡微分方程： 10210r r r r r r F r r r F r r r θθ θθθ θτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂ 几何方程： 1;1r r r r r u u u r r r u u u r r r θ θθθ θ εεθ γθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂ 物理方程： ()()r 11 ;2(1) r r r r v v E E v E θθθθθεσσεσσγτ= -=-+= 相容方程： 222 22211()0r r r r ϕθ ∂∂∂++=∂∂∂ 第五章 应力张量 =0x xy xz yx y yz zx zy z σστττσστττσσ ---
弹性力学基础知识归纳 第一篇：弹性力学基础知识归纳 一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。(2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。 4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说
弹性力学简明教程 弹性力： 弹性物体因外力产生形变后的恢复力，简称弹力。形变也存在于物体内部，因此物体内部的各部分间都有弹性力相作用。弹性力有各种名称：相互压缩时，称压力，垂直于物体表面的压力称法向压力；相互拉长时，称张力。物体给平面或斜面的法向压力的反作用力，称支持力或反力，实质上也是压力。 基本概念： 弹性物体因外力产生形变后的恢复力。简称弹力。形变也存在于物体内部，因此物体内部的各部分间都有弹性力相作用。弹性力有各种名称：相互压缩时，称压力，垂直于物体表面的压力称法向压力；相互拉长时，称张力。物体给平面或斜面的法向压力的反作用力，称支持力或反力，实质上也是压力。一定范围内弹性力和变形程度成正比，这个范围称弹性限度。在限度内，撤去外力，物体能恢复原状；超过这限度，变形程度不再和外力成正比，撤去外力后物体也不能恢复原状。对弹簧来说，弹性力为F=－k某，某表示弹簧终端的位移，k为弹性力和位移值之比，称刚度系数，负号表示弹性力的方向与位移的方向相反。弹性力也是保守力，弹性力作功可用弹性势能表示，其值为，某为位移的值。 在外力作用下弹性物体形变后所产生的一种恢复力。弹性力的特点是它在变形体上所做的功并不转化为热，但可转化为势能。弹性力是一种保守力。物体中任何两个质点相对位置的变化，称为物体变形。当物体的形变很小时，弹性力F和物体中质点M开平衡位置
时的位移成正比,其方向指向力图使质点复到平衡位置的方向。包括 风化作用、侵蚀作用、搬运作用、沉积作用和固结成岩作用。指由太阳辐射、重力、日月引力、水流、风力等来自地球外部的营力(通过大气、水、生物等)所引起的作用。来自地球外部，主要是太阳辐射能，包括风化、 堆积、侵蚀、搬运固结成岩作用等。 弹性力学： 固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下 产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学 和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界 因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航 天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体 变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性 体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹 性体处理。 内容提要： 全书共有14章,包括弹性力学的基本理论、基本概念和基本方法;简 单的和一些工程上常见的弹性力学问题;弹性弯曲和扭转;弹性薄板和薄壳;热应力问题;变分原理和数值方法等。本书理论与应用并重,概念清晰,易 于理解,列有习题和思考题,举一反三,便于掌握。 图书目录： 第1章绪论
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用 弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 一．弹性力学的基本规律规律假设 弹性力学的研究对象是完全弹性体。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。 井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设： 1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质 所充满，各个质点之间不存在任何空袭。 2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。 因此，物体的弹性性质处处是相同的。 3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。 4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全 弹性材料。 5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外 力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设， 弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法： 弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。 数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。数学方法是偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。 （1）解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。 （2）数值解法是采用计算机处理的近似解法。近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。
弹性力学三大基本方程 弹性力学是一门研究物体在外力作用下的变形和应力分布的力学学科。弹性力学三大基本方程是指弹性体的平衡方程、弹性体的应力-应变关系 以及假设关系，下面将分别介绍这三大基本方程。 1.弹性体的平衡方程： 弹性体的平衡方程是指在外力作用下，弹性体内部各个点的受力之和 为零。对于静力学平衡来说，平衡方程可表述为： ∇⋅σ+ρb=0 其中，σ是应力张量，∇⋅σ是应力张量的散度，ρb是单位体积上 的体力。该方程表明了弹性体内任意部分的体力分布必须满足力的平衡。 2.弹性体的应力-应变关系： 应力-应变关系是描述弹性体内部应变通量与应力张量之间的关系。 在弹性线性假设下，便可以得到经典的胡克定律： σ=Cε 其中，σ是应力张量，C是刚度张量，ε是应变张量。胡克定律表 明了应力与应变之间的线性关系，C是刚度张量，其描述了材料的弹性特性。C满足Cij = Cji，并且含有最多9个独立的弹性常数，如弹性模量、泊松比等。 3.弹性体的假设关系： 弹性体的假设关系是对弹性体的几何特性和物理特性作出的基本假设，其中最重要的假设是小应变假设和单轴应力假设。
小应变假设假定了应变量ε的大小很小，即应变量与单位应变量之间的比值非常小。这使得胡克定律可以成立，并且简化了问题的求解。 单轴应力假设假定了在一个平截面上，只有一个主应力作用。这意味着只要知道该方向上的应力值，就可以通过胡克定律求解出所有的应力和应变值。 弹性力学三大基本方程的应用广泛，可以用于解决各种工程和科学问题，例如建筑物结构力学分析、杆件弹性力学分析、弹性体的破坏行为研究等。这些基本方程为弹性力学提供了基础理论框架，使得研究者可以根据实际问题选择合适的力学模型和求解方法，从而对弹性体的变形和应力分布进行准确预测和分析。
弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。外力分为体积力和面积力。体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。面力是分布在物体外表上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。内力，即物体本身不同局部之间相互作用的力。但凡符合连续性、完全弹性、均匀性、各向同性等假定的物体称之为理想弹性体。连续性，假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。均匀性，整个物体时统一材料组成。各向同性，物体的弹性在所有各个方向都一样。 求解弹性力学问题，即在边界条件上，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。弹性力学、材料力学、构造力学的研究对象分别是弹性体，杆状构件和杆件系统。解释在物体内同一点，不同截面上的应力是不同的。应力的符号不同：在弹性力学和材料力学中，正应力规定一样，拉为正，压为负。切应力：弹性力学中，正面沿坐标轴正方向为正，沿负方向为负。负面上沿坐标轴负方向为正，沿正方向为负。材料力学中，所在的研究对象上任一点弯矩转向顺时针为正，逆时针为负。试述弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别。平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。外力约束，平行于版面且不沿厚度变化。平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。平衡微分方程表示的是弹性体内任一点应力分量与体力分量之间的关系式。在推导平衡微分方程时我们主要用了连续性假定。几何方程表示的是形变分量与位移分量之间的关系式。试根据几何方程分析，应变分量与位移分量之间的关系，并解释原因。当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定，反之，等形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。在推导几何方程主要用了小变形假定。在平面问题中，为了完全确定位移，就必须有3个适当的刚体约束条件。为什么？既然物体在形变为零时可以有刚体位移，可见，当物体发生一定形变时，由于约束条件的不同，他可能具有不同的刚体位移，因而它的位移并不是完确定的，在平面问题中，常数U0 V0 W的任意性就反响位移的不确定性，而为了平安确定位移，就必须有三个何时得刚体约束来确定这三个常数。物理方程表示的应力分量与应变分量之间的关系式。两种平面问题的物理方程是不一样的，然而如果在平面应力问题的物
弹性力学简介( 选读） 弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展简史 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17 世纪开始的。 弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680 年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687 年确立了力学三定律。 同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。 在17 世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19 世纪20 年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822 ～1828 年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动( 平衡) 方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。 第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。 1855 ～1858 年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881 年德国的
力学：研究弹性体由于受外力，边界约束或温度改变等作用而发生的应力、形变和位移。 弹性力学的研究对象：为一般及复杂形状的构件、实体结构、板、壳等。（是各种弹性体，包括杆件，平面体、空间体、板和壳体等。弹性力学研究的对象比较广泛，可以适用于土木、水利、机械等工程中各种结构的分析。） 弹性力学的任务在边界条件下，从平衡微分方程、几何方程和物理方程求解应力、应变和位移等未知函数研究方法已知条件：1物体的几何形状，即边界面方程2物体的材料参数3所受外力的情况4所受的约束情况。求解的未知函数：应力、应变和位移。解法：在弹性体区域内，根据微分体上力的平衡条件建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件建立物理方程弹性体边界上，根据面力条件，建立应力边界条件；根据约束条件建立位移边界条件然后在边界条件下，求解弹性体区域内的微分方程，得出应力、形变和位移 弹性力学的基本假设（即满足什么样条件的物体是我们在弹性力学中要研究的） （1）均匀性假设即物体是由同一种材料所组成的，在
物体内任何部分的材料性质都是相同的。（用处：物体的弹性参数，如弹性模量E，不会随位置坐标的变化而变化）（2）连续性假设即物体的内部被连续的介质所充满，没有任何孔隙存在。（用处：弹性体的所用物理量均可用连续的函数去表示）（3）完全弹性假设即当我们撤掉作用于物体的外力后，物体可以恢复到原状，没有任何的残余变形；应力（激励）与应变（响应）之间呈正比关系。（用处：可以使用线性虎克定律来表示应力与应变的关系）（4）各向同性假设即物体内任意一点处，在各个方向都表现出相同的材料性质。（用处：物体的弹性参数可以取为常数）（5）小变形假设即在外力的作用下，物体所产生的位移和形变都是微小的。（用处：可以在某些方程的推导中略去位移和形变的高阶微量。即简化几何方程，简化平衡微分方程） 上述这些假定，确定了弹性力学的研究范畴：研究理想弹性体的小变形状态 外力是其他物体作用于研究对象的力（分为体力和面力） 体力是作用于物体体积内的外力（如重力和惯性力）面力是作用于物体表面上的外力（如液体压力和接触力）
弹性力学 elasticity 弹性理论 theory of elasticity 均匀应力状态homogeneous state of stress 应力不变量 stress invariant 应变不变量 strain invariant 应变椭球 strain ellipsoid 均匀应变状态homogeneous state of strain 应变协调方程 equation of strain compatibility 拉梅常量 Lame constants 各向同性弹性 isotropic elasticity 旋转圆盘 rotating circular disk 楔 wedge 开尔文问题 Kelvin problem 布西内斯克问题Boussinesq problem 艾里应力函数 Airy stress function 克罗索夫--穆斯赫利什维利法 Kolosoff- Muskhelishvili method 基尔霍夫假设 Kirchhoff hypothesis 板 Plate 矩形板 Rectangular plate 圆板 Circular plate 环板 Annular plate 波纹板 Corrugated plate 加劲板Stiffened plate,reinforced Plate 中厚板 Plate of moderate thickness 弯[曲]应力函数 Stress function of bending 壳 Shell 扁壳 Shallow shell 旋转壳 Revolutionary shell 球壳 Spherical shell [圆]柱壳 Cylindrical shell 锥壳 Conical shell 环壳 Toroidal shell 封闭壳 Closed shell 波纹壳 Corrugated shell 扭[转]应力函数 Stress function of torsion 翘曲函数 Warping function 半逆解法 semi-inverse method 瑞利--里茨法 Rayleigh-Ritz method 松弛法 Relaxation method 莱维法 Levy method 松弛 Relaxation 量纲分析 Dimensional analysis 自相似[性] self-similarity 影响面 Influence surface 接触应力 Contact stress 赫兹理论 Hertz theory 协调接触 Conforming contact 滑动接触 Sliding contact 滚动接触 Rolling contact 压入 Indentation 各向异性弹性 Anisotropic elasticity 颗粒材料 Granular material 散体力学 Mechanics of granular media 热弹性 Thermoelasticity 超弹性 Hyperelasticity 粘弹性 Viscoelasticity 对应原理 Correspondence principle 褶皱 Wrinkle 塑性全量理论 Total theory of plasticity 滑动 Sliding 微滑 Microslip 粗糙度 Roughness 非线性弹性 Nonlinear elasticity 大挠度 Large deflection 突弹跳变 snap-through 有限变形 Finite deformation 格林应变 Green strain 阿尔曼西应变 Almansi strain 弹性动力学 Dynamic elasticity 运动方程 Equation of motion 准静态的 Quasi-static 气动弹性 Aeroelasticity 水弹性 Hydroelasticity
基本概念： （1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变； 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， 0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。 设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律， 0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态； 过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处
所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、 平衡微分方程： (1) 平面问题的平衡微分方程； 00yx x x xy y y f x y f x y τστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记） (2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）； 10210f f ρρϕρϕ ρϕρϕρϕ ϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ ∂σ∂ττρ∂ϕ∂ρρ -+++=+++= 1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。 2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。 二、 几何方程； （1） 平面问题的几何方程； x y xy u x v y v u x y εεγ∂= ∂∂=∂∂∂=+ ∂∂（记） （2） 平面问题的几何方程（极坐标）；