高考 预测届高考数学：16圆锥曲线的定义、性质和方程(一)

卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。

假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。

假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。

比方：①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．B．C．D．〔答：C〕；②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。

如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。

方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。

比方：①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕；②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。

方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。

比方：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕；②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______〔答：〕〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a ba bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y <<（00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

2019高考数学专项讲解16：解析几何专项1圆锥曲线的定义性质方程第十六讲圆锥曲线的定义、性质和方程(一)★★★高考在考什么 【考题回放】1、AB 为过抛物线y 2=2px 焦点F 的弦,那么以AB 为直径的圆与抛物线的准线(B)A 、相交B 、相切C 、相离D 、与p 的取值有关2、〔江苏理〕在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x -2y =0，那么它的离心率为〔A 〕AB、2C、2 3、点P(a ,b )是双曲线x 2-y 2=1右支上一点，且P，那么a+b =(B) A 、-B 、C 、-2D 、24、〔湖南〕设F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b +=〔0a b >>〕的左、右焦点，假设在其右准线上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，那么椭圆离心率的取值范围是〔D 〕A 、02⎛ ⎝⎦， B 、03⎛ ⎝⎦，C、12⎫⎪⎪⎣⎭D、13⎫⎪⎪⎣⎭5、〔湖北理〕双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为F 1、F 2；抛物线C 2的准线为l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，那么12112F F MF MF MF -等于〔A 〕A 、1-B 、1C 、12-D 、126、〔全国一〕抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，那么△AKF 的面积是(C)A 、4B、、、8 7、〔福建理〕以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆方程是〔A 〕A 、x 2+y 2-10x +9=0B 、x 2+y 2-10x +16=0C 、x 2+y 2+10x +16=0D 、x 2+y 2+10x +9=0 8、〔辽宁〕设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，假设点M 满足1()2OM OP OF =+，那么||OM =2★★★高考要考什么 【热点透析】【一】圆锥曲线的定义1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长〔定长大于两个定点间的距离〕的动点的轨迹叫做椭圆。

圆锥曲线的性质与方程圆锥曲线是平面几何中重要的一类曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。

它们在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。

本文将介绍圆锥曲线的性质以及它们的方程。

一、抛物线的性质与方程抛物线是最简单的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：抛物线具有关于焦点对称的性质，即从焦点到抛物线上任意一点的距离与该点在水平直线上的投影之间的距离相等。

2. 焦点与准线：抛物线上的每个点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。

焦点和准线都是抛物线的重要几何特征。

3. 方程形式：一般来说，抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，x和y分别表示坐标轴上的点。

二、椭圆的性质与方程椭圆是圆锥曲线中的另一种形式，其性质和方程如下：1. 对称性：椭圆具有关于两个焦点和两条主轴的对称性。

每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。

2. 长轴与短轴：两焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆的中心。

3. 方程形式：一般来说，椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。

三、双曲线的性质与方程双曲线是另一种重要的圆锥曲线，其性质和方程如下：1. 对称性：双曲线有两个焦点，对于每个点到两个焦点的距离之差是一个常数。

2. 极限性质：双曲线的曲线趋向于两条互相平行的渐近线，与渐近线的距离越远，曲线越陡峭。

双曲线上的点的坐标差的绝对值等于常数。

3. 方程形式：一般来说，双曲线的标准方程为(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标，a和b分别是双曲线的焦点到准线距离的一半。

综上所述，圆锥曲线是平面几何中重要且有趣的一类曲线。

抛物线、椭圆和双曲线分别具有自己独特的性质和方程形式。

它们的研究和应用不仅在数学领域有着重要作用，还在物理、工程等领域得到广泛的应用。

对于理解和运用圆锥曲线，掌握其性质与方程是非常关键的。

圆锥曲线的定义及应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。

即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。

2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。

即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。

3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。

1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）X围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）X围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）X围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。

解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。

圆锥曲线定义及基本特征圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它包括圆、椭圆、抛物线和双曲线四种曲线。

在本文中，我们将详细介绍圆锥曲线的定义及其基本特征。

圆锥曲线的定义：圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和到该点的距离之比等于一个定值（离心率）的动点轨迹所组成的曲线。

根据这个定义，我们可以得出四种不同类型的圆锥曲线。

第一种圆锥曲线是圆，它的离心率为零，即焦点到动点的距离始终相等，形成一个闭合的曲线。

圆有无数个焦点，在平面上的任意一点都可以看作是一个焦点。

第二种圆锥曲线是椭圆，它的离心率在0到1之间，动点在焦点引出的两条线段之和始终等于一个常数。

椭圆通常被描述为一个长轴和短轴的交叉图形，焦点和两个焦点之间的距离是常数。

第三种圆锥曲线是抛物线，它的离心率为1，动点到焦点的距离等于动点到准线（另一条直线）的距离。

抛物线可以看作是一个平面上所有点到一个焦点的距离等于到另一直线的距离的轨迹。

第四种圆锥曲线是双曲线，它的离心率大于1，动点离开焦点到准线的距离的绝对值之差始终等于一个常数。

双曲线通常被描述为两个分离的曲线，其中每个曲线的焦点和两个焦点之间的距离是常数。

除了以上的定义，圆锥曲线还有一些基本特征。

每种圆锥曲线都有焦点、离心率、准线等特征。

焦点是确定曲线形状和位置的关键点，离心率则表明了曲线的扁平程度。

准线是与焦点等距的一条直线，对于椭圆和双曲线来说，定位于曲线的两个焦点之间。

总的来说，圆锥曲线是几何学中一个重要的概念，它包括圆、椭圆、抛物线和双曲线四种类型。

每种类型都有其独特的定义和基本特征，通过研究圆锥曲线，我们可以更深入地理解几何学中的各种概念和定理。

希望本文能够帮助读者更好地理解圆锥曲线的定义及其基本特征。

圆锥曲线的定义与性质曲线名称圆（Circle）椭圆（Ellipse）双曲线（Hyperbola）抛物线（Parabola）标准方程x2+y2=r2（r>0）x y22221+=（a>b>0）a bx y22221-=（a,b>0）y2=2px（p>0）a bP P A抛物线的切点弦性质PF1+PF2=2a P PF1-PF2=2a抛物线的切点弦中点与极定义AF1BF2F1F2（2a>F F）12F1F2（0<2a<F F）12P M2M1B点连线的中点在抛物线上；特别地，若切点弦过抛物线体系PF1PF2=l（ l>0且 l¹1）焦点三角形面积qS=b2tan△PF F122焦点三角形面积qS=b2cot△PF F122焦点 F，则ÐAPB为直角且PF^AB一P光学性质O切线方程x x+y y=r200F1F2切线方程x x y y002+2=1a bF1F2F切线方程x x y y02021-=a b切线方程y y=p x+x()00从一个焦点射出的光线的反射光线过另一个从一个焦点射出的光线的反射光线的反向延从圆心射出的光线的反射光线仍经过从焦点射出的光线的反射光线与对称轴平行焦点长线经过另一个焦点圆心P等张角线极坐标方程r=ep1-ecosq体系二对线段 AB张角相同的点的轨迹HlP PFPH=e PlHPFPH=eHlPA B PF=PH通径长F FF通径长通径长d=2p 2b2d==2epa2b2d==2epa体系BO定义1k×k=-PAPBAPAOPBk×k=-PAPBb2a2AOPBk×k=PAPBb2a2直线与圆锥曲线弦长公式!l=1+k x-x=1+m y-y=n×t-t22121212面积公式三垂径定理AMOBk×k=-1OMABAMOBba22k×k=-OM AB1AOM Bk×k=OMABb2a211212S=底×高 =水平宽×铅直高=l lsinq212位置关系椭圆的等效判别式 D=a2A2+b2B2-C2双曲线的等效判别式2(2222)D=C-a A-b B圆锥曲线的解题常见思路关键词一般情况过定点的直线弦长面积点与曲线的位置关系★引入参数控制运动，以交点坐标★弦长公式★利用共线或平行条件进行等积★将点代入圆锥曲线方程中再将定点在y轴上时用斜截式表示定点在x轴上时用倒斜横截式表示为中间变量表示其他所有几何量★两点间距离公式变换方程改写为不等式定点不在轴上时用参数方程表示★利用直线方程消去纵（横）坐标★三角形面积公式★若方程Px2+Qx+R=0的两根提示→将直线方程代入曲线方程（联立）→通过韦达定理消去另一坐标时，两根之差为x-x=12DP★四边形的面积公式12l l sinq12★四边形的对角线往往是相关的有时也直接求解坐标★注意参数的取值范围，需要保证★面积比往往转化为共线线段比直线与圆锥曲线相交关键词直线与圆锥曲线的位置关系焦点中点定比分点共线、平行、垂直★联立直线与曲线方程后通过判★两个焦点→体系一★注意取中点构造中位线★弦所在直线过焦点时，可补对应★利用斜率或向量表示别式判断★一个焦点★中点坐标公式★共线也可以利用点在另外两点准线后构造相似三角形提示★直接利用等效判别式判断→补焦点→体系一→补准线→体系二xx+x y+y=12，12y=22★利用定比分点坐标公式或利用直线的参数方程转化．所确定的直线上表示★注意利用极坐标方程★“x=a x（a¹-1）”21Û2æx+xöx x a．=ç12÷121èøa+关键词以AB为直径的圆过C垂直平分线关于直线…对称关于原点对称的两点与原点连线相互垂直★以AB为直径的圆过C★P在AB的垂直平分线上★A、B关于l对称★有关斜率的问题→体系三★利用相关直线设直线斜率ÛÐACB=90°ÛPA=PBÛl是AB的垂直平分线★注意取中点构造中位线★化齐次联立ÛMC=MA（M为AB中点）ÛPM^AB（M为AB中点）★注意对称变换下的几何不变量提示★斜率的比值计算可以平方后用★注意“姐妹圆”圆锥曲线的方程进行整理111=+r a b222R=a+b 222关键词与定点的两连线垂直向量的运算成锐角（直角、钝角）过…与…交点的曲线其他★利用相关直线设直线斜率★向量数乘→共线★转化为向量夹角★利用交点曲线系得到曲线方程★当运动由圆锥曲线上的单点驱向量和差→平行四边形法则借助向量数量积的符号判断动时注意利用圆锥曲线的参数方程★平移坐标系转化为与原点的连向量相等→形成平行四边形★极限思想，利用切线方程得到定线相互垂直的问题向量数量积→投影长度提示点或定值的具体数据★利用仿射变换★在求形如()()x-t x-t的值时，12可以将方程整理为形如改造椭圆为圆改造斜交直线为垂直直线20A(x-t)+B(x-t)+C=的形式2。

圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中一个重要的概念，它指的是平面上由一个动点P 与一个定点F和一条定直线L确定的一类曲线。

圆、椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线的具体例子。

本文将介绍圆锥曲线的定义、特征以及它们在现实生活中的应用。

一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它由一个定直线L和一个定点F以及平面上P点的轨迹组成。

其中，定直线L称为准线，定点F称为焦点，而曲线上的点P为动点。

根据焦点与准线之间的距离关系，圆锥曲线可以分为四种类型。

1. 圆：当焦点F与准线L上的点重合时，即F为L的中点时，形成的曲线为圆。

圆锥曲线上的所有点到焦点F的距离都相等，这是圆的特征。

2. 椭圆：当焦点F到准线L的距离小于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为椭圆。

椭圆是我们生活中常见到的圆形，特点是离焦点F 越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。

3. 抛物线：当焦点F到准线L的距离等于曲线上点P到焦点F的距离时，形成的曲线为抛物线。

抛物线可以看作是圆锥曲线的一种极端情况，具有开口向上或向下的特点。

4. 双曲线：当焦点F到准线L的距离大于曲线上点P到焦点F的距离之和时，形成的曲线为双曲线。

双曲线的特点是离焦点F越远的点到焦点F的距离与到准线L的距离之和越大。

二、圆锥曲线的性质圆锥曲线具有许多重要的性质，其中一些性质如下：1. 焦点与准线之间的距离关系：对于椭圆和双曲线而言，焦点F到准线L的距离是一个恒定值。

而对于抛物线而言，焦点F到准线L的距离等于焦距的两倍。

2. 离心率：离心率是一个衡量圆锥曲线形状的重要参数。

对于椭圆而言，离心率介于0和1之间；对于双曲线而言，离心率大于1；而对于抛物线而言，离心率等于1。

3. 对称性：圆锥曲线具有一定的对称性。

例如，椭圆具有关于两个对称轴的对称性，而抛物线具有关于焦点和准线的对称性。

4. 焦点与直线之间的关系：对于给定的圆锥曲线上的一点P，焦点F到点P的连线与准线L之间的夹角相等。

第15讲 圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线1．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系： ①在椭圆中：c 2＝a 2－b 2；离心率为e ＝c a ＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a＝1＋b 2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标：①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)；②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程：①抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±p 2，0，准线方程为x ＝∓p2； ②抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±p 2，准线方程为y ＝∓p 2. 2．弦长问题 (1)弦长公式：设直线斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或 |AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫1k 2|y 1－y 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫1k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.(2)过抛物线焦点的弦长：过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .小题速解——不拘一格 优化方法考点一 圆锥曲线的定义及标准方程[典例1] (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝1通解：由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，选A.优解：由4a ＝43，得a ＝ 3.a 2＝3，排除C 、D. 对于A ，c 2＝1，∴e ＝13＝33，适合题意，故选A. 答案：A(2)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________．解析：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：61．圆锥曲线的定义是根本，它是标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略．对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．2．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，注意数形结合，提倡画出合理草图． 核心素养：重点提升数学抽象、直观想象素养，提高数形结合能力． [自我挑战]1．(2018·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点．设A 、B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1C.x 23－y 29＝1 D ．x 29－y 23＝1解析：选C.设双曲线的右焦点坐标为F (c ，0)(c ＞0)，则x A ＝x B ＝c ， 由c 2a 2－y 2b 2＝1可得：y ＝±b 2a ， 不妨设：A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 双曲线的一条渐近线方程为：bx －ay ＝0，据此可得：d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2c ，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b2＝bc ＋b 2c ，则d 1＋d 2＝2bcc ＝2b ＝6，则b ＝3，b 2＝9，双曲线的离心率：e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋9a 2＝2， 据此可得：a 2＝3，则双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( ) A ．2 2 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.由题意得双曲线的右焦点为(3，0)，即抛物线的焦点为F (3，0)，则抛物线的方程为y 2＝12x ，抛物线的准线方程为x ＝－3，则点K 的坐标为(－3，0)．设点A 在抛物线的准线上的投影为点A ′，则AA ′⊥A ′K ，|AF |＝|AA ′|，又因为|AK |＝2|AF |，所以|AK |＝2|AA ′|，所以|AA ′|＝|A ′K |，设点A 的横坐标为x 0(x 0＞0)，则x 0＋3＝12x 0，解得x 0＝3. 考点二 圆锥曲线的几何性质[典例2] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B ．12C.13D ．14通解：如图，直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a )，①直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )，② ①与②联立解得：x ＝a ＋6c 5，y ＝35(a ＋c )，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋6c 5，35（a ＋c ）， ∴|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋6c 5－c 2＋325（a ＋c ）2 ＝25(a ＋c )，又∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴25(a ＋c )＝2c ， ∴a ＝4c ，∴e ＝c a ＝14.优解：由已知，|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c ，∠PF 2F 1＝120°， ∴P (2c ，3c )．又A (－a ，0) ∴k AP ＝3c 2c ＋a ＝36，解得a ＝4c ，∴e ＝c a ＝14.答案：D(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．通解：设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k （x －1）得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1.∵∠AMB ＝90°，∴k MA ·k MB ＝－1. 即y 1－1x 1＋1·y 2－1x 2＋1＝－1. 化简得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2.优解：设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2. 答案：2圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与圆锥曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．核心素养：重点提升直观想象和数学运算素养，提高数形结合和运算求解能力． [自我挑战]3．(2018·山东东营二模)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，1B ．⎝⎛⎭⎫0，22 C ．(0，1)D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选A.因为椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，所以m ＞0，n ＜0.且m ＋2－(－n )＝m －n ，解得n ＝－1.所以椭圆C 1的离心率e ＝1－－（－1）m ＋2＝1－1m ＋2＞ 1－12＝22， 又e ＜1，所以椭圆C 1的离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.4．(2018·高考北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．解析：(1)如图，连接AF 1，由正六边形的性质可知，△AF 2F 1为直角三角形，且∠AF 2F 1＝60°，∠AF 1F 2＝30°.所以在△AF 2F 1中，|AF 2|＝c ，|AF 1|＝3c .又由椭圆的定义可知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .在Rt △AF 2F 1中，|AF 1|＝cos 30°|F 1F 2|， |AF 2|＝cos 60°|F 1F 2|， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝3＋12|F 1F 2|， ∴(1＋3)c ＝2a ，∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)由正六边形的性质可知，∠AOF 2＝60°， tan ∠AOF 2＝3＝nm ，又由双曲线的性质可知： ∴e ＝1＋⎝⎛⎭⎫n m 2＝1＋（3）2＝2. 答案：3－1；2大题规范——学会踩点 规范解答考点三 直线与圆锥曲线的简单综合[典例3] (2018·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程．解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.因为圆O 的直径为F 1F 2，所以其方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3，所以直线l 的方程为y＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0，即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0.由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0，消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*)因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0.因为x 0＞0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.因此，点P 的坐标为(2，1)． ②因为三角形OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(*)得x 1，2＝24x 0±48y 20（x 20－2）2（4x 20＋y 20）， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋x 20y 20·48y 20（x 20－2）（4x 20＋y 20）2. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16（x 20－2）（x 20＋1）2＝3249，即2x 40－45x 20＋100＝0， 解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12，因此P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫102，22. 综上，直线l 的方程为y ＝－5x ＋3 2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．优法：(点差法)在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解． 核心素养：提升数学运算，数学建模素养、重点提高运算求解能力． [自我挑战]5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F 1，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F 1A |＝|F 1D |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 1为正三角形． (1)求C 的方程．(2)抛物线在A 处的切线分别与x 轴、y 轴交于E ，F 两点，设AF →＝λAE →，求λ的值．解：(1)如图F 1⎝⎛⎭⎫p 2，0，当x A ＝3时， 点D ⎝⎛⎭⎫6－p 2，0⎝⎛⎭⎫6－p2＞0， 又因为|F 1A |＝|F 1D |， 所以3＋p2＝|6－p |，解得p ＝2或p ＝18(舍)，所以抛物线C 的方程是y 2＝4x .(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫t 24，t (t ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k ⎝⎛⎭⎫x －t 24，y 2＝4x ，整理得ky 2－4y －kt 2＋4t ＝0，因为直线与抛物线相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝0，Δ＝16－4k (4t －kt 2)＝16－16kt ＋4k 2t 2＝4(k 2t 2－4kt ＋4)＝0.k ＝2t ，所以AE 的方程：y －t ＝2t ⎝⎛⎭⎫x －t 24，即y ＝2t x ＋t 2，所以E ⎝⎛⎭⎫－t 24，0，F ⎝⎛⎭⎫0，t 2. AE →＝⎝⎛⎭⎫－t 22，－t ，AF →＝⎝⎛⎭⎫－t 24，－t 2. 因为AF →＝λAE →，所以⎝⎛⎭⎫－t 24，－t 2＝λ⎝⎛⎭⎫－t22，－t ， 所以⎩⎨⎧－t 24＝－λ·t 22，－t2＝－λ·t ，解得λ＝12，所以λ的值是12.1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B ．x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1 D ．x 227－y 29＝1解析：选B.由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)． 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以(－6，0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，解得λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.2．如图，过抛物线y 2＝16x 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若F 为AC 的中点，则|AB |＝( )A.343 B ．383C.643D ．323解析：选C.解法一：不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－4，y 3)，直线l 的方程为y ＝k (x －4)(k ＞0)，则y 3＝－8k ，由F 为AC 的中点得x 1＝12，y 1＝8k ，即A (12，8k )，代入y 2＝16x ，可得k ＝ 3.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －4），y 2＝16x ，得3x 2－40x ＋48＝0，所以x 1＋x 2＝403.结合抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋8＝403＋8＝643.解法二：分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于P ，Q 两点，设准线与x 轴交于点R ，|BF |＝n ，则由抛物线的定义可得|BQ |＝|BF |＝n ，|AP |＝|AF |，因为F 为AC 的中点，所以|AP |＝2|FR |＝16，|AC |＝2|AP |，则|BC |＝2|BQ |＝2n ，所以|FC |＝3n ，|AF |＝16，所以3n ＝16，即n ＝163，所以|AB |＝4n ＝643.3．已知抛物线y 2＝8x的准线与双曲线x 2a 2－y 216＝1相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2 C. 6D ．3解析：选A.依题意知抛物线的准线x ＝－2，代入双曲线方程得 y ＝±4a·4－a 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－2，4a 4－a 2.因为△F AB 是等腰直角三角形， 所以4a4－a 2＝4，求得a ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝ca＝a 2＋16a ＝182＝3. 4．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫5－22，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1解析：选C.设B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F 2(c ，0)，A 2(a ，0)．所以B 2A 2→＝(a ，－b )，F 2B 1→＝(－c ，－b )．因为∠B 1PB 2为钝角，所以F 2B 1→与B 2A 2→的夹角为锐角，所以B 2A 2→·F 2B 1→＝－ac ＋b 2＞0，即a 2－c 2－ac ＞0.两边同时除以a 2并化简得e 2＋e －1＜0，解得－5－12＜e ＜5－12，又0＜e ＜1，所以0＜e ＜5－12.故选C.限时规范训练(十六)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．抛物线y 2＝8x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( ) A.12 B ．32C ．1D ．3解析：选D.由抛物线y 2＝8x ，有2p ＝8⇒p ＝4，焦点坐标为(2，0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，不妨取其中一条3x －y ＝0，由点到直线的距离公式，知d ＝|3×2－0|3＋1＝3，故选D.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B ．33C.23D ．13解析：选A.由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13， ∴e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.3．(2018·河北唐山市二模)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点为F ，存在直线y ＝t 与椭圆C交于A ，B 两点，使得△ABF 为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e ＝( ) A.22B ．2－1 C.5－1D ．12解析：选B.由题意得，当BF ⊥AB 时，△ABF 为等腰直角三角形，所以|FB |＝|AB |，∴b 2a ＝2c ，即b 2＝2ac ，∴a 2－c 2＝2ac ，∴1－e 2＝2e ，∴e 2＋2e －1＝0，∴e ＝±2－1，由于椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以e ＝2－1，故选B.4．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8通解：选D.过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D. 优解：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＞0，y 2＞0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝1解析：选D.由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( ) A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：选B.由双曲线方程x 23－y 2＝1，可求得其渐近线方程为y ＝±33x ，c ＝3＋1＝2，∴F (2，0)，如图，不妨设MN ⊥l 2，由l 1的方程y ＝33x 可知∠NOF ＝30°，则∠MON ＝60°，∴∠ONF ＝30°，∴|NF |＝|OF |＝2.在直角三角形OMF 中，∠MOF ＝30°， ∴|MF |＝12|OF |＝12×2＝1.∴|MN |＝|MF |＋|NF |＝1＋2＝3.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 7．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝____．解析：如图，在等边三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33p ， 所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫33p ，－p 2.又点B 在双曲线上， 故13p 23－p 243＝1.解得p ＝6. 答案：68．如图，已知椭圆C 1：x 2m ＋y 2＝1(m ＞1)，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝5，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与C 2的渐近线的两交点将线段AB 三等分，则m ＝________．解析：双曲线离心率5＝1＋b 2a 2，所以b a ＝2，双曲线渐近线方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得x 2＝m 1＋4m ，y 2＝(2x )2＝4m 1＋4m，故C 1与C 2的渐近线的两交点弦长为2x 2＋y 2＝25m 1＋4m，依题意可知25m 1＋4m ＝13×2m ，解得m ＝11. 答案：119．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12.点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线l ：x ＋3y y ＋3＝0相切，则椭圆的方程为________．解析：∵c a ＝12，∴c 2b 2＋c 2＝14，∴b ＝3c . 设F (－c ，0)，B (0，3c )，∵k BF ＝3，∴k BC ＝－33，C (3c ，0)，且圆M 的方程为(x －c )2＋y 2＝4c 2. ∵圆M 与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，∴|1×c ＋3×0＋3|1＋3＝2c ，解得c ＝1，b ＝3，a ＝2， ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝1 三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，k ＞0，代入抛物线y 2＝4x 中得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，而Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16＞0恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.∴|AB |＝ 1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4. ∴1＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4＝8，解得k 2＝1， 即k ＝±1，又∵k ＞0，∴k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5，设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5（x 0＋1）2＝（x 0－y 0－1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 11．(2018·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1. (2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89，或k ＝－12. 当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意． 所以，k 的值为－12. 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B 异于点A ，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．解：(1)设焦点F 的坐标为(－c ，0)．依题意，得c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12， 解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，进而得b 2＝a 2－c 2＝34. 所以椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，故点Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m . 将x ＝my ＋1与x 2＋4y 23＝1联立，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my ＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4. 由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4. 由点Q ⎝⎛⎭⎫－1，2m ， 可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝⎛⎭⎫y －2m ＝0， 令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0. 所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2. 又因为△APD 的面积为62， 故12·6m 23m 2＋2·2|m |＝62， 整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63. 所以直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.。