嘉兴市第一中学2020届高三上学期期中考试数学试题(含答案)

绝密★启用前2020届浙江省绍兴一中高三上学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设集合{|12},{|}.A x x B x x a =<<=<若,A B ⊆则a 的范围是（ ） A ．2a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥ D ．2a ≤答案：A试题分析：由,A B ⊆可知满足12x <<的数x 都在x a <内，所以2a ≥ 2．设1z i =-（i 为虚数单位），则2z z-=（ ） A ．2 B ．2iC ．2i -D ．8答案：B 把复数z 代入2z z-，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值. 解：1z i =-Q22(1)1(1)21z i i i i z i∴-=--=+--=- 故选：B. 点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题. 3．若双曲线的一条渐近线为，则实数( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B 根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为y=±x ，比较系数得m=4. 解：∵双曲线的方程为，∴双曲线的渐近线方程为y=±x 又∵一条渐近线方程为y=x∴m=4故选：B点评：本题给出双曲线的方程和一条渐近线方程，求参数m的值，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．3 B．6C．8 D．12答案：B试题分析：根据题意可知，该三视图对应的几何体是四棱柱截取了个四棱锥，那么可知四棱柱的底面是边长为2的正方形，高度为2，那么可知四棱锥的体积为地面是个矩形，长为2，宽为1，高为2，那么借助于体积公式可知为31212262-⨯⨯⨯=,故答案为B. 【考点】三视图还原几何体点评：解决的关键是对于几何体的理解和公式的准确运用，属于基础题．5．已知,x y满足404x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y-的最小值为（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：A作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x=，结合图象，可得最值．解：作出x、y满足404x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABCV），变形目标函数可得3y x z=-，平移直线3y x=可知，当直线经过点(2,2)A时，截距z-取得最大值，此时目标函数z取得最小值3224⨯-=.故选：A.点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 6．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（ ） X1- 01P16abA ．59B ．53C ．5D ．7答案：C 由1()3E X =，利用随机变量X 的分布列列出方程组，求出13a =，12b =，由此能求出()D X ，再由(32)9()D X D X -=，能求出结果． 解： 1()3E X =Q ∴由随机变量X 的分布列得：1161163a b b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 2221111115()(1)(0)(1)3633329D X ∴=--⨯+-⨯+-⨯=，5(32)9()959D X D X ∴-==⨯=故选：C ． 点评：本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．数列{}n a 满足11a =，22a =，222(1cos)sin (1,2,3)22n n n n a a n ππ+=++=⋯，则22020a =（ ） A ．1010 B ．2020C ．10102D ．20202答案：C利用二倍角余弦公式，计算化简可知，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，代入可求2020a . 解：2221cos 1cos (1cos )sin (1)2222n n n n n n n a a a ππππ++-=++=++Q ∴当n 为偶数时，22n n a a +=，即偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，101020202a ∴=.故选：C. 点评：本题考查了二倍角余弦公式的应用，由数列递推公式求通项公式，属于基础题. 8．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ）A ．13B ．38C ．37D ．1答案：A根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.解：0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13.故选：A. 点评：本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题. 9．已知关于x-=k 的取值范围（ ） A ．3(0,)4B ．3(,1]4C ．5(,1]12D ．53(,)124答案：B将方程变形，转化成两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合法，求出k 的取值范围. 解：-=得2(1)[1,1))k x x +-=∈-，方程有两个解等价于直线2(1)y k x =+-与半圆y =点，易知直线过定点(1,2)，如图所示，两个极端情况：“一切”，“一交”，直线与半圆相切时，由2211kk-+=+得34k=，直线与半圆交两个点时，过点(1,0)-，此时1k=，所以3(,1]4k∈.故选：B.点评：本题考查了直线与圆的位置关系，将方程的解的个数转化为直线与半圆的交点个数问题是本题的解题关键，属于中档题.10．已知ABCV中，AC BC≥，D E、分别是AC BC、的中点，沿直线DE将CDE△翻折成C DE'V，设1C DAθ'∠=，2C EBθ'∠=，二面角C DE A'--的平面角为3θ，则（）A．123θθθ≥≥B．132θθθ≥≥C．213θθθ≥≥D．312θθθ≥≥答案：A过C作AB（或其延长线）的垂线，垂足为H，交DE（或其延长线于G），找出二面角C DE A'--的平面角3θ，连接C C'，在C GC'V，C DC'V，C EC'V中，由已知结合三角形的边角关系可得C DC C EC C GC'''∠≤∠≤∠，从而得到123θθθ≥≥．解：过C作AB（或其延长线）的垂线，垂足为H，交DE（或其延长线于G），则C GH'∠为二面角C DE A'--的平面角为3θ，1C DAθ'∠=，2C EBθ'∠=，连接C C'，在C GC'V，C DC'V，C EC'V中，C C C C''=Q,CD CE CG≥≥，C D C E C G'''≥≥，则C DC C EC C GC'''∠≤∠≤∠，123θθθ∴≥≥.故选：A．点评：本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．二、填空题11．现有一根7节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则公差为______，这7节竹子中最小容积为______升.答案：16；12.设最上面一节的容积为1a，每节的容积自上而下组成等差数列{}n a，公差为d，由题意可得：12343a a a a+++=，5674a a a++=，解出再利用求和公式即可得出．解：设每节的容积自上而下组成等差数列{}n a，公差为d，由题意可得：123456734a a a aa a a+++=⎧⎨++=⎩，即114633154a da d+=⎧⎨+=⎩，解得11216ad⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由公差106d =>，知该数列是递增数列，则最小项为112a =， 所以该数列公差为16，这7节竹子中最小容积为12.故答案为：16；12.点评：本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数2235,4()log (4),4x x f x x x -⎧-<=⎨+≥⎩，若()4f m =，则(())f f m =_____，(10)f m -=_____.答案：3； 4-.分类讨论，求出m 的值，进而求出(())f f m ，(10)f m -的值. 解：2235,4()log (4),4x x f x x x -⎧-<=⎨+≥⎩Q ，若()4f m =，则2439m m -<⎧⎨=⎩，或24log (4)4m m ≥⎧⎨+=⎩，44m m <⎧∴⎨=⎩或412m m ≥⎧⎨=⎩，则12m =，2(())(4)log 83f f m f ∴===， 22(10)(2)354f m f --==-=-点评：本题考查了分段函数已知函数值，求自变量的问题，注意对m 的值进行分类讨论，属于基础题.13．已知3()(1)x a x ++展开式中所有项的系数之和为2-，则a =_____，2x 项的系数为_____.答案：2-； 6.利用赋值法，先求出a 的值，再把3()(1)x a x ++按照二项式定理展开，可得结论． 解：令1x =可得3()(1)x a x ++展开式中所有项的系数之和为32(1)2a +=-，11a ∴+=-，则2a =-，3333()(1)(2)(1)(2)(2)x a x x x x x x ∴++=-+=-+-故2x 项的系数为221133(2)(2)6C C -+-= 故答案为：2-；6． 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则cos A =_____，ABC V 的面积是______.答案：2；（1）由已知结合正弦定理可求sin A ，结合同角平方关系及余弦定理判断cos A 的符号，可求解cos A ；（2）由已知及余弦定理可求bc ，然后代入三角形的面积公式即可求解． 解：ABC V 中，sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得，sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C += 1sin 2A ∴=， 又2228b c a +-=，及余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，知cos 0A >，cos A ∴=bc =，ABC ∴V 的面积为111sin 222ABC S bc A ===V .3.点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，1210F F =，P 是y轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF V 的内切圆半径为22，则椭圆的离心率是______. 答案：53. 由题意，直角三角形的内切圆半径22r =可得21222AF AF -=，结合1210F F =，从而可求得12322AF AF a +==，即可求得椭圆的离心率.解：由题意，直角三角形的内切圆半径2221212222PA AF PF PA AF PF AF AF r +-+--====212AF AF ∴-= 1210F F =Q 221210AF AF ∴+=，1228AF AF ∴⋅=， 212()18AF AF ∴+=，12322AF AF a ∴+==，122F F c ==Q∴椭圆的离心率是3c e a ===．点评：本题考查椭圆的定义及离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 16．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种. 答案：72.本题属于分组分配问题，可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案. 解：若A 与B 、C 、D 中的某一支小队分在一组，上午有1333C A ⋅种参观方法， 下午参观时B 、C 、D 三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法， 故有1333236C A ⋅⋅=种；若B 、C 、D 中某两支队分在一组，上午有2333C A ⋅种参观方法， 下午再安排时，也有2种方法， 故有2333236C A ⋅⋅=种. 所以一共有363672+=种. 故答案为：72. 点评：本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.17．如图，已知Rt AOC V 的斜边2AC =，以AC 为直角边作等腰直角三角形ABC ，使,O B 位于AC 两侧，,P Q 分别是,AC AB 中点，则||OP OQOQ ⋅u u u r u u u r u u u r 的取值范围是______.答案：22. 以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系.由题知，点O在以AC 为直径的半圆上，将||OP OQOQ ⋅u u u r u u u r u u u r 表示为数量积的坐标运算，结合y 的范围，即可求解. 解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，2AC =Q ，ABC V 为等腰直角三角形，则2BC =(2,0)A ∴，(0,2)B又Q ,P Q 分别是,AC AB 中点，(1,0)P ∴，()1,1Q ，由Rt AOC V 知，点O 在以AC 为直径的下半圆上，∴设(,)O x y ，则22(1)1(10)x y y -+=-≤<，(1,)OP x y ∴=--u u u r ，(1,1)OQ x y =--u u u r，则22||(1)(1)OP OQ OQ x y ⋅=-+-u u u r u u u ru u u r 2222(1)21x y y =-+-+22y=-2=[1,0)y ∈-Q (1(,1]2||OP OQ OQ ⋅∴∈u u u r u u u r u u u r故答案为：(2点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，圆的轨迹方程，其中根据题意建立适当的直角坐标系是本题解题的关键，属于较难题.三、解答题18．已知函数()cos (sin cos )f x x m x x =+，且满足14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求m 的值； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值，并求出相应的x 的值.答案：（1）1m =；（2）最大值为12，此时8x π=，最小值为1，此时0x =或4π.（1）直接将4x π=代入解析式，解出m 的值即可；（2）利用二倍角公式及辅助角公式，化简已知函数，结合正弦函数的单调性，求出最值及对应的x 的值即可. 解：解：（1）由14f π⎛⎫=⎪⎝⎭，得1222m +=， 1m ∴= ；（2）()cos (sin cos )f x x x x =+11cos 2sin 222x x +=+21sin(2)242x π=++ [0,]4x π∈Q ，32[,]444x πππ∴+∈则当244x ππ+=或34π时，()f x 取得最小值1， 当242x ππ+=时，()f x 取得最大值212+， 故()f x 的最大值为21+，此时8x π=，()f x 的最小值为1，此时0x =或4π. 点评：本题考查了三角函数恒等变换，三角函数解析式的求法，三角函数最大值和最小值的求法，属于基础题.19．如图，多面体P ABCD -中，//AB CD ，90BAD PAB ︒∠=∠=，12AB PA DA PD DC ====，2PM MB =u u u u r u u u r .（1）求证：PA CD ⊥；（2）求直线PC 与平面CDM 所成角的正弦值. 答案：（1）见解析；（2105. （1）可通过线面垂直来证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值． 解：（1）由90BAD PAB︒∠=∠=知AB AD⊥,AB AP⊥，又AD AP A=Q I，AB∴⊥平面PAD，则由//AB CD，知CD⊥平面PAD，PA⊂Q平面PADPA CD∴⊥；（2）设122AB PA DA PD DC=====，以点D为原点，DP、DC所在直线分别为x轴、z轴，建系如图，则(0,0,0)D，3,0)A，(2,0,0)P，3,2)B，(0,0,4)C，由2PM MB=u u u u r u u u r解得4234(,)333M设平面CDM的一个法向量为(,,)m x y z=u r(0,0,4)DC=u u u r，434(,)333DM=u u u u r，则由m DCm DM⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u u vv得40423433zx y z=⎧⎪⎨+=⎪⎩取(3,2,0)m=-u r，又(2,0,4)PC=-u u u r，设直线PC与平面CDM所成角为θ，则sin cos,m PCθ=<>u r u u u rm PCm PC⋅=u r u u u ru r u u u r==故直线PC 与平面CDM. 点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面的垂直关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查了利用空间向量求线面角的正弦值，是中档题． 20．已知数列{}n a 满足()*1112,2n n n n na a a n n N a a -+-=≥∈-且1231a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意*n N ∈，都有2n nna λ≥恒成立，求实数λ的最小值. 答案：（1）1()21n a n N n *=∈-；（2）158. （1）利用倒数法，构造数列1{}na ，通过等差中项证得其为等差数列，求出其通项，进而求出{}n a 的通项公式；（2）结合第（1）题的结论，将不等式等价变形，构造新数列.通过解不等式组，找出该数列的最大的项，进而得到λ的取值范围. 解：解：（1）()*1112,2n n n n na a a n n N a a -+-=≥∈-Q 11112121n n n n n n n a a a a a a a -+---∴==-， 即11112(2,)n n n n n N a a a *+-+=≥∈ 1{}na ∴是等差数列，又1231a a ==，即111a =，213a =，1{}n a ∴的公差2d =，112(1)21nn n a ∴=+-=- 1()21n a n N n *∴=∈-； （2）由（1）知1021n a n =>- 则2n n n a λ≥等价于(21)22n n nn n n a λ-≥= 设(21)2n nn n b -=，则max ()n b λ≥ 由11n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩即11(21)(1)(23)22(21)(1)(21)22n n n n n n n n n n n n -+---⎧≥⎪⎪⎨-++⎪≥⎪⎩，解得：9944n n n ⎧+≤≤⎪⎪⎨⎪≤≥⎪⎩又n N *∈Q3n ∴=，则max 333(231)15()28n b b ⨯⨯-===，158λ∴≥， 故λ的最小值为158. 点评：本题考查了由等差中项判断等差数列，求数列的最大项，其中构造新的数列是解题的关键，属于中档题.21．已知F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上一点过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为32.（1）求抛物线C 的方程；（2）若点M 的横坐标为4，过F 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，直线l 与圆Q 交于点,E F ，且点E 的横坐标大于4，求当||||AB EF ⋅取得最小值时直线l 的方程.答案：（1）24x y =；（2）7411y x -=+. （1）由抛物线方程知(0,)2p F ，知圆心Q 在线段OF 的中垂线4py =上，点Q 到 准线2py =-的距离为32，则可求出p 的值，进而求得抛物线C 的标准方程； （2）由题意设出直线方程1y kx =+，分别在抛物线和圆Q 中求出弦长AB 和EF ，将||||AB EF ⋅表示成关于k 的函数()f k ，且由点E 的横坐标大于4可得出k 的取值范围3(1,)4-，利用导函数分析函数()f k 在3(1,)4-上的单调性，求出其取得最小值时k 的值，进而求出直线l 的方程. 解：解：（1）由题意可知(0,)2p F ， 过,,M F O 三点的圆的圆心Q 应在线段OF 的中垂线4py =上， 又因为点Q 到准线2py =-的距离为32， 解得2p =，故所求抛物线的方程为：24x y =；（2）Q 过F 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B∴直线l 的斜率存在，设l 为：1y kx =+由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y由韦达定理得121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩故焦点弦12AB y y p =++12112kx kx =++++12()4k x x =++ 24(1)k =+Q 圆Q 过点(4,4)M ，(0,1)F 及点(0,0)O ，∴可求得圆Q 的方程为227125()()222x y -+-=由2217125()()222y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩得22(1)(7)0k x k x ++-=，(0,1)F ∴，22771(,)11k k E k k -+++ ， Q 点E 的横坐标大于4，2741k k -∴>+，解得314k -<<则EF ==2||||4(1)AB EF k ∴⋅=+=设22()(1)(7)f k k k =+-22()2(7)(1)2(7)(1)f k k k k k '=-++⋅-⋅- 22(7)(271)k k k =--+令()0f k '=，得74k ±=或7k =， 又3(1,)4k ∈-Q ()f x ∴在7(1,4--单调递减，73()44-单调递增，故min 7()(4f k f -=即当k =时，AB EF ⋅取得最小值， 故所求直线l的方程为：714y x =+. 点评：本题考查了抛物线标准方程的求法，抛物线的焦点弦长公式，直线与圆相交的弦长的求法，考查了利用导函数求函数的最值问题，注意化归转化思想的应用，是一道综合性较强的题.22．已知函数()2ln f x x ax =+，2()12()g x x f x =+-. （1）讨论函数()f x 在[4,)+∞上的单调性； （2）若()g x有唯一零点，证明：16a <<. 答案：（1）0a ≥时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递增； 12a ≤-时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递减；102a -<<时，函数()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减；（2）见解析.（1）先求导，然后根据a 的取值范围对()f x '符号的影响进行讨论，进而确定函数的单调性；（2）通过求导，求得()0g x '=的根0x ，函数()g x 在0(0,)x 单调递减，0(,)x +∞单调递增，由()g x 有唯一零点知，0()0g x =. 联立求得0x 满足的方程2004ln 50x x +-=，利用导函数求出0x 的范围，再由002a x x =-得出a 的范围，从而命题得证. 解：解：（1）由题意，22()ax f x a x x+'=+=，定义域为：(0,)+∞若0a =，则2()0f x x'=>恒成立， 故()f x 在[4,)+∞上单调递增，若0a ≠，令()0f x '=，得2x a =-， ①当0a >，即20a-<时，()0f x '>， 则()f x 在[4,)+∞上单调递增， ②当12a ≤-，即24a-≤时，()0f x '≤， 则()f x 在[4,)+∞上单调递减， ③当102a -<<，即24a ->时， ()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a-+∞上单调递减， 综上所述，0a ≥时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递增，12a ≤-时，函数()f x 在[4,)+∞上单调递减， 102a -<<时，函数()f x 在2[4,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减； （2）证明：由题意，2()14ln 2g x x x ax =+--， 242(2)()22x ax g x x a x x--'=--=，令()0g x '=，解得0x =是唯一的变号正根， 且20020x ax --=①当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，min 0()()g x g x ∴=，要使()g x 有唯一零点，只需0()0g x =，即200014ln 20x x ax +--=②由①②可知，2004ln 50x x +-=，令2000()4ln 5h x x x =+-，显然0()h x 在(0,)+∞上单调递增，393311()4ln 54ln 24224h =+-=-Q, 31ln 22<=， 3111()40224h ∴<⨯-<又352ln 320h =+=->03(2x ∴∈ 由①知002a x x =-，其在3(2上单调递增，32322a ∴-<<即16a <<得证. 点评：本题考查了利用导函数判断函数单调性，求函数的最值，函数零点所在区间的判断问题，注意分类讨论思想，转化和化归思想的应用.。

莆田一中2019-2020学年度高三第一次阶段考文科数学试题命题人：高三文数备课组 审题人：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足121ii z-=+，则z =（ ）AB C D 2．若函数()f x ()()ln 1g x x =+的定义域分别为M 和N ，则M N =I （ ）A ．{}11x x -<<B ．{}11x x -<≤C ．{}11x x -<≤D ．{}11x x -≤≤3.给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是（ ） A.①②③ B.①② C.①③ D.②③4．等差数列{}n a 中，15,974==a a ，，则数列(){}n n a 1-的前20项和等于（ ） A. -10 B. -20 C. 10 D. 205．已知定义域为R 的奇函数()f x 在[)∞+，0是增函数．若21log 5a f ⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>6. 设函数211log (2)1()21x x x f x x -+- <⎧=⎨ ≥⎩，2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．12B ．9C ．6D ．37.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B )22,22(-，则sin α=（ ）A. 462+- B.462-C.462+ D. 462+-8．如图是正方体的平面展开图。

2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）2．（3分）函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π3．（3分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c5．（3分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．6．（3分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．87．（3分）以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6 B．6 C．4 D．48．（3分）到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧二、填空题（每小题4分，共28分.）9．（4分）已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是，不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5= ，S9= ．11．（4分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于．12．（4分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为．13．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．14．（4分）已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．15．（4分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．17．（10分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．19．（10分）已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线方程；（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求△ABC面积的最大值．20．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2020-2021学年浙江省绍兴一中高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）1．（3分）若全集U=R，集合A={x|x2﹣4≥0}，则∁U A=（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【分析】所有不属于A的元素组成的集合就是我们所求，故应先求出集合A．再求其补集即得．【解答】解：A={x|x≥2或x≤﹣2}，易知C∪A={x|﹣2＜x＜2}，故选A．【点评】本题考查了补集的运算、一元二次不等式，属于基础运算．2．（3分）函数y=3﹣2sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用降幂法化简函数y，即可求出它的最小正周期．【解答】解：∵函数y=3﹣2sin2x=3﹣2•=2+cos2x，∴函数y的最小正周期为T==π．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的化简以及求三角函数最小正周期的应用问题，是基础题目．3．（3分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1，3] C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式．4．（3分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c【分析】根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定，对各个选项依次加以判别，即可得到B项是正确的，而A、C、D都存在反例而不正确．【解答】解：对于A，若两条直线a、b是异面直线时，则不存在平面α使得a⊂α且b⊂α成立，故A不正确；对于B，因为a、b不相交，所以a、b的位置关系是平行或异面：①当a、b平行时，显然存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立；②当a、b异面时，设它们的公垂线为c，在a、b上的垂足分别为A、B．则经过A、B且与c垂直的两个平面互相平行，设过A的平面为α，过B的平面为β，则α∥β，且a、b分别在α、β内，此时存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立．故B正确；对于C，若两条直线a、b是异面直线时，则不存存在直线c，使得a∥c且b∥c成立，故C不正确；对于D，当a、b所成的角不是直角时，不存在直线c，使得a∥c且b⊥c成立，故D不正确．综上所述，只有B项正确．故选：B【点评】本题给出空间直线不相交，要我们判定几个命题的真假性，考查了空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识，属于基础题．5．（3分）若||=||=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．【解答】解：∵，∴，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为θ则可得cosθ====，又θ∈[0，π]，故θ=故选B．【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属中档题．6．（3分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，满足f[f（a）]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=；当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故选D．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性和方程的解的个数问题，同时运用了函数与方程思想、转化思想和分类讨论等数学思想方法，对学生综合运用知识解决问题的能力要求较高，是高考的热点问题．7．（3分）以BC为底边的等腰三角形ABC中，AC边上的中线长为6，当△ABC面积最大时，腰AB长为（）A．6 B．6 C．4 D．4【分析】设D为AC中点，由已知及余弦定理可求cosA=，在△ABD中，由余弦定理可求2a2+b2=144，利用配方法可得S=ah=，利用二次函数的图象和性质即可得解当△ABC面积最大时，腰AB长．【解答】解：如下图所示，设D为AC中点，由余弦定理，cosA==，在△ABD中，BD2=b2+（）2﹣2×，可得：2a2+b2=144，所以，S=ah====，所以，当a2=32时，S有最大值，此时，b2=144﹣2a2=80，解得：b=4，即腰长AB=4．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，二次函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了配方法的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．8．（3分）到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为（）A．相交直线 B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧【分析】建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和y=0代入即可求得轨迹．【解答】解：如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB=a，P（x，y，z）到直线OA，BC的距离相等，∴x2+z2=（x﹣a）2+y2，∴2ax﹣y2+z2﹣1=0若被平面xoy所截，则z=0，y2=2ax﹣1；若被平面xoz所截，则y=0，z2=﹣2ax+1故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．二、填空题（每小题4分，共28分.）9．（4分）已知f（x）=lg（2x﹣4），则方程f（x）=1的解是7 ，不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．【分析】由f（x）=1，利用对数方程，可得结论；由f（x）＜0，利用对数不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=1，∴lg（2x﹣4）=1，∴2x﹣4=10，∴x=7；∵f（x）＜0，∴0＜2x﹣4＜1，∴2＜x＜2.5，∴不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．故答案为：7；（2，2.5）．【点评】本题考查对数方程、对数不等式，比较基础．10．（4分）设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a10=27，则a5= 9 ，S9= 81 ．【分析】等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5，再利用S9==9a5．即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4+a10=27=3a5，解得a5=9，∴S9==9a5=81．故答案分别为：9；81．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（4分）几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于 4 ．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中：侧面PAB⊥底面BACD，底面为矩形ABCD．∴该几何体的体积V==4，故答案为：4．【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（4分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，函数的大小关系为g（2）＜g（﹣3）＜g（4）．【分析】由已知中函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，我们根据复合函数的单调性，可求出a 与1的关系，进而判断出函数的奇偶性及单调区间，再根据偶函数函数值大小的判断方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，令u=|x|，则y=log a u，由u=|x|在（﹣∞，0）上是减函数，及复合函数同增异减的原则可得外函数y=log a u为增函数，即a＞1又∵函数为偶函数且函数在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减且|2|＜|﹣3|＜|4|∴g（2）＜g（﹣3）＜g（4）故答案为：g（2）＜g（﹣3）＜g（4）【点评】本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，其中利用复合函数的单调性性质，确定底数a的取值范围是解答本题的关键．13．（4分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8 ．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2=8，在a=b=4时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：8【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（4分）已知F1、F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F2到直线AF1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是．【分析】设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，求出右焦点F2（c，0）到该直线的距离，可得直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，根据A是双曲线上的点，可得b4﹣a4＞0，即可求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：设A点坐标为（m，n），则直线AF1的方程为（m+c）y﹣n（x+c）=0，右焦点F2（c，0）到该直线的距离=2a，所以n=（m+c），所以直线AF1的方程为ax﹣by+ac=0，与﹣=1联立可得（b4﹣a4）x2﹣2a4cx﹣a4c2﹣a2b4=0，因为A在右支上，所以b4﹣a4＞0，所以b2﹣a2＞0，所以c2﹣2a2＞0，即e＞．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15．（4分）边长为2的正三角形ABC内（包括三边）有点P，•=1，求•的取值范围[3﹣2，5﹣] ．【分析】先建立坐标系，根据•=1，得到点P在（x﹣1）2+y2=2的半圆上，根据向量的数量积得到•=﹣x﹣y+4，设x+y=t，根据直线和圆的位置关系额判断t的范围，即可求出•的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，∵正三角形ABC边长为2，∴B（0，0），A（1，），C（2，0），设P的坐标为（x，y），（0≤x≤2，0≤y≤），∴=（﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），∴•=x（x﹣2）+y2=1，即点P在（x﹣1）2+y2=2的半圆上，∵=（﹣1，﹣）∴•=﹣x﹣y+4，设x+y=t，则直线x+y﹣t=0与圆交点，∴d=≤，解得0≤t≤2+1，当直线x+y﹣t=0过点D（﹣1，0）时开始有交点，∴﹣1=t，即t≥﹣1，∴﹣1≤t≤2+1，∴3﹣2≤4﹣t≤5﹣，故•的取值范围为[3﹣2，5﹣]．故答案为：[3﹣2，5﹣]．【点评】本题考查了数量积运算，直线和圆的位置关系，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B﹣C）=4sinB•sinC﹣1．（1）求A；（2）若a=3，sin=，求b．【分析】（1）由已知利用两角和的余弦公式展开整理，cos（B+C）=﹣．可求B+C，进而可求A（2）由sin，可求cos=，代入sinB=2sin cos可求B，然后由正弦定理，可求b【解答】解：（1）由2cos（B﹣C）=4sinBsinC﹣1 得，2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=﹣1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣1．从而2cos（B+C）=﹣1，得cos（B+C）=﹣．…4分∵0＜B+C＜π∴B+C=，故A=．…6分（2）由题意可得，0＜B＜π∴，由sin，得cos=，∴sinB=2sin cos=．…10分由正弦定理可得，∴，解得b=．…12分．【点评】本题主要考查了两角和三角公式的应用，由余弦值求解角，同角基本关系、二倍角公式、正弦定理的应用等公式综合应用．17．（10分）数列{a n}满足a1=1，（n∈N+）．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）由已知中（n∈N+），我们易变形得：，即，进而根据等差数列的定义，即可得到结论；（II）由（I）的结论，我们可以先求出数列的通项公式，进一步得到数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）由（II）中数列{a n}的通项公式，及b n=n（n+1）a n，我们易得到数列{b n}的通项公式，由于其通项公式由一个等差数列与一个等比数列相乘得到，故利用错位相消法，即可求出数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知可得，即，即∴数列是公差为1的等差数列（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知b n=n•2nS n=1•2+2•22+3•23++n•2n2S n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1（10分）相减得：=2n+1﹣2﹣n•2n+1（12分）∴S n=（n﹣1）•2n+1+2【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式及数列求各，其中（I）中利用递推公式，得到数列是等差数列并求出其通项公式是解答本题的关键．18．（10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点，且CH=，设D为CC1中点，（Ⅰ）求证：CC1⊥平面A1B1D；（Ⅱ）求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【分析】方法一：常规解法（I）由已知中，棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为2的正方形，易得CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，可证出DE⊥CC1，结合线面垂直的判定定理可得CC1⊥平面A1B1D；（II）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K，结合（I）的结论，我们可得DH与平面AA1C1C所成角为∠HDK，解Rt△CFH与Rt△DHK，即可得到DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．方法二：向量法（I）以H为原点，建立空间直角坐标系，分别求出向量的坐标，根据坐标的数量积为0，易得到CC1⊥A1D，CC1⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理得到CC1⊥平面A1B1D；（II）求出直线DH的方向向量及平面AA1C1C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出DH与平面AA1C1C所成角的正弦值．【解答】证明：方法一：（Ⅰ）因为CC1∥AA1且正方形中AA1⊥A1B1，所以CC1⊥A1B1，取A1B1中点E，则HE∥BB1∥CC1且，又D为CC1的中点，所以，得平行四边形HEDC，因此CH∥DE，又CH⊥平面AA1B1B，得CH⊥HE，DE⊥HE，所以DE⊥CC1∴CC1⊥平面A1B1D（6分）解：（Ⅱ）取AA1中点F，连CF，作HK⊥CF于K因为CH∥DE，CF∥A1D，所以平面CFH∥平面A1B1D，由（Ⅰ）得CC1⊥平面A1B1D，所以CC1⊥平面CFH，又HK⊂平面CFH，所以HK⊥CC1，又HK⊥CF，得HK⊥平面AA1C1C，所以DH与平面AA1C1C 所成角为∠HDK（10分）在Rt△CFH中，，在Rt△DHK中，由于DH=2，（14分）方法二：（向量法）证明：（Ⅰ）如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，则C（0，0，），C1（），A1（），B1（0，，0），所以，，∴，，因此CC1⊥平面A1B1D；（6分）解：（Ⅱ）设平面AA1C1C的法向量，由于则，得，所以（10分）又，所以（14分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中方法一的关键是熟练掌握空间直线与平面关系的判定、性质及定义，方法二的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角的问题．19．（10分）已知抛物线y2=2px，过焦点且垂直x轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线方程；（2）试证线段AB的垂直平分线经过定点，并求此定点；（3）求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由题意，2p=6，即可得出抛物线方程为y2=6x；（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），求出线段AB的垂直平分线的方程由此能求出直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．（3）直线AB的方程为y﹣y0=（x﹣2），代入y2=6x，由此利用两点间距离公式和点到直线距离公式能求出△ABC面积的表达式，利用均值定理能求出ABC面积的最大值．【解答】（1）解：由题意，2p=6，∴抛物线方程为y2=6x．…（2分）（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则x0=2，y0=，k AB==．线段AB的垂直平分线的方程是y﹣y0=﹣（x﹣2），①由题意知x=5，y=0是①的一个解，所以线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为（5，0）．所以直线AB的垂直平分线经过定点C（5，0）．…（4分）（2）由①知直线AB的方程为y﹣y0=（x﹣2），①即x=（y﹣y0）+2，②②代入y2=6x得y2=2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02﹣12=0，③依题意，y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，所以△＞0，﹣2＜y0＜2．|AB|==．定点C（5，0）到线段AB的距离h=|CM|=．∴S△ABC=•．…（8分）（3）由（2）知S△ABC=•≤=，…（11分）当且仅当=24﹣2，即y0=所以，△ABC面积的最大值为．…（13分）【点评】本题考查直线的垂直平分线经过定点的证明，考查三角形面积的表达式的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．20．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+bx（Ⅰ）当a=2，且f（x）是R上的增函数，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当b=﹣2，且对任意a∈（﹣2，4），关于x的程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【分析】（Ⅰ）去绝对值号得，f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，从而解得；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，讨论a以确定函数的单调区间，从而求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），因为f（x）连续，所以f（x）在R上递增等价于这两段函数分别递增，所以，解得，b≥2；（Ⅱ），tf（a）=﹣2ta，当2≤a≤4时，＜≤a，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，a）上递减，在（a，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（a）=﹣2a，所以对2≤a≤4恒成立，解得：0＜t＜1，当﹣2＜a＜2时，＜a＜，f（x）在（﹣∞，）上递增，在（，）上递减，在（，+∞）上递增，所以f极大（x）=f（）=﹣a+1，f极小（x）=f（）=﹣﹣a﹣1，所以﹣﹣a﹣1＜﹣2ta＜﹣a+1对﹣2＜a＜2恒成立，解得：0≤t≤1，综上所述，0＜t＜1．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于难题．。

浙江省嘉兴市第一中学等五校2015届高三上学期数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则R AC B =（ ）（A ）{}0x x ≤ （B ） {}24x x ≤≤ （C ）{}024x x x ≤<>或 （D ）{}024x x x ≤<≥或 2．在等差数列{}n a 中，432a a =-，则此数列{}n a 的前6项和为（ ） （A ）12 （B ）3 （C ）36 （D ）6 3．已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=（ ）（A ）1- （B ） 1 （C ）5- （D ）5 4．已知直线,l m ，平面,αβ满足,l m αβ⊥⊂，则“l m ⊥”是“//αβ”的（ ） （A ）充要条件 （B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(,0)x R ω∈>的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） （A ）向左平移2π个单位长度 （B ）向右平移2π个单位长度（C ）向左平移4π个单位长度（D ）向右平移4π个单位长度7．如图，在正四棱锥ABCD S -中，N M E ,,分别是SC CD BC ,,的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥．中恒成立的为（ ）（A ）①③ （B ）③④ （C ）①② （D ）②③④8．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）23λ>（B ）32λ> （C ）23λ< （D ）32λ<9．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（ ）（A ）[8,10]-（B ） [7,10]-（C ）[6,8]- （D ）[7,8]-10．已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能．．．为（ ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个非选择题部分（共100分）二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为_____▲____．12．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD ==，则直线AD 与底面BCD 所成角为_____▲____． 13．已知3cos()45πα+=，322ππα≤<，则cos 2α=_____▲____． 14．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，且(1)2f =，则 (2013)(2015)f f +=_____▲____． 15．设12n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅a ,a ,,a ,是按先后顺序排列的一列向量，若1(2014,13)=-a ， 且1(1,1)n n --=a a ，则其中模最小的一个向量的序号n = ___▲____．16．设向量2(2,2)λλα=+-a ，(,sin cos )2mm αα+b =，其中,,m λα为实数． 若2=a b ，则mλ的取值范围为_____▲____．17．若实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为____▲____．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知30B ∠=,ABC ∆的面积为32．（Ⅰ）当,,a b c 成等差数列时，求b ； （Ⅱ）求AC 边上的中线BD 的最小值．19．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -如图放置，//,AB CD BC CD ⊥,2AB BC ==，1CD PD ==，PAB ∆为等边三角形．（Ⅰ）证明：面PD PAB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CB A --的平面角的余弦值．20．本题满分15分）已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．21．（本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n n a b a +=，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n nT -<-<．22．（本题满分14分）给定函数()f x 和常数,a b ，若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“好数对”；若(2)()f x af x b ≥+恒成立，则称(,)a b 为函数()f x 的一个“类好数对”．已知函数()f x 的定义域为[1,)+∞．（Ⅰ）若(1,1)是函数()f x 的一个“好数对”，且(1)3f =，求(16)f ； （Ⅱ）若(2,0)是函数()f x 的一个“好数对”，且当12x <≤时，()f x =函数()y f x x =-在区间(1,)+∞上无零点；（Ⅲ）若(2,2)-是函数()f x 的一个“类好数对”，(1)3f =，且函数()f x 单调递增，比较()f x 与22x+的大小，并说明理由．2014学年浙江省第一次五校联考数学（理科）答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．(19)解法1：（Ⅰ）易知在梯形ABCD中，AD ，而12，PD AP ==，则PD PA ⊥ 同理PD PB ⊥，故面PD PAB ⊥；…………6分 （Ⅱ）取AB 中点M ,连,PM DM ，作PN DM ⊥,垂足为N ,再作NH BC ⊥,连HN 。

长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且．　12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。

函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。

六安一中2024届高三年级质量检测卷（二）数学试题时间：120分钟 满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}21,B x x n n A==-∈，P A B =⋃，则P 的子集共有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 64个2 已知()2,1b = ，()1,c x =，4⋅= b c ，则cos ,b c = （ ）A.35B.12C.45D.3. 如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6cm O A ''=，2cm C D ''=，则原图形OABC 的面积是（ ）2cm .A. 12C. 6D.4. 某公司收集了某商品销售收入y （万元）与相应的广告支出x （万元）共10组数据(),i i x y （1,2,3,,10i = ），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合..若将图中10个点中去掉A 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数2R 变小 B. 残差平方和变小C. 相关系数r 的值变小D. 解释变量x 与预报变量y 相关性变弱5. 已知()0,πα∈，且3sin α4cos α5+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A 7-B. 7C.17D. 17-6. 如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为（ ）A.B.C.8π9D.4π37. 平面直角坐标系xOy 中，已知点(),0A a -，(),0B a 其中0a >，若圆()()22212x a y a a -++--=上存在点P 满足23PA PB a ⋅=，则实数a 的取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [1,)+∞8. 已知集合(){4,|20240P x y xax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x =的同一侧，则实数a 的取值范围为（ ） A ()(),20232023,-∞-+∞B. ()2023,+∞C. ()(),20242024,-∞-+∞D. ()2024,+∞二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合..题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数123,,z z z ，下列说法正确的有（ ） A. 若1122z z z z =，则12=z z B. 若22120z z +=，则120z z == C. 若1213z z z z =，则10z =或23z z =D. 若1212z z z z -=+，则120z z =10. 设1,0a b >>，且ln 2a b =-，则下列关系式可能成立的是（ ） A. a b =B. e b a -=C. 2024a b =D. e ab >11. 如图，正四棱锥P ABCD -每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点M 在四边形ABCD 内（包含边界）运动，N 为PD 的中点，则（ ）A. 当M 为AD 的中点时，异面直线MN 与PC 所成角为π2B. 当//MN 平面PBC 时，点M 的轨迹长度为C. 当MP MD ⊥时，点M 到ABD. 存在一个体积为53π的圆柱体可整体放入正四棱锥P ABCD -内三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=-，则数列{}n a 的通项公式是__________.13. 过点()1,1-与曲线()()ln 13e 2xf x x =+-+相切的直线方程为______．14. 已知直线l 与椭圆22:132x y C +=在第一象限交于P ，Q 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足||||||||||||||||PM QM PN QN QM PM QN PN +=+，则l 的斜率为______.四､解答题：本题共2小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A B C ､､三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A 中奖的概率是14，项目B 和C 中奖的概率都是25. （1）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.求该顾客中奖的概率；（2）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A B C ､､三个项目，如果A B C ､､三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望.16. 已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos cos sin cos 0a B C a A B A -+-=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =，求ABC 面积取值范围.17. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,3,45,AB PC PD PCA AC ∠==== 与BD 相交于G 点，M 为AB 的中点.（1）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l ⊥平面PMG ；（2）求平面APB 与平面APG 夹角余弦值.18. 设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列． （1）求C 的方程；（2）若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN的面积不小于．19. 若实数集,A B 对,a A b B ∀∈∀∈，均有(1)1ba ab +≥+，则称A B →具有Bernoulli 型关系．（1）若集合{}{}1,1,2M x x N =≥=，判断M N →是否具有Bernoulli 型关系，并说明理由； （2）设集合{}{}1,S x x T x x t =>-=>，若S T →具有Bernoulli 型关系，求非负实数t 的取值范围；的的（3）当*n ∈N时，证明：1158nkk n -=<+∑．参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}21,B x x n n A==-∈，P A B =⋃，则P 的子集共有（ ）A. 2个B. 4个C. 6个D. 64个【答案】D 【解析】【分析】先求出集合B ，再求出集合P ，从而可求出其子集的个数. 【详解】因为{}0,1,2,3A =，{}21,B x x n n A ==-∈，所以{}1,0,3,8B =-，所以{}1,0,1,2,3,8P =-，则P 的子集共有6264=个， 故选：D2. 已知()2,1b = ，()1,c x =，4⋅= b c ，则cos ,b c = （ ）A.35B.12C.45D.【答案】C 【解析】【分析】先根据数量积求出x ，再根据向量夹角的坐标公式求解即可.【详解】因为()2,1b = ，()1,c x =，4⋅= b c ，即24x +=，解得2x =，所以()1,2c = ，所以4cos ,5b c cb c b ⋅===． 故选：C ．3. 如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6cm O A ''=，2cm C D ''=，则原图形OABC 的面积是（ ）2cm .A. 12C. 6D.【答案】D 【解析】【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间关系即可得答案. 【详解】因为2cm C D ''=，由斜二测画法可知45D O A '''∠=o ， 则45C O D '''∠= ，故O C D ''' 为等腰直角三角形，故2cm O C ''=， 故矩形O A B C ''''的面积为26212(cm )S O A O C '''''=⨯=⨯=，所以原图形OABC的面积是212)S ===， 故选：D4. 某公司收集了某商品销售收入y （万元）与相应的广告支出x （万元）共10组数据(),i i x y （1,2,3,,10i = ），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若将图中10个点中去掉A 点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数2R 变小 B. 残差平方和变小C. 相关系数r 的值变小D. 解释变量x 与预报变量y 相关性变弱【答案】B 【解析】【分析】从图中分析得到去掉A点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的的概念和性质作出判断.【详解】从图中可以看出A 点较其他点，偏离直线远，故去掉A 点后，回归效果更好， 故决定系数2R 会变大，更接近于1，残差平方和变小，相关系数r 的绝对值，即r 会更接近于1，由图可得x 与y 正相关，故r 会更接近于1， 即相关系数r 的值变大，解释变量x 与预报变量y 相关性变强， 故A 、C 、D 错误，B 正确. 故选：B .5. 已知()0,πα∈，且3sin α4cos α5+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 7- B. 7C.17D. 17-【答案】B 【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系求得3sin α5=，4cos α5=及3tan α4=，再利用两角和正切公式求解即可.【详解】由题意223sin α4cos α5sin αcos α1+=⎧⎨+=⎩，消去cos α并化简得225sin α30sin α90-+=， 解得3sin α5=，所以53sin 4cos α45α-==，3tan α4=，所以31πtan 14tan 7341tan 14ααα++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-. 故选：B6. 如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为（ ）A.B.C.8π9D.4π3【答案】D【解析】【分析】将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，故可求得内切球半径，故得答案【详解】如图，将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，又因为牟合方盖上下两个顶点和侧面的四个曲面刚好与正方体的侧面相切， 故正方体的内切球内切于牟合方盖，所以正方体内切球即为牟合方盖的内切球，其半径为1， 所以该“牟合方盖”内切球的体积为4π3. 故选：D7. 平面直角坐标系xOy 中，已知点(),0A a -，(),0B a 其中0a >，若圆()()22212x a y a a -++--=上存在点P 满足23PA PB a ⋅=，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】设(,)P x y ，可得点P 在圆2224x y a +=上，又点P 在圆()()22212x a y a a -++--=上，故两圆相交，结合两圆相交定义计算即可得.【详解】设(,)P x y ， 23PA PB a ⋅=，则()()223x a x a y a +-+=，即2224x y a +=，即点P 亦在圆2224x y a +=上，圆心为()0,0，半径12r a =，又点P 在圆()()22212x a y a a -++--=上，圆心为()1,2a a -+，半径2r a =，.故两圆相交，即有2112r r r r -≤≤+，整理可得222507250a a a a ⎧++≥⎨--≥⎩且0a >，解得1a ≥.故选：D. 8. 已知集合(){4,|20240P x y xax =+-=且}2024xy =，若P 中的点均在直线2024y x =的同一侧，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()(),20232023,-∞-+∞ B. ()2023,+∞ C. ()(),20242024,-∞-+∞ D. ()2024,+∞【答案】A 【解析】【分析】依题意可得320242024a x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令()32024x f x x -=+，求出2024y x =与2024y x =的交点坐标，依题意只需()1a f >或()1a f <-，即可求出a 的取值范围.【详解】依题意集合P 即为关于x 、y 的方程组4202402024x ax xy ⎧+-=⎨=⎩的解集，显然0x ≠，所以320242024a x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即320242024y x x y x y a ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，令()32024x f x x -=+，由20242024y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩， 即函数2024y x =与2024y x=的交点坐标为()1,1和()1,1--， 又()()3320242024f x x x x x f x ⎛⎫-+==- ⎪⎝⎭--+=-，所以()f x 为奇函数，因为3y x =-与2024y x=在()0,∞+上单调递减， 所以()32024x f x x -=+在()0,∞+上单调递减，则()32024xf x x -=+在(),0∞-上单调递减， 依题意y a =与32024xy x -=+、2024y x =的交点在直线2024y x =的同侧，只需()1a f >或()1a f <-，即2023>a 或2023a <-， 所以实数a 的取值范围为()(),20232023,-∞-+∞ . 故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为y a =与32024xy x -=+、2024y x =的交点在直线2024y x =的同侧.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数123,,z z z ，下列说法正确的有（ ） A. 若1122z z z z =，则12=z z B. 若22120z z +=，则120z z == C. 若1213z z z z =，则10z =或23z z = D. 若1212z z z z -=+，则120z z =【答案】AC 【解析】【分析】A 项，由复数的性质2zz z =可得；BD 项，举特例即可判断；C 项，先证明命题“若120z z =，则10z =，或20z =”成立，再应用所证结论推证可得. 【详解】选项A ，1122z z z z ⋅=，则221212,z z z z =∴=，故A 正确；选项B ，令21i,1z z ==，满足条件2212110z z +=-+=，但12z z ≠，且均不为0，故B 错误； 选项C ，下面先证明命题“若120z z =，则10z =，或20z =”成立. 证明：设1i,,z a b a b =+∈R ，2i,,z c d c d =+∈R ，若120z z =，则有(i)(i)()()i 0a b c d ac bd ad bc ++=-++=， 故有00ac bd ad bc -=⎧⎨+=⎩，即ac bd ad bc=⎧⎨=-⎩，两式相乘变形得，()220a b cd +=，则有220a b +=，或0c =，或0d =， ①当220a b +=时，0a b ==，即10z =； ②当220a b +≠，且0c =时，则0bd ad ==， 又因为,a b 不同时为0，所以0d =，即20z =；③当220a b +≠，且0d =时，则0ac bc ==，同理可得0c =，故20z =； 综上所述，命题“若120z z =，则10z =，或20z =”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C ，1213z z z z = ，()1230z z z ∴-=，10z ∴=，或230z z -=，即10z =或23z z =，故C 正确；选项D ，令12,1i 1i z z =+=-， 则12122z z z z -=+=，但()()211i 1i 2z z =+-=，12z z 不为0，故D 错误. 故选：AC .10. 设1,0a b >>，且ln 2a b =-，则下列关系式可能成立的是（ ） A. a b = B. e b a -=C. 2024a b =D. e ab >【答案】AC 【解析】【分析】首先求出21e a <<，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可.【详解】由于ln 2a b =-，知2ln b a =-，及其1,0a b >>，则2ln 0b a =->，解得21e a <<， 对AB ，2ln b a a a -=--，设函数2()2ln ,1e f a a a a =--<<，1()10f a a'=--<， 故()f a 在()21,e上单调递减，则()22ee ()(1)f f a f -=<<=1，即2e 1b a -<-<，故A 对B 错；对C ，由于22ln 1e ,b a a a a -<<=，设22ln (),1e a g a a a -=<<，2ln 3()0a g a a -'=<， 故()g a 在()21,e 上单调递减，()20e ()(1)2g g a g =<<=，故(0,2)b a∈，若12024,(0,2)2024b a b a ==∈，故C 对； 对D ，(2ln )ab a a =-，设()2()(2ln ),1,eh a a a a =-∈，()2(ln 1)1ln h a a a '=-+=-， 令()0h a '=，则e a =，则(1,e)a ∈，()0'>h a ，则()2e,e a ∈，()0h a '<，则()h a 在(1,e)上单调递增，在()2e,e上单调递减，()2max()e,(1)2,e 0ha h h ===，故()(0,e]h a ∈，即0e ab <≤，故D 错误.故选：AC.11. 如图，正四棱锥P ABCD -每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点M 在四边形ABCD 内（包含边界）运动，N 为PD 的中点，则（ ）A. 当M 为AD 的中点时，异面直线MN 与PC 所成角为π2B. 当//MN 平面PBC 时，点M 的轨迹长度为C. 当MP MD ⊥时，点M 到ABD. 存在一个体积为53π的圆柱体可整体放入正四棱锥P ABCD -内【答案】ACD 【解析】【分析】对于AC ：建立空间直角坐标系计算求解；对于B ：过N 作面PBC 的平行平面，进而可得点M 的轨迹；对于D ：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥P ABCD -内接最大圆柱的体积，表示出体积，然后利用导数求其最值即可.【详解】对于A ，因为ABCD 为正方形，连接BD 与AC ，相交于点O ，连接OP ， 则OD ，OC ，OP 两两垂直，故以{},,OD OC OP为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，C ，(A -，D ，(0,B -，(0,0,P ，N 为PD的中点，则N .当M 为AD 的中点时，(M，MN =，(PC =-，设异面直线MN 与PC 所成角θ，404cos cos ,024MN PC MN PC MN PCθ+-⋅====⨯，π(0,2θ∈，故π2θ=，A 正确；对于B ，设Q 为DC 的中点，N 为PD 的中点，则//QN PC ，PC ⊂平面PBC ，QN ⊄平面PBC ， 则QN //平面PBC ， 又//MN 平面PBC ，,MN QN ⊂平面MNQ ，又MN QN N = ，设H AB ∈，故平面//MNQ 平面PBC ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =， 平面MNQ ⋂平面ABCD QH =，则//QH BC ，则H 为AB 的中点， 点M 在四边形ABCD 内（包含边界）运动，则M QH ∈，点M 的轨迹是过点O 与BC 平行的线段QH ，长度为4，B 不正确；对于C ，当MP MD ⊥时，设(,,0)M x y，(,,MP x y =--，(,,0)MD x y =--，2(0MP MD x y y ⋅=+-=，得220x y +-=，即22(2x y +=，即点M 的轨迹以OD 中点K的圆在四边ABCD 内（包含边界）的一段弧（如下图），为K 到AB 的距离为3，弧上的点到AB 的距离最小值为3，因为3-<M 到AB ，C 正确；对于D ，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥P ABCD -内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r ，高为h ，Q 为DC 的中点，H 为BC 的中点, 4HQ =，PO =，根据POH 相似PJW ，得JW PJ OH PO =，即2r =)h r =-，则圆柱体积22π(2)V r h r r ==-，设23()(2)(02)V r r r r =-<<，求导得2()(43)V r r r '=-，令()0V r '=得，43r =或0r =，因为02r <<，所以0r =舍去，即43r =， 当403r <<时，()0V r '>，当423r <<时，()0V r '<，即43r =时V 有极大值也是最大值，V ，503-===>53> 所以存在一个体积为5π3的圆柱体可整体放入正四棱锥P ABCD -内，D 正确. 故选：ACD .【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=-，则数列{}n a 的通项公式是__________. 【答案】132n n a -=⨯【解析】【分析】设出数列{}n a ，结合等比数列的性质将1n =，2n =代入226n n S a +=-计算即可得. 【详解】设11n n a a q-=，由226n n S a +=-，则有13242626S a S a =-⎧⎨=-⎩，即()21131112626a a q a a q a q ⎧=-⎪⎨+=-⎪⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩或161a q =-⎧⎨=-⎩，又{}n a 各项均为正数，故132a q =⎧⎨=⎩， 则132n n a -=⨯.故答案为：132n n a -=⨯.13. 过点()1,1-与曲线()()ln 13e 2xf x x =+-+相切的直线方程为______． 【答案】210x y ++= 【解析】【分析】由导数的几何意义得出切线方程()()1113e xy y n x x -=--，进而由切点的位置得出11,x y ，从而得出切线方程.【详解】设切点坐标为()11,x y ，()13e 1x f x x '=-+，()11113e 1x f x x '=-+. 则切线方程为()111113e 1x y y x x x ⎛⎫-=--⎪+⎝⎭，因为()1,1-在切线上，所以()1111113e 11x y x x ⎛⎫-=--- ⎪+⎝⎭，即()1113e 12x y x =-++ 又()111ln 13e 2xy x =+-+，所以()111ln 13e 0xx x ++=，令()ln 13e xy x x =++，()131e 1x y x x'=+++，当1x >-时，0'>y ， 所以()ln 13e xy x x =++在()1,-+∞上单调递增， 所以方程()111ln 13e 0xx x ++=只有唯一解为10x =.即切点坐标为()0,1-，故所求切线方程为12y x +=-，即210x y ++=. 故答案为：210x y ++=14. 已知直线l 与椭圆22:132x y C +=在第一象限交于P ，Q 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且满足||||||||||||||||PM QM PN QN QM PM QN PN +=+，则l 的斜率为______.【答案】## 【解析】【分析】不妨设P 在Q 的左侧，取PQ 的中点R ，根据点差法可得23l k k ⋅=-，再根据对勾函数可知||||||||PM QN QM PN =，分析可得l k k =，即可得结果.【详解】如图所示，不妨设P 在Q 的左侧，取PQ 的中点R ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212,22x x y y R ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线l 的斜率1212y y k x x -=-，直线OR 的斜率1212OR y y k x x +=+，因为()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆22:132x y C +=上，则22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212032x x y y --+=， 整理得2212221223y y x x -=--，即23OR k k ⋅=-， 可知(),1,PM QN QMPN∞∈+，因为()1f x x x=+在()1,∞+内单调递增， 由||||||||||||||||PM QM PN QN QM PM QN PN +=+可得||||||||PM QN QM PN =，即PQ QM PQ PN QMPN++=，整理得QM PN =，可知R 为MN 的中点，则OR RM =，可知OR k k =-， 结合23OR k k ⋅=-可得223k =，且0k <，则k =检验k =符合题意，所以直线的斜率为.故答案为：. 【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0∆>，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．四､解答题：本题共2小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A B C ､､三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A 中奖的概率是14，项目B 和C 中奖的概率都是25. （1）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.求该顾客中奖的概率；（2）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A B C ､､三个项目，如果A B C ､､三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望. 【答案】（1）720（2）16 【解析】【分析】（1）利用全概率公式求解即可；（2）先确定奖券金额的肯能取值，并求出对应的概率，即可列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】设“该顾客中奖”为事件M ，参加项目,,A B C 分别记为事件123,,N N N ， 则()()31111212734353520i i i P N P M N ==⨯+⨯+⨯=∑∣，即某顾客中奖的概率是720. 【小问2详解】设一位顾客获得X 元奖券，则X 的可能取值为100,50,0，()()2121221123326100,50C 455254554525P X P X ⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()161801252525P X ==--=， 所以X 分布列如下： X 10050P125 625 1825所以每位顾客获得奖金券的期望是()16100500162525E X =⨯+⨯+=（元）. 16. 已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos cos sin cos 0a B C a A B A -+-=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且1c =，求ABC 面积的取值范围. 【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）由两角和与差的余弦展开式和正弦定理再结合同角的三角函数计算可得； （2）由正弦定理和同角的三角函数关系得到12b =，再由锐角三角形可得ππ62C <<，从而得到122b <<，最后由三角形的面积公式1sin 2S bc A =求出结果即可.【小问1详解】由πA B C ++=，得()()π,cos cos A B C A B C =-+=-+， 故得()()cos cos sin cos a B C a B C B A --+=所以()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C a B C a B C B C B A +--=，即sin sin sin cos a B C B A =.由正弦定理，得sin sin sin sin cos A B C C B A =，显然sin 0,sin 0C B >>，所以sin A A =，所以tan A =.因为()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2详解】由题设及（1）可知，ABC的面积1sin ,12ABC S bc A c === ，2πsin π2π2π13,,,333sin 2C A B C B C b C ⎛⎫- ⎪⎝⎭=∴+=∴=-∴== ABC 为锐角三角形，π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C <<，1111tan 02,2tan 222C b C ∴>∴<<∴<<∴<<，又1sin 2ABC S bc A == ，ABC S ∴∈ .17. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,3,45,AB PC PD PCA AC ∠==== 与BD 相交于G 点，M 为AB 的中点.（1）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求证：l ⊥平面PMG ；（2）求平面APB 与平面APG 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）延长MG 交CD 于N ，连接PN ，证明CD ⊥平面PMG ，则AB ⊥平面PMG ，再证明//AB 平面PCD ，再根据线面平行的性质证得//AB l ，即可得证；（2）过P 点作PO ⊥面ABCD ，垂足为O ，确定点O 的位置，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】在正方形ABCD 中，延长MG 交CD 于N ，连接PN ， 由PC PD =，则PN CD ⊥，四边形ABCD 为正方形，则GN CD ⊥，,,PN GN N PN GN ⋂=⊂平面PMG ，则CD ⊥平面PMG ，由//AB CD ，则AB ⊥平面PMG ，由//AB CD ，AB ⊄平面,PCD CD ⊂平面PCD ，则//AB 平面PCD ， 平面PAB ⋂平面PCD l =，AB ⊂平面PAB ，则//AB l ， 又AB ⊥平面PMG ，则l ⊥平面PMG ； 【小问2详解】在PCA V中，45,3PCA AC PC ∠=== ，由余弦定理得2222cos 17,PA AC PC AC PC PCA PA ∠=+-⋅⋅=∴=，AB ⊥Q 平面,PMG PM ⊂平面PMG ，则AB PM ⊥，在Rt PMA中，由勾股定理得PM =PN =，过P 点作PO ⊥面ABCD ，垂足为O ，∵AB ⊥平面PMN ，AB ⊂面ABCD ，所以面PMN ⊥面ABCD ， 又,PM PN O >∴在线段GN 上， 设GO x =，则2,2NO x MO x =-=+，在Rt PMO △与Rt PON △中，由勾股定理得2213(2)5(2)x x -+=--，解得1x =，O ∴为GN 中点，1,2GO ON PO ===，以O 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则()()()()2,3,0,2,3,0,0,0,2,0,1,0A B P G ----，设面PAB 的法向量为()1111,,n x y z = ，面PAG 的法向量为()2222,,n x y z =，则111111040,23200n AB x x y z n AP ⎧⋅==⎧⎪∴⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ ，令112z =，则1111110,,0,,332x y n ⎛⎫==-∴=- ⎪⎝⎭2222222020,23200n GP y z x y z n AP ⎧⋅=+=⎧⎪∴⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ ，令21z =-，则()2222,2,2,2,1y x n ==-∴=-- ，设平面APB 与平面APG 夹角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===.18. 设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列． （1）求C 的方程；（2）若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于． 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意，分0k =与0k ≠代入计算，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，再由等差中项的定义列出方程，即可得到结果；（2）方法一：联立直线l '与抛物线的方程，表示出AB 中点E 的坐标，再由点M ，N ，E 三点共线可得△AMN 面积为△ABM 面积的14，结合三角形的面积公式代入计算，即可证明；方法二：联立直线l '与抛物线的方程，再由Δ0=，得2n k =-，点()22,N k k ，即可得到直线MN 与x 轴垂直，再由三角形的面积公式代入计算，即可证明. 【小问1详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，由题可知，当0k =时，显然有0AM BM k k +=；当0k ≠时，直线OM 的方程为1=-y x k，点()2,2M k -． 联立直线AB 与C 的方程得2240x pkx p --=，224160p k p ∆=+>， 所以122x x pk +=，124x x p =-， 因为直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列，所以121222222y y k x k x k+++=--． 即121244222kx kx k x k x k +++=--，()()()()()()1221124242222kx x k kx x k kx k x k +-++-=--，化简得()()2122240k x xk ++-=．将122x x pk +=代入上式得()()222240k pk k +-=，则2p =，所以曲线C 的方程为24x y =． 【小问2详解】（法一）设直线l '：y kx n =+，联立C 的方程，得2440x kx n --=． 由Δ0=，得2n k =-，点()22,N k k ，设AB 的中点为E ， 因为1222x x k +=，()1221242222k x x y y k +++==+，则点()22,22E k k +．因222222k k +-=，所以点M，N ，E 三点共线，且点N 为ME 的中点，为所以△AMN 面积为△ABM 面积的14． 记△AMN 的面积为S ，点()2,2M k -到直线AB ：20kx y -+=的距离d =，所以()2322128S AB d k=⨯==+≥，当0k =时，等号成立．所以命题得证．（法二）设直线l '：y kx n =+，联立C 的方程，得2440x kx n --=． 由Δ0=，得2n k =-，点()22,N k k ．所以直线MN 与x 轴垂直． 记△AMN 的面积为S ， 所以1211224x x S MN MN -=⨯⨯=⨯212k =⨯()3222k =+≥．当0k =时，等号成立． 所以命题得证．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键采用设线法，联立抛物线方程，根据相切求出()22,N k k ，再得出()22,22E k k +，最后计算出面积表达式求出其最值即可.19. 若实数集,A B 对,a A b B ∀∈∀∈，均有(1)1ba ab +≥+，则称A B →具有Bernoulli 型关系．（1）若集合{}{}1,1,2M x x N =≥=，判断M N →是否具有Bernoulli 型关系，并说明理由； （2）设集合{}{}1,S x x T x x t =>-=>，若S T →具有Bernoulli 型关系，求非负实数t 的取值范围； （3）当*n∈N 时，证明：1158nkk n -=<+∑． 【答案】（1）具有Bernoulli 型关系，理由见解析；（2）[1,)∞+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义判断是否满足(1)1ba ab +≥+即可；（2）令()(1)1b f x x bx =+--，x S ∈，(0,)b ∈+∞，再对其求导，分1b =，1b >，01b <<三种情况分析单调性及最值，即可求解； （3）化简11221(1)kk k -=+，可得211k >-且1012k<<，根据（2）中的结论，可得122231111(1)1122k k k k k +≤+⋅=+，再根据k 的范围求出312k 的范围，进而可求出1221(1)kk+的范围，最后可得11nkk -=∑的范围．【小问1详解】依题意，M N →是否具有Bernoulli 型关系，等价于判定以下两个不等式对于1x ∀>是否均成立： ①1(1)1x x +≥+，②2(1)12x x +≥+， 1x ∀> ，1(1)1x x +=+，22(1)1212x x x x +=++>+M N ∴→具有Bernoulli 型关系．【小问2详解】令()(1)1b f x x bx =+--，x S ∈，(0,)b ∈+∞， 则1()[(1)1]b f x b x -'=+-，①当1b =时，显然有(1)1b a ab +=+，(1)1b x xb ∴+≥+成立； ②当1b >时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，()f x ∴区间(1,0)-上单调递减， 若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增， ()f x ∴的最小值为(0)0f =，()(0)0f x f ∴≥=，(1)(1)0b x bx ∴+-+≥，(1)1b x xb ∴+≥+成立；③当01b <<时，在若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，()f x ∴在区间(1,0)-上单调递增， 若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递减， ()f x ∴的最大值为(0)0f =，()(0)0f x f ∴≤=，(1)(1)0b x bx ∴+-+≤，即(1)1b x bx +≤+∴当x S ∈，且01b <<时，(1)1b x xb +≥+不能恒成立，综上所述，可知若S T →具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为[1,)∞+．【小问3详解】 证明：1112222211()(1)kk kk k k-+==+，显然211k >-且1012k<<， 由（2）中的结论：当01b <<时，(1)1bx xb +≤+，可知122231111(1)1122k k k k k+≤+⋅=+，当2k ≥时，33121(1)111[]24()4(1)(1)4(1)(1)k k k k k k k k k k k k +--≤==---+-+， ∴1221111(1)1[]4(1)(1)k k k k k k +≤+--+，2k ≥，当1n =时，1158nkk n -=<+∑显然成立； 当2n ≥时，11122311[124(1)4(1)n nn kkk k i k k k k --====+<++--+∑∑∑ 1111515[242(1)84(1)8n n n n n n n =++⋅-=+-<+++， 综上所述，当*n ∈N时，1158nkk n -=<+∑． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性证明与数列有关的不等式，关键是利用（2）的结论得122231111(1)1122k k k k k+≤+⋅=+，并适当的放缩裂项求和.。

考点30 排列、组合1、掌握分布计数原理和分类计数原理；2、能运用计数原理解决简单的排列与组合问题；1、从2020年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为5分；2、本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主；1、从2020年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格；2、考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列着解决概率有关的问题；1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种2、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）5、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．5、【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)题型一 排列组合的简单运用1、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ）A ．54B ．44C ．32D ．222、（2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A ．24B ．12C ．8D ．63、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种4、（2020届北京市通州区高三第一学期期末）某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种5、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个A ．120B ．132C ．144D ．1566、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，若,,A B C 均互不相邻且,A B 在C 的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）8、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.（用具体数字作答）9、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）题型二、排列组合的综合运用1、（2020·浙江高三）从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85 B ．95 C ．2040 D ．22802、（2020届北京市陈经纶高三上学期开学）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．403、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____.5、（2020届北京市东城区五中高三开学）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.6、（2019年北京市清华大学附属中学高三月考）对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i （其中n 是不小于3的正整数），若{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.（2）若数组()12,,,n i i i 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -的逆序数为______.7、（2019年清华大学附属中学高三月考）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）题型三、运用排列组合解决概率问题1、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）A ．166B ．155C ．566D ．5112、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3203、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc def +是偶数的概率为______4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______.5、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______.6、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）。

浙江省绍兴一中2020学年度第一学期高三数学理科期中考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 已知集合A={}01|2<-x x ，集合B={}03|2<-x x x ，则=B A I （ ） A ．{}11|<<-x x B.{}30|<<x x C.{}10|<<x x D.{}31|<<-x x 2直线013=-+y x 的斜率是 （ ） A .33- B .33 C.3- D.3 3已知函数x x f 2log )(=，则)1(1--f 的值为 （ ） A.21 B.41 C. 41- D. 21- 4等差数列{}n a 中，已知311=a ，452=+a a ，33=n a ，则n 为 （ ） A.48 B.49 C.50 D.515. ac 2＞bc 2是a ＞b 成立的 （ ）A.充分而不必要条件B.充要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件 6 已知点A ()2,a ()0>a 到直线03:=+-y x l 的距离为1，则a 为 （ ） A.2 B.22- C.12- D.12+ 7．在边长为1的正△ABC 中，设=,=,=,则=•+•+• （ ） A 1.5 B -1.5 C 0.5 D -0.58．在生态系统中，当输入一个营养级的能量后，大约10%～20%的能量流动到下一个营养级，在4321H H H H →→→这条生物链中，若能使4H 获得10J 的能量，按流动10%计算， 则需要1H 提供的能量是 （ ） A J 210 B J 310 C J 410 D J 510 9. 定义运算a*b 为：a*b=()()a ab b a b <⎧⎨≥⎩，例如，1*2=1，则25(cos sin ),(0,)42πααα*+∈的最大值是 A ．1 B ．45 C ．54 D ．010 . 对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱为它们之间的 “奥运距离．．．．”。

2014年高中学科基础测试 文科数学 评分参考一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．D ； 5．C ； 6．B ；7．C ；8．A ；9．B ；10．D ．二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分 11．1007； 12．1027-； 13．032=--y x ； 14．32；15．4-；16．98；17．044222=+--+y x y x ；三、解答题（本大题共5小题,共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题14分）在△ABC 中，已知ab c b a +=+222． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若4=c ，求b a +的最大值．解：（Ⅰ）因为ab c b a +=+222，所以212cos 222=-+=ab c b a C ．┅4分 又π<<C 0，故角3π=C ．┅8分 （Ⅱ）因为4=c ，所以ab b a -+=2216ab b a 3)(2-+=．┅10分又2)2(b a ab +≤，所以2)(4116b a +≥，从而8≤+b a ，其中b a =时等号成立． 故，b a +的最大值为8． ┅14分19．（本题14分）已知数列}{n a 满足：11=a ，121+=+n n a a ．（Ⅰ）求证数列}1{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项n a ； （Ⅱ）若1+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由121+=+n n a a ，得)1(211+=++n n a a ． 所以，}1{+n a 成等比，公比2=q ，首项211=+a ． ┅4分 所以，n n a 21=+，即12-=n n a ．┅8分 （Ⅱ）1+=n n n a a b )12)(12(1--=+n n 12342+⋅-⋅=n n ，┅10分所以，数列}{n b 的前n 项和n S n n n ++++-+++=)222(3)444(22121┅12分 n n n +--⋅---⋅=12)12(2314)14(4231026438++⋅-⋅=n n n ．┅14分20．（本题15分）如图，三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，△ABC 是正三角形，4=AB ，3=PA ，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：⊥CM 平面PAB ；（Ⅱ）设二面角C PB A --的大小为θ，求θcos 的值． 解：（Ⅰ）因为⊥PA 底面ABC ，所以CM PA ⊥．┅3分 因为△ABC 是正三角形，M 是AB 的中点，所以AB CM ⊥． ┅6分所以，⊥CM 平面PAB ．┅7分（Ⅱ）（几何法）作PB MD ⊥于D ，连CD ，则PB CD ⊥．所以，CDM ∠是二面角C PB A --的平面角． ┅11分 因为4=AB ，3=PA ，所以32=CM ，56=DM ． 从而5214=CD ，故1421cos ==CD DM θ． ┅15分（向量法）以M 为原点，MC 为x 轴，MB 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，如图． 平面APB 的一个法向量)0,0,1(1=n ． ┅10分)3,4,0(-=BP ，)0,2,32(-=BC ．设),,(z y x n =是平面CPB 的法向量，则⎩⎨⎧=-=+-0232034y x z y ，取法向量)4,3,3(2=n ． ┅13分故7213cos 21⨯==θ1421=． ┅15分21．（本题15分）如图，已知抛物线x y 42=，点)0,(a P 是x 轴上的一点，经过点P 且斜率为1的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．（第20题）PBCAMD （第20题）PAy（Ⅰ）当点P 在x 轴上运动时，求证线段AB 的中点在一条直线上； （Ⅱ）若||4||OP AB =（O 为坐标原点），求a 的值． 解：（Ⅰ）设),(11y x A ，),(22y x B ，AB 中点为),(00y x M ．则⎪⎩⎪⎨⎧==22212144x y x y )(4))((212121x x y y y y -=-+⇒， ┅2分又12121=--x x y y ，0212y y y =+，所以420=y ，从而20=y ．┅6分 故，线段AB 的中点在直线2=y 上．┅7分（Ⅱ）直线l ：a y x +=，由⎩⎨⎧=+=xy ay x 420442=--⇒a y y ． ┅9分)1(16+=∆a ，||2||21y y AB -=)1(24+=a ．┅12分若||4||OP AB =，则||4)1(24a a =+，即0222=--a a ． 解得：31±=a ． ┅15分22．（本题14分）已知0>a ，函数xax x f +=)(（0>x ）． （Ⅰ）试用定义证明：)(x f 在),(+∞a 上单调递增；（Ⅱ）若]3,1[∈x 时，不等式2)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）设+∞<<<21x x a ，则 21212121))(()()(x x a x x x x x f x f --=-．┅2分因为+∞<<<21x x a ，所以021>x x ，021<-x x ，021>-a x x ， 所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <， 故，)(x f 在),(+∞a 上单调递增．┅6分（Ⅱ）)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增． ①若10≤<a ，则)(x f 在]3,1[上单调递增，a f x f +==1)1()(min ． 所以，21≥+a ，即1≥a ，所以1=a ．┅8分（第21题）②若91<<a ，则)(x f 在],1[a 上单调递减，在]3,[a 上单调递增， a a f x f 2)()(min ==．所以，22≥a ，即1≥a ，所以91<<a ．┅10分③若9≥a ，则)(x f 在]3,1[上单调递减，33)3()(min a f x f +==． 所以，233≥+a，即3-≥a ，所以9≥a ． ┅12分 综合①②③，1≥a ．┅14分。