初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题26 分而治之_答案[精品]

1 专题17 直角三角形中比例线段例例2 B 提示：只有结论④是错误的. 例3 124提示：过F 点作FM ⊥EC 于M ，由Rt △ABE ∽Rt △MEF ，得2EM AB MF AE ==，2EM MF =.又1136FM MC EC ===. 例4 提示：满足题意的点C 有4个，坐标分别为816,,55⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭，⎛ ⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭△CAB ，∴13DE DF =，从而EF DF =B 级 1．6 提示：延长FE ，BA 交于G ，AP BP PD GE BE EF==，GE ＝EF ，△AGE ∽△FCE ． 2提示：过B 作BE ∥AD ，交CA 的延长线于E ． 3．5∶1 4．C 5．C 6．提示：过C 作AC 的垂线，交AD 延长线于G ，则△ABE ≌△CAG ，∴AE ＝CG ，由△ABF ∽△EBA ，∴EB ∶AE ＝AB ∶AF ＝2∶1，∴△EBD ∽△GCD ，∴BD ∶DC ＝EB ∶CG ＝EB ∶AE ＝2∶1，∴BD ＝2CD ． 7．提示：由Rt △PBH ∽Rt △BCH 及BP ＝BQ ，得B Q B H B C H C =，从而有HC BH DC BQ =，可推证得△BHQ ∽△CHD ． 8．提示：当△ABC 为锐角三角形时，过A 作AD ⊥BC 于D ，可证a 2+b 2＞c 2．当△ABC 为钝角三角形时，过B 作BD ⊥AC 于D ，可证a 2＋b 2＜c 2． 9．提示：图2结论：OD ＋OEOC ．过C 作CP ⊥OA 于P ，CQ ⊥OB 于Q ，则△CPD ≌△CQE ，DP ＝EQ ，OP ＝DO ＋DP ，OQ ＝OE －EQ ．又OP ＋OQOC ，即OD ＋DP ＋OE －EQOC ，故OD ＋OEOC ．图3的结论：OE －ODOC ． 10．(1)略 (2)①9②∵∠B ＋∠C ＝90°，∠CEF ＋∠C ＝90°，∴∠B ＝∠CEF ，又∵∠BGD ＝∠EFC ，∴△BGD ∽△EFC ．∴DG BG CF EF =，∴DG ·EF ＝CF ·BG ．又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF ·BG ．由(1)得DM MN EN BG GF CF==，∴22MN DM EN GF BG CF =⋅，∴MN 2＝DM ·EN ．。

专题27 以形助数——借助图形思考例1 7 提示：设圆周长为9，套成的三角形三边所对的弧长分别为x ，y ，z ，则x+y+z=9，不妨设z y x ≤≤，则（x ，y ，z ）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）和（3，3，3）这7种情形.例2（1）900 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇.（3）由图像可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为12900=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为4900=225km/h,所以快车的速度为150km/h.（4）根据题意快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶150900=6h 到达乙地，此时两车之间的距离为6×75=450km ，所以点C 的坐标为（6，450）.设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，把（4，0），（6，450）带入得⎩⎨⎧+=+=b k b k 645040，解得⎩⎨⎧-==900225b k 所以，线段BC 所标示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x 的取值范围是64≤≤x .（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ，把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km ，所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.例3 设只收看A,B,C 三个栏目的观众人数分别为x ，y ，z ，没有收看栏目A 而收看栏目B 和栏目C 的人数为m.不只收看栏目A 的人数为n ，如图所示.()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=-=+=+,28,,1,2z m y n x z y x x n m z m y 得z=29-4y. 由y-2z=m ≥0得9y-58≥0，∴958≥y由29-4y=z ≥0得y ≤429，∵y 为整数，∴y=7 从而z=1，x=8，n=7，m=5. 故栏目A 的收视率为28n x +×100﹪=2825×100﹪≈53.6﹪ 例4 第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.例5如图，A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合，而a ，b ，c ，…，f ，g 则分别表示各类优秀学生的人数，如g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数f 表示语、外两科优秀而数学不优秀的学生人数.则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+++=+++=+++10,1817,16,29,31,32g g f g d g e g f e c g f d b g e d a 解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10.故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人，而全班仅有50人，故统计错误.【能力训练】1.2 提示：如图，用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人，如果两个人已经赛过一盘，就在相应的两个点之间连一条线段.2.4.4小时3.244.32﹪ 提示：依照图中数据计算：000000001002.108.155.12442.10298.15265.12⨯++⨯+⨯+⨯=32﹪ 5.5：16.C 提示：由直方图可知，乘车人数为25人，由扇形图可知，乘车人数占全班总人数的50﹪.故全班总人数为25÷50﹪=50人.步行人数为50×30﹪=15（人）.骑车人数为50-25-15=10（人）.7.C8.D 提示：若A,C种同一种植物，则A,C有4×1种栽种法，B,D都有3种栽种法，共有4×3×3=36种栽种方案；若A,C种不同的植物，则有4×3种载法，B,D都有2种，共有4×3×2×2=48种栽种方案.故共有36+48=84种栽种方案.9.15人提示：如图，用A,B两个圆分别表示参加数学竞赛的男、女生人数，用C,D两个圆分别表示参加英语竞赛的男、女生人数，只参加数学竞赛的男生人数是120-75=45人，只参加英语竞赛的男生人数是80-75=5人，设两科都参加的女生人数为x人，则只参加数学竞赛的女生数为（80-x）人，只参加英语竞赛的女生人数为（120-x）人，由题意得120-x+80-x+x+45+75+5=260，解得x=65，故答案为80-x=15人.10.从A城出发到B城的路线分成如下两类：（1）从A城出发到达B城，经过O城。

专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △AGW =S △AGF −S △GWF =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48BC =484CF =12CF =12DE. 设△ABC 底边DE 上的高为ℎ1，△BDE 底边DE 上的高为ℎ2，则h =ℎ1+ℎ2.∴S △ADE +S △BDE =12∙DE ∙ℎ1+12∙DE ∙ℎ2=12∙DE ∙（ℎ1+ℎ2）=12∙DE ∙ℎ=12∙DE ∙12DE =6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5ℎ−12ℎ(5+x )=95ℎ=30，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲, 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例5 1133AEC ABC S S == ，1133BGF ABC S S ==.设=x PEC S，=y PFC S则=3x PBC S，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEPS=，则=4x ADP S.由APDBEPF S S =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS=⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQSS+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBPAEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPDS S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3.()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD，正方形PKPF的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFSS=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）. 4. 8.5 提示：连HD. 5. 48 12481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKESAE KH =••=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMDAMCSS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGDCMGS S=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDS SMGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADC BEAS S == S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。

专题01 “确”有其事——由确定性带来的延展式思考【专题解读】确定一条直线需要2个要素，若缺其一，则会形成一个直线系或一簇直线；同样的道理，确定三角形时，也是需要3个要素且有关联性，若缺其一，则图形不定，而当图形确定时，一定是可解析的，当图形不确定时，多会产生多解或最值情形。

这也是审计划规模环节时的一个方向性思考，即先从试题的结构性，一致性上选择破题之道， 对试题有一个整体性的把控。

本专题便从“定”与“不定”两个方面来解读．【思维索引】 例1．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知P (a ,a +2)，求OP 的最小值．（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为Q ，求OQ 的最小值．例2．已知，如图ABC ∆中，90C ∠=︒．（1）用没有刻度的直尺和圆规求作点P ，使得经过点C 的P e 与直线AB 相切于点A ； （2）在（1）的条件下，若10AB =，8BC =，求P e 的半径．例3.如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，CD 与AB 交于点F ，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，若AE =AD =【变式】在ABC ∆和DCE ∆中，CA =CB ，CE =CD ，90ACB DCE ∠=∠=︒，3BC =，4CD =CED ∆绕着点C 逆时针旋转．（1）如图1，求当点A 落在ED 上时，AC 、AD 、CD 围成的图形的面积．（2）如图，若P 是AB 的中点，Q 是DE 上任意一点，求PQ 的最大值与最小值的差．例4．已知二次函数()220y ax ax c a =-+>的图像与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且:2:3CP PD =． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）若3a ≤，求这个二次函数上最低点的坐标（用含a 的代数式表示）； （3）若5tan 4PDB ∠=，求这个二次函数的关系式．【素养提升】1．半径为5的O e 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且垂直于OP 的弦CD 的长为 （ ）A.3B.4C.5D.62．半径为5的O e 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且长度为整数的弦的数量有 （ ） A.1条 B.5条 C.8条 D.10条 3．如图，平面直角坐标系中，点()9,6A ，AB y ⊥轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方形运动，同时，点Q 从点A 出发向B 运动，当点Q 到达B 时，整个运动停止，若点P 与点Q 的速度之比为1:2，则下列说法正确的是 （ ） A.线段PQ 始终经过点（2，3） B.线段PQ 始终经过点（3，2） C.线段PQ 始终经过点（2，2） D.线段PQ 不可能始终经过某一点(第3题图) ( 第4题图)4．如图，ABC ∆是等边三角形，12AB =，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 （ ）A.B.6+C.3D.65．对于二次函数()()22110y ax a x a a =--+-≠，有下列结论中正确的结论是 （ ）①其图象与x 轴一定相交；②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上； ④无论a 取何值，函数图象都经过同一个点． A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④6．已知，如图，AB 是O e 直径，C 为圆上一点，若6AC =，8BC =，D 为半圆弧AB 的中点，则CD 的值为____ __．7．已知，如图，AB 是O e 直径，C ，D 都为圆上的一点，若6AC =，8BC =，且ABD ∆是等腰直角三角形，则CD 的值为____ __．8．已知二次函数21y x mx m =----经过的定点的坐标为__ ____．9．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 为BC 上一点，将ABE ∆沿着AE 折叠，点B 的对应为P ．（1）连接CP ，则线段CP 的最小值为____ __；（2）连接DP ，若2DP =，则EDP ∆的面积为____ __．10．如图，平面直角坐标系中，()7,0A ，()5,2B ，()0,2C ，一条动直线l 分别与BC ，OA 交于点E 、F ，且将四边形OABC 的面积分成相等的两部分，则点C 到动直线l 的距离的最大值为__________．11．如图，ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 旋转得到ADE ∆（其中B 旋转后得到D ，C 旋转后得到E ），若DE 恰好经过点C ，求此时BD 的长．12．如图，6AB =，60ABC ∠=︒，将AC 绕点A 旋转60︒得到AD ，求ABD ∆的面积．13．已知：如图，AB 是O e 的直径，3AC =，4BC =，P 是AB 下方半圆上一动点，CQ PC ⊥交PB的延长线于点Q ．（1）若P 在弧AB 的中点，求CQ 的长； （2）若CQ 最大，求最大的CQ 的长．14．如图，二次函数()220y ax ax c a =-++>的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，过A 的直线()20y kx k k =+≠与这个二次函数图象交于另一点F ，与其对称轴交于点E ，与y 轴交于点D ，DE EF =．（1）求A 点坐标；（2）若BDF ∆的面积为12，求此二次函数的表达式；（3）若二次函数图象顶点为P ，连接PF ，PC ，2CPF DAB ∠=∠，求此二次函数的表达式．15．如图，在ABC ∆中，已知10cm AB AC ==，16cm BC =，AD BC ⊥于D ，点E 、F 分别从B 、C 两点同时出发，其中点E 沿BC 向终点C 运动，速度为4cm/s ；点F 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为5cm/s ，设它们运动的时间为x （s ）. （1）求x 为何值时，EFC ∆和ACD ∆相似；（2）是否存在某一时刻，使得EFD ∆被AD 分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由；（3）当2x ≤时，若以EF 为直径的圆与线段AC 只有一个公共点，求出相应x 的取值范围．16．如图①，()8,6A ，AB y ⊥轴于B 点，点R 从原点O 出发，沿y 轴正方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，沿线段AB 向点B 以相同的速度匀速运动，当点Q 到达点B 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）点B 的坐标为______；（2）过R 点作RP OA ⊥交x 轴于点P ，当点R 在OB 上运动时，BRQ ∆的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图像为抛物线的一部分，如图②，求点R 的运动速度； （3）如果点R 、Q 保持（2）中的速度不变，当257t ≤时，设PRQ ∆与OAB ∆的重叠部分的面积为y ，请求出y 关于t 的函数关系式．专题02 “参”透机关——由参数带来的指向性思维【专题解读】参数，实际上是一个变量，一个代数式。

北师大版本初三数学培优教案（精品资源）目录第一讲：相似三角形的判定及模型 (1)模块一：相似三角形的判定与性质 (1)模块二：Ａ字型与8字型 (4)模块三：射影定理 (7)第二讲：相似三角形的计算及证明 (9)模块一：共线三等角 (9)模块二：相似中的比例证明 (13)第三讲：动态几何专题一 (17)模块一：相似三角形 (17)模块二：特殊四边形 (20)第四讲：相似综合计算及应用 (24)模块一:相似应用 (24)模块二:相似的综合计算 (26)第五讲：反比例函数 (29)模块一:反比例函数定义和性质 (29)模块二:反比例函数k值意义初步 (34)第六讲:反比例K意义进阶 (37)模块一：反比例K意义进阶 (37)第七讲：反比例函数综合及应用 (45)模块一：函数应用 (45)模块二：函数综合 (48)第八讲：一元二次方程及其应用 (55)模块一：一元二次方程 (55)模块二：一元二次方程的应用 (60)第一讲：相似三角形的判定及模型模块一：相似三角形的判定与性质1．相似三角形的判定（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似．（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．（4）由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．例题精讲知识点一：相似三角形的判定例1．（1）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：△△AED=△B ，△△ADE=△C ，△BC DE AB AE =，△ABAE AC AD =，△AC 2=AD·AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）A ． △△△B ．△△△C ． △△△△D ．△△△△*（2）如图，已知△ABC，AB=AC，点E、F在边BC上，满足△EAF=△C，若BF=6，CE=4，则AC的值为．训练1-1．如图，已知△1=△2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE△△ABC成立，则这个条件是（）A．△D=△B B．C．D．△AED=△C训练1-2．如图，在四边形ABCD中，如果△ADC=△BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC相似的是（）A．△DAC=△ABC B．AC是△BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=训练1-3．如图所示，矩形ABCD中，点E在DC上且DE：EC=2：3，连接BE交对角线AC于点O．延长AD交BE的延长线于点F，则△AOF与△BOC的面积之比为．知识点二：相似三角形的性质例2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，△BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG△AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．8训练2-1．如图，在△ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A．B．C．D．训练2-2．若△ADE△△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．模块二：Ａ字型与8字型1．A 字型及其变形：EC AE DB AD =，BCDE AC AE AB AD == AB AE AC AD ⋅=⋅2．8字型及其变形：CD AB CO BO DO AO == CDAB DO BO CO AO ==例题精讲知识点一：A 字型例1．（1）如图，在△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另外两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15，BC 边上的高是10，则正方形的面积为（ ）A ．6B ．36C ．12D ．49（2）如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 、GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI= ．训练1-1．（1）如图，要在一起△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型，其中G 、F 在BC 边上，D 、E 分别在 AB 、AC 边上，AH△BC 交于DE 于M ，若BC=12，AH=8，则正方形DEFG 的边长为（ ）A ．524 B ．4 C ．724D ．5训练1-2．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1面积为S 1，△B 3D 2C 2面积为S 2，…，△B n+1D n C n 面积为S n ，则S n 等于（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二：8字型例2．（1）如图，点D 是AB 边的中点，AF△BC ，CG:GA=3:1，BC=8，则AF= ．（2）如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为．训练2．（1）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=．（2）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）模块三：射影定理1．射影定理射影定理图模：如右图所示，图中所有的直角三角形都是相似的，则有：AC2=AD·AB；CD2=AD·DB；BC2=BD·AB．2．广义射影定理图模如右图所示，当△ACD=△B时，△ACD△△ABC，则有：AC2=AD·AB例题精讲知识点一：射影定理例1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD:BD=9:4，AC:BC的值为．（2）如图，在矩形ABCD中，F是AB的中点，且CF△BD于G，DG=2，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACP=△B，AC=4，AP=2，则AB=．3，则训练1-1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD=6，AC=6CB=．（2）如图，在矩形ABCD中，AF:BF=2:1，且CF△BD于G，DG=3，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACD=△B，AC=5，AD=3，则AB=．第二讲：相似三角形的计算及证明模块一：共线三等角1．三垂直及斜K模型△ABE△△ECD △ AB·CD = BE·EC2．共线三等角拓展模型特别地，当点E 是BC 的中点时，△ABE△△ECD△△AED，AE、DE 分别平分△ABD、△ADE．3．手拉手模型：结论：△ABC△△ADE△ABD△△ACE例题精讲知识点一：三垂直例1．（1）在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L 型”模板如图2放置，则BC边的长度为．（2）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为．训练1-1．（1）如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE 的长为．（2）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2△P2P3，P2P3△P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为．训练1-2．（1）如图为两正方形ABCD 、BEFG 和矩形DGHI 的位置图，其中G 、F 两点分别在BC 、EH 上．若AB=5，BG=3，则△GFH 的面积为何？（ ）A ．10B ．11C ．D ．（2） 如图，直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A ，B 两点．以AB 为短边在第一象限作一个矩形ABCD ，使得AB ：AD=1﹕2．则D 点的坐标为 ．知识点二：斜K 模型例2．如图，四边形ABCD ，M 为BC 边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则BC 的长为 ．训练2．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=34，则△ABC 的周长为 ．知识点三：手拉手模型例3．（1）如图，△ABC 中，AC=3，分别以BC 、AB 为底边作顶角为120°的等腰△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于 ．（2）如图，Rt△ABC 中，△BCA=90°，AB=AC ，AC 边上有点 D ，连结BD ，以BD 为腰作等腰直角三角形的BDE ，DE 交BC 于F ，那么下面结论：△△ABD△△CBE ； △△BCE=90°△DF·EF=BF·CF ； △BC －CE=2CD ．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△训练3．（1）如图，△ABC 中，AC=5，分别以BC 、AB 为底边作等边△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于（ ）A ．5B ．52C ．55D ．5（2）如图，在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)．若BD=4，，DE=5，CE=3，则AD= ，AE= ．模块二：相似中的比例证明例题精讲例4．（1）如图，已知正方形ABCD中，BE平分△DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．①求证：△BDG△△DEG；②若EG•BG=4，求BE的长．（2）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF△DE，垂足为F，BF交边DC于点G，求证：GD•AB=DF•BG．（3）如图，已知DE△BC，AO，DF交于点C．△EAB=△BCF，求证：OB2=OE•OF．训练4．（1）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME△AF交BC于点M，交BD于点N，现有下列结论：△AM=AD+MC；△AM=DE+BM；△DE2=AD•CM；△点N为AM的中点其中正确的结论为．（4）如图，已知在△ABC中，△BAC=2△B，AD平分△BAC，DF△BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且△E=△C．①求证：AD2=AF•AB；②求证：AD•BE=DE•AB．（3）如图，已知A、B、C三点在同一条直线上，△ABD与△BCE都是等边三角形，其中线段AE交DB于点F，线段CD交BE于点G．求证：=．拓展（辅助线）△ABC，点D是AB的中点，过点D任作一条直线DF，交BC的延长线于F点，交AC于E点；求证：AE•CF=BF•EC．第三讲：动态几何专题一模块一：相似三角形例题精讲知识点一：直角相似例1．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？训练1-1．如图所示，已知直线l的表达式为y=﹣x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B 两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P 从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒．（1）求点A、B的坐标（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？知识点二：非直角相似例2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD△y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，△BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模块二：特殊四边形例题精讲（菱形+直角三角形）例3．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF△BC 于F，过F作FE△AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．训练3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B 出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DE、DF，当四边形AEDF为菱形，请求出此时t的值；（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（面积+平行四边形）例4．如图△，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，点B在第二象限，且点B的横、纵坐标是一元二次方程m2+m﹣12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠，使点C落在AB边上的点F处，点E在CO边上．（1）直接填空：B（，），F（，）；（2）如图△，若△BCE从该位置开始，以固定的速度沿x轴水平向右移动，直到点C与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分的面积为S，请求出面积S与平移距离t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图△，设点G为EF中点，若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M、N、B、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．训练4．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC 与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．第四讲：相似综合计算及应用模块一:相似应用例题精讲例1．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A 的高度AB是多少？训练1．墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1．6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD=．例2．（1）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于米．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1．6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么塔高AB为m．训练2．（1）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD=12m，DE=18m，小明和小华的身高都是1．5m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是米．模块二:相似的综合计算深圳中考真题训练1．如图，四边形ABCD 是正方体，CEA ∠和ABF ∠都是直角且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是 ．2．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分CAB ∠，AD BE 、相交于点F ，且4,2AF EF ==，则AC = ．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN ，△MPN=90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE=2PF 时，AP= ．4．如图，CB=CA ，△ACB=90°，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG△CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：△AC=FG ；△2:1==CEFG FAB S S 四边形△；△△ABC=△ABF ；△AC FQ AD •=2，其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例题精讲例3．（1）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH 沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分△CGE时，BM=2，AE=8，则ED=．（2）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是．训练3．（1）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为．（2）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为．（3）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作△AEG=△AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC=2时，作FH△AG于H，连接DH，则DH 的长为．第五讲：反比例函数模块一:反比例函数定义和性质1．反比例函数的定义形如y=（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．三种形式：y=（k 为常数，k≠0）、y=kx ﹣1（k 为常数，k≠0）、k y x =⋅（k 为常数，k≠0）2．反比例函数图象的对称性反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：△二、四象限的角平分线y=﹣x ； △一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．3．反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx （k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．例题精讲例1．（1）下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y=B ．y=C ．y=2xD ．y=（2）函数y=（m+1）x是y 关于x 的反比例函数，则m= ．（3）反比例函数y=（2m ﹣1）x ，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值是．训练1．（1）下列函数是反比例函数的是（）A．B．y=x2+x C．D．y=4x+8（2）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为．（3）若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为．例2．（1）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+2和y=（m≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是．训练2．（1）已知一次函数y=mx+n与反比例函数y=其中m、n为常数，且mn＜0，则它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤15B．3≤k≤15C．3≤k≤25D．15≤k≤25例3．（1）如果直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B的坐标为．（2）函数y=﹣的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0训练3．（1）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（1，3）和点B，则点B的坐标为．（2）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为．（3）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1例4．（1）已知函数y1=，y2=x+1，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1（2）如图，一次函数y1=x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．训练4．（1）已知直线y1=ax与双曲线y2=相交，如图所示，y1＞y2时x的范围是．（2）如图，直线y1=﹣x+b与双曲线y2=交于A、B两点，点A的横坐标为1，则不等式﹣x+b＜的解集是．模块二:反比例函数k 值意义初步1．k 的计算方法（1）一点坐标乘积xy=k （2）两点坐标乘积相等，列方程求k（3）三角形面积求k （4）矩形面积求k2．k 的几何意义（1）k =AOBP S 矩形 （2）ABO S △2k =（3）ABC S △=2|k| （4）ABM S △=|k|**3．面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形；△最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．例题精讲例5．（1）已知反比例函数图像上有两点A （a ，2）、B(m ，4)，已知a 和m 是方程0862=+-x x 的两个不等的解，则该反比例函数的解析式为 ．（2）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 ．训练5．（1）已知反比例函数图像经过二、四象限，并经过两点（a ，a+2）与（1，6a+5），则该反比例函数图像的解析式为 ．（2）如图，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，则经过点A 的反比例函数的解析式为 ．例6．（1）如图，已知函数y=kx 与函数y=的图象交于A 、B 两点，过点B 作BC△y 轴，垂足为C，连接AC．若△ABC 的面积为2，则k 的值为．（2）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于点C，若AB：AC=1：3，且S△AOB=，则k的值为．训练6．（1）如图，正比例函数y=﹣x与反比例函数y=﹣的图象相交于A、C两点，AB△x 轴于B，CD△x轴于D，则四边形ABCD的面积为．（2）如图，已知直线y=﹣2x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线AB 翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线y=（x＞0）经过点C，则k的值为．第六讲:反比例K 意义进阶模块一：反比例K 意义进阶面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形； △最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．中考真题训练1．如图，A B 、是函数12y x =上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是（ ）△AOP BOP ∆≅∆；△AOP BOP S S ∆∆=；△若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；△若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=．A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△2．如图，四边形ABCO 是平行四边形，,6,2==AB OA 点C 在x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上．若点D 在反比例函数)0(y <=x xk 的图像上，则k 的值为_________．3．如图，Rt△ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 的反向延长线交y 轴负半轴于点E ，双曲线xk y =(k ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于4．如图，双曲线y=经过Rt△BOC 斜边上的点A ，且满足=，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．例题精讲考点一：边长比例类例1．（1）已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y 轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为．（2）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x 轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为3，则k的值为．训练1．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为．（2）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，，△AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于，则k的值是．考点二：两个反比例函数例2．（1）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．（2）如图，点A与点B分别在函数y=与y=的图象上，线段AB 的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是．（3）如图，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是．训练2．（1）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB△x轴，BC△x轴于点C，则四边形ABCO的面积为．（2）如图，反比例函数y=﹣和y=上分别有两点B、C，且BC△x轴，点P是x轴上一动点，则△BCP的面积是．（3）如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC 的面积为．考点三：面积综合例3．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在双曲线y=（k是常数，且k≠0）上，过点A作AD△x轴于点D，过点B作BC△y轴于点C，已知点A的坐标为（4，），四边形ABCD的面积为4，则点B的坐标为．（2）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x 轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为．（3）如图，△AOB和△BCD均为等边三角形，且顶点A、C均在双曲线y=（x＞0），AD 与BC相交于点P，则图中△OAP的面积为．训练3．（1）如图，点E、F在函数y=的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是．（2）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，OA与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点C，点B在y轴的正半轴上，且AB=OA，若△ABC的面积为6，则k的值为．（3）如图，点A、B在双曲线y=的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S△ODE=，则k=．拓展题1．如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣4，0），过点C（4，0）作直线l交AO 于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数的解析式为y=．2．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使△POA=45°，则点P的坐标为．第七讲：反比例函数综合及应用模块一：函数应用例题精讲例1．（1）某市一蔬菜生产基础用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20△的新品种，图中是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（△）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC是双曲线y=的一部分．请根据图中的信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大鹏温度在15△及15△以上的时间有多少小时？（2）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？（2）某道难题需连续讲19min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？训练1．（1）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．①根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．②问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？（2）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800△，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600△．煅烧时温度y（△）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（△）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32△．①分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；②根据工艺要求，当材料温度低于480△时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？。

平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4. 75C ．5D ．4. 85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）B Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B CAB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）DBAB CAA第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅= 例2 如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BCAC⋅=cm ，BB ′＝85cm ，AE ＝()2222204585AB BE --=．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ． 例3 由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ =，即BQ ＝()b a x AD BP AP x-⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥2ab x ab x ⋅=仅当x ＝abx即x ab ，上式等号成立．故当AP ab ，AP ＋BQ 最小，其最小值为ab－b ．例4 ⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244hπ-时，2212l l <． 例5 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%． 例6 设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△P AB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-y ＝AB •S △P AB ，则y ＝12AB ×P A ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥- 321221x x -⋅-＋2＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4. A 级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2. 83.74 4. D 5. D 6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x. ∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF+×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52. 故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52. 9. （1）BC 长为23rπ. （2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM . 由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r－2x r . 同理，EF ＝2 r －2x r . l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－xr（x －r ）2＋6 r （0＜x 2 r ）. . 当x ＝r时，l 取得最大值6 r .10. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ . （2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34. 故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11. （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上. （2）由已知得△ABC 底边上的高h ＝225-3＝4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2. 当＝3时，y 的值最大，最大值是3. ②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D . 由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC . ，∴PEFABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （. ∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2. ∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4. 故当x ＝4时，y 的最大值为4. 综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4. B 级1. 8 2 32 提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2. 0＜r ≤1 提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝3（r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc ·32＝12［33r ＋1）］r ，. bc ＝4r （r ＋2）. b ，c 为方程x 2－3r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22. 因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1. 3.249π3提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小. 4.13 提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADGABCS S ∆∆＝x 2，BDE ABC S S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5. 312+a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大.6. C7. （1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x -，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）. 当x ＝2时, y 最大值＝1cm. （2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2＋3）cm 或（2－3）cm. 8. 当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求. 作O′D ⊥A B 于D . ，O′D 2＝ O′B 2－BD 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′D ＝ab 故点C 坐标为（ab ，0）.9. （1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°. ∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL＝902＝45°. （2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2. 整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0. ∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋22）（z ＋2－22）≥0. 又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立. 由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12 MN ×1＝2z ，因此，△AMN 的面积的最小值为2－1.10. （1）提示：证明△ADF ∽△BAC . （2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -＝2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋P A ，故只要求PB ＋P A 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋P A 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋P A ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠F AE ，∠DF A ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴ AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252． ∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292． 11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）． （2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k-==-<，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小． 12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy ＝22x xy y -，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去) ． （2）由（1）22122222y x x ==+++≤ ．当且仅当2x x =，即2x =，上式等号成立．故当2x =，y 去最大21．。

初三培优竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 一个数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。

B. 一个正数的平方根只有一个。

C. 0的平方根是0。

D. 负数没有平方根。

答案：C2. 以下哪个方程是一元二次方程？A. 2x + 3 = 0B. x^2 + 3x - 4 = 0C. 3x - 2y = 5D. x^3 - 2x^2 + 1 = 0答案：B3. 已知函数y = 2x + 3，当x = 2时，y的值是多少？A. 7B. 5C. 4D. 3答案：A4. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 梯形C. 等腰三角形D. 不规则多边形答案：C5. 一个圆的半径为5，那么它的直径是多少？A. 10B. 15C. 20D. 25答案：A6. 已知三角形ABC中，角A = 60°，角B = 45°，那么角C的度数是多少？A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°答案：D7. 一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么它的面积是多少？A. 15B. 12C. 10D. 8答案：B8. 一个数的立方根是2，那么这个数是多少？A. 8B. 4C. 2D. 1答案：A9. 以下哪个选项是正确的？A. 任何数的绝对值都是正数。

B. 0的绝对值是0。

C. 负数的绝对值是它的相反数。

D. 正数的绝对值是它本身。

答案：B, C, D10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是____。

答案：512. 一个数的绝对值是7，那么这个数可以是____或____。

答案：7或-713. 一个数的平方是36，那么这个数是____或____。

答案：6或-614. 一个数的立方是-27，那么这个数是____。

第一章 圆专题1巧构圆，妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ，连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.图1-1-1②①EDCBADBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ，证明“点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上”.跟踪训练如图1-1-2，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上.若∠EAF =60°，求证：△AEF 是等边三角形.角相等”获证.图1-1-2BFEDC A例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证：AE =EF ；(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE =EF 是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ，AF ，显然∠ACF =∠AEF =90°，所以A ，E ，C ，F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①，当点E 在BC 边上，则∠AFE =∠ACE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE =EF 获证；(2)如图1-1-4②，当点E 在BC 边的延长线上，则∠F AE =∠FCE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE=EF 获证.F图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”，360180AEF =-∠，仍然可延续这种思路，读者可自己完成.跟踪训练已知，将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放，点E ，A ，D ，B 在一条直线上，且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<，在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ，分别过点M ，N 作直线AB 的垂线，垂足为G ，H . (1)如图1-1-5②，当α=30°时，求证：AG =DH ； (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； (3)当090α<<时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①HGEAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外，还可考虑构造“辅助圆”.例3 已知，在△ABC 中，AB =AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ，点C 重合)，△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方)，且BM =BN ，连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①，当θ=45时，∠ANC 的度数为 ； ②如图1-1-6②，当45θ≠时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图1-1-6③，当∠BAC =∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明.③②C【提示】由于在旋转过程中不变的关系是：∠BAC =∠MBN ，AB =AC ，BM =BN ，易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ，B ，N ，C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7)，则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠，这样思考，所有问题都会迎刃而解.跟踪训练在△ABC 中，BA =BC ，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；(2)在图1-1-8②中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ =QD ，请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A例4如图1-1-9，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．图1-1-9【提示】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．跟踪训练已知，如图1-1-10①，，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝43，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图1-1-10②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．图1-1-10例5已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型，将问题转化为方程是否有解的判断外，还可以通过构造辅助圆，将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论．跟踪训练1.如图1-1-12，直线y＝﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC1m ．图1-1-12【提示】（1）①由直线y=-x+3写出OA=3，OB=3；由等腰直角三角形的边长关系，可得AB2；由PC⊥y轴，可得QC=1，BC=2；由对称知A'B=AB2，OA'=0A=3，然后用勾股定理求出A'C的长，也就可以求出△A'BC的周长；（2）②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值，会陷入计算的麻烦，这里采用转化的思想，找到外接圆的半径，另外还应分类讨论。

专题23 圆与圆的位置关系例1 21a6提示：连接14QP CP ==必过点O ，则34O O ⊥AB ，设⊙3O ，⊙4O 的半径为cm ，在Rt △31O O O 中，有222a a a x =x 424⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得= a 6.例2 D 提示：连接AB ，1AA ，1BB ，作2AB ⊥1BB ，则22222ABAB BB =+，即()()2222a b =b a AB ++-，得22211=A B 4ab AB =，同理，211A 4ac C =，2114bc C B =，由111111=A B AC C B +得，故.例3 提示：⑴过P 点作两圆的公切线. ⑵即证PA PB PC PD •=•.例4 12BO C BAC ∠=∠，1112BO D BAC BO C ∠=∠=∠，则1O D 为1BO C ∠的平分线，又11O B O C =，故1O D BC ⊥.例5 ⑴过D 作DQ ⊥BC 于Q ，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ= ()2222=222=2CD DQ --，故()1y=13x 2=4x 2+-⨯-（0<<3）.⑵分两种情况讨论：①当⊙P 与⊙D 外切时，如图1，QC=2，PC=，QP= 2x -，PD=+ 12，DQ=2，在Rt △DQP 中，由()22212x 2=x+2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得，31x=20，3149y=4=2020-.②当⊙P 与⊙D 内切时，如图2，PC=，QC=2，PQ=-2，PD=- 12，DQ=2，在Rt △DPQ 中，由()2221x 22=x-2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得，31x=12，3117y=4=1212-.例6 就图1给出解答：连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接BP ，得∠BPC90°，又22QAQP CQ QB =•=，得AQ=QB=12AB ，在Rt △CQP 中，2214BQ QP CQ QP BC CP CQ CP •===•.过Q 作QM ∥BC 交AN 于M ，则MQ= 12BN .由△MQP ∽△NCP ，得14MQ QP CN CP ==，故BNNC＝2142MQ MQ = .A 级1．12或32 2.2 3．y ＝214x -＋(0＜＜4) 4. 3条 5．D 6．D 7．B 8．D 9．提示：(1)连结AB ，A 1O ，并延长交⊙1O 于E ，连结CE ． (2)结论仍然成立． 10．(1)略 (2)提示：设AP ＝3t ，由BC ·BH ＝BP ·BA ，BH ＝2BC ，BC ＝5t .易证△HAP ∽△BAH ，得HA ＝15t ，故155HAt BCt=＝3. 11．连结BD ，CE ，作BM ⊥CE 于M ，作HN ⊥CE 于N ，则BM ∥HN ．∵H 是BC 的中点，故N 是CM 的中点，∴CN ＝12CM ＝12（CE －EM ）＝12(CE －BD )，而AH ＝BH －AB ＝12BC －AB ＝12(AB ＋AC ) –AB ＝12(AC －AB )，因此CN ＝AH ．由CE ⊥DE ，AF ⊥DE ，得CE //AF ，故∠NCH ＝∠HAF ，又∠CNH ＝∠AHF ＝90°，得△CNH ≌△AHF ，从而BC ＝2CH ＝2AF . 12. (l )52 提示：由题意，设正方形边长为l ，则22212Rl l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得Rl ＝52．由2ED ＝AD ×DB ，DE ＝10，得AD ×DB ＝l 00．设AC 与内切圆交点S ，CB 与内切圆交点H ，设AD ＝r ，DB ＝100x．AB ＝＋100x，AS ＝AD ＝ ，BH ＝BD ＝100x．又△ABC 为直角三角形。

初三数学26章试题及答案试题一：代数方程1. 解下列方程：\[x^2 - 5x + 6 = 0\]2. 判断方程\[3x^2 + 5x - 2 = 0\]的根的情况。

3. 计算方程\[2x^3 - 4x^2 + x - 6 = 0\]的根。

试题二：几何问题4. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，求BC的长度。

5. 在矩形PQRS中，若PS=10cm，PR=4cm，求矩形的面积。

6. 圆O的半径为r，点A在圆上，求圆心O到点A的距离。

试题三：函数与图像7. 已知函数\[y = 3x - 2\]，求当x=1时y的值。

8. 画出函数\[y = x^2 - 4x + 4\]的图像，并找出顶点坐标。

9. 判断函数\[y = 2x + 3\]的增减性。

试题四：概率与统计10. 抛一枚均匀硬币两次，求正面朝上一次的概率。

11. 随机抽取10个学生，求至少有3个学生生日在同一个月的概率。

12. 某班有50名学生，其中30名男生，20名女生。

随机抽取一名学生，求抽到女生的概率。

答案：1. 方程\[x^2 - 5x + 6 = 0\]的根为\[x_1 = 2, x_2 = 3\]。

2. 方程\[3x^2 + 5x - 2 = 0\]的判别式\[Δ = 25 + 24 > 0\]，因此有两个不相等的实根。

3. 方程\[2x^3 - 4x^2 + x - 6 = 0\]的根需要使用高次方程的求解方法，这里不提供具体解法，但可以说明存在三个根。

4. 根据勾股定理，BC的长度为\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} =\sqrt{6^2 + 8^2} = 10cm\]。

5. 矩形的面积为\[面积 = PS \times PR = 10cm \times 4cm =40cm^2\]。

6. 圆心O到点A的距离为半径r。

7. 当x=1时，y的值为\[y = 3 \times 1 - 2 = 1\]。