高中数学必修二第一章 空间几何体1.2.3 空间几何体的直观图

高中数学必修二第一章空间几何体1.2.3空间几何体的直观图[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.知识点一用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.思考相等的角在直观图中还相等吗？答不一定，例如正方形的直观图为平行四边形.知识点二空间几何体直观图的画法1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.思考空间几何体的直观图惟一吗？答不惟一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.题型一画水平放置的平面图形的直观图例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图. 反思与感悟 1.本例巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成. 跟踪训练1 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠A ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图.解 (1)如图①所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图②所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图①中，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝332≈2.598cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图.题型二 由直观图还原平面图形例2 如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解 ①画直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′； ②过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过D作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′； ③连接AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示.反思与感悟由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.跟踪训练2如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长.解如图为原平面图形.由斜二测画法可知，OB＝2O′B′＝2 2 cm，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1 cm，且AB∥OC，∠BOC＝90°.所以四边形OABC为平行四边形，且BC＝OC2＋OB2＝1＋8＝3(cm)，故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8(cm).题型三空间几何体的直观图例3如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.解(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.图3反思与感悟 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.跟踪训练3由如图所示几何体的三视图画出直观图.解(1)画轴.如图(图1)，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图(图2).图1图2求直观图的面积例4已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的等边三角形，那么△ABC的面积为()A.32a2 B.34a2 C.62a2 D.6a2分析求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高.解析如图①为直观图，②为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过点A′作A′N′∥O′x′.交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于点M′，则在Rt△A′O′M′中，因为O′A′＝32a，∠A′M′O′＝45°，所以M′O′＝A′O′＝A′N′＝32a，故A′M′＝62a.在平面直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为6a，到y轴距离为32a的点A，则△ABC为所求.显然S△ABC＝12a·6a＝62a2.答案 C解后反思(1)在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角，且长度为原来的一半的线段，以此为据来求出直观图中的高线即可.(2)关于直观图面积的一个结论：若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝2 4S.用斜二测画法画出所给图形的直观图例5画出如图所示的四边形OABC的直观图，其中OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4.分析根据已知条件可得OC⊥OB，AD⊥OB，因此可以以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，结合斜二测画法的规则，可以作出所给图形的直观图.解以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①所示.作∠C′O′B′＝45°，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图(如图②所示).解后反思本题在确定点A′和点C′时容易出错.牢固掌握斜二测画法的规则是处理此类问题的关键.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点答案 B解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()答案 C解析根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.3.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2C.68a2 D.616a2答案 D解析方法一建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.如图②所示，建立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法，知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.方法二 S △ABC ＝34a 2，而S △A ′B ′C ′S △ABC＝24，所以S △A ′B ′C ′＝24S △ABC ＝24×34a 2＝616a 2. 4.如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为_______. 答案 10解析 由四边形OPQR 的直观图可知原四边形是矩形，且OP ＝3，OR ＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.5.已知如图所示的直观图△A ′O ′B ′，则其平面图形的面积为_______. 答案 6解析 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4， ∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝6.1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间关系为：S 直S 原＝24.2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.一、选择题1.用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A ′等于( )A.45°B.135°C.45°或135°D.90° 答案 C解析 在画直观图时，∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴，而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A ′B ′∥y ′轴，则原图中△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形答案 B解析 因为A ′B ′∥y ′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA ⊥AC ，故△ABC 是直角三角形.3.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm答案 D解析因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC答案 D解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.5.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形答案 B解析由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形.6.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴.已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A.4 cm2B.4 2 cm2C.8 cm2D.8 2 cm2答案 C解析依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.7.梯形A1B1C1D1(如图所示)是一水平放置的平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝1，则平面图形ABCD的面积是()A.5B.10C.5 2D.10 2答案 A解析A1B1∥x′轴，A1D1∥y′轴，根据斜二测画法规则可知，该图形还原成平面图形时，A 1B 1，C 1D 1长度不变，A 1D 1长度变为原来的2倍，且∠A 1D 1C 1变为∠ADC ＝90°.该直观图还原成平面图形后如图所示，该平面图形为直角梯形，其中AB ＝2，CD ＝32AB ＝3，AD ＝2，∴S 梯形ABCD ＝(2＋3)×22＝5.二、填空题8.如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形.用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________.答案22解析 因为OA ＝6，CB ＝2，所以OD ＝2.又因为∠COD ＝45°，所以CD ＝2.梯形的直观图如图，则C ′D ′＝1.所以梯形的高为C ′E ′＝22.9.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________.答案 52解析 将直观图△A ′B ′C ′复原，其平面图形为Rt △ABC ，且AC ＝3，BC ＝4，故斜边AB ＝5，所以AB 边上的中线长为52.10.在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________. 答案22解析 如图所示(图①)，因为OE ＝(2)2－1＝1， 所以O ′E ′＝12，所以E ′F ＝24.所以直观图A ′B ′C ′D ′(图②)的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.11.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原平面图形的面积为________.答案 2＋22解析 过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.三、解答题12.如图是某几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.解 由几何体的三视图可知这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个倒立的圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的下底面重合.我们可以先画出下部的圆台，再画出上部的圆锥. (1)画轴，如图①所示，画x 轴、z 轴，使∠xOz ＝90°；(2)画倒立圆台的上底面，在x 轴上取A ，B 两点，使AB 的长度等于俯视图中小圆的直径，且OA ＝OB ，选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆台的上底面；(3)在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于正视图中相应高度，过点O ′作平行于Ox 轴的O ′x ′轴，类似圆台上底面的方法画出圆台的下底面；(4)画圆锥的顶点，在Oz 上截取线段O ′P ，使O ′P 等于正视图中相应的高度；(5)成图，连接P A ′，PB ′，A ′A ，B ′B ，整理得到三视图表示的几何体的直视图，如图②所示.第11页 共11页13.用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC 如图所示，其中AC ＝1，∠ABC ＝30°，试求原三角形的面积.解 如图所示，作AD ⊥BC 于点D ，在BD 上取一点E ，使DE ＝AD .由AC ＝1可知，BC ＝2，AB ＝3，AD ＝32，AE ＝62.由斜二测画法，知B ′C ′＝BC ＝2，A ′E ′＝2AE ＝6，所以S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′E ′＝12×2×6＝6.。