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例谈质心和质心系在解题中的应用陈新学(杭州学军中学教育集团文渊中学ꎬ浙江杭州３１１２００)摘㊀要:文章从质心的概念出发ꎬ推导质心运动定理ꎬ阐述质心参考系ꎬ探讨应用质心相关知识解题注意的问题.关键词:质心ꎻ质心运动定理ꎻ质心系ꎻ物理竞赛中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－０１２３－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:陈新学(１９７８.１１－)ꎬ男ꎬ安徽省休宁人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀质心是力学的一个重要概念ꎬ一些看似复杂的力学问题ꎬ如果应用质心的相关知识分析ꎬ解题思路会变得清晰ꎬ解题过程会变得简单.本文借助于几个典型问题探讨质心的概念㊁质心运动定理以及质心参考系在解题中的应用.１质心的相关概念１.１质心和质心运动定理设Ｎ个质点组成的系统(简称质点系或系统)中ꎬ各质点的位置矢量(简称位矢)分别为ｒ１ꎬｒ２ꎬ ꎬｒＮꎬ定义此质点系的质心的位矢ｒ⇀Ｃ＝ｍ１ｒ⇀１＋ｍ２ｒ⇀２＋ ＋ｍＮｒ⇀Ｎｍ１＋ｍ２＋ ＋ｍＮ＝ðＮｉ＝１ｍｉｒ⇀ｉðＮｉ＝１ｍｉ＝ðＮｉ＝１ｍｉｒ⇀ｉｍꎬ(１)其中ｍ＝ðＮｉ＝１ｍｉꎬ为质点系的总质量.可知ꎬ质心的位矢是以质量为权重的质点系的加权位矢平均值.式(１)两边对时间求导得质心的速度ｖＣ＝ðＮｉ＝１ｍｉｖ⇀ｉｍꎬ(２)或ｍｖ⇀Ｃ＝ðＮｉ＝１ｍｉｖ⇀ｉ可知质点系的总动量等于质心的动量.式(２)两边对时间求导得质心的加速度ａＣ＝ðＮｉ＝１ｍｉａ⇀ｉｍꎬ(３)在惯性系中ꎬ对于质点系ꎬ由牛顿第二定律可得Ｆ外＝ðＮｉ＝１ｍｉａ⇀ｉꎬ(４)其中Ｆ外为质点系所受到的外力的矢量和ꎬ由式(３)和式(４)得Ｆ外＝ｍａ⇀Ｃꎬ(５)由式(５)知ꎬ质心的加速度由质点系受到的外力的矢量和确定ꎬ与质点系的内力无关ꎬ这个结论称为质心运动定理.１.２质心参考系质心参考系是指相对质心不动的参考系ꎬ简称质心系.如果质心相对惯性系做匀速直线运动ꎬ则质心系也是惯性系ꎻ如果质心相对惯性系做加速运动ꎬ３２１则质心系是非惯性系.２例题例１㊀在光滑的水平面上放一半径为ａ㊁质量为Ｍ的圆环ꎬ在某一瞬间有一质量为ｍ的甲虫由静止开始沿此圆环爬行.求甲虫及圆环中心的运动轨迹.解析㊀甲虫和圆环组成的系统受到的外力的矢量和为０ꎬ且甲虫和圆环的初状态都是静止的ꎬ根据质心运动定理知ꎬ甲虫和圆环组成的系统的质心静止不动.甲虫沿圆环爬行ꎬ甲虫到圆环中心的距离不变ꎬ始终为圆环的半径ꎬ故甲虫㊁圆环中心到质心的距离都不变ꎬ分别为ｒ１＝ＭａＭ＋ｍꎬｒ２＝ｍａＭ＋ｍꎬ即甲虫㊁圆环的中心的轨迹都是圆.以系统质心为坐标原点ꎬ甲虫的轨迹方程为ｘ２＋ｙ２＝(ＭａＭ＋ｍ)２ꎬ圆环中心的轨迹方程为ｘ２＋ｙ２＝(ｍａＭ＋ｍ)２.例２㊀一块长为Ｌ的大平板静放在光滑水平面上ꎬ一小孩骑着儿童自行车(小孩和车的大小可忽略不计)以ｖ０的速度从板的一端驶上平板ꎬ在板上他的速度忽快忽慢ꎬ在将近板的另一端时ꎬ他突然刹车ꎬ停在板端.已知人在板上骑车的时间为ｔꎬ板的质量为Ｍꎬ小孩与车的总质量为ｍ.求从车驶上平板到车相对板刚静止时板的位移[１].图１㊀例２示意图例３㊀如图２所示ꎬ用劲度系数为ｋ的轻弹簧连接放在光滑水平面上质量分别为ｍ１㊁ｍ２的木块.让第一个木块紧靠竖直墙ꎬ在第二个木块的侧面上施加水平压力ꎬ将弹簧压缩Ｌ长度ꎬ撤去这一压力后ꎬ求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值.图２㊀例３示意图解析㊀由质心运动定理知ꎬ外力的矢量和最大时ꎬ质心的加速度最大.分析可知刚撤去压力时ꎬ弹簧弹力最大ꎬ竖直墙施加的外力最大ꎬ大小为ｋＬꎬ所以系统质心可获得的最大加速度为ａＣｍ＝ｋＬｍ１＋ｍ２ꎬ此后弹簧弹力减小ꎬ系统质心做加速度减小的加速运动ꎬ直至木块ｍ１离开墙ꎬ系统质心开始做匀速直线运动ꎬ所以木块ｍ１刚离开墙时系统质心的速度最大ꎬ设此速度为ｖＣｍꎬ从撤去压力到木块ｍ１刚离开墙ꎬ系统的机械能守恒:１２ｋＬ２＝１２ｍ２ｖ２２ꎬ其中ｖ２为木块ｍ１刚离开墙时木块ｍ２的速度ꎬ得ｖ２＝Ｌｋｍ２ꎬ由式(２)得系统质心的最大速度ｖＣｍ＝ｍ１ ０＋ｍ２ｖ２ｍ１＋ｍ２＝Ｌｋｍ２ｍ１＋ｍ２.例４㊀三个等质量物块静止地放在光滑平面上ꎬ排成一直线ꎬｍ１＝ｍ２＝ｍ３＝ｍꎬ其中ｍ２和ｍ３用弹性系数为ｋ的弹簧相连ꎬ并保持自然长度ꎬ如图３所示.现在ｍ１以速度ｖ冲向ｍ２ꎬ二者发生完全非弹性碰撞ꎬ求此后的运动中:(１)物块ｍ３的最大动能ꎻ(２)物块ｍ２的最小动能[１].图３㊀例４示意图答案:(１)２９ｍｖ２㊀(２)１７２ｍｖ２４２１例５㊀如图４所示ꎬ长为Ｌ㊁质量线密度为λ的匀质软绳ꎬ开始时绳两端Ａ和Ｂ一起悬挂在天花板上相距较近的两点.Ａ端的天花板能够提供的最大拉力为１.５λＬｇꎬ其中ｇ为当地重力加速度.求:(１)Ｂ端下落多长时间后ꎬＡ端与天花板脱离?(２)Ａ端与天花板脱离后ꎬ经过多长时间绳子完全伸直?图４㊀例５示意图解析㊀(１)以天花板上的Ａ点为原点ꎬ竖直向下为正方向建立ｘ轴ꎬＢ端自由下落ｘ时ꎬ右侧绳子质心的速度为ｕ＝２ｇｘꎬ右侧绳长为Ｌ－ｘ２ꎬ左侧绳子质心的速度始终为０ꎬ整条绳子质心的速度为ｖＣ＝０＋λ(Ｌ－ｘ)２ｕλＬ＝(Ｌ－ｘ)２ｇｘ２Ｌꎬ整条绳子质心的加速度ａＣ＝ｄｖＣｄｔ＝ｇ(Ｌ－３ｘ)２Ｌꎬ计算时应用了ｕ＝ｄｘｄｔꎬ对整条绳子应用质心运动定理得λＬｇ－Ｆ＝λＬａＣꎬ其中Ｆ为天花板对绳子Ａ端的拉力ꎬ即Ｆ＝(Ｌ＋３ｘ)λｇ２ꎬ当Ｆ＝１.５λＬｇ时ꎬｘ＝２３ＬꎬＡ端与天花板脱离ꎬ又ｘ＝１２ｇｔ２１ꎬ得ｔ１＝２３３Ｌｇꎬ为所求的时间.(２)由第(１)问知ꎬＡ端与天花板脱离时ꎬｘ＝２３Ｌꎬ此时Ｂ端的速度ｕＢ＝２ｇｘ＝２３ｇＬ３ꎬ左侧绳子速度为０ꎬ应用式(２)得整条绳子质心的速度ｖＣ＝０＋Ｌλ６ｕＢＬλ＝３ｇＬ９ꎬ此后整条绳子质心和绳子Ｂ端都以加度度ｇ向下做直线运动ꎬ在质心参考系中ꎬ绳子Ｂ端做匀速直线运动ꎬＢ端相对质心的速度ｖｒ＝ｕＢ－ｕＣ＝５３ｇＬ９ꎬ刚脱离时整条绳子质心的坐标为ｘＣ＝１７３６Ｌꎬ绳子Ｂ端坐标为ｘＢ＝２３ＬꎬＢ端到质心的距离为ｘＢ－ｘＣ＝７３６Ｌꎬ绳子完全伸直时Ｂ端到整条绳子质心的距离为Ｌ２ꎬ从Ａ端脱离到绳子完全伸直ꎬＢ端在质心系中的位移Δｘ＝１２Ｌ－７３６Ｌ＝１１３６Ｌꎬ所求时间ｔ２＝Δｘｖｒ＝１１６０３Ｌｇ.综上所述ꎬ应用质心的相关知识解题时ꎬ一般先分析系统所受的外力ꎬ根据质心运动定理ꎬ结合质心的初速度ꎬ判断质心的运动情况ꎬ再分析各质点或系统的各部分相对质心的运动.在质心系中分析问题时ꎬ应注意质心系是惯性系还是非惯性系ꎬ如果质心系是非惯性系ꎬ受力分析时还要考虑到惯性力.解题时还应注意各物理量的值在质心系和其他惯性系(例如地面参考系)中的区别和联系ꎬ计算时不能混淆.参考文献:[１]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程力学篇:第２版[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０１３(０６):４３６－４３７.[责任编辑:李㊀璟]５２１。
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第6章质心力学定理
§6-2.质心动能定理
如图：一.质心动能定理定义：2
C C M 21E v =——质心动能
∑=i 2
i i k m 2
1E v ——质点组总动能
iC C i r r r r r r +=是否相等？iC C i v v v r r r +=⇒i i 2
i v v r r ⋅=v ()()iC C iC C v v v v r r r r +⋅+=iC
C 2
iC 2C v v 2r r ⋅++=v v ∑
=i
2i i k m 2
1E v (
)
∑
⋅++=i
iC
C 2
iC 2C i v v 2m 2
1r r v v (科尼希定理)
x
y
z
m i
r c r i
C
r ic O
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第6章质心力学定理
∑∑∑⎟
⎠⎞⎜⎝⎛⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=i iC C i i 2iC i i 2C i k v v 2m 21m 21m 21E r r v v ∑∑⋅⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅i
iC i C i iC C i v m v v v 2m 21
r r r r 质心系中质点组总动量
0v C ⋅=r 0=∑∑⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=i 2iC i i 2C i k m 21m 2
1E v v ∑⎟
⎠⎞⎜⎝⎛+=i 2iC i 2C m 21M 21v v rC
E C E rC
C k E E E +=——质心动能定理(科尼希定理)
质点组总动能等于质心动能与相对质心动能之和.
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第6章质心力学定理
二.重力势能与质心势能
定义：C
C Mgh E =——质心重力势能
∑=
i
i
i
gh m E ——质点组重力势能是否相等？
∑=i i i gh m E ∑=i
i
i h m g ∑
∑∑=i
i
i
i
i
i
i m m
h
m g ∑=i
i
m
M C Mgh =C
E =C
E E =即
质心重力势能等于质点组总重力势能.
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第6章质心力学定理
§6-3. 质心角动量定理定义：C C C v M r L r
r r ×=——质心角动量
——质点组总角动量∑=
i
i
m M 一.质心角动量
()∑×=i
i i i v m r L r
r r iC C i r r r r r r +=iC
C i v v v r
r r +=因为：是否相等？()∑×=
i i i i v m r L r r r ()()∑+×+=i iC C i iC C v v m r r r r r r ()∑×=i C i C v m r r r ()∑×+i iC i iC v m r r r ()∑×+i
iC i C v m r r r ()
∑×+i
C i iC v m r r
r m i
r c
r i
C
r ic C
v M r
i
i v m r i
F r O
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第6章质心力学定理
L r C i i C v m r r
r ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=∑()∑×+i iC i iC v m r r r ()∑×+i iC i C v m r r r ()C
i
iC i v r m r
r ×+∑C C v M r r r ×=()∑×+i
iC i iC v m r r r 0r C ×+r C
v 0r
×+rC
L r rC
C L L r r +=rC
C L L L r r
r +=质点组总角动量等于质心角动量与相对质心角动量之和.
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第6章质心力学定理
二.质心角动量变化定理
C
C
M dt
L d r r
=C C L M r r 和( 都对同一点O )
与单质点完全相同
∑
×
=i
i C C
F r M
r r r 三.相对质心角动量变化定理
质点组的角动量变化定理(
)
∑
×=i
i
i F r M dt L
d r r
r ＝外
iC
C i r r r r r
r +=rC
C L L L r r r +=dt
L d dt L d dt L d rC
C r r r
+=因为：左边：
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第6章质心力学定理
C
C
M dt
L d r r
Q
=rC
rC
M dt
L d r r
=∴
(
)∑×i
i
i F r r r
(
)∑×=i
i C F r r r
(
)
∑×+
i
i
iC F r r r
C M r =rC
M r rC
M r +右边：
——相对质心角动量变化定理
相对质心角动量的时间变化率等于外力相对于质心的总力矩.
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第6章质心力学定理
这再次显示了质心的特殊之处尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说，
角动量定理仍然成立。
和选择质心系来讨论问题的优点。
若质心系是非惯性系，则外力矩中应包括t
L M M C d d ′=
+′r r r 惯惯性力对质心的力矩：
∑−×′=i
i i C C a m r M ）
（惯r
r r 设质心加速度为， C a r 则有
这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。
∑=×′−=i i C i a r m 0r r ）（ 惯性力对质心的力矩之和为零。
第6章质心力学定理
§6-4. 有心运动方程与约化质量
行星
运动
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31
第6章质心力学定理
一.有心运动方程
C
R r r
r r ′
r f ′
r f
r
M
m
R r r r r r −=′f
f r r −=′不考虑第三者的影响质心系可以是惯性系
f dt r d m 22r r =f dt R
d M 22′=r r f m 1dt r d 2
2r r =f M
1
dt R d 22′
=r r 相减
f M 1f m 1dt R r d 2
2
′−=−r r r
r )(
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第6章质心力学定理
f M 1m 1dt R r d 22r r r )()(+=−f M 1m 1dt r d 22r r )(+=′
M 1
m 11
+=μμ——约化质量(折合质量)
f 1dt r d 22r r μ=′f dt r d 22
r r =′μ——行星运动方程
(有心运动方程)
虽然日心系是个非惯性系，但把行星的真实质量用约化质量替代，行星运动方程具有牛顿运动方程的表达形式。
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第6章质心力学定理
二.日心系可作为准惯性系
f dt r d 22r r =′μ行星运动方程C R r
r r
r ′r f ′r f r M m
M>>m μ≈m f dt r d m 22r
r =′日心系可作为准惯性系
准惯性系的精度(相对偏差)
M
m
M m 111m m ≈+−=−=μ
Δ
第6章质心力学定理
•本章作业
•6.1, 6.3, 6.4,6.6,6.7
34。
