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构造相似三角形基本图形剖析

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相似三角形模型分析大全(非常全面,经典)

相似三角形模型分析大全(非常全面,经典)

相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．ACDEB相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DCB上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。

相似三角形课件ppt

相似三角形课件ppt
一、 随堂练习，巩固新知
1、在下面的两组图形中，各有两个相似 三角形，试确定x , y , m , n 的值。
x 20 33
22
30
48
n°
3a
10 2a 50° y
45°
85°
45° m°
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
概念类比
1、各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形 叫相似多边形
2、 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个 三角形叫相似三角形
相似三角形对应边的比，叫做相似比
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
复习回顾
1、什么叫相似多边形呢？ 2、你能类似的给相似三角形下一个定义
吗？ 3、什么叫相似比？
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
二、请同学们细心判一判
1、如果两个三角形全等，则它们必相似。 √
2们、必若全两等个。三角形相似，且相似比为1，则它√
3、如果两个三角形与第三个等腰直 角三角形相似，则这两个三角形必相
√
似。
4、相似的两个三角形一定大小不等。
×
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目

相似三角形ppt课件免费

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构造相似三角形解决函数图像问题
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来解决与函数图像相关的问题，如求函数的值域、判断函数的单调性等 。
2024/1/27
18
05
相似三角形在生活中的实际应用
2024/1/27
19
建筑设计中视觉效果优化
利用相似三角形原理，建筑师 可以在设计过程中调整建筑物 的比例和角度，使其在视觉上 更加和谐、美观。
的对应边之间的比值相等。
这一性质可以用来解决一些与比 例有关的问题，例如通过已知的 两边长度来求解第三边的长度。
在实际应用中，相似三角形的对 应边成比例这一性质也经常被用
来进行长度或距离的测量。
2024/1/27
9
面积比与相似比关系
相似三角形的面积比等于相似比的平 方，即如果两个三角形相似且相似比 为k，那么它们的面积之比为k^2。
。
14
04
相似三角形在代数中的应用
2024/1/27
15
方程求解问题
2024/1/27
利用相似三角形性质建立方程
通过相似三角形的边长比例关系，可以建立与未知数相关的 方程，进而求解未知数。
构造相似三角形解方程
在某些情况下，可以通过构造相似三角形来简化方程求解过 程，使问题更加直观易懂。
16
不等式证明问题
相似三角形还可以用于解决测量中的视线问题。当测量点与目标点之间 存在障碍物时，可以通过相似三角形原理确定视线与障碍物的交点，进 而计算出目标点的位置。
2024/1/27
在地形测量中，相似三角形可以帮助测量人员根据地形起伏调整测量方 案，提高测量精度。
21
艺术创作中透视原理应用
艺术家在创作过程中经常运用相似三角 形原理来实现透视效果。通过绘制不同 比例的相似三角形，可以在平面上呈现

相似三角形模型(全)课件

相似三角形模型(全)课件

在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。

《相似三角形》相似图形PPT课件

《相似三角形》相似图形PPT课件

定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例

相似三角形ppt课件

相似三角形ppt课件

∴DE=FC,∴

=


=

.

又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
=

.

探
究
与
应
用
2.如图23-3-4,D为BA延长线上一点,作DE∥BC交直线AC于
点E,则△ADE与△ABC是否相似?为什么?
解:相似.理由:在边AB上截取AM=AD,
在边AC上截取AN=AE,
与△ABC的相似比为 1∶2
,△BAC∽ △EAF .
图23-3-2
探
究
与
应
用
探究二 相似三角形的预备定理
[猜想证明]
1.如图23-3-3所示,在△ABC中,D为边AB上的任意一点(不同
于点A,B),作DE∥BC,交边AC于点E,用刻度尺和量角器量一
量,判断△ADE与△ABC是否相似?如
果相似,请加以证明.
AC=15, DE=7,求AE和BC的长.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴

=


=

.

又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,
7
∴

=
8
8+12
=

35
,∴AE=6,BC= .
15
2
图23-3-5
探
究
与
应
用
建 模型
相似三角形判定的预备定理的基本图形
如图23-3-6,如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC.
图23-3-3
探
究
与
应
用
解:△ADE与△ABC相似.

《相似三角形》课件


设计者使用相似三角形来创建比例恰到
好处的建筑物。
3
地理
使用相似三角形的原理来测量无法直接 测量的高度和距离。
工程
工程师可以借助相似三角形来进行缩放 和尺寸调整。
通过相似三角形求高度和距离
通过测量底边和顶角，可以利用相似三角形的原理来计算无法直接测量的高 度和距离。
相似三角形的重心、垂心和外心
相似三角形的重心、垂心和外心是三角形内特殊的点，它们的位置和性质可以用相似三角形的原理推导出来。
相似三角形PPT课件
相似三角形课件将深入探讨相似三角形的定义、性质、判断、比例、面积、 应用、解法以及与等腰三角形和全等三角形的关系。
什么是相似三角形?
相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形。它们的对应角度相等，而 各对应边的比例始终保持一致。
相似三角形的定义和性质
定义
三角形之间对应的角相等， 对应的边成比例。
性质
相似三角形的对应边长之比 始终相等，全等三角形也是 一种相似三角形。
例子
两个等腰三角形的顶角相等， 底边的比例相等。
如何判断两个三角形是否相似？
1 AA判定法
两个三角形的两个对应角 度相等，则它们相似。
2 SAS判定法
两个三角形的两个对应边 成比例，并且夹角相等， 则它们相似。
3 SAA判定法
两个三角形的一个角相等， 并且两个对应边成比例， 则它们相似。
相似三角形的比例和比较
பைடு நூலகம்
比例
相似三角形的对应边长之比是固定的，可以用比例 表示。
测量
可以使用测量工具来确定三角形各边的长度，从而 比较它们的大小。
相似三角形的面积比例
相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。

相似三角形性质ppt课件

应用举例
在几何题目中，经常需要证明两条线段的比例关系，如中线定理、角平分线性质等，都可以 通过构造相似三角形并利用其性质进行证明。
利用相似三角形证明角度关系
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，即若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
证明角度关系
通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质来证明角度之间的相等或互补关系。例如，若要证明两个角相等，可以构造 包含这两个角的两个相似三角形，然后根据相似三角形的性质推导出这两个角相等。
感和立体感的景观效果。
案例分析：实际问题解决策略
01
案例一
利用相似三角形测量远处山的高度。通过测量山脚下的影子 长度和已知高度的物体，可以计算出山的高度。这种方法被 广泛应用于地理测量和户外探险等领域。
02 03
案例二
在建筑设计中，利用相似三角形原理实现建筑立面的视觉效 果优化。通过调整建筑立面的形状和比例，可以使其在视觉 上更加和谐和美观。这种方法被广泛应用于建筑设计、城市 规划和景观设计等领域。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定方法
01
02
03
04
预备定理
平行于三角形一边的直线截其 他两边所在的直线，截得的三
角形与原三角形相似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角 形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等， 则两个三角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形 相似。
在实际应用中，我们可以通过测量两个三角形的对应角来判断它们是否相似。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例， 即如果两个三角形相似，那么 它们的对应边之间的比值相等。

相似三角形完整版PPT课件

通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。

相似三角形ppt课件

注意事项
角边判定定理要求一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边成比例，并且这两个三角形有一 个对应的角相等，如果这些条件不满足，则不能 判定两个三角形相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
解决几何证明问题
相似三角形常被用于证明各种几何关 系和定理，如勾股定理、毕达哥拉斯 定理等。
理解几何图形的性质
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB:DE)^2=(BC:EF)^2=(CA:FD)^2。
相似三角形的分类
根据用途分类
根据相似三角形在几何学中的应 用，可以将相似三角形分为标准 型、等腰型、直角型等类型。
根据形状分类
根据两个相似三角形的形状，可 以将它们分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。
△ABC∽△A'B'C'。
边边判定定理的证明
总结词
通过比较两个三角形的对应边，如果两个三角形有三组对应边成比例，则这两个三角形相 似。
详细描述
在两个三角形ABC和A'B'C'中，如果AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则根据边边判定定理， △ABC∽△A'B'C'。
证明过程
首先，由于AB/A'B'=AC/A'C'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠BAC=∠B'A'C'。再由 于BC/B'C'=BA/B'A'，根据交叉相乘性质，我们可以得到∠ACB=∠A'C'B'。因此，根据 AA相似判定定理，△ABC∽△A'B'C'。
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构造相似三角形基本图形剖析
作者：
来源：《学生之友·中考月刊》2013年第03期
相似三角形在中考中应用特别广，无论是填空、选择，还是综合应用题，大多要用到相似三角形，但在复杂的几何图形中很难分辨出相似三角形.其实不管多复杂的几何图形都是由基本图形复合而成，因此熟悉相似三角形的基本图形，有助于快速准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题的思路和方法.相似三角形基本图形主要有以下几种：
如图1，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上.当DE∥BC时，
△ADE∽△ABC，我们称之为“A”字型，由“A”字型可得，AD·AC=AE·AB；如图2，当
∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB，我们称之为反“A”字型，由反“A”字型可得，
AD·AB=AE·AC.如图4，在△ABC中，点D在CA边的
延长线上，点E在BA边的延长线上，当
∠AED=∠B时，△AED∽△ABC，我们称之
为“8”字型，由“8”字型可得，AD·AB=AE·
AC；如图5，当∠ADE=∠B时，△ADE∽
△ABC，我们称之为反“8”字型，由反“8”字
型可得，AD·AC=AE·AB，若连接线段BD和
CE，可得△ABD∽△ACE.
如图7和8，在△ABC中，点D在AB边上，当∠ADC=∠ACB时，△ADC∽△ACB，我们称之为“子母”型，由“子母”型可得，
AC2=AD·AB；如图8，当∠ADC=∠ACB=90°时，△ADC∽△ACB∽△CDB，还可得
BC2= BD·AB，CD2=AD·DB.
例：如图9，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，F为EC上的点，且∠EAF=∠C.
求证：AF2=EF·FB.
解析：由AB∥CD
得∠B=∠C，
又∵∠EAF=∠C，∴∠EAF=∠B.
∴△AEF∽△BAF（“子母”型）.
∴AF
FB
如图10，在△ABC中，点E在AB边上，点D在AC边上，∠AED=∠B.将△AED绕点A旋转一定的角度，如图11，则△AED∽△ABC，我们称之为“旋转”型.
如图13，点A在线段CD上，当∠ACB=∠BAE=∠ADE时，△EAD∽△ABC，我们称之为“M”型.
例：如图14，在等腰△ABC中，∠ACB 120°，点D在AB边上，∠EDF=30°，点E在AC边上，点F在BC边上，求证：△ADE∽△BFD.
解析：由等腰△ABC，∠ACB=120°得∠BAC=∠CBA=30°，
∴∠AED+∠ADE=150°.∵∠EDF=30°，∴∠BDF+∠ADE=150°.
∴∠AED=∠BDF.∴△ADE∽△BFD
很多几何题并不直接给出这样的基本图形，需要我们添加辅助线构造这些基本图形，从而得到解题思路.
例：把边长为15的等边△ABC折叠使点A落在线段BC上一点D处，且
BD∶DC=1∶4，设折痕为MN，点M在线段AB上点N在线段AC上，求AN的长.。