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药物在体内的分布与排除的一室建模与分析摘要本文为了解决给药方案设计问题，通过分析药物在体内的动态流程与药理反应的定量关系，运用微分方程的思想，建立了一室模型；运用了归纳法、分类讨论等数学方法，以及MATLAB、几何画板等数学软件，求解了模型。
本文建立的模型可以应用于新药研发和剂量确定，可以推广到二室模型甚至多室模型，藉此设计出更加完善的给药方案。
针对问题1，建立了一室模型（只有中心室），分别分析了在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为?）和口服或肌肉注射3种给药方式下，模型满足的初始条件。
将该条件代入用符号表示的血药浓度方程中，求解出了三种给药方式下中心室的血药浓度方程，并利用MATLAB画出了血药浓度曲线的图形。
针对问题2，基于问题1中求解出的快速静脉注射血药浓度方程，求出了从0时刻开始每相隔时间T中心室的血药浓度，在初始条件不断变化的情况下，递推求解出了不同时间段的血药浓度方程并用MATLAB进行编程画出了曲线图；在稳态条件下，结合整个给药过程和血药浓度的控制范围，确定了多次重复给药的时间间隔和固定剂量。
另外，采取加大首次剂量给药的方式,设计出了给药方案。
针对问题3，采用问题2的求解思路，分别递推求解出了恒速静脉滴注和口服(或肌肉注射)的多次重复给药方式下中心室的血药浓度方程，并运用MATLAB进行编程画出了曲线图。
解决了稳态条件下给药时间间隔和每次给予固定剂量的问题。
关键词一室模型；血药浓度；给药方式；稳态一、问题重述药物动力学(pharmacokinetics)是一门研究药物在体内的药量随时间变化规律的科学。
作为近20年来才获得迅速发展的药物新领域，它采用数学分析的手段来呈现药物在体内的动态过程。
因此，这门学科有利于研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程与药理反应的定量关系，对于新药研发、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的研究和发展都具有重要的指导意义和实用价值。
现在考虑按固定时间间隔，每次给予固定剂量的多次重复给药方式，来研究上述的动态过程。
药物动力学中的一室模型摘要本文讨论了不同给药方式下血药浓度的变化规律问题。
假设人体为一个血药浓度分布均匀的房室，根据药物在体内的转移、排除过程建立房室模型。
进一步假设药物吸收速率与消除速率都与所在室浓度成正比，构造微分方程。
通过常数变易法求解微分方程并对参数进行估算，同时使用Matlab画出图形进一步呈现结果。
求解结果表示，不同给药方式下，血药浓度随时间的变化关系不同。
可按以下分类具体讨论。
针对问题一,建立微分方程求解，找出不同给药方式下血药浓度的变化规律。
采用快速静脉注射方法时，血药浓度在注射瞬间达到最大，而后持续下降；采用恒定静脉滴注方法时，血药浓度在匀速注射停止时刻达到最大值然后下降；采用口服或肌肉注射方法时，血药浓度上升到最大值之后下降。
针对问题二，建立微分方程求解，探究快速静脉注射多次重复给药方式下血药浓度变化规律。
血药浓度在前一周期积累的基础上在注射瞬间达到峰值然后连续下降。
针对问题三，建立微分方程，探究恒定静脉注射和口服或肌肉注射多次重复给药方式下血药浓度的变化规律。
关键词一室模型；吸收速率；消除速率；血药浓度；多次重复给药一、问题重述药物动力学相关问题，分析了药物在体内吸收、分布、排除过程。
在此过程中血药浓度随时间变化，其变化关系受到给药方式的影响。
而血药浓度直接影响到药物效果。
建立房室模型，探讨不同给药方式下，血药浓度随时间的变化关系即给药方式对药效的影响（方程）。
在安全血药浓度范围内分为以下三个问题分析。
针对问题一，建立一是模型，分别讨论在快速静脉注射、恒速静脉滴注、口服或肌肉注射的给药方式下，血药浓度随时间的变化关系并画图。
针对问题二，建立一室模型，讨论快速静脉注射多次给药方式下血药浓度随时间的变化关系并画图。
给药时间间隔相等，初次给药量较大。
针对问题三，建立一室模型，分别讨论恒速静脉滴注和口服或肌肉注射多次重复给药方式下血药浓度随时间变化关系。
并选择其中一种讨论如何确定时间间隔与给药剂量问题。
药物在体内分布与排除得单室模型分析摘要本文讨论了在单室模型中,药物进入或排除中心室时,血药浓度随时间、给药量与给药方式得变化关系问题、为了考察药物在单室内得含量变化情况,根据药物进入与排除中心室得变化率,建立微分方程模型,得出快速静脉注射、恒速静脉滴注与口服或肌肉注射三种给药方式下得血药浓度变化情况,并利用Maｔｌａb画出表示血药浓度变化规律得曲线;在此基础上通过采用多次重复给药得方式,确定给药得固定时间间隔与固定剂量,使得血药浓度控制在合适得范围内,进而使药物在机体内发挥最佳疗效,达到治愈效果。
对于问题一,根据药物得分解与排泄速率与当前得浓度成正比得关系,建立快速静脉注射方式下药物变化速率满足得微分方程,求解血药浓度,分析变化规律并画出相应得血药浓度随时间变化得简图;根据药物被吸收速率残留药物数量成正比得关系,同理求解恒速静脉滴注与口服(或肌肉注射)方式得血药浓度,并画出简图;对于问题二,借助问题一所建立得微分方程模型,在快速静脉注射得多次重复给药方式下,由于血药浓度需要控制在一定范围内,为了简化模型,加大首次给药剂量使血药浓度达到一定范围内得最大值,当血药浓度随时间推移减至一定范围内得最小值时,进行下一次给药使血药浓度再次达到最大值,即可确定固定时间间隔与固定给药剂量;对于问题三,在恒速静脉滴注与口服或肌肉注射得多次重复给药方式下,类比问题二,发生变化得就是药物进入中心室需要一定时间,则药物进入速率发生改变,同理利用微分方程模型与控制得浓度范围确定时间间隔与给药固定剂量。
考虑到还存在与其她房室之间得转化速率,将模型进一步推广,得到得将就是更贴近实际生活得数据。
关键词血药浓度;药物进入速率;药物排除速率;微分方程一、问题重述药物进入机体后,通过血液运输到各个器官与组织,并不断得被吸收,分布与代谢,最终排出体外、血药浓度时指单位体积血液(毫升)中得药物含量(毫克),而血药浓度得大小直接影响药物治疗得效果,浓度太高时会对机体产生副作用甚至出现中毒现象,太低则不能达到治愈效果、建立房室模型有利于药物动力学得研究,房室就是机体得一部分,药物在一个房室内呈均匀分布,即血药浓度处处相等、讨论在单房室模型中,通过固定时间间隔,每次给予固定剂量得多次重复给药方式,并控制血药浓度在一定范围内得如下问题:问题一:求解在三种不同给药方式,即快速静脉注射、恒速静脉滴注与口服或肌肉注射下得血药浓度,并画出表示血药浓度变化规律得曲线图;问题二:在快速静脉注射得多次重复给药方式下,求解血药浓度表达式并作出表示相应变化规律得图像。
药物在体内的分布与排除的一室建模与分析摘要本文为了解决给药方案设计问题，通过分析药物在体内的动态流程与药理反应的定量关系，运用微分方程的思想，建立了一室模型；运用了归纳法、分类讨论等数学方法，以及MATLAB、几何画板等数学软件，求解了模型。
本文建立的模型可以应用于新药研发和剂量确定，可以推广到二室模型甚至多室模型，藉此设计出更加完善的给药方案。
针对问题1，建立了一室模型（只有中心室），分别分析了在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为 ）和口服或肌肉注射3种给药方式下，模型满足的初始条件。
将该条件代入用符号表示的血药浓度方程中，求解出了三种给药方式下中心室的血药浓度方程，并利用MATLAB画出了血药浓度曲线的图形。
针对问题2，基于问题1中求解出的快速静脉注射血药浓度方程，求出了从0时刻开始每相隔时间T中心室的血药浓度，在初始条件不断变化的情况下，递推求解出了不同时间段的血药浓度方程并用MATLAB进行编程画出了曲线图；在稳态条件下，结合整个给药过程和血药浓度的控制范围，确定了多次重复给药的时间间隔和固定剂量。
另外，采取加大首次剂量给药的方式,设计出了给药方案。
针对问题3，采用问题2的求解思路，分别递推求解出了恒速静脉滴注和口服(或肌肉注射)的多次重复给药方式下中心室的血药浓度方程，并运用MATLAB 进行编程画出了曲线图。
解决了稳态条件下给药时间间隔和每次给予固定剂量的问题。
关键词一室模型；血药浓度；给药方式；稳态一、问题重述药物动力学(pharmacokinetics)是一门研究药物在体内的药量随时间变化规律的科学。
作为近20年来才获得迅速发展的药物新领域，它采用数学分析的手段来呈现药物在体内的动态过程。
因此，这门学科有利于研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程与药理反应的定量关系，对于新药研发、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的研究和发展都具有重要的指导意义和实用价值。
现在考虑按固定时间间隔，每次给予固定剂量的多次重复给药方式，来研究上述的动态过程。
经过初步分析，首先需要建立房室模型(Compartment Model)，并藉此求解出在不同的给药方式下，人体内血药浓度大小的变化规律。
为了维持药品的疗效和保证机体的安全,要求血药浓度控制在一定的范围内。
现考虑下列三个问题：问题1：建立一室模型(只有中心室),考虑快速静脉注射、恒速静脉滴注(持续时间为τ)和口服或肌肉注射这三种给药方式下，中心室的血药浓度方程，根据方程画出血药浓度曲线的图形。
问题2，考虑在问题1的基础上，添加“快速静脉注射的多次重复给药方式”这一条件后，中心室血药浓度的变化，求出变化后的血药浓度方程并作图。
根据血药浓度的控制范围，确定多次重复给药的时间间隔和固定剂量。
另外，采取加大首次剂量给药的方式，设计给药方案。
问题3，考虑在问题1的基础上，添加“恒速静脉滴注和口服(或肌肉注射)的多次重复给药方式”这一条件后，人体血药浓度的变化，求出变化后的血药浓度方程并作图。
选择其中一种方式，讨论在血药浓度控制范围内，多次重复给药的时间间隔和固定剂量。
二、问题分析问题1，首先考虑建立一室模型（只有中心室），用符号表示出血药浓度满足的方程。
经分析可知药物的吸收与排除过程的具体情况：快速静脉注射药物瞬间进入中心室；恒速静脉注射滴注持续时间为τ；口服或肌肉注射药物需经过血液运输到中心室。
其次考虑这三种给药方式的给药速率和血药浓度满足的初始条件，将上述条件分别代入用符号表示的血药浓度方程中，求解出三种给药方式下的血药浓度方程。
最后为了直观展现血药浓度在三种不同情况下的变化，考虑利用MATLAB 画出血药浓度曲线的图形。
问题2，利用问题1中快速静脉注射给药方式下血药浓度满足的方程，将T t =，带入可求出T 时刻的血药浓度。
考虑到快速静脉注射药物瞬间进入中心室，从0时刻开始，每间隔T 的血药浓度要考虑未注射药物和瞬间注射药物两种情况。
要求T 2时刻的血药浓度需求出T 到T 2的血药浓度方程，再将T t 2=带入T 到T 2的血药浓度方程。
在求不同时间段血药浓度方程的过程中，要考虑不同时间段方程满足的初始条件（给药速率和初始血药浓度），顺次递推出nT 时刻血药浓度。
根据各时间段血药浓度方程，利用MATLAB 画出血药浓度曲线；利用nT 时刻的血药浓度，求出稳态条件下的血药浓度；结合整个给药过程以及血药浓度范围，表示出时间间隔和每次给予固定剂量。
另外，考虑采取加大首次给药剂量给出给药方案。
问题3，利用问题1中恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）给药方式下血药浓度满足的方程，将T t =带入，可分别求出T 时刻两种给药方式下的血药浓度。
再分别求出两种给药方式下T到T2到T3的血药浓度方程，利用MATLAB进2、T行编程画出血药浓度变化曲线，选择恒速静脉滴注的多次重复给药方式按照问题2的思路讨论确定时间间隔和每次给予固定剂量的问题。
三、模型假设.1药物进入机体后全部进入中心室；.2中心室在整个给药过程中容积不变；.3中心室向体外的排除速率与血药浓度成正比；.4忽略中心室与其他房室的药物转移，以及中心室对药物的吸收；.5假定快速静脉注射注射瞬间药物全部进入中心室。
四、符号表示五、模型建立与求解综合以上问题分析、基本假设以及符号表示，通过建立数学模型解决如下三个问题：5.1 三种给药方式血药浓度变化如图1所示，首先建立如下一室模型[])1(：图1：中心室示意图)()(d d 0t f t kx tx +-= (1))t (x 与血药浓度)t (c ，房室容积V 之间显然有关系式： )()(t vc t x =(2) 方程（2）代入方程（1）可得： Vt f t kc t c )()(d d 0+-= (3) 方程（3）是线性常系数非齐次微分方程，它的解由对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解组成。
求解出的通解为：⎰--+=t kt kt kt t t f e Ve Ce t c 00d )()( (4) 为了求解出（4），需要设定给药速率和初始条件，考察以下三种常见的给药方式：5.1.1 快速静脉注射经过分析可知，快速静脉注射瞬间药物全部进入中心室，给药速率为0，故初始条件为：⎪⎩⎪⎨⎧==V D c t f )0(0)(10 (5) 将条件（5）代入方程（4），可以求解出快速静脉注射给药方式下中心室的血药浓度方程。
故快速静脉注射的血药浓度方程为：VDe t c kt-=)( (6) 根据方程（6）利用MATLAB 画出血药浓度曲线图。
血药浓度曲线如图2所示：图2：快速静脉注射下血药浓度5.1.2 恒速静脉滴注静脉滴注的速率恒定，滴注持续时间τ，分析可知当τ<t 时，)(0t f 和初始条件如下：00)(k t f =,0)0(=c (7)将条件（7）代入方程（4）可求解出τ<t 时中心室的血药浓度方程：kVe k t c kt )1()(0--= (8) 当τ≥t 时，将τ=t 代入（8）可求出初始条件：⎪⎩⎪⎨⎧-==-kV e k c t f k )1()(0)(00ττ(9) 将条件（9）代入方程（4）可求解出在τ≥t 时中心室的血药浓度方程：kVe e k t c k t k )1()()(0ττ---= (10) 故恒速静脉滴注的血药浓度方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<-=---ττττt kV e e k t kV e k t c k t k kt ,)1(,)1()()(00 (11) 血药浓度曲线如图3所示：图3：恒速静脉滴注下的血药浓度5.1.3 口服或者肌肉注射 药物经过口腔或者肌肉注射输进人体时，会先出现一个被血液吸收的过程，其后再随着血液循环进入中心室。
因此将这个过程简化为一个吸收室。
如图4所示：k 1x 0中心室吸收室x 0(t )图4：吸收室与中心室示意图分析知：)(d d 01t x k tx -= (12) )(0t x 满足初始条件为：D x =)0(0 (13)药物进入中心室的速率为： )()(010t x k t f = (14)将模型（12）和条件（13）确定的解)(0t x 代入方程（14）得：t k De k t f 110)(-=(15) 将方程（15）和条件0)0(=c 代入（4）可求解出方程（3）的解。
故口服（或肌肉注射）的血药浓度方程为：[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--==-11)(111,)(1,)(1k k e k k V e Dk k k Ve t Dk t c kt t k k kt 血药浓度曲线如下图5：图5：口服（或肌肉注射）血药浓度5.2 快速静脉注射的多次重复给药方式在问题1的求解结果下，进一步分析快速静脉注射的多次重复给药方式下血药浓度变化和给药方案。
5.2.1 血药浓度变化由问题1可知，在[]T t ,0∈时间段内快速静脉注射时间的血药浓度为方程（6）。
设多次重复给药时间间隔T ，则在未进行第二次注射的条件下，T 时刻血药浓度为：VDe T c kT--=)( 第二次注射后，T 时刻血药浓度为：Ve D T c kT )1()(+=-+ (16) 当[]T T t 2,∈时的血药浓度为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=---V e D e t c kT T t k )1()()( (17)根据（17），在未进行第三次注射的条件下，T 2时刻血药浓度： V e e D V e D e T c kT kT kT kT )()1()2(2-----+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+= 第三次注射后，T 2时刻血药浓度为：Ve e D T c kT kT )1()2(2--+++= (18) 计算当[]T T t 3,2∈时的血药浓度，代入初始条件为（18）。
故当[]T T t 3,2∈时的血药浓度为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=----V e e D e t c kT kT T t k )1()(2)2( (19) 顺次递推可知，在未进行第1+n 次注射的条件下，nT 时刻的血药浓度为：),3,2,1()(1n i e V D nT c n i ikT ==∑=-- (20) 第1+n 次注射后，瞬时的nT 时刻血药浓度为：),2,1,0()(0n i e V D nT c n i ikT ==∑=-+ (21) 经过分析可知方程（20）、（21）的右侧分别是以VDe kt-，1为首项，kt e -为公比的等比数列，应用等比数列求和公式可以推导出方程（20）、（21）的另一种形式：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---nkT kt kt e e V De nT c 11)1()( (22) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+nkT kt e e V D nT c 11)1()( (23) 当∞→n 时，)(-nT c 和)(+nT c 的极限分别为)()(kt kt Ve V De ---和)(kt Ve V D --。
