二项式定理

二项式定理的定义二项式定理是高中数学中非常重要的定理，在大学的数学、物理、统计等学科中也有广泛的应用。

它可以将二次式展开为多项式，方便我们进行计算和研究。

那么，什么是二项式定理呢？一、定义二项式定理又称为牛顿（Isaac Newton）二项式公式，是一种非常重要的数学定理。

它由镇上的数学家牛顿首先提出，经过一系列证明和推广之后，成为了现代数学中不可或缺的一部分。

二项式定理的表述如下：$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$$其中，$a$和$b$是任意实数，$n$为正整数，$C_n^k$是组合数，表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数。

公式的左边表示一个二次式的展开式，右边则表示该二次式展开式中各项系数的求法。

二、过程如何推导二项式定理呢？这里我们可以用数学归纳法来证明其有效性。

我们假设二项式定理对于任意正整数$m$都成立，即：$$(a+b)^m = \sum_{k=0}^{m}C_m^ka^{m-k}b^k$$现在我们需要证明，当$m$加1时，二项式定理仍然成立，即：$$(a+b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^ka^{m-k+1}b^k$$ 证明过程如下：- 将$(a+b)^{m+1}$展开，得到$a(a+b)^{m} + b(a+b)^{m}$- 根据归纳假设，我们可以将$(a+b)^m$表示为$\sum_{k=0}^{m}C_m^ka^{m-k}b^k$，然后将其带入上式中的每一个因式中- 将所有同类项合并，最终得到$\sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^ka^{m+1-k}b^k$，这正是二项式定理右边的式子，故定理得证三、应用二项式定理在数学、物理、统计等多个领域中都有广泛应用。

比如，在概率统计中，我们需要计算二项分布，而二项分布的密度函数就可以用二项式定理推导得到。

在物理学中，二项式定理可以被用来计算气体分子的速度和位置等物理参数。

二项式定理公式大全一、二项式定理基本公式。

1. 二项式定理。

- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。

- 例如，当n = 3时，(a +b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3。

- 计算各项系数：- C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1- C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=(3!)/(1!2!)=3- C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3!)/(2!1!)=3- C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1- 所以(a + b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3。

2. 二项展开式的通项公式。

- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k（k =0,1,·s,n）。

- 例如，在(x + 2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。

当k = 2时，T_3=C_5^2x^5 - 22^2。

- 计算C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=(5×4)/(2×1)=10- 所以T_3=10x^3×4 = 40x^3二、二项式系数的性质。

1. 对称性。

- 在二项式(a + b)^n的展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。

- 例如，在(a + b)^5的展开式中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。

- 计算C_5^1=(5!)/(1!(5 - 1)!)=5，C_5^4=(5!)/(4!(5 - 4)!)=5；C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=10，C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10。

二项式定理公式总结好嘞，以下是为您生成的关于二项式定理公式的总结：在咱们数学的奇妙世界里，二项式定理就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。

二项式定理呀，简单来说就是用来处理形如\((a + b)^n\)这种式子展开的规律。

它的公式是：\((a + b)^n = C_{n}^0a^nb^0 + C_{n}^1a^{n-1}b^1 + C_{n}^2a^{n-2}b^2 + \cdots + C_{n}^na^0b^n\) 。

这里面的\(C_{n}^k\)叫做二项式系数，计算公式是\(C_{n}^k = \frac{n!}{k!(n -k)!}\) 。

咱先来说说这个二项式系数。

记得我当年上高中的时候，有一次数学老师在黑板上写下一道求二项式系数的题，那叫一个复杂。

大家都埋头苦算，我也不例外。

我心里想着：“这可不能算错，不然多丢人。

”我一边算一边嘴里念叨着公式，手里的笔都快被我捏出汗来了。

算着算着，突然发现自己少乘了一个数，赶紧擦掉重新来。

经过一番苦战，终于算出了正确答案，那种成就感，别提多爽了！那二项式定理有啥用呢？用处可大了去了！比如说，在概率统计里，它能帮咱们计算一些随机事件的概率；在代数运算中，能帮咱们化简复杂的式子；在数列问题里，也能发挥大作用。

再给大家举个例子。

假设要展开\((x + 2)^5\)，按照二项式定理，先算出各项的二项式系数。

\(C_{5}^0 = 1\)，\(C_{5}^1 = 5\)，\(C_{5}^2 =10\)，\(C_{5}^3 = 10\)，\(C_{5}^4 = 5\)，\(C_{5}^5 = 1\) 。

然后展开就是：\(1×x^5×2^0 + 5×x^4×2^1 + 10×x^3×2^2 + 10×x^2×2^3 + 5×x^1×2^4 + 1×x^0×2^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32\) 。

§9.3 二项式定理（二十九）一、知识导学1.二项式定理：上列公式所表示的定理叫做二项式定理.右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有ｎ＋1项.其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即＝.2.二项式系数的性质：（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.（2）增减性与最大值.二项式系数，当ｒ＜时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和.的展开式的各个二项式系数的和等于.二、疑难知识导析1．二项式定理是代数公式和的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解.2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式＝在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项.3．二项式定理的特殊表示形式（1）.这时通项是＝.（2）.这时通项是＝.（3）.即各二项式系数的和为.4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即三、经典例题导讲[例1]已知，求的值.错解：由二项展开式的系数的性质可知：的展开式的各个二项式系数的和等于，显然，就是展开式中的，因此的值为－1.错因：上述解答忽略了是项的系数，而不是二项式系数.正解：由二项展开式的结构特征，是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果＝1，则等式右边为，出现所求式子的形式，而就是展开式中的，因此，即1＝1＋，所以，＝0评注这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值.[例2]在多项式的展开式中，含项的系数为.错解：原式＝＝∴项的系数为0.错因：忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供.正解：原式＝＝∴当ｎ≠6时，项的系数为0.当ｎ＝6时，项的系数为1说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少这一项.[例3]的末尾连续零的个数是( )A．7 B．5 C．3 D．2解：上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0.所以的末尾连续零的个数是3.故选C.[例4]已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.（1）求展开式中所有的的有理项；（2）求展开式中系数最大的项.解：（1）展开式前三项的系数分别为.由题设可知：解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.当ｎ＝8时，＝.据题意，4－必为整数，从而可知必为4的倍数，而0≤≤8，∴＝0,4，8.故的有理项为：，，.（2）设第＋1项的系数最大，显然＞0，故有≥1且≤1.∵＝，由≥1，得≤3.∵＝，由≤1，得≥2.∴＝2或＝3，所求项分别为和.评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质.2.运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）.3.注意区分展开式“第＋1项的二项式系数”与“第＋1项的系数”.[例5]已知的展开式中含项的系数为24，求展开式中含项的系数的最小值.解：解法一由中含项的系数为24，可得.从而，.设中含项的系数为ｔ，则ｔ＝.把代入上式，得ｔ＝.∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6.解法二由已知，设中含项的系数为ｔ，则ｔ＝≥2＝2（72－12）＝120.当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120.∴展开式中含项的系数的最小值为120.评注：构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛.四、典型习题导练1．化简：2.设，则的值为3.（1+x）(2+x)(3+x)…(20+x)的展开式中x19的系数是.4.式子的展开式中的常数项是（）A、－15B、20C、－20D、155．已知二项式中，＞0，ｂ＞0,2ｍ＋ｎ＝0但ｍｎ≠0，若展开式中的最大系数项是常数项，求的取值范围.6．用二项式定理证明：能被整除（ｎ∈，ｎ≥2）.。

二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。

具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。

+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。

右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。

二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。

2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。

3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。

通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。

例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。

+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。

二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。

具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。

通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。

它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。

三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。