下载文档原格式
二项式概念Binomial definition只有2项的多项式，或说2个单项式的和，确实是二项式。
可见二项式是仅次于单项式的最简单的多项式。
举例：a+b y+1 3w+6z需要牢记的有关二项式的公式：和的平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (1)差的平方公式(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 (2)平方和的另外一种表示(1)+(2) 取得：a^2+b^2=[(a+b)^2+(a-b)^2]/2平方差的因式分解(a+b)(a-b)=a^2-b^2推行(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)和的立方公式(a+b)^3 = a^3+3ab(a+b)+b^3差的立方公式(a-b)^3 = a^3-3ab(a-b)-b^3立方和的因式分解(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3立方差的因式分解(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3直线方程f(x)=kx+m (k,m都是常数，x是变量) 也是一个二项式，咱们称它为线性的，因为x的幂次为1.同理复数a+ib也是一个二项式，其中i是-1的平方根，即知足i*i=-1。
二项式定理Binomial theorem该定理描述了二项式x+y的n次幂【（x+y）^n】展开式是由（n+1）个形如ax^by^c 的单项式的和。
这确实是闻名的二项式定理，又称为牛顿二项式定理。
(x+y)^1 = x^1 + y^1(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4(x+y)^5 = x^4+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5(x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6(x+y)^7=x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7…………我国古代数学家杨辉的《详解九章算法》（1261年）记载，北宋数学家贾宪初创，上述展开式中的系数有规律，咱们将系数拿出来，排成如下形式11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1上述排列确实是闻名的杨辉三角，每一个数都是上面2个数的和。
二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。
例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。
根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。
2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。
例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。
3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。
这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。
三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。
根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。
二项式定理题型及解法1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r r r nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
二项式定理一、二项式定理的推导()n b a +展开式如何？()()________________________________________32=+=+b a b a ()?10=+b a 例析()?4=+b a归纳()=+nb a ____________________________________________________ 二、二项式定理的有关概念1、二项展开式2、项数3、二项式系数4、二项展开式的通项5、二项式()nb a +展开式的特点 ①②③注意：①二项式()n b a +的第1+r 项是_________和二项式()na b +展开式的第1+r 项是__________，所以______________________②二项式系数即__________与二项展开式中对应项的系数___________,所以___________. 例如：()521x +第3项的二项式系数与第3项的系数 ③()nb a -的展开式？ ④当1,1==b a 时，()n n 2__________________________11==+即___________________________________________________典型例题：二项式定理的应用例1、展开612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 例2、求()721x +的展开式的第4项的二项式系数和系数.例3、求1521⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 展开式中含9a 项的系数. 三、杨辉三角 ()n b a +展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以单独列成下表：___________________________称为“杨辉三角”.四、二项式系数的性质1、每一行的两端都是____，其余每个数都等于它“_____”两个数的和..即____________________________2、对称性（等距性）：每一行中，与首末两端“等距离“的两个数________.即___________________________3、增减性与最大值：①若二项式的幂指数n 是偶数，那么二项展开式中间一项，即________________二项式系数最大.②若二项式的幂指数n 是奇数，那么二项展开式中间两项，即_________________二项式系数最大.4、二项式系数和为_____.即____________________________________________________典型例题（一）：二项式定理通项的直接应用例1、（12天津）在5212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为______ 例2、(12重庆) 821⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中常数项为_______ 例3、（10陕西）)(5R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 为_____ 例4、（10安徽）6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式中，3x 的系数为_______ 例5、（06山东）已知n x i x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2展开式中第三项与第五项系数之比为143-，则展开式中的常数项为______例6、已知,)cos (sin 0dx x x a +⎰=π则61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 二项式展开式中含2x 项的系数为_____例7、（10湖北）在()2043y x +展开式中，系数为有理数的项共有_____项.例8、（06江苏）1031⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含x 的正整数指数幂的项数为______ 例9、（12全国）若n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的21x 系数为___ 典型例题（二）：多项式问题例1、（12安徽）()522112⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项是______ 例2、（10辽宁）()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为_____ 例3、（08辽宁）已知()nx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++3211展开式中的没有常数项，82,≤≤∈*n N n ，则_____=n例4、（08浙江）在()()()()()54321-----x x x x x 展开式中，含4x 的项的系数为___ 例5、（10全国）()()533121x x-+展开式中的x 系数为_____ 例6、（08江西）()1010111⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中常数项为_____ 例7、（08全国）()()4611x x +-展开式中的x 系数为_____典型例题（三）：二项式系数与展开式系数性质的应用 例1、若()01556677713a x a x a x a x a x +++++=- ⑴7654321a a a a a a a ++++++=________⑵7531a a a a +++=__________⑶6420a a a a +++=___________例2、（08福建）若()012233445552a x a x a x a x a x a x +++++=-，则_____54321=++++a a a a a 例3、若012233444)1()1()1()1(a x a x a x a x a x ++++++++=，则______123=+-a a a例4、()0166778883)1()1()1()1()2(1a x a x a x a x a x x +-++-+-+-=-++ ，则______6=a例5、已知()01223344555)1()1()1()1()1(1a x a x a x a x a x a x +-+-+-+-+-=+，则______531=++a a a例6、（12浙江）5)(x x f = 0122334455)1()1()1()1()1()(a x a x a x a x a x a x f ++++++++++=，则_____3=a 例7、（10江西）()82x -展开式中不含4x 项的系数的和为______ 例8、在102)1(xx -的展开式中系数最大的项是第_______项. 例9、设展开式n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-15的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240=-N M ，则展开式中x 的系数为_____例10、已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的展开式中第5项的系数与第3项的系数比3:56，则该展开式中2x 的系数为_____例11、在n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-312展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_____ 例12、若)(6271327*++∈=N n C C n n ,nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32展开式中的常数项为____ 例13、（11课标全国）512⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x a x 展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为_____。
（二）二项式定理题型一：求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】若52)1(xax +的展开式中5x 的系数是80-，则实数.________=a 【训练】1、二项式6(x-的展开式中常数项为__________. 2、在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是_________. 3、621(1)(1)x x-+展开式中3x 的系数为 . 4、(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为____________.5、若62()a x x-展开式中3x 项的系数为12-，则a = ；常数项是 . 6、若二项式6((0)ax a>的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若4A B =，则B = ． 题型二：二项式系数和与各项系数和的问题【例2】已知n xa x )(3+的展开式中二项式系数之和为32，常数项为80，则.________,==a n 【例3】若443322104)53(x a x a x a x a a x ++++=+，则.______)()(2312420=+-++a a a a a【训练】1、已知7722107)(x a x a x a a m x ++++=-Λ的展开式中4x 的系数是－35，则._______721=+++a a a Λ2、6655443322106)1()1()1()1()1()1(x a x a x a x a x a x a a x ++++++++++++=，且)5,4,3,2,1,0(=i a i 是常数，则=0a ________；=++++54321a a a a a _________.3、若2016201622102016)21(x a x a x a a x ++++=-Λ，则20162016221222a a a +++Λ=___________. 题型三：二项式定理的综合应用【例4】已知55443322105)12(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则.___54325432=+++a a a a【训练】1、若4)1)((x x a ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则.____=a2、已知多项式54233241523)2()1(a x a x a x a x a x x x +++++=++，则.________,54==a a3、已知1010221010)1()1()1()1(x a x a x a a x -++-+-+=+Λ，则._____8=a。
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这知识内容赋值求某些项系数的和与差里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr r n nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）典例分析【例2】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例3】 ()82x -展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152【例4】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++L ，则0a +126a a a +++=L ______．【例6】 在二项式42nx x ⎛+ ⎪⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例9】 设(5nx 的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例10】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例11】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++L ，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L 的值．【例14】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-L L ，则01n a a a ++=L ．【例15】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例16】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例17】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求017||||||a a a +++L ．【例18】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例19】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例20】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则13599a a a a ++++=L （ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例21】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++L ，求：⑴ 1237a a a a ++++L ； ⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例22】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++L ，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L 的值．【例23】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例24】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-L L ，则01n a a a ++=L ．【例25】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++L ，则20091222009222a a a +++L 的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N L ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值；⑵设22343,2n n n n ab T b b b b -==++++L ． 试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x x x --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】 证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例29】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例30】 求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅L【例31】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例32】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ．1 B．1 C．1 D．1【例33】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+L【例34】 已知数列0123a a a a L ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==L ，，， 求证：对于任意正整数n ，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x----=-+-++-+L是一次多项式或零次多项式．【例35】 若0()C ni in i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12 C ．1 D ．3。
二项式定理的推导过程嘿，咱今儿来聊聊二项式定理的推导过程哈！这可有意思啦！你想啊，二项式就好像是个神秘的宝盒，咱得一点点把它打开，弄清楚里面的奥秘。
咱先从最简单的情况开始。
就比如(a+b)²吧，这就相当于两个(a+b)相乘呀。
那咱展开来，不就是 a×a+a×b+b×a+b×b 嘛，整理一下，嘿，不就是 a²+2ab+b²嘛。
这是不是挺简单的呀？那要是(a+b)³呢？这就稍微复杂点啦，但咱也不怕呀！咱就把它看成是(a+b)²再乘个(a+b)呀。
那前面咱刚知道了(a+b)²是 a²+2ab+b²，再乘上(a+b)，这就得一项项乘啦。
乘完之后，你瞧，就得到了 a³+3a²b+3ab²+b³。
那要是再高次方呢？别急呀，咱慢慢找规律。
你看这一次次展开，系数是不是有点门道呀？还有这 a 和 b 的次方数，是不是也有规律可循呢？咱就这么一步步探索，一点点发现，这不就像在黑暗中一点点找到光亮嘛。
你说这二项式定理神奇不神奇？它就像是个魔法公式，能把看似复杂的式子变得清晰明了。
咱再想想，生活中不也有很多这样类似的情况嘛。
就好比解一道难题，一开始觉得摸不着头脑，但只要咱静下心来，一点点分析，慢慢找规律，总能找到解决的办法。
这二项式定理的推导过程不也是这样嘛，从简单到复杂，从一点点迷茫到豁然开朗。
而且啊，这二项式定理用处可大啦！在好多数学问题里都能派上用场呢。
所以啊，别小看这二项式定理的推导过程，这里面可藏着大学问呢！咱可得好好琢磨琢磨，把它弄明白，以后遇到相关问题不就轻松搞定啦！你说是不是这个理儿呀？。
高二同步之每日一题【X2305】
二项式定理【2】
X2-3051.9()a b c ++的展开式有 项.
解:由于在9()a b c ++的展开式中,每一项均由x y z a b c 的形式构成,其 中,,x y z 均为自然数,且满足9x y z ++=,
因此9
()a b c ++的展开式的项数等价于方程9x y z ++=的自然数 解的组数.
方程9x y z ++=的自然数解的组数等价于方程'''12x y z ++=的 正整数解的组数,其中'1,'1,'1x x y y z z =+=+=+.
方程'''12x y z ++=的正整数解的组数等价于将12个相同的小球 分割成3堆,即是在这些小球的11个间隙中插入2个档板即可.
总上所知,答案为21155C =.
X2-3052.在9()a b c ++的展开式中,项234a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++⋅++⋅
⋅++的展开 式中,因此项234a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了2个a ,再从余
下的7个()a b c ++中选取了3个b ,最后从余下的4个()a b c ++中都
选取c .所以,项234a b c 的系数为2349741260C C C ⋅⋅=.
X2-3053.在9()a b c -+的展开式中,项333a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++⋅++⋅
⋅++的展开 式中,因此项333a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了3个a ,再从余
下的6个()a b c ++中选取了3个b -,最后从余下的3个()a b c ++中
都选取c .所以,项333a b c 的系数为3333963(1)1680C C C ⋅⋅⋅-=-.
X2-3054.在34
(12)(1)x x +-展开式中,2x 项的系数为 . 解:由于在34
(12)(1)x x +-的展开式中2x 项有如下三种构成方式: (1)由3(12)x +的常数项×4(1)x -的二次项可得,此时2
x 项的系数
为32234(1)6C C ⋅-=； (2)由3(12)x +的一次项×4(1)x -的一次项可得,此时2
x 项的系数
为1111342(1)24C C ⋅-=-； (3)由3(12)x +的二次项×4(1)x -的常数项可得,此时2
x 项的系数
为22034212C C ⋅=； 综上可知,2
x 项的系数为624126-+=-.
X2-3055.在102(2)(2)x x +-的展开式中,10x 项的系数为 . 解:由于在)1()2(210-+x x 的展开式中10x 项有如下两种构成方式:
(1)由10(2)x +的10x 项×2
(2)x -的常数项可得,此时10x 项的系数 为010(2)2C ⋅-=-；
(2)由10(2)x +的8x 项×2
(2)x -的二次项可得,此时10x 项的系数 为221021180C ⋅=；
综上可知,2
x 项的系数为2180178-+=.
X2-3056.在10109910102)1()1()1(++++++=+x a x a x a a x x 的展 开式中9a = .
解:首先,等式两边10x 项的系数应相等,而等式右边10x 项的系数为10a , 因此101a =；
其次,等式两边9x 项的系数应相等,而等式左边9
x 项的系数为0,等
式右边9x 项的系数为191010a a C +.
因此9101010a a =-⋅=-.
X2-3057.在10109910102)1()1()1(++++++=+x a x a x a a x x 的展
开式中3a = .
解:令1x t +=,则1x t =-,故原等式即为
21091001910(1)(1)t t a a t a t a t -+-=++++.
于是,等式两边3t 项的系数应相等.
故由77
310(1)a C =-可得3120a =-.。
