复数的概念及几何意义

高考复习：复数的概念及运算contents•复数的基本概念•复数的运算性质目录•复数的三角形式•复数的应用与例题解析CHAPTER复数的基本概念0102复数的定义复平面复数的实部是`a`，表示在实轴上的点；虚部是`b`，表示在虚轴上的点。

实部和虚部模和辐角复数的几何意义复数的四则运算01020304加法减法乘法除法CHAPTER复数的运算性质运算法则例子定义运算法则例子030201运算法则例子定义CHAPTER复数的三角形式总结词通过运用正弦函数，可以将复数表示为正弦形式，简化复数的表示和计算。

详细描述复数的正弦形式是利用正弦函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(cosθ+sinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

这种表示方法将复数转化为实数和虚数的和，方便进行计算和简化。

例如，计算复数的乘法时，可以将正弦和余弦部分分别相乘，再相加得到结果。

总结词详细描述总结词通过运用正切函数，可以将复数表示为正切形式，方便进行计算和简化。

详细描述复数的正切形式是利用正切函数将复数表示成三角形式，其公式为z=r(tanθ)，其中r为模长，θ为辐角。

这种表示方法将复数转化为实数和虚数的比值，方便进行计算和简化。

例如，计算复数的乘法时，可以将实数部分相乘，虚数部分相乘，再相除得到结果。

但是需要注意正切函数在某些角度下存在无穷大或无穷小的值，这会导致计算出现误差或溢出等问题。

因此在实际计算中需要注意角度的范围和数值稳定性。

CHAPTER复数的应用与例题解析复平面向量解析几何力学在处理波动、振动等问题时，复数能够帮助我们更好地理解系统的稳定性和频率响应。

电学在电学中，复数被广泛应用于交流电、电磁场等领域。

量子力学在量子力学中，复数被用来描述微观粒子的波函数和能量。

控制理论在控制系统中，复数被用来描述系统的稳定性和性能。

信号处理在信号处理领域，复数被用来进行傅里叶变换、滤波等操作。

图像处理在图像处理中，复数被用来进行图像的频域分析和滤波。

复数概念及其几何意义课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版数学教材八年级上册第四章“复数”的第二节“复数的概念及其几何意义”。

这部分内容主要包括复数的基本概念、复数的代数表示法、复数的几何意义以及复数的分类。

二、教学目标1. 理解复数的基本概念，掌握复数的代数表示法。

2. 能够运用复数的几何意义解决实际问题。

3. 培养学生对数学知识的兴趣，提高学生的数学思维能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：复数的几何意义及其应用。

2. 教学重点：复数的概念、代数表示法及其几何意义。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：笔记本、彩色笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过展示一个实际问题：“在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点Q的坐标是多少？”让学生思考，引导学生发现解决问题需要引入一个新的数学概念——复数。

2. 复数的基本概念：教师通过讲解，引导学生掌握复数的概念：复数是实数的拓展，用字母a+bi（a、b为实数，i为虚数单位，i²=1）表示。

3. 复数的代数表示法：教师通过示例，让学生学会用复数的代数表示法表示各种形式的复数，如2+3i、12i等。

4. 复数的几何意义：教师通过几何图形，让学生理解复数的几何意义：在平面直角坐标系中，复数a+bi对应的点位于以原点为中心，半径为|a|的圆上，且与实轴的夹角为θ（θ=arctan(b/a)）。

5. 复数的分类：教师讲解复数的分类：实数、虚数、纯虚数、共轭复数等。

6. 例题讲解：教师通过讲解例题，让学生掌握复数的运算规则，如加、减、乘、除等。

7. 随堂练习：教师给出随堂练习题，让学生运用所学知识解决问题，如计算复数的加减乘除、判断复数的类型等。

8. 作业布置：教师布置作业，让学生进一步巩固所学知识，如绘制复数的几何图形、解决实际问题等。

六、板书设计1. 复数的基本概念2. 复数的代数表示法3. 复数的几何意义4. 复数的分类七、作业设计1. 绘制复数2+3i和12i在平面直角坐标系中的几何图形。

8.复数的几何意义教学目标 班级______姓名________1.进一步加深对复数的了解.2.掌握复数的几何意义.3.理解复数与向量的对应关系.教学过程一、复数的几何意义.（1）复平面的定义：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数与点及向量间的对应关系：①复数bi a z +=（R b a ∈,）⇔复平面内的点),(b a Z .①复数bi a z +=（R b a ∈,）⇔平面向量OZ .我们可以用平面向量来表示复数.（3）复数的模：向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模，记作||z 或||bi a +. 22||||b a bi a z r +=+==（0≥r ，且R r ∈）我们常把复数bi a z +=说成点Z 或向量OZ ，并规定，相等的向量表示同一个复数.二、例题分析.1.复数与复平面内的点.例1：在复平面内，描出表示下列各复数对应的点及对应向量.（1）i 52+； （2）i 23+-； （3）i 42-；（4）i --3； （5）5； （6）i 3-.例2：在复平面内，若复数i m m m m z )23()2(22+-+--=对应的点（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在直线x y =上，分别求实数m 的取值范围.练2：实数m 取什么值时，复数i m m m m z )152()65(22--+++=（1）对应的点在x 轴上方；（2）对应的点在直线04=++y x 上.2.复数与向量.例3：已知复数ai z +=3，且4||<z ，求实数a 的取值范围.练3：求复数i z 431+=，i z 2212--=的模，并比较它们的大小.作业：1.在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为i 21+-，若点A 关于直线x y -=的对称点为B ，求向量OB 对应的复数.2.在复平面内表示复数i m m z 2)3(+-=的点在直线x y =上，求实数m 的值.。

数学中的复数及其几何意义在数学中，复数是一种比实数更为普遍的数。

一般来说，一个复数由实部和虚部组成，它们分别是实数。

复数的定义最初是为了解决方程$x^{2}+1=0$，因为$1$不等于$-1$的时候，该方程无解，但当我们引入复数$i$时，就可以得到该方程的解$x=i$。

复数在解决方程方面有着很大的用处，但它们的重要性远不止于此。

复数还具有在几何学中描述旋转的图形的能力。

如果我们将复数看作一个有序对$(a,b)$，其中$a$是实部，$b$是虚部，那么在坐标系中，每个复数都可以用一个点表示。

可以将实轴设置为$x$轴，虚轴设置为$y$轴，以原点为中心，建立一个平面直角坐标系。

在这个坐标系中，复数$a+bi$可以表示为点$(a,b)$。

现在，我们考虑一下复数的乘法。

如果$a+ib$与$c+id$相乘，我们可以通过将它们展开并合并相同项来得到：$$(a+ib)·(c+id)$$$$=ac+iad+ibc+i^{2}bd$$由于$i^{2}=-1$，所以：$$=ac+i(ad+bc)+(-1)bd$$$$=ac-bd+i(ad+bc)$$由此可以看出，复数的乘法满足分配律、交换律和结合律。

从几何角度来看，复数的乘法可以用于表示旋转。

假设我们有一个向量$z=(a,b)$，可以将它看作点$(a,b)$到原点的线段。

我们可以通过将该向量乘以一个复数$t=s+ti$来将它转换为另一个向量。

这个复数$t$在坐标系中的表示形式为$(s,t)$，我们可以将它看作一个点。

当我们将向量$z$乘以$t$时，可以将$z$绕原点旋转一个角度，这个角度由点$t$的位置决定。

具体来说，设$z=(a,b)$，$t=(s,t)$。

那么向量$zt$的坐标可以表示为：$$zt=(as-bt,at+bs)$$可以看出，向量$zt$的长度与向量$z$的长度相同，只是方向不同。

如果$t$是一个单位长度的复数，那么$zt$的长度和$z$的长度相同，只是方向不同。

复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。