- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案：(1)3∶5
(2)3∶4
AE AD 3 . AC 4 AD 4 3
3.相似三角形的判定与性质
(1)定义:对应角 相等 ，对应边 成比例 的两个三角形叫做相 似三角形. （2）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两 边的延长线） 相交 ，所构成的三角形与原三角形 相似 . （3）判定： 定理1：两角对应 相等 ，两三角形相似.
(2)如图，在△ABC中，DE∥BC,BD= 1 AD,则AE∶AC=________.
3
【解析】(1)∵AD∥BE∥CF,AB∶BC=2∶3, ∴DE∶EF=AB∶BC=2∶3,∴EF∶DF=3∶5. (2)∵DE∥BC,∴ AE AD ,
AC AB
又∵BD=1 AD,∴AB= AD,∴
3
4 3
【即时应用】 (1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，AC=3,BC=4，则AD=_______. (2)一直角三角形两条直角边之比是1∶2， 则它们在斜边上射影的比是_________.
【解析】（1）先由勾股定理，得AB=5，再由射影定理，得
AC2=AD· AB,
AC2 9 ∴AD= . AB 5
（只填写一个即可）
(2)如图所示，在△ABC中，∠C=90°,
AC=3,D为BC上一点，过点D作DE⊥BC
交AB于E，若ED=1，BD=2，则DC的长 为______,S△BDE∶S△ABC=__________.
【解析】（1） 此题属开放题，答案不唯一，可根据判定定理 的条件填写，如∠ADE=∠B或∠AED=∠C或 （2）∵∠BDE=∠C=90°,∠B=∠B, ∴△BDE∽△BCA,∴
1.平行线等分线段定理
(1)定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么 在其他直线上截得的线段也 相等 . 平分 (2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必____ 第三边. (3)推论2:经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 平分 另 一腰.
【即时应用】
（1）如图，△ABC中，D是AB的中点,DE∥BC,AC=6,则AE=_____.
(2)如图，梯形ABCD中，EF∥AD∥BC，E是AB的中点,DC=m,则 FC=_______.
【解析】(1)∵D是AB的中点，DE∥BC,
∴点E是AC的中点, ∴AE=1 AC=1 ×6=3.
2 2
（2）∵EF∥AD∥BC,E是AB的中点，
1 1 m,即FC= m. ∴DF=FC= DC= 2 2 1 2
都等于 相似比 .
②相似三角形周长的比等于 相似比 . ③相似三角形面积的比等于相似比的 平方 . ④相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 相似比 ,外接圆 的面积比等于相似比的 平方 .
【即时应用】 (1)已知：如图所示，在△ABC中，D、 E分别在AC、AB边上，要使△ADE∽ △ABC成立的条件可以是________.
定理2：两边对应 成比例 且夹角 相等 ，两三角形相似.
定理3：三边对应 成比例 ，两三角形相似.
（4）直角三角形相似的判定：
两个直角三角形有一个锐角对
应相等
两个直角三角形的两条直角边
对应成比例 一个直角三角形的斜边和一条
相似
直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例
(5)性质：
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比
答案：（1）3
（2） m1
2
2.平行线分线段成比例定理 (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的 对应 线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延
长线）所得的对应线段 成比例 .
【即时应用】
(1)如图，AD∥BE∥CF,且AB∶BC=2∶3,则EF∶DF=_______.
BD DE , BC AC
AD AE 等. AB AC
∴BC=6,∴DC=4,∴S△BDE∶S△BCA=DE2∶AC2=1∶9.
AD AE 答案：(1)∠ADE=∠B(或∠AED=∠C或 )(答案不唯一) AB AC
（2）4
1∶9
4.直角三角形的射影定理 定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 中项 ；两直角边分别是它们在斜边上 射影 与 斜边 的比例中 项.
物理选修41.1
点击进入相应模块
三年7考
高考指数:★★★
1.了解平行线分线段成比例定理.
2.会证明、应用直角三角形射影定理.
1.利用平行线分线段成比例定理及直角三角形的射影定理 进行有关的证明和计算是高考重点. 2.本部分主要以填空题和解答题为主，其中以相似三角形为背 景的综合题是热点题型，同时相似三角形与圆、方程、三角、 函数等知识的结合多以探索性、阅读性命题类型出现.
2.利用平行线分线段成比例定理的注意事项 利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线 所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需 要进行适当的变形，从而得到最终的结果.
【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥CD， 若BC=3，DE=2,DF=1，求AB的长. 【解题指南】这是一道利用平行线分线段 成比例定理的计算题，由已知条件分析知， 需要中间比例式进行转换可以得到最终结 果，即由
A F A E A D A E A E D E 2 , 及 D F E C B D E C A C B C 3
等可以得出AB的长.
【规范解答】∵DE∥BC，∴
∴
AE 2 , EC 1
A E D E 2 , A C B C 3
又∵EF∥CD,∴
A F A E 2 , FD EC 1
（2）AC、AB在斜边BC上的射影为DC、DB， 由射影定理得：AC2=CD· BC, AB2=BD· BC, ∴CD∶BD=AC2∶AB2=1∶4. 答案：(1)
9 5
(2)1∶4
平行线分线段成比例定理
【方法点睛】
1.平行线等分线段定理的理解及应用 平行线等分线段定理及推论1、推论2是证明线段相等或求线段 组平行线已截得相等的线段，若是就可以用该定理.
∴AF=2FD=2,∴AD=3,
D A E 2 又∵DE∥BC,∴ A , B D E C 1
