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第14讲 函数的综合应用

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第14讲函数的综合应用伟大的数学家，诸如阿基米德、牛顿和高斯等，都把理论和应用视为同等重要而紧密相关.——菲里克斯·克莱因知识方法扫描函数的综合应用包括两个方面：函数型应用题和综合运用代数、几何各个方面的知识来解答函数问题。

函数型应用题是对函数知识的高级应用,能深入考查学生对应用题中量的依存关系的理解,及能否对问题本身的数量特征和制约关系进行函数式的动态刻划。

解决函数应用题的关键是运用函数的思想提取问题的函数特征，抽象其数量特征，建立函数关系型数学模型；通过对问题的观察分析，判断比较深入全面，才能构造出函数原型，从而化为函数问题，使问题最终得解决。

有一些竞赛题，把函数与平面几何综合在一起，即在平面直角坐标系中，研究直线、抛物线、双曲线与三角形、四边形、圆之间的关系，从而沟通了代数、三角、几何间的内在联系．这类题综合性强，需要灵活运用所学知识来解决．经典例题解析例1（1998年全国初中数学竞赛试题）A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。

已知：从A 市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

(1)设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

(2)设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200．又01001828,xx≤≤⎧⎨≤-≤⎩即010,59,xx≤≤⎧⎨≤≤⎩∴5≤x≤9．∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17200又010,010,0188,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤--≤⎩即010*******,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩∴W=-500x-300y+17200，且010*******,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩（x,y 为整数）W=-200x-300(x+y)+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=10，y=8时，W=9800．所以，W 的最小值为9800．又W=-200x-300(x+y)+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W 的最大值为14200．例2 (1997年天津市初中数学竞赛试题)已知函数y=x 2-|x|-12的图象与x 轴相交于相异两点A ，B 。

另一抛物线y=ax 2+bx+c 过点A,B ，顶点为P 且△APB 是等腰直角三角形，求a,b,c.解 令x 2-|x|-12=0，即(|x|-4)(|x|+3)=0, 而|x|+3>0, 于是|x|-4=0，x=±4. A,B 两点的坐标为(4,0),(-4,0)。

因y=ax 2+bx+c 过点A,B ，可设y=a(x+4)(x-4) ①因△APB 是等腰直角三角形，故P 点坐标为(0,4)或(0,-4).将(0,4)代入①，得a=14-, y=14-(x 2-16)= 14-x 2+4, 故b=0, c=4. 将(0,-4).代入①，a= 14, y=14(x 2-16)= 14x 2-4, 故b=0, c=-4. 例3 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛试题）一张矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=5，OC=4。

（1）如图，将纸片沿CE 对折，使点B 落在x 轴上的点D 处，求D 点的坐标。

（2）在（1）中，设BD 与CE 的交点为P ，如果点B 、P 在抛物线2y x bx c =++上，求b 、c 的值。

（3）如果将矩形纸片沿某直线l 对折，使点B 落在坐标轴上的点F 处，且BF 与l 的交点Q 恰好落在（2）的抛物线上。

除了上述的点D 外，这样的点F 是否存在？如果存在，求出点F 的坐标，如果不存在，请说明理由。

解 （1）OD=3=，所以点D 的的坐标为（3，0）。

（2）由折叠知，CE 垂直平分BD ，P 是BD 的中点，过点P 作OA 的平行线，交OC 于点H ，则PH 是梯形ODBC 的中位线， ∴(,)22OD BC OC P +，即P （4，2）。

又∵点B （5，4）和点P （4，2）在抛物线E y x P O D C B A2y x bx c =++上，∴22455244b c b c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，解得7,14b c =-=。

（3） 由（2）知，抛物线的解析式为2714y x x =-+。

假设点F 存在，当点F 在x 轴上时，设F （m ，0），则BF 与直线l 的交点Q 的的为5(,2)2m +，代入抛物线的解析式，解得：13m m ==或，即所求坐标为F （1，0）或F （3，0）（为点D ）；当点F 在y 轴上时，设(0,)F n ， 则54(,)22n Q +，代入抛物线解析式，解得32n =，即所求坐标为3(0,)2F 。

例4 (2004辽宁省初中数学竞赛试题)如图，AB 、CD 是半径为1的⊙P 两条直径，且∠CPB=120°，⊙M 与PC 、PB 及弧都相切，O 、Q 分别为PB 、弧上的切点。

(1)试求⊙M 半径r ；(2)以AB 为x 轴，OM 为y 轴(分别以OB 、OM 为正方向)建立直角坐标系， ①设直线y=kx+m 过点M 、Q ，求k ，m ；②设函数y=x 2+bx+c 的图像经过点Q 、O ，求此函数解析式；③当y=x 2+bx+c<0时，求x 的取值范围；④若直线y=kx+m 与抛物线y=x 2+bx+c 的另一个交点为E ，求线段EQ 的长度。

解 (1)由sin 602r PM ==PM+MQ=+r =1，得r(2) ①点M(0,r)=(0,2，点Q(rcos60°,，即Q(32-。

由已知直线过点M 、Q ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=23)233(322m k m ，解得。

②由y=x 2+bx+c 过点O 、Q ，则c=0，23)2322()2322(2=-+-b ，得b=72，即得272y x x =+。

x ③令272x x +=0，则172x =-，x 2=0，即得 当72-<x<0时y<0。

④由已知得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=x x y x y 2733232，消去y 得27(302x x +-+-=。

设点E 的横坐标为x 2，点Q的横坐标为132x =,由根与系数的关系得x 2=-2。

则 |x 1-x 2322+12，进而得线段EQ 的长为。

例5 （2009年湖南初中数学竞赛试题）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数y ＝41x 2在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为（0，1），直线l 过B （0，－1）且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C 、Q ，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；（2）求证：四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线PH 与抛物线y ＝41x 2有无其它公共点？并说明理由． 解 （1）由题可知1AO CQ ==． 90AOH QCH ∠=∠= ，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△． OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点． （2） 由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠。

AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH ∴△≌△ AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． 又设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114PQ m =+． 过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在Rt APG △中，2114AP m PQ ===+=． ∴平行四边形APQR 为菱形．（3）设直线PR 为y kx b =+，由OH CH =，得22m H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得： 2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 221.4m k b m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩∴直线PR 为2124m y x m =-． 设直线PR 与抛物线的公共点为214x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入直线PR 关系式得：22110424m x x m -+=，21()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线PH 与抛物线214y x =只有一个公共点P ． 例6．(2000年全国初中数学竞赛试题)一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。

对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。

现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)解 依题意，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所所住的层数，设电梯停在第x 层，在第一层有y 个人没有乘电梯而直接上楼，那么不乘电梯直接上楼的不满意总分为3(1+2+…+y) ①，乘电梯到x 层后，再往上走不满意总分为3［1+2+…+(33-x)］②，乘电梯到x 层后，再往下走的满意总分为［1+2+…+(x-y-1-1)］③，则不满意总分S 为①，②，③的和，整理得 S=2(x-4102+y )2+815(y-6)2+316≥316. 又当x=27,y=6时，S=316.故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316分。

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第14讲 代数综合(word版)

第14讲 代数综合(word版)

第14讲代数综合模块一：十字相乘法知识导航我们先来看几个式子：（x＋1）（x＋2）＝．（x－2）（x＋3）＝．（x＋1）（x－3）＝．（x－1）（x－2）＝．那么，根据因式分解的概念，把上述过程反过来呈现，就是今天要讲的十字相乘法．把上述过程一般化：先看一个乘法公式（x＋a）（x＋b）＝2x＋（a＋b）x＋ab．利用这个乘法公式，我们可以得到分解形如2x＋px＋q的二次三项式的方法：如果可以找到两个数a、b，使得常数项为两者的积，同时一次项系数为两者的和，也即ab＝q，a＋b＝p，如下图：1 a1 b第一列的积为1×1＝1为二次项系数；第二列的积为a×b＝q为常数项；列间的交叉乘积和1×b＋1×a＝a＋b＝p为一次项系数．那么我们就完成了对2x＋px＋q的因式分解：2x＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）．这个方法可以推广到二次项系数不为1的情形：考虑乘法公式（ax＋b）（cx＋d）＝ac2x＋（ad＋bc）x＋bd．于是，如果我们想要对形如p2x＋qx＋r的二次三项式进行因式分解，那么就需要探索如下图的十字：a bc d其中：第一列的积为a×c＝p为二次项系数；第二列的积为b×d＝r为常数项；列间的交叉乘积和a×d＋b×c＝q为一次项系数．那么我们就完成了对p2x＋qx＋r的因式分解：p2x＋qx＋r＝（ax＋b）（cx＋d）．例1：分解因式：（1）2x＋5x＋6；（2）2x－6x＋8；（3）2x－x－6；练习：分解因式：（1）－2x－2x＋8；（2）2x－20xy＋642y；例2：分解因式：（1）32a －7a －6； （2）52x ＋12x －9；练习（1）－62x －11x ＋7； （2）32－12x －272x ；例3：分解因式：（1）4x ＋72x －30；（2）()2x y +－4（x ＋y ）－12；（3）()()2222483482x x x x x x ++++++（4）()2233kx k x k +-+-拓展分解因式（1）()42221x x a a -++（2）()22a b x ax a b -+++模块二：代数变形综合应用题型一：含参计算例4（1）已知27a =，86b =，求()232a b +；（2）若320a b +-=，求327a b ⋅；（3）已知：21233324m m ++=，求m .练习（1）已知124x y +=，1273x -=，求x y -的值；（2）已知253x y +=，求432x y ⋅的值；（3）已知3460x y +-=，求816x y ⋅；（4）已知9n ＋1－32n ＝72，求n .拓展已知2a ＝3，2b ＝5，2c ＝30，求a 、b 、c 之间的数量关系．例5：若多项式（x 2－ax ＋3）（x 2－2x ＋b ）的展开式中不含x 3和x 2项，则a ＋b 的值为 ．练习：若（x 2＋ax ＋8）（x 2－3x －1）的展开式中不含x 3，则a 的值为 ．题型二：几个常见的变形技巧例6：已知x ＋y ＝2，xy ＝－3，求22x y +，()2x y -，22x xy y -+，33x y +，44x y +的值．练习：已知()()200019981999a a --=，求()()2220001998a a -+-的值．例7：已知13x x +=，求221x x +，331x x +，441x x +的值．练习：（1）若2310a a -+=，求1a a+的值．（2）若2410a a -+=，求841a a +的值．第14讲 本课课后作业A 基础巩固1、分解因式：（1）2412x x -- （2）231212b b -+（3）256x x ++ （4）256x x -+（5）276x x ++ （6）276x x -+（1）已知23n a =，求()43na ； （2）已知2m a =，3n a =，求23m n a +B 综合训练3、已知x －y ＝5，xy ＝6，求（1）x 2y －xy 2；（2）x 2＋y 24、已知1x x +＝4，求（1）221x x+；（2）(x －2)25、已知x2－7＋1＝0，求①1xx+；②221xx+；③441xx+；④1xx-；⑤4221x xx++的值．数学故事奇异的数学定理（一）1、喝醉的小鸟定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家．假设有一条水平直线，从某个位置出发，每次有50% 的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米．按照这种方式无限地随机游走下去，最终能回到出发点的概率是多少？答案是100% ．在一维随机游走过程中，只要时间足够长，我们最终总能回到出发点．现在考虑一个喝醉的酒鬼，他在街道上随机游走．假设整个城市的街道呈网格状分布，酒鬼每走到一个十字路口，都会概率均等地选择一条路（包括自己来时的那条路）继续走下去．那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢？答案也还是100% ．刚开始，这个醉鬼可能会越走越远，但最后他总能找到回家路．不过，醉酒的小鸟就没有这么幸运了．假如一只小鸟飞行时，每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向，那么它很有可能永远也回不到出发点了．事实上，在三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有大约34% ．这个定理是著名数学家波利亚（George Pólya）在1921年证明的．随着维度的增加，回到出发点的概率将变得越来越低．在四维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率是19.3% ，而在八维空间中，这个概率只有7.3% ．2、“你在这里”定理：把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置．也就是说，如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记．1912年，荷兰数学家布劳威尔（Luitzen Brouwer）证明了这么一个定理：假设D是某个圆盘中的点集，f是一个从D到它自身的连续函数，则一定有一个点x，使得f(x) ＝x．换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置．这个定理叫做布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed point theorem）．除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论．如果取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上，根据布劳威尔不动点定理，纸团上一定存在一点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方．这个定理也可以扩展到三维空间中去：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同（虽然这个点在搅拌过程中可能到过别的地方）．3、不能抚平的毛球定理：你永远不能理顺椰子上的毛．想象一个表面长满毛的球体，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗？拓扑学告诉你，这是办不到的．这叫做毛球定理（hairy ball theorem），它也是由布劳威尔首先证明的．用数学语言来说就是，在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场．这个定理可以推广到更高维的空间：对于任意一个偶数维的球面，连续的单位向量场都是不存在的．毛球定理在气象学上有一个有趣的应用：由于地球表面的风速和风向都是连续的，因此由毛球定理，。

高中数学——必修一同步课件-函数概念的综合应用

高中数学——必修一同步课件-函数概念的综合应用


由图观察得函数的值域为{y|2≤y<11}.
(3)方法一：y 显然
4 x 1

3 x 1 4 x 1
3
4 x 1
,
可取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}. 方法二：把y=
3x 1 x 1
看成关于x的方程，
变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定义域{x|x≠
(2)当两函数的对应关系和值域分别相等时，两函数不一定相
等.
(3)若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等.
例如,函数f(x)=x2,x∈R与函数f(t)=t2,t∈R是相等函数.
类型 一
函数相等的判断
【典型例题】 1.(2013·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的 是( )
x 4 x 2
2
A.f(x)=x-2,g(x)= B.f(x)=
x x
,g(x)=1
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1 D.f(x)=
1 2
,g(x)=
x
1 2
0
2．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由. (1)y= (2)y=
x 1 1 x x 1 1 x
,y= ,y=
类型 二
求函数值域问题
【典型例题】 1.(2013·日照高一检测)函数f(x)=
1 1 x
2
(x∈R)的值域为 ( )
A.(0,1)
B.(0,1］
C.［0,1)
D.［0,1］
2.求下列函数的值域.
(1)y=3-4x,x∈(-1,3］.
(2)y=x2-4x+6,x∈［1,5).
(3)y=
高中数学总复习 函数性质的综合应用

高中数学总复习 函数性质的综合应用

√C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.－∞，－31∪(1，＋∞)
对于函数f(x)＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x， 令|x|－1>0，解得x>1或x<－1， 所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 又f(－x)＝lg(|－x|－1)＋2－x＋2x＝lg(|x|－1)＋2x＋2－x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数， 当x>1时，f(x)＝lg(x－1)＋2x＋2－x， 则y＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，
思维升华
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大 小等.
跟踪训练3 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，在区间(0,1)上，
有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则下列说法正确的是 A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
B.函数f(x)的图象关于直线x＝2轴对称
思维升华
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶 性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内， 或已知单调性的区间内求解.
跟踪训练 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足条件：①f(x)的周期为 2，②f(x
－2)为奇函数，③当 x∈[0,1)时，fxx11－ －fx2x2>0(x1≠x2)恒成立.则 f －125，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上单 调递减，则函数f(x) A.在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减
√B.在区间[0,1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增
C.在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减 D.在区间[0,1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第二章 第14讲

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第二章 第14讲

【答案】D
2．已知函数 f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较， 下列选项正确的是( )
A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)
【答案】B
考点 1 函数模型应用
例1某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生 产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件 时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于 80 千件时， C(x)＝51x＋10 x000－1 450(万元)．每．件．商品售价为 0.05
万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千．件．)的函数
轴平行
平行
随 n 值变化 而不同
值的比较
存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax
2.常见的函数模型 ①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0). ②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). ③指数函数型模型：y＝abx＋c(a≠0,b>0,b≠1). ④对数函数型模型：y＝mlogax＋n(m≠0,a>0,a≠1). ⑤幂函数型模型：y＝axn＋b(a≠0). 3.解函数应用题的基本步骤 (1)审题：就是认真读题,仔细审题,确切理解题意,明确 问题的实际背景,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识, 找出量与量之间的关系,从中提炼出相应的数学问题. (2)建模：引进数学符号,将问题中变量之间的关系抽 象或拟合成一个目标函数,将实际问题转化为函数问题. (3)求解：利用数学知识和方法,对目标函数进行解答, 求出数学结果. (4)检验：返回到实际问题,检验数学结果是否符合实 际,对具体问题进行解答.