第14讲 函数的应用 2(sl)

第14讲函数的应用陕西《中考说明》陕西2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重函数的应用1.能用一次函数解决实际问题，结合具体情境体会一次函数的意义；2.能用反比例函数解决某些实际问题，结合具体情境体会反比例函数的意义；3.能用二次函数解决简单的实际问题，通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义2014 选择题10 3一次函数的实际应用(1.求函数关系式；2.代值计算)2013 解答题21 8一次函数的实际应用2012 解答题21 8一次函数的实际应用(1.求函数关系式；2.代值计算)6.7%考查，且都稳定在第21题，分值为8分，考查形式一般有两种，一种是结合图象考查，一种为涉及图象，而对于反比例函数和二次函数的实际应用没有考查过．预计在2015年的中考中，本节内容仍会在解答题第21题考查一次函数的实际应用，结合图象考查的可能性较大，考生在复习时应熟练掌握本节的考点，通过做习题多加训练，以便从容应考．1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．一种模型函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．两种技巧(1)实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x ，y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y.(2)利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x 的取值范围．三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．1．(2014·陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg 收费22元，超过1 kg ，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg )．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg 樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？解：(1)由题意，得，当0＜x≤1时，y ＝22＋6＝28；当x ＞1时y ＝28＋10(x －1)＝10x＋18；∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0＜x≤1）10x ＋18（x ＞1） (2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43.∴这次快寄的费用是43元2．(2013·陕西)“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？ (2)求出AB 段图象的函数表达式；(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？解：(1)由图象可设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx ，当x ＝1.5时，y ＝90；所以：1.5k ＝90解得k ＝60即y ＝60x(0≤x ≤1.5)，当x ＝0.5时，y ＝60×0.5＝30，答：行驶半小时时，他们离家30千米 (2)由图象可设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x＋b ，因为A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB 上，代入得⎩⎪⎨⎪⎧90＝1.5k′＋b ，170＝2.5k′＋b 解得：k′＝80，b ＝－30，所以y ＝80x －30(1.5≤x ≤2.5) (3)当x ＝2时，代入得：y ＝80×2－30＝130，所以170－130＝40，答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米3．(2012·陕西)科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y 与x 的函数表达式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？解：(1)设y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝299，2000k ＋b ＝235解之，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4125，b ＝299.∴y ＝－4125x ＋299 (2)当x ＝1200时，y ＝－4125×1200＋299＝260.6(克/立方米)，∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米一次函数相关应用题【例1】 (2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y 与x 的函数关系式；(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．解：(1)按优惠方案①可得y 1＝20×4＋(x －4)×5＝5x ＋60(x≥4)，按优惠方案②可得y 2＝(5x ＋20×4)×90%＝4.5x ＋72(x≥4) (2)因为y 1－y 2＝0.5x －12(x≥4)，①当y 1－y 2＝0时，得0.5x －12＝0，解得x ＝24，∴当购买24张学生票时，两种优惠方案付款一样多．②当y 1－y 2＜0时，得0.5x －12＜0，解得x ＜24，∴4≤x ＜24时，y 1＜y 2，优惠方案①付款较少．③当y 1－y 2＞0时，得0.5x －12＞0，解得x ＞24，当x ＞24时，y 1＞y 2，优惠方案②付款较少【点评】 解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x 的取值，再进一步讨论．1．(2013·黔东南州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．(1)根据图象，求y 与x 之间的函数关系式； (2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧250＝50k ＋b ，100＝200k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝300，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋300 (2)∵y＝－x ＋300，∴当x ＝120时，y ＝180.设甲品牌进货单价是a 元，则乙品牌的进货单价是2a 元，由题意得120a ＋180×2a＝7200，解得a ＝15，∴乙品牌的进货单价是30元．即甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元 (3)设甲品牌文具盒进货m个，则乙品牌文具盒的进货(－m ＋300)个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧15m ＋30（－m ＋300）≤6300，4m ＋9（－m ＋300）≥1795，解得180≤m≤181，∵m 为整数，∴m ＝180，181.∴共有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W 元，由题意得W ＝4m ＋9(－m ＋300)＝－5m ＋2700.∵k＝－5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m ＝180时，W 最大＝1800元反比例函数相关应用题【例2】 (2013·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：(1)由题意得y ＝360x ，把y ＝120代入y ＝360x ，得x ＝3.把y ＝180代入y ＝360x，得x ＝2，∴自变量的取值范围为2≤x≤3，∴y ＝360x(2≤x≤3)(2)设原计划平均每天运送土石方x 万立方米，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万立方米，根据题意得360x －360x ＋0.5＝24，解得x ＝2.5或x ＝－3.经检验x ＝2.5或x ＝－3均为原方程的根，但x ＝－3不符合题意，故舍去．答：原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米【点评】 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？ (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p ＝优惠金额购买商品的总金额)，写出p 与x 之间的函数关系式，并说明p 随x 的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．解：(1)510－200＝310(元) (2)p ＝200x，∴p 随x 的增大而减小 (3)购x 元(200≤x＜400)在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x －0.6x ＝0.4x ，当0.4x ＜100，即200≤x＜250时，选甲商场优惠；当0.4x ＝100，即x ＝250时，选甲、乙商场一样优惠；当0.4x ＞100，即250＜x ＜400时，选乙商场优惠二次函数相关应用题【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC —CB ，使C ，D 点在抛物线上，A ，B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？解：(1)M 点的坐标为(12，0)，顶点P 的坐标为(6，6) (2)设抛物线为y ＝a(x －6)2＋6，∵抛物线y ＝a(x －6)2＋6经过点(0，0)．∴0＝a(0－6)2＋6，36a ＝－6，a ＝－16.∴抛物线解析式为y ＝－16(x －6)2＋6＝－16x 2＋2x (3)设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，C(12－m ，－16m 2＋2m)，D(m ，－16m 2＋2m)．∴“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－16m 2＋2m)＋(12－2m)＋(－16m 2＋2m)＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.∵a＝－13＜0.∴当m ＝3时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为15米【点评】 根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．3．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天) 1≤x＜50 50≤x≤90 售价(元/件) x ＋40 90 每天销量(件) 200－2x(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．解：(1)当1≤x＜50时，y ＝(200－2x)(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000，当50≤x≤90时，y ＝(200－2x)(90－30)＝－120x ＋12000，综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x＜50）－120x ＋12000（50≤x≤90） (2)当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元 (3)当20≤x ≤60时，每天销售利润不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)试题 杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y ＝ax 2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g 也是关于x 的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？错解 解：(1)由题意，得x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝4，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2，故y ＝2x.(2)纯收益g ＝33x －150－2x ＝31x －150.(3)由g ＝31x －150可知，x 越大，g 越大，则纯收益无最大值；要收回成本，即g ＞0，∵x ＝4时，g ＝－26＜0；x ＝5时，g ＝5＞0，∴5个月后，能收回投资．剖析 这种解法没有认真读题、审题，忽略题中“累计”二字，误以为x ＝2时y ＝4，而应该是“x ＝2时，y ＝2＋4＝6”，这个理解的失误，导致后面的两问虽然思路正确，但由于关系式出错，(2)(3)问都错了．在建立函数关系解实际问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解题习惯．正解 解：(1)由题意，得x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ，6＝4a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故y ＝x 2＋x.(2)纯收益g＝33x－150－(x2＋x)＝－x2＋32x－150.(3)∵g＝－x2＋32x－150＝－(x－16)2＋106，∴x＝16时，g有最大值，即设施开放16个月后游乐场的纯收益最大．由二次函数的增减性可知，当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；又当x＝5时，g＝－(5－16)2＋106＝－15＜0；当x＝6时，g＝－(6－16)2＋106＝6＞0，所以6个月后，能收回成本．。

襄垣县五阳矿中学九年级数学中考复习（教）学案编写人：郑威斌 参与人：高丽飞 弓丽琴 审核人：郑威斌 2015年3月 课题 第14讲 函数的应用 课时 班级 姓名 组别1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式； (3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．一种模型函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．两种技巧(1)实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x ，y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y.(2)利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x 的取值范围．三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．中考真题再现1．(2014·陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg 收费22元，超过1 kg ，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg )．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg 樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？解：(1)由题意，得，当0＜x ≤1时，y ＝22＋6＝28；当x ＞1时y ＝28＋10(x －1)＝10x ＋18；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0＜x ≤1）10x ＋18（x ＞1） (2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43.∴这次快寄的费用是43元2．(2013·陕西)“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？ (2)求出AB 段图象的函数表达式；(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？解：(1)由图象可设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx ，当x ＝1.5时，y ＝90；所以：1.5k ＝90解得k ＝60即y ＝60x(0≤x ≤1.5)，当x ＝0.5时，y ＝60×0.5＝30，答：行驶半小时时，他们离家30千米 (2)由图象可设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x ＋b ，因为A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB 上，代入得⎩⎪⎨⎪⎧90＝1.5k′＋b ，170＝2.5k′＋b 解得：k′＝80，b ＝－30，所以y ＝80x －30(1.5≤x ≤2.5) (3)当x ＝2时，代入得：y ＝80×2－30＝130，所以170－130＝40，答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米3．(2012·陕西)科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y 与x 的函数表达式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？解：(1)设y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝299，2000k ＋b ＝235解之，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4125，b ＝299.∴y ＝－4125x ＋299 (2)当x ＝1200时，y ＝－4125×1200＋299＝260.6(克/立方米)，∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米一次函数相关应用题【例1】 (2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y 与x 的函数关系式； (2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．解：(1)按优惠方案①可得y 1＝20×4＋(x －4)×5＝5x ＋60(x ≥4)，按优惠方案②可得y 2＝(5x ＋20×4)×90%＝4.5x ＋72(x ≥4) (2)因为y 1－y 2＝0.5x －12(x ≥4)，①当y 1－y 2＝0时，得0.5x －12＝0，解得x ＝24，∴当购买24张学生票时，两种优惠方案付款一样多．②当y 1－y 2＜0时，得0.5x －12＜0，解得x ＜24，∴4≤x ＜24时，y 1＜y 2，优惠方案①付款较少．③当y 1－y 2＞0时，得0.5x －12＞0，解得x ＞24，当x ＞24时，y 1＞y 2，优惠方案②付款较少【点评】 解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x 的取值，再进一步讨论．1．(2013·黔东南州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．(1)根据图象，求y 与x 之间的函数关系式； (2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎨⎧250＝50k ＋b ，100＝200k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝300，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋300 (2)∵y ＝－x ＋300，∴当x ＝120时，y ＝180.设甲品牌进货单价是a 元，则乙品牌的进货单价是2a 元，由题意得120a ＋180×2a ＝7200，解得a ＝15，∴乙品牌的进货单价是30元．即甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元 (3)设甲品牌文具盒进货m 个，则乙品牌文具盒的进货(－m ＋300)个，由题意得⎩⎨⎧15m ＋30（－m ＋300）≤6300，4m ＋9（－m ＋300）≥1795，解得180≤m ≤181，∵m 为整数，∴m ＝180，181.∴共有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W 元，由题意得W ＝4m ＋9(－m ＋300)＝－5m ＋2700.∵k ＝－5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m ＝180时，W 最大＝1800元【例2】 (2013·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：(1)由题意得y ＝360x ，把y ＝120代入y ＝360x ，得x ＝3.把y ＝180代入y ＝360x，得x ＝2，∴自变量的取值范围为2≤x ≤3，∴y ＝360x(2≤x ≤3)(2)设原计划平均每天运送土石方x 万立方米，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万立方米，根据题意得360x －360x ＋0.5＝24，解得x ＝2.5或x ＝－3.经检验x ＝2.5或x ＝－3均为原方程的根，但x ＝－3不符合题意，故舍去．答：原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米【点评】 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x ＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p ＝优惠金额购买商品的总金额)，写出p 与x 之间的函数关系式，并说明p 随x 的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x ＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．解：(1)510－200＝310(元) (2)p ＝200x，∴p 随x 的增大而减小 (3)购x 元(200≤x ＜400)在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x －0.6x ＝0.4x ，当0.4x ＜100，即200≤x ＜250时，选甲商场优惠；当0.4x ＝100，即x ＝250时，选甲、乙商场一样优惠；当0.4x ＞100，即250＜x ＜400时，选乙商场优惠二次函数相关应用题【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD —DC —CB ，使C ，D 点在抛物线上，A ，B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？解：(1)M 点的坐标为(12，0)，顶点P 的坐标为(6，6) (2)设抛物线为y ＝a(x －6)2＋6，∵抛物线y＝a(x －6)2＋6经过点(0，0)．∴0＝a(0－6)2＋6，36a ＝－6，a ＝－16.∴抛物线解析式为y ＝－16(x －6)2＋6＝－16x 2＋2x (3)设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，C(12－m ，－16m 2＋2m)，D(m ，－16m 2＋2m)．∴“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－16m 2＋2m)＋(12－2m)＋(－16m 2＋2m)＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.∵a ＝－13＜0.∴当m ＝3时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为15米【点评】 根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．3．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x ≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天) 1≤x ＜50 50≤x ≤90售价(元/件) x ＋4090 每天销量(件) 200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元． (1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．解：(1)当1≤x ＜50时，y ＝(200－2x)(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000，当50≤x ≤90时，y ＝(200－2x)(90－30)＝－120x ＋12000，综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x ＜50）－120x ＋12000（50≤x ≤90） (2)当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元 (3)当20≤x ≤60时，每天销售利润不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)试题 杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y ＝ax 2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g 也是关于x 的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？错解 解：(1)由题意，得x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝4，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎨⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2，故y ＝2x.(2)纯收益g ＝33x －150－2x ＝31x －150.(3)由g ＝31x －150可知，x 越大，g 越大，则纯收益无最大值；要收回成本，即g ＞0，∵x ＝4时，g ＝－26＜0；x ＝5时，g ＝5＞0，∴5个月后，能收回投资．剖析 这种解法没有认真读题、审题，忽略题中“累计”二字，误以为x ＝2时y ＝4，而应该是“x ＝2时，y ＝2＋4＝6”，这个理解的失误，导致后面的两问虽然思路正确，但由于关系式出错，(2)(3)问都错了．在建立函数关系解实际问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解题习惯．正解 解：(1)由题意，得x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎨⎧2＝a ＋b ，6＝4a ＋2b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，故y ＝x 2＋x.(2)纯收益g ＝33x －150－(x 2＋x)＝－x 2＋32x －150.(3)∵g ＝－x 2＋32x －150＝－(x －16)2＋106，∴x ＝16时，g 有最大值，即设施开放16个月后游乐场的纯收益最大．由二次函数的增减性可知，当0＜x ≤16时，g 随x 的增大而增大；又当x ＝5时，g ＝－(5－16)2＋106＝－15＜0；当x ＝6时，g ＝－(6－16)2＋106＝6＞0，所以6个月后，能收回成本．教学反思;。