2015年陕西省中考数学总复习考点跟踪突破：第14讲 函数的应用

第14讲二次函数的实际应用【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同.【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.考点3 二次函数在面积问题中的应用考点4 灵活选用适当的函数模型【易错提示】建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数解析式进行验证，防止出现错解.1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考.2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点(横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.命题点1 实物抛物线例1 (2014·盐城)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.【思路点拨】(1)根据h=2.6和函数图象经过点(0，2)，确定二次函数的解析式；(2)令x=9，求y值，若y≥2.43，则球能过网，反之则不能.令y=0，求x值.若x≤18，则球不出界，反之就会出界；或者令x=18求y，若y＞0则出界，否则不出界;(3)把二次函数化为只含有字母系数h的形式.然后令x=9时y＞2.43，且当x=18时y≤0，从而确定h的取值范围. 【解答】方法归纳：利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案.1.(2013·仙桃)2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-29x2+89x+109，则羽毛球飞出的水平距离为米.2.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间ｔ(单位：时)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？命题点2 二次函数在销售问题中的应用例2 (2014·滨州模拟)某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】(1)根据定价，算出对应销售量，然后求当月利润；(2)每月的销售利润=单件利润×月销售量，得二次函数关系式，然后转化为顶点式求最大利润.【解答】方法归纳：本题最后问的是售价，而关系中给出的是涨价，一定要分清二者的关系，这是一个易错点.这类题一般设涨价或者降价为x元，得二次函数关系式.最后将结果化到售价即可.1.(2013·衢州)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多.2.某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?命题点3 二次函数在面积问题中的应用例3 (2013·莆田)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB=4米，∠ABC=60°.设AE=x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S米2.(1)求S与x的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元／米2，黄色花草的价格为40元／米2.当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号).【思路点拨】(1)连接AC，BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF.AC 与EH交于M，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式；(2)根据(1)的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可.【解答】方法归纳：解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围.1.小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?2.(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)命题点4 灵活选用适当的函数模型例4 (2013·武汉)科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表).温度x/℃…-4-20244.5…植物每天高度增长量y/mm…414949412519.75…由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长最大？(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？直接写出结果.【思路点拨】(1)利用自变量可取0，排除反比例函数；利用三点不共线，排除一次函数；(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；(3)利用二次函数与一元一次方程以及一元二次不等式关系求解.【解答】方法归纳：此题是一道二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.(2013·乌鲁木齐)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：价格x(元/个)…30405060…销售量y(万个)…5432…同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；(2)求得该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5月B.6月C.7月D.8月3.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3 600元4.(2014·株洲模拟)株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高(中柱)10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是( )A.7米B.7.6米C.8米D.8.4米5.（2013·山西）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB=36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为 m.6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+750，由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是元.7.将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段,并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为r1和r2.(1)求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围;(2)将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值.8.如图是一座桥,桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24 m，最高点离水面8 m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.(1)求此桥拱线所在抛物线的解析式；(2)桥边有一艘船,浮在水面部分高4 m，最宽处，试探索此船能否开到桥下?说明理由.9.(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.(1)求y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果.10.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.(1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围.11.(2013·青岛)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件.试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于25元且不高于29元.请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.参考答案考点解读①待定系数②等量关系③最值④面积关系式⑤最值⑥函数类型⑦待定系数法各个击破例1∵点(0，2)在y=a(x-6)2+h的图象上，∴2=a (0-6)2+h ，a=236h-， 函数可写成y=236h -(x-6)2+h. (1)当h=2.6时，y 与x 的关系式是 y=-160(x-6)2+2.6； (2)球能越过球网，球会出界. 理由：当x=9时，y=-160×(9-6)2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网； 当y=0时，-160(x-6)2+2.6=0，解得x 118，x 2舍去)，故球会出界. 另解：当x=18时，y=-160×(18-6)2+2.6=0.2＞0，所以球会出界. (3)由球能越过球网可知，当x=9时，y=24h-+h ＞2.43，①由球不出边界可知，当x=18时，y=8-3h ≤0，② 由①、②知h ≥83，所以h 的取值范围是h ≥83. 题组训练 1.52.(1)依题意有顶点Ｃ的坐标为(0，11)，点Ｂ的坐标为(8，8)，设抛物线解析式为y=ax 2+c ，有86411.a c c =+⎧⎨=⎩，解得36411.a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=364-x 2+11. (2)令-1128(t-19)2+8=11-5，解得t 1=35，t 2=3. 因为-1128<0，所以当3≤ｔ≤35时，水面到顶点C 的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35-3=32(时).答：禁止船只通行时间为32小时.例2 (1)获利：(30-20)×[105-5×(30-25)]=800（元）. 答：当售价定为30元时，一个月可获利800元； (2)设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元，由题意，得y=(x-20)[105-5(x-25)]=-5x 2+330x-4 600=-5(x-33)2+845， 当x=33时，y 的最大值为845，故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元. 题组训练 1.102.(1)根据题意，得y=(60-50+x)(200-10x)，整理，得y=-10x 2+100x+2 000(0≤x ≤12)；(2)由(1)得y=-10x 2+100x+2 000=-10(x-5)2+2 250，当x=5，即每件商品的售价定为65元时利润最大，最大月利润为2 250元. 例3 (1)连接AC ，BD.AC 与EH 的交点为M.∵花坛为轴对称图形，∴EH∥BD，EF∥AC.∴△BEF∽△BAC.∵∠ABC=60°，∴△ABC，△BEF是等边三角形.∴EF=B E=AB-AE=4-x.在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，则EM=AE·cos∠AEM=2x.∴∴S=EH··(4-x).即2(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低.又∵22∴当x=2时，S最大易得S四边形ABCD此时四个三角形的面积为米2).∴最低总费用为：20××元).答：当x=2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是.题组训练 1.(1)S=12×x(40-x)=-12x2+20x.(2)S=-12(x-20)2+200.即当x=20时，这个三角形的面积最大，最大面积是200 cm2.2.根据题意，得y=20x(1802-x)，整理，得y=-20x2+1 800x.∵y=-20x2+1 800x=-20(x-45)2+40 500，∵-20＜0，∴当x=45时，函数有最大值，y最大值=40 500，即当底面的宽为45 cm时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm3.例4(1)选择二次函数，因为当x=0时，y=49，所以c=49.所以设y=ax2+bx+49，得424949,424941.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩ ∴y 关于x 的函数关系式是y=-x 2-2x+49.不选另外两个函数的理由：∵点(0，49)不可能在反比例函数图象上， ∴y 不是x 的反比例函数；∵点(-4，41)，(-2，49)，(2，41)不在同一直线上，∴y 不是x 的一次函数.(2)由(1)，得y=-x 2-2x+49=-(x+1)2+50.∵a=-1＜0，∴当x=-1时，y 有最大值为50，即当温度为-1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大.(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm ， ∴平均每天该植物高度增长量超过25 mm ，当y=25时，-x 2-2x+49=25，整理，得x 2+2x-24=0，解得x 1=-6，x 2=4，∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm ，实验室的温度应保持在-6 ℃＜x ＜4 ℃.题组训练 (1)经描点、连线可知，表中的y 与x 之间的对应关系为一次函数关系，设y=kx+b ，由题意得305,40 4.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得0.1,8.k b =-⎧⎨=⎩ ∴y 与x 的函数解析式为y=-0.1x+8. (2)由题意，得z=(x-20)y-40=(x-20)(-0.1x+8)-40=-0.1x 2+10x-200=-0.1(x-50)2+50， ∴当x=50时，z 最大值=50.即z 与x 的函数解析式为z=-0.1x 2+10x-200.销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元.(3)当z=40时，-0.1(x-50)2+50=40. 解得x=40或60.又∵该公司要求净得利润不能低于40万元， ∴40≤x ≤60.又∵还需考虑销售量尽可能大，即y 尽可能大，x 尽可能小，∴x=40.即销售价格x(元/个)的取值范围是40≤x ≤60，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个. 整合集训1.A2.C3.A4.D5.486.1 5507.(1)依题意得2πr 1+2πr 2=16π, 化简得r 1+r 2=8,0<r1<8.(2)两圆面积和S=πr 12+πr 22=π(r 12+r 22)=π［r 12+(8-r 1)2］=2π(r 12-8r 1+32)=2π［(r 1-4)2+16］, 当r 1=4时，面积和有最小值32π平方厘米.8.(1)设抛物线所对应的函数关系式为y=ax 2+8，又抛物线过点(12，0)，∴0=a ×122+8，故a=-118， 所以抛物线的解析式为y=-118x 2+8；(2)当y=-118×2+8,得y=4，所以从理论上讲，此渔船刚好能驶入桥拱下纳凉.9.(1)22180 2 000(150)12012 000.(5090)x x xyx x⎧-++≤<=⎨-+≤≤⎩，(2)当1≤x<50时，y=-2x2+180x+2 000=-2(x-45)2+6 050,∵-2<0,∴当x=45时，y有最大值，最大值为6 050元;当50≤x≤90时，y=-120x+12 000,∵-120<0,∴y随x的增大而减少.∴当x=50时，y有最大值，最大值为6 000元.∴销售该商品第45天时，每天销售利润最大，最大利润为6 050元.(3)41天.10.(1)y=30-2x(6≤x＜15).(2)设矩形苗圃园的面积为S，则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x=-2(x-7.5)2+112.5，由(1)知，6≤x＜15，∴当x=7.5时，S最大值=112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5.(3)∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，即-2(x-7.5)2+112.5≥88，由图象知4≤x≤11.∴x的取值范围为4≤x≤11.11.(1)w＝(x-20)[250-10(x-25)]＝-10(x-20)(x-50)＝-10x2＋700x-10 000.(2)∵w＝-10x2+700x-10 000＝-10(x-35)2＋2 250，∴当x＝35时，w取到最大值2 250，即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2 250元.(3)∵w＝-10(x-35)2＋2 250，∴函数图象是以x＝35为对称轴且开口向下的抛物线.∴对于方案A，需20＜x≤30，此时图象在对称轴左侧(如下图)，w随x的增大而增大，∴x＝30时，w取到最大值2 000.∴当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2 000元.对于方案B，45≤x＜49，此时图象位于对称轴右侧(如下图)，∴w随x的增大而减小，故当x＝45时，w取到最大值1 250，∴当采用方案B时，销售单价为45元可获得最大利润为1 250元.两者比较，方案A的最大利润更高.11。

绝密★启用前陕西省2016年初中毕业学业考试数学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算：1()22-⨯=( )A.1-B.1C.4D.4-2.如图,下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成,则它的左视图是( )A B C D3.下列计算正确的是( )A.224+34x x x=B.2362=2x y x x yC.322(6)(3)2x y x x÷=D.22(3)9x x-=4.如图,AB CD∥,AE平分CAB∠交CD于点E.若50C∠=,则AED∠= ( )A.65B.115C.125D.1305.设点,()A a b是正比例函数32y x=-图象上的任意一点,则下列等式一定成立的是( )A.23=0a b+B.23=0a b-C.320a b-=D.32=0a b+6.如图,在ABC△中,90ABC∠=,8AB=,6BC=.若DE是ABC△的中位线,延长DE交ABC△的外角ACM∠的平分线于点F,则线段DF的长为( )A.7B.8C.9D.107.已知一次函数5y kx=+和7y k x'=+.假设0k＞且0k'＜,则这两个一次函数图象的交点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若,M N是边AD上的两点,连接MO,NO,并分别延长交边BC于两点M',N',则图中的全等三角形共有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图,O的半径为4,ABC△是O的内接三角形,连接OB,OC.若BAC∠与BOC∠互补,则弦BC的长为( )A.B.C.D.10.已知抛物线223y x x=--+与x轴交于A,B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC,BC,则tan CAB∠的值为( )A.1BC D.2第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.请把答案填写在题中的横线上)11.不等式1302x-+＜的解集是.毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第1页（共36页）数学试卷第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页） 数学试卷 第4页（共36页）12.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题记分.A .一个正多边形的一个外角为45,则这个正多边形的边数是 .B .运用科学计算器计算：7352'≈ (结果精确到0.1).13.已知一次函数24y x =+的图象分别交x 轴、y 轴于A ,B 两点.若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C ,且2AB BC =,则这个反比例函数的表达式为 .14.如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=,2AB =,点P 是这个菱形内部或边上的一点.若以点P ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则P ,D (P ,D 两点不重合)两点间的最短距离为 .三、解答题(本大题共11小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满5分)0|1(7π)++.16.(本小题满分5分) 化简：2161(5)39x x x x --+÷+-.17.(本小题满分5分)如图,已知ABC △,90BAC ∠=.请用尺规过点A 作一条直线,使其将ABC △分成两个相似的三角形.(保留作图痕迹,不写作法)18.(本小题满分5分)某校为了进一步改进本校七年级数学教学,提高学生学习数学的兴趣.校教务处在七年级所有班级中,每班随机抽取6名学生,并对他们的数学学习情况进行了问卷调查.我们从所调查的题目中,特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A —非常喜欢”“B —比较喜欢”“C —不太喜欢”“D —很不喜欢”,针对这个题目,问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行统计.现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.所抽取学生对数学学习喜欢程度的调查统计图图1图2请你根据以上提供的信息,解答下列问题： (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ；(3)若该校七年级共有960名学生,请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？19.(本小题满分7分)如图,在□ABCD 中,连接BD ,在BD 的延长线上取一点E ,在DB 的延长线上取一点F ,使BF DE =,连接AF ,CE . 求证：AF CE ∥.数学试卷 第5页（共36页） 数学试卷 第6页（共36页）20.(本小题满分7分)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下：如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM 上的对应位置为点C .镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到D 点时,看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的高度 1.5ED =米,2CD =米；然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下：如图,小亮从D 点沿DM 方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F 点处,此时,测得小亮身高FG 的影长 2.5FH =米, 1.65FG =米.如图,已知：AB BM ⊥,ED BM ⊥,GF BM ⊥,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB 的长度.21.(本小题满分7分)昨天早晨7点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新大赛,赛后,他当天按原路返回,如图,是小明昨天出行的过程中,他去西安的距离y (千米)与他离家的时间x (时)之间的函数图象.根据图象,回答下列问题：(1)求线段AB 所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时,小明距西安112千米,求他何时到家？22.(本小题满分7分)某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,均可凭购物小票参与抽奖活动.奖品是三种瓶装饮料,他们分别是：绿茶(500mL )、红茶(500mL ),和可乐(600mL ).抽奖规则如下：①如图,是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等分成五个扇形区域,每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样； ②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止后,可获得指针所指区域的字样,我们称这次转动为一次“有效随机转动”)；③假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针指向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后,记下两次指针所指区域的两个字,只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关),便可获得相应奖品一瓶；不相同时,不能获得任何奖品. 根据以上规则,回答下列问题：(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；(2)有一名顾客凭本超市的购物小票,参与了一次抽奖活动.请你用列表或画树状图等方法,求该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率；毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共36页） 数学试卷 第8页（共36页）23.(本小题满分8分)如图,已知：AB 是O 的弦,过点B 作BC AB ⊥交O 于点C ,过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D ,取AD 的中点E ,过E 作EF BC ∥交DC 的延长线于点F ,连接AF 并延长交BC 的延长线于点G . 求证：(1)FC FG =； (2)2AB BC BG =.24.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点.抛物线25y ax bx =++经过点()1,3M 和()3,5N .(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点(2,0)A -,且与y 轴交于点B ,同时满足以A ,O ,B 为顶点的三角形是等腰直角三角形.请你写出平移过程,并说明理由.25.(本小题满分12分) 问题提出(1)如图1,已知ABC △.请画出ABC △关于直线AC 对称的三角形. 问题探究(2)如图2,在矩形ABCD 中,4AB =,6AD =,4AE =,2AF =.是否在边BC ,CD 上分别存在点,G H ,使得四边形EFGH 的周长最小？若存在,求出它周长的最小值；若不存在,请说明理由. 问题解决(3)如图3,有一矩形板材ABCD ,3AB =米,6AD =米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH 部件,使90EFG ∠=,EF FG ==,45EHG ∠=.经研究,只有当点E ,F ,G 分别在边AD ,AB ,BC 上,且AF BF ＜,并满足点H 在矩形ABCD 内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件.试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能,求出裁得的四边形EFGH 部件的面积；若不能,请说明理由.图1图2图35 / 18陕西省2016年初中毕业学业水平考试数学答案解析一、选择题1.【答案】A【解析】解：原式1=-，故选A【提示】原式利用乘法法则计算即可得到结果. 【考点】有理数的乘法. 2.【答案】C【解析】解：根据题意得到几何体的左视图为，故选C【提示】根据已知几何体，确定出左视图即可． 【考点】简单组合体的三视图． 3.【答案】D【解析】解：A 、原式24x =，错误； B 、原式52x y =，错误； C 、原式22xy =，错误； D 、原式29x =，正确；故选D【考点】整式的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式． 4.【答案】B【解析】解：∵AB CD ∥， ∴180C CAB ︒∠+∠=， ∵50C ︒∠=，∴18050130CAB ︒︒︒∠=-=， ∵AE 平分CAB ∠， ∴65EAB ︒∠=， ∵AB CD ∥，∴180EAB AED ︒∠+∠=， ∴18065115AED ︒︒︒∠=-=， 故选B【提示】根据平行线性质求出CAB ∠的度数，根据角平分线求出EAB ∠的度数，根据平行线性质求出AED∠的度数即可． 【考点】平行线的性质． 5.【答案】D【解析】解：把点(,)A a b 代入正比例函数32y x =-， 可得：32a b -=， 可得：320a b +=，数学试卷 第11页（共36页）数学试卷 第12页（共36页）故选D【提示】直接把点(,)A a b 代入正比例函数32y x =-，求出a ，b 的关系即可． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 6.【答案】B【解析】解：在Rt ABC △中，∵90ABC ︒∠=，8AB =，6BC =，∴10AC ===，∵DE 是ABC △的中位线， ∴DF BM ∥，132DE BC ==， ∴EFC FCM ∠=∠， ∵FCE FCM ∠=∠， ∴EFC ECF ∠=∠，∴152EC EF AC ===， ∴358DF DE EF =+=+=．故选B【提示】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF BM ∥，再证明12EC EF AC ==，由此即可解决问题．【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理． 7.【答案】A【解析】解：∵一次函数5y kx =+中0k ＞，∴一次函数5y kx =+的图象经过第一、二、三象限． 又∵一次函数7y k x =+’中k ＜0’，∴一次函数7y k x =+’的图象经过第一、二、四象限． ∵57＜，∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限， 故选A【提示】根据k 的符号来求确定一次函数y kx b =+的图象所经过的象限，然后根据b 的情况即可求得交点的位置．【考点】两条直线相交，平行问题．8.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB CD CB AD ===，90A C ABC ADC ︒∠=∠=∠=∠=，AD BC ∥，7 / 18在ABD △和BCD △中，AB BC A C AD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABD BCD △≌△， ∵AD BC ∥，∴MDO M BO ∠=∠’， 在MOD ∠和M OB ∠’中，MDO M BO MOD M OB DM BM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩’’’， ∴MDO M BO △≌△’，同理可证NOD N OB △≌△’， ∴MON M ON △≌△’’， ∴全等三角形一共有4对． 故选C ．【提示】可以判断ABD BCD △≌△，MDO M BO △≌△’，NOD N OB △≌△’，MON M ON △≌△’’由此即可对称结论．【考点】正方形的性质，全等三角形的判定． 9.【答案】B【解析】解：过点O 作OD BC ⊥于D ， 则2BC BD =，∵ABC △内接于O ，BAC ∠与BOC ∠互补， ∴2BOC A ∠=∠，180BOC A ︒∠+∠=， ∴120BOC ︒∠=， ∵OB OC =， ∴()1180302OBC OCB BOC ︒︒∠=∠=-∠=， ∵O 的半径为4，∴cos 4BD OB OBC =∠==∴BC =． 故选B数学试卷 第15页（共36页）数学试卷 第16页（共36页）【提示】首先过点O 作OD BC ⊥于D ，由垂径定理可得2BC BD =，又由圆周角定理，可求得BOC ∠的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得OBC ∠的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形． 10.【答案】D【解析】解：令0y =，则2230x x --+=，解得3x =-或1，不妨设()3,0A -，()1,0B ， ∵()222314y x x x =--+=-++， ∴顶点()1,4C -，如图所示，作CD AB ⊥于D ．在Rt ACD △中，4tan 22CD CAD AD ∠===， 故选D【提示】先求出A 、B 、C 坐标，作CD AB ⊥于D ，根据tan CDCAD AD∠=即可计算． 【考点】抛物线与x 轴的交点，锐角三角函数的定义． 二、填空题11.【答案】6x ＞【解析】解：移项，得132x --＜， 系数化为1得6x ＞． 故答案是6x ＞．【提示】移项、系数化成1即可求解． 【考点】解一元一次不等式．9 / 1812.【答案】A.8 B.11.9【解析】解：A.∵正多边形的外角和为360︒ ∴这个正多边形的边数为：360458︒︒÷=B.735212.3690.96111.9︒⨯≈≈’ 故答案为：8，11.9【提示】A.根据多边形内角和为360︒进行计算即可；B.先分别求得和sin 7352︒’的近似值，再相乘求得计算结果．【考点】近似数和有效数字，多边形内角与外角． 13.【答案】6y x=【解析】解：∵一次函数24y x =+的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点， ∴()2,0A -，()0,4B ， 过C 作CD x ⊥轴于D ， ∴OB CD ∥， ∴ABO ACD △∽△，∴23OB AO AB CD AD AC ===， ∴6CD =，3AD =， ∴1OD =，∴()1,6C ，设反比例函数的解析式为k y x=， ∴6k =，∴反比例函数的解析式为6y x=． 故答案为：6y x=．数学试卷 第19页（共36页）数学试卷 第20页（共36页）【提示】根据已知条件得到()2,0A -，()0,4B ，过C 作CD x ⊥轴于D ，根据相似三角形的性质得到23OB AO AB CD AD AC ===，求得()1,6C ，即可得到结论． 【考点】反比例函数，一次函数的交点． 14.【答案】2-【解析】解：如图连接AC 、BD 交于点O ，以B 为圆心BC 为半径画圆交BD 于P ． 此时PBC △是等腰三角形，线段PD 最短， ∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，∴AB BC CD AD ===，60ABC ADC ︒∠=∠=， ∴ABC △，ADC △是等边三角形，∴2BO DO ==，∴2BD BO ==∴PD最小值2BD BP =-=．故答案为2．【提示】如图连接AC 、BD 交于点O ，以B 为圆心BC 为半径画圆交BD 于P ．此时PBC △是等腰三角形，11 / 18线段PD 最短，求出BD 即可解决问题．【考点】菱形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质．三、解答题15.2【解析】解：原式)11=+2=2【提示】直接化简二次根式、去掉绝对值、再利用零指数幂的性质化简求出答案．【考点】实数的运算，零指数幂．16.【答案】243x x -+【解析】解：原式()()()213331x x x x x -+-=+- ()()13x x =-- 243x x =-+【提示】根据分式的除法，可得答案．【考点】分式的混合运算． 17.【答案】解：如图，AD 为所作．【提示】过点A 作AD BC ⊥于D ，利用等角的余角相等可得到BAD C ∠=∠，则可判断ABD △与CAD △相似．【考点】相似变换．18.【答案】（1）由题意可得，调查的学生有：3025120÷=%（人）选B 的学生有：1201830666---=（人）B 所占的百分比是：6612010055÷⨯=%%，D 所占的百分比是：61201005÷⨯=%%，故补全的条形统计图与扇形统计图如下图所示，数学试卷 第23页（共36页）数学试卷 第24页（共36页）（2）由（1）中补全的条形统计图可知，所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢，故答案为：比较喜欢；（3）由（1）中补全的扇形统计图可得，该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有：96025240⨯%=（人），即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．【提示】（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到调查的学生数，从而可以的选B 的学生数和选B 和选D 的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；（3）根据（1）中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的人数． 【考点】众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图．19.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴12∠=∠，∵BF DE =，∴BF BD DE BD +=+，即DF BE =，在ADF △和CBE △中，12AD BC DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADF CBE SAS △≌△，∴AFD CEB ∠=∠，∴AF CE ∥．【提示】由平行四边形的性质得出AD BC ∥，AD BC =，证出12∠=∠，DF BE =，由SAS 证明ADF CBE△≌△，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论． 【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．20.【答案】99m【解析】解：由题意可得：90ABC EDC GFH ︒∠=∠=∠=，13 / 18ACB ECD ∠=∠，AFB GHF ∠=∠，故ABC EDC △∽△，ABF GFH △∽△， 则AB BC ED DC =，AB BF GF FH=， 即1.52AB BC =，181.65 2.5AB BC +=， 解得：99AB =， 答：“望月阁”的高AB 的长度为99 m ．【提示】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出ABC EDC △∽△，ABF GFH △∽△，进而利用相似三角形的性质得出AB 的长【考点】相似三角形的应用．21.【答案】（1）()9619202y x x =-+≤≤（2）4时【解析】解：（1）设线段AB 所表示的函数关系式为：y kx b =+，依题意有19220b k b =⎧⎨+=⎩， 解得96192k b =-⎧⎨=⎩． 故线段AB 所表示的函数关系式为：()9619202y x x =-+≤≤；（2）()1237 6.61513.6 1.4+-+=-=（小时）112 1.480÷=（千米/时）80801÷=（小时）314+=（时）答：他下午4时到家．【提示】（1）可设线段AB 所表示的函数关系式为：y kx b =+，根据待定系数法列方程组求解即可； （2）先根据=÷速度路程时间求出小明回家的速度，再根据=÷时间路程速度，列出算式计算即可求解．【考点】一次函数的应用．22.【答案】（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样； ∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为15； （2）画树状图得：数学试卷第27页（共36页）数学试卷 第28页（共36页） ∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况， ∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为225． 【提示】（1）由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【考点】列表法与树状图法，概率公式．23.【答案】证明：（1）∵EF BC ∥，AB BG ⊥，∴EF AD ⊥，∵E 是AD 的中点，∴FA FD =，∴FAD D ∠=∠，∵GB AB ⊥，∴90GAB G D DCB ︒∠+∠=∠+∠=，∴DCB G ∠=∠，∵DCB GCF ∠=∠，∴GCF G ∠=∠，∴FC FG =.（2）连接AC ，如图所示：∵AB BG ⊥，∴AC 是O 的直径，∵FD 是O 的切线，切点为C ，∴DCB CAB ∠=∠，∵DCB G ∠=∠，∴CAB G ∠=∠，∵90CBA GBA ︒∠=∠=，∴ABC GBA △∽△， ∴AB BCGB AB =，∴2AB BC BG =．15 / 18【提示】（1）由平行线的性质得出EF AD ⊥，由线段垂直平分线的性质得出FA FD =，由等腰三角形的性质得出FAD D ∠=∠，证出DCB G ∠=∠，由对顶角相等得出GCF G ∠=∠，即可得出结论；（2）连接AC ，由圆周角定理证出AC 是O 的直径，由弦切角定理得出DCB CAB ∠=∠，证出CAB ∠G =∠，再由90CBA GBA ︒∠=∠=，证明ABC GBA △∽△，得出对应边成比例，即可得出结论．【考点】相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质．24.【答案】（1）由抛物线过M 、N 两点，把M 、N 坐标代入抛物线解析式可得539355a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为235y x x =-+，令0y =可得2350x x -+=，该方程的判别式为()23415920110∆=--⨯⨯=-=-＜，∴抛物线与x 轴没有交点；（2）∵AOB △是等腰直角三角形，()2,0A -，点B 在y 轴上，∴B 点坐标为()0,2或()0,2-，可设平移后的抛物线解析式为2y x mx n =++， ①当抛物线过点()2,0A -，()0,2B 时，代入可得2420n m n =⎧⎨-+=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩， ∴平移后的抛物线为232y x x =++， ∴该抛物线的顶点坐标为31,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而原抛物线顶点坐标为311,24⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过()2,0A -，()0,2B -时，代入可得2420n m n =-⎧⎨-+=⎩，解得12m n =⎧⎨=-⎩， ∴平移后的抛物线为22y x x =+-， ∴该抛物线的顶点坐标为19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而原抛物线顶点坐标为311,24⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．【提示】（1）把M 、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得a 、b 的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x 轴的交点情况；（2）利用A 点坐标和等腰三角形的性质可求得B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A 、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．【考点】二次函数综合题．数学试卷 第31页（共36页）数学试卷 第32页（共36页）25.【答案】（1）如图1，ADC △即为所求；（2）存在 （3）能裁得【解析】（2）理由：作E 关于CD 的对称点E′，作F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于G ，交CD 于H ，连接FG ，EH ，则F G FG =’，E H EH =’，则此时四边形EFGH 的周长最小，由题意得：2BF BF AF ===‘，2DE DE ==‘，90A ︒∠=，∴6AF =‘，8AE =‘，∴10E F =‘‘，EF =，∴四边形EFGH的周长的最小值10EF FG GH HE EF E F =+++=+=’’，∴在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小，最小值为10；（3）能裁得，理由：∵EF FG ==90A B ︒∠=∠=，1290AFE AFE ︒∠+∠=∠+∠=，∴12∠=∠，在AEF △与BGF △中，12A B EF FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF BGF △≌△，∴AF BG =，AE BF =，设AF x =，则3AE BF x ==-，∴()2223x x +-=，解得1x =，2x =（不合题意，舍去），17 / 18∴1AF BG ==，2BF AE ==，∴4DE =，5CG =，连接EG ，作EFG △关于EG 的对称EOG △，则四边形EFGO 是正方形，90EOG ︒∠=，以O 为圆心，以EG 为半径作O ，则45EHG ︒∠=的点在O 上，连接FO ，并延长交O 于H ′，则H′在EG 的垂直平分线上，连接EH′GH′，则45EH G ︒∠=’，此时，四边形EFGH ′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C 在线段EG 的垂直平分线设，∴点F ，O ，H ′，C 在一条直线上，∵EG =∴OF EG ==∵CF =∴OC =∵OH OE FG ===’∴OH OC ＜’，∴点H ′在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，这个部件的面积11522EG FH ==⨯=+’， ∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH ′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为25m ⎛+ ⎝⎭．【提示】（1）作B 关于AC 的对称点D ，连接AD ，CD ，ACD △即为所求；（2）作E 关于CD 的对称点E ′，作F 关于BC 的对称点F ′，连接E ′F ′，得到此时四边形EFGH 的周长最小，根据轴对称的性质得到2BF BF AF ===‘，2DE DE ==‘，90A ︒∠=，于是得到6AF =‘，8AE =‘，求数学试卷 第35页（共36页） 数学试卷 第36页（共36页） 出10E F =‘‘，EF =即可得到结论；（3）根据余角的性质得到12∠=∠，推出AEF BGF △≌△，根据全等三角形的性质得到AF BG =，AE BF =，设AF x =，则3AE BF x ==-根据勾股定理列方程得到1AF BG ==，2BF AE ==，作EFG △关于EG 的对称EOG △，则四边形EFGO 是正方形，90EOG ︒∠=，以O 为圆心，以EG 为半径作O ，则45EHG ︒∠=的点在O 上，连接FO ，并延长交O 于H ′，则H ′在EG 的垂直平分线上，连接EH ′GH ′，则45EH G ︒∠=’，于是得到四边形EFGH ′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．【考点】四边形综合题．。

函数的应用是数学中的一个重要内容，也是中考数学考试中常出现的题型。

函数的应用有很多不同的方面，比如函数的图像、函数的性质、函数的应用问题等等。

下面我们就来详细了解一下函数的应用。

函数的图像是函数的重要性质之一、通过画函数的图像，可以更直观地了解函数。

在中考数学中，经常会出现一些与函数的图像有关的题目，比如给定一个函数的图像，要求根据图像回答一些问题。

这时，我们需要根据图像的特点进行分析，比如图像的开口方向、图像的对称性、图像的交点等等，来得到问题的答案。

函数的性质也是函数的应用的重要内容之一、在中考数学中，经常会出现一些与函数的性质有关的题目，比如给定一个函数的性质，要求根据性质回答一些问题。

这时，我们可以通过对函数的性质进行推导和分析，来得到问题的答案。

函数的应用问题是中考数学中常见的题型。

这类题目一般与实际问题相关，需要用函数的知识来解决。

比如，已知物体的高度与时间的关系可以用函数来表示，求物体从高度为0到最高点的时间和从最高点到高度为0的时间。

这时，我们需要用到函数的模型和函数的性质来解决问题。

除了以上的内容，函数的应用在中考数学中还会涉及到函数的表示和函数的计算等方面。

比如，给定一个函数的表达式，要求计算函数在一些点的值。

这时，我们需要将给定的函数表达式进行运算，得到函数在一些点的值。

专题跟踪突破二 不等式与函数的应用1．某商场经营一种新型节能灯．已知这种节能灯的进价为每个10元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y ＝－10x ＋500，设商场获得的利润为w(元)．(1)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求出最大利润；(2)商场的营销部提出了A ，B 两种营销方案．方案A ：该节能灯的销售单价高于进价且不超过25元；方案B ：每月销售量不少于80件，且每个节能灯的利润至少为26元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．解：(1)由题意，得：w ＝(x －10)×y ＝(x －10)·(－10x ＋500)＝－10x 2＋600x －5000＝－10(x －30)2＋4000，即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润，最大利润为4000元(2)A 方案利润高．理由如下：A 方案中：10＜x ≤25，故当x ＝25时，w 有最大值，此时w A＝3750；B 方案中：⎩⎨⎧－10x ＋500≥80，x －10≥26，故x 的取值范围为：36≤x ≤42，∵函数w ＝－10(x －30)2＋4000，对称轴为直线x ＝30，∴当x ＝36时，w 有最大值，此时w B ＝3640，∵w A＞w B ，∴A 方案利润更高2．某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板做横式、竖式两种长方体形状的无盖包装纸盒．若有长方形纸板171张，正方形纸板82张，要做横式、竖式纸盒共50个．(1)若按纸盒的生产个数来分，有哪些生产方案？(2)已知横式纸盒的利润为每个8元，竖式纸盒的利润为每个10元，若仅从销售的利润考虑，以上哪种方案的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)设生产横式的无盖长方体包装盒x 个，则生产竖式的无盖长方体包装盒(50－x)个．由题意得，⎩⎨⎧3x ＋4（50－x ）≤171，2x ＋50－x ≤82，解得29≤x ≤32，∵x 是整数，∴x 1＝29，x 2＝30，x 3＝31，x 4＝32.答：有4种生产方案，分别是：生产横式包装盒29个，竖式包装盒21个；生产横式包装盒30个，竖式包装盒20个；生产横式包装盒31个，竖式包装盒19个；生产横式包装盒32个，竖式包装盒18个 (2)设销售利润为W 元，生产横式纸盒x 个，则w ＝8x ＋10(50－x)＝－2x ＋500，∵－2＜0，W 随x 的增大而减小，∴当x ＝29时，W 最大，最大值为442元．答：生产横式纸盒29个，竖式纸盒21个，最大利润为442元3．(2015·咸阳模拟)某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，此时该种商品每星期可卖出220件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元(x为整数)，每星期的利润为y元．(1)求该种商品每件的进价为多少元；(2)当售价为多少时，每星期的利润最大？(3)2015年2月该种商品每星期的售价均为每件m元，若2015年2月的利润超过了24000元，请直接写出m的取值范围．解：(1)设成本为m元，根据题意得：80×0.8－m＝0.6m，解得：m＝40, ∴该种商品每件的进价为40元(2)y＝(80×0.8－x－40)(220＋20x)＝－20x2＋260x＋5280＝－20(x－6.5)2＋6125, ∴当x＝6.5时，y最大，∵x为整数，∴x1＝7，x2＝6，∴当x＝6或7时，y最大为6120元，80×0.8－7＝57(元)，80×0.8－6＝58(元), ∴当售价为57元或58元时，每星期的利润最大(3)由题意得：－20(x－6.5)2＋6125＝24000÷4，解得：x1＝9，x2＝4, ∴64－9＝55(元)，64－4＝60(元), ∵2015年2月该种商品每星期的售价均为每件m元，∴55≤m ≤604．(2016·创新题)某化工材料经销公司购进一种化工原料7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售价不得高于70元，也不得低于30元，经市场调查发现：单价为70元时，日均销售60千克，单价每降低1元，日均多销售2千克，在销售过程中，每天还要支付其它费用500元(天数不足一天时，按整数天计算)，设销售价为x元，日均获利y 元．(1)求y关于x的二次函数的表达式，并求x的取值范围；(2)将(1)中所求的二次函数的表达式利用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其顶点坐标，指出单价为多少元时日均获利最多？最多利润是多少？解：(1)若销售单价为x，每千克降低m元，则x＝70－m，m＝70－x，日均多销售2m 千克，即日均多销售2(70－x)千克，日均销售量为：[60＋2(70－x)]千克，每千克获利(x－30)元，依题意有y＝(x－30)[60＋2(70－x)]－500＝－2x2＋260x－6500(30≤x≤70) (2)y＝－2x2＋260x－6500＝－2(x－65)2＋1950 ∴顶点为(65，1950)，当单价为65元时，日均获利最多，获利最多是1950元5．(2015·南充)某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调整，电价y 与月用电量x 的函数关系可用如图来表示．(效益＝产值－用电量×电价)(1)设工厂的月效益为z(万元)，写出z 与月用电量x(万度)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)求工厂最大月效益．解：(1)根据题意得：电价y 与月用电量x 的函数关系是分段函数，当0≤x ≤4时，y ＝1，当4＜x ≤16时，函数是过点(4，1)和(8，1.5)的一次函数，设一次函数为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧4k ＋b ＝1，8k ＋b ＝1.5，解得⎩⎨⎧k ＝18，b ＝12，∴y ＝18x ＋12，∴电价y 与月用电量x 的函数关系为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（0≤x ≤4），18x ＋12（4＜x ≤16），∴z 与月用电量x(万度)之间的函数关系式为：z ＝⎩⎨⎧112x －x ×1（0≤x ≤4），112x －4×1－（x －4）（18x ＋12）（4＜x ≤16），即z ＝⎩⎨⎧92x （0≤x ≤4）－18x 2＋112x －2（4＜x ≤16） (2)当0≤x ≤4时，z ＝92x ，∵92＞0，∴z 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，z 有最大值，最大值为：92×4＝18(万元)；当4＜x ≤16时，z ＝－18x 2＋112x －2＝－18(x －22)2＋1172，∵－18＜0，∴当x ≤22时，z 随x 增大而增大，16＜22，则当x ＝16时， z 最大值为54，故当0≤x ≤16时，z 最大值为54，即工厂最大月效益为54万元。

2015年中考数学压轴题预测及答案详解函数应用4-A周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．4-A 【答案】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/ h ）。

在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h ）。

（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h ）如图，设直线BC 解析式为y=20x+b 1， 把点B （1，10）代入得b 1=﹣10。

∴直线BC 解析式为y=20x ﹣10 ①。

设直线DE 解析式为y=60x+b 2， 把点D （43，0）代入得b 2=﹣80。

∴直线DE 解析式为y=60x ﹣80②。

联立①②，得x=1.75，y=25。

∴交点F （1.75，25）。

答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km 。

（3）设从家到乙地的路程为m km ，则点E （x 1，m ），点C （x 2，m ），分别代入y=60x ﹣80，y=20x ﹣10，得：12m+80m+10x =x =6020，。

∵21101x x ==606-，∴m+10m+801=20606-，解得：m=30。

∴从家到乙地的路程为30 km 。

【考点】一次函数的图象和应用，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）用路程除以时间即可得到速度；在甲地游玩的时间是1-0.5=0.5小时。

（2）求得线段BC 所在直线的解析式和DE 所在直线的解析式后求得交点坐标即可求得北妈妈追上的时间。

试题考点分析选择题和填空题所考知识点相反数，倒数，绝对值，科学记数法，幂的运算，分解因式，一元二次方程根的判别式，求不等式组的解集，根据反比例函数的图象求解析式，求函数中自变量的取值范围，探求规律；用切线的性质和三角函数或相似三角形性质的结合，圆锥的侧面展开图、弧长和扇形的面积公式，几何体的三视图，符号感等知识1.数的概念：关注数的有关概念及有理数中的简单运算等.2.式的运算：关注幂的乘除、分解因式等整式运算或简单的分式运算.3.方程与不等式（组）：关注方程与不等式（组）的解及应用等.4.正比例函数与一次函数：关注正比例函数和一次函数的图像与性质等.5.反比例函数：关注反比例函数的图象与性质，以及K的几何意义等.6.二次函数：关注二次函数的图象与性质，特别是培养学生的“图象”意识等.7.图形的认识：关注简单几何体的认识等.8. 平行线、相交线：关注基本推理能力和平行线、相交线的性质，体会直线的位置关系与角的大小之间的相互转化.9.三角形：关注一个三角形的边角关系及其特殊线段的概念等10.四边形：关注特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）性质，以及与其他知识的综合.11.正多边形：关注正多边形的性质，特别是和圆的关系.12.图形的变化：关注图形的平移、旋转、轴对称等基本变化，以及图形的相似，包括平行线分线段成比例.13.三角函数：关注利用三角函数解决有关实际问题，特别是三角函数的概念和利用科学计算器计算三角函数的近似值.今年的13题B，将改变以往直接用计算器计算为建立模型，列出如三角函数的数学式子，进而用科学计算器计算，还要取近似值.14.圆：关注与圆有关的最值计算，特别是“直径是最长的弦”“定边定对角问题”等.以下为预测可能题型一、选择题：1.数的概念2.图形的认识（视图）3.整式运算4.平行线5.方程与不等式6.三角形（圆与角）7.相似或比例线段8.正（反、一）函数9.四边形*10.二次函数二、填空题：*11.数或式的计算12.函数（图形与坐标）*13.A.图形变化或正多边形B.三角函数*14.圆解答题（共11小题，计78分）15题：有理数的运算或分式的化简求值；（5分）（没有实数运算）16题：解方程（组）或解不等式（组）；（5分）（考查学生计算能力）17题：尺规作图和简单的实际应用问题；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（5分）五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；课标要求的尺规作图：1、过已知直线外一点作已知直线的平行线；2、会利用基本作图作三角形：（SSS、SAS、ASA、HL、底边及底边上的高作等腰三角形）;3、会利用基本作图完成：作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形.18题：三角形全等或四边形性质或判定的证明题；（小几何）（5分）19题：通过统计表和统计图分析，做出判断与决策题；（5分）（平均数、中位数、众数的考查在此体现）20题：利用三角函数、相似知识解决实际问题；（7分）21题：一次函数及应用题或反比例函数；（7分）22题：通过概率计算解决问题；（7分）23题：圆中的证明与计算；（8分）主要考查圆与直线的位置关系，以及借助圆这一载体进行几何综合（全等、相似、三角函数、面积）的能力。

陕西中考数学函数归纳总结在学习数学的过程中，函数是一个非常重要且基础的概念。

在陕西省中考数学考试中，函数也是一个常见的考点。

本文将对陕西中考数学中与函数相关的知识进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握函数的概念和应用。

一、函数的基本概念函数是数学中一种非常重要的关系。

函数的定义是：对于一个自变量的值，通过一定的规则能够得到唯一确定的因变量的值。

函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以用各种形式的表达式表示，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。

二、函数的图像与性质函数的图像是函数关系的几何表现。

其可以通过函数的定义域和值域来确定。

在解题中，考生可以通过绘制函数的图像来更好地理解和分析函数的性质。

例如，对于一次函数y = kx + b，当k大于0时，函数图像为上升斜线，反之则为下降斜线。

这种直观的图像分析方法可以帮助我们更好地理解函数的性质。

三、函数的运算在数学中，函数也可以进行各种基本运算，如加法、减法、乘法和除法等。

对于两个函数f(x)和g(x)的加法运算（f(x) + g(x)）、减法运算（f(x) - g(x)）和乘法运算（f(x) * g(x)），可以根据函数的定义来进行相应的运算。

此外，函数还可以通过复合运算来得到新的函数。

对于两个函数f(g(x))，先将x代入g(x)中，再将得到的结果代入f(x)中。

四、函数的性质和应用函数的性质包括奇偶性、单调性、最值等。

通过研究函数的性质，我们可以更好地理解和分析函数的行为。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，a的正负决定了函数的开口方向，a的绝对值大小决定了图像的瘦胖程度。

在解题中，我们可以利用函数性质来进行问题的分析和求解。

函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，我们可以通过函数来描述时间与距离的关系、体重与身高的关系等。

在解实际问题中，我们可以将现实问题转化为函数关系，利用函数的性质和运算来解决问题。

2015年陕西中考数学真题解析版1 / 15绝密★启用前注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．计算：=-03）（（ ） A ．1 B ．23- C ．0 D ．32 2．如图是一个螺母的示意图，它的俯视图是（ ）3．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．2224)2(b a ab =-C ．532)(a a =D ．ab b a b a 332223=÷ 4．如图，AB//CD,直线EF 分别交直线AB 、CD 于点E 、F,若∠1=46°30′，则∠2的度数为（ ）A ．43°30′B ．53°30′C ．133°30′D ．153°30′5．设正比例函数mx y =的图象经过点)4,(m A ，且y 的值随x 值的增大而减小，则=m （ ）A ．2B ．-2C ． 4D ．-46．如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE=BC ，连接DE,则图中等腰三角形共有（ ）试卷第2页，总6页A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧---≥+0)3(23121＞x x x 的最大整数解为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．48．在平面直角坐标系中，将直线22:1--=x y l 平移后，得到直线42:2+-=x y l ，则下列平移作法正确的是（ ）A ．将1l 向右平移3个单位长度B ．将1l 向右平移6个单位长度C ．将1l 向上平移2个单位长度D ．将1l 向上平移4个单位长度9．在□ABCD 中，AB=10，BC=14，E 、F 分别为边BC 、AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为（ ）A ．7B ．4或10C ．5或9D ．6或810．下列关于二次函数）＞1(122a ax ax y +-=的图象与x 轴交点的判断，正确的是（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点，且它位于y 轴右侧C ．有两个交点，且它们均位于y 轴左侧D ．有两个交点，且它们均位于y 轴右侧2015年陕西中考数学真题解析版3 / 15第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．．将实数605-，，，π由小到大用“＜” 号连起来，可表示为 ． 12．请从以下两小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分。

陕西省2015年中考数学总复习教学案专题一规律探索型问题 (1)专题二开放探究型问题 (6)专题三方案设计与动手操作型问题 (10)专题四情境应用型问题 (19)专题五阅读理解型问题 (26)专题六运动型问题 (33)专题七综合型问题 (38)专题一规律探索型问题规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等题型．1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．数字猜想型问题【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__336__分．【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．1．(2014.兰州)为了求1＋2＋22＋23＋...＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋ (2100)则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是__32015－12__．数式规律型问题【例2】 (2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是__165__．【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形．2．(2013·南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为__－1__．(结果用数字表示)图形规律型问题【例3】 (2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……(1)观察以上图形并完成下表： 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数图①1 7 图②2 12 图③3 17 图④4 22 … … …猜想：在图中，特征点的个数为__5n ＋2__；(用n 表示)(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝__x 1＝3__；图的对称中心的横坐标为__20133__．【点评】本题考查图形的应用与作图，是规律探究题，难度中等，注意观察图形及表格，总结规律．3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有__485__．数形结合猜想型问题【例4】 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去….若点A(53，0)，B(0，4)，则点B 2014的横坐标为__10070__．【点评】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意数形结合得出B 点横坐标变化规律是解题关键．4．在由m ³n(m ³n ＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，(1)当m ，n 互质(m ，n 除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：m n m ＋nf 1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 5 7 63 4 7 6猜想：当m ，n 互质时，在m ³n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m ，n 的关系式是__f ＝m ＋n －1__．(不需要证明)(2)当m ，n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．解：(2)当m ，n 不互质时，上述结论不成立，如图试题(1)(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是____．(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由________个圆组成．审题视角探索数量规律题可以检验同学们观察图形的变化规律，并从中找出其数量关系的能力，由于没有现成的公式、定理可以套用，对初中生而言，有一定的难度．但只要了解一些数列的有关知识，加上一些常用的分析方法，解决这类问题也是比较容易的．规范答题解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的小正方形的个数的和即可．仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：第1个图有：1＋3个；第2个图有：4＋4个；第3个图有：9＋5个；……故第n个图有：[n2＋(n＋2)]个．(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．第①个图有2个相同的小正方形：2＝1³2；第②个图有6个相同的小正方形：6＝2³3；第③个图有12个相同的小正方形：12＝3³4；第④个图有20个相同的小正方形：20＝4³5；……按此规律，第个图有n(n＋1)个相同的小正方形．(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2³6；……故第9个图由1＋6＋2³6＋3³6＋…＋8³6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)³6＝217(个)圆组成．答题思路第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律；第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项；第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分(如分子、分母，整数、分数等)构成何种数列；第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和．能找到前三项，就能求出任一项；另外，有些图形或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析了；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．试题 探索n ³n 的正方形钉子板上(n 是钉子板上每边的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有二种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值有1，2，2，5，22五种，比n ＝2时增加了三种，即S ＝2＋3＝5.(1)观察下图，并填写下表：钉子数(n ³n) S 值2³22 3³3 2＋34³4 2＋3＋( )5³5( ) (2)写出(n －1)³(n －1)和n ³n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)(3)对n ³n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．错解 (1)4；2＋3＋4＋5；(2)设(n －1)³(n －1)和n ³n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3＋…＋n ；(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n.剖析 (1)填对了；(2)题目要求理解错了，命题要求写出两个钉子板上的两个S 值之间关系，而不是每个钉子板上的S 值与每边上的钉子数n 的关系，显然，S n 比S n －1的值大n ；(3)写对了，但应化成不含省略号的代数式．正解 (1)4；2＋3＋4＋5；(2)设(n －1)³(n －1)和n ³n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3…＋n ，∴S n －S n －1＝n.即在(n －1)³(n －1)和n ³n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数前者比后者少n 种；(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)－1＝n （n ＋1）2－1＝n 2＋n －22.专题二开放探究型问题开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．条件开放型问题【例1】已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？解：如图，当AB∥CD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行四边形．(1)AD∥BC；(2)AB＝CD；(3)∠A＝∠C；(4)∠B＝∠D；(5)∠A＋∠B＝180°……【点评】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：①两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③一组对边平行，一组对角相等．都能得到平行四边形的结论．1．(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是__EH ＝FH__，并证明．(2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．解：(1)答：添加：EH ＝FH ，证明：∵点H 是BC 的中点，∴BH ＝CH ，在△BEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BH ＝CH∠BHE ＝∠CHF EH ＝FH ，∴△BEH ≌△CFH(SAS ) (2)解：∵BH ＝CH ，EH ＝FH ，∴四边形BFCE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，∵当BH ＝EH 时，则BC ＝EF ，∴平行四边形BFCE 为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形)．结论开放型问题【例2】 (2014·襄阳)如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D.(1)求证：△ADP ∽△BDA ；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AD ＝2，PD ＝1，求线段BC 的长．解：(1)证明：作⊙O 的直径AE ，连接PE ，∵AE 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，∴∠DAE ＝∠APE ＝90°，∴∠PAD ＋∠PAE ＝∠PAE ＋∠E ＝90°，∴∠PAD ＝∠E ，∵∠PBA ＝∠E ，∴∠PAD ＝∠PBA ，∵∠PAD ＝∠PBA ，∠ADP ＝∠BDA ，∴△ADP ∽△BDA(2)PA ＋PB ＝PC ，证明：在线段PC 上截取PF ＝PB ，连接BF ，∵PF ＝PB ，∠BPC ＝60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB ＝BF ，∠BFP ＝60°，∴∠BFC ＝180°－∠PFB ＝120°，∵∠BPA ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠BPA ＝∠BFC ，在△BPA 和△BFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PAB ＝∠PCB ∠BPA ＝∠BFC PB ＝BF，∴△BPA ≌△BFC(AAS )，∴PA ＝FC ，AB ＝BC ，∴PA ＋PB ＝PF ＋FC ＝PC(3)解：∵△ADP ∽△BDA ，∴AD BD ＝DP DA ＝AP AB，∵AD ＝2，PD ＝1∴BD ＝4，AB ＝2AP ，∴BP ＝BD －DP ＝3，∵∠APD ＝180°－∠BPA ＝60°，∴∠APD ＝∠APC ，∵∠PAD ＝∠E ，∠PCA ＝∠E ，∴PAD ＝∠PCA ，∴△ADP ∽△CAP ，∴AP CP ＝DP AP，∴AP 2＝CP·PD ，∴AP 2＝(3＋AP)·1，解得：AP ＝1＋132或AP ＝1－132(舍去)，∴BC ＝AB ＝2AP ＝1＋13.【点评】解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．2．(2013·杭州)(1)先求解下列两题：①如图①，点B ，D 在射线AM 上，点C ，E 在射线AN 上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，已知∠EDM ＝84°，求∠A 的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，AC ∥x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，且BC ＝2，点D 在AC 上，且横坐标为1，若反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点B ，D ，求k 的值．(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．解：(1)①∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴∠A ＝∠BCA ，∠CBD ＝∠BDC ，∠ECD ＝∠CED ，根据三角形的外角性质，∠A ＋∠BCA ＝∠CBD ，∠A ＋∠CDB ＝∠ECD ，∠A ＋∠CED ＝∠EDM ，又∵∠EDM ＝84°，∴∠A ＋3∠A ＝84°，解得，∠A ＝21°；②∵点B 在反比例函数y ＝k x 图象上，点B ，C 的横坐标都是3，∴点B(3，k 3)，∵BC ＝2，∴点C(3，k 3＋2)，∵AC ∥x 轴，点D 在AC 上，且横坐标为1，∴D(1，k 3＋2)，∵点D 也在反比例函数图象上，∴k 3＋2＝k ，解得，k ＝3； (2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．存在开放型问题【例3】 (2014·龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA ，OB 的长分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根(OA ＞OB)．(1)求点D 的坐标．(2)求直线BC 的解析式．(3)在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∵OA ＞OB ，∴OA ＝4，OB ＝3，过D 作DE ⊥y 于点E ，∵正方形ABCD ，∴AD ＝AB ，∠DAB ＝90°，∠DAE ＋∠OAB ＝90°，∠ABO ＋∠OAB ＝90°，∴∠ABO ＝∠DAE ，∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°＝∠AOB ，在△DAE 和△ABO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠DAE ∠AED ＝∠AOB ＝90°AB ＝AD，∴△DAE ≌△ABO(AAS )，∴DE ＝OA ＝4，AE ＝OB ＝3，∴OE ＝7，∴D(4，7)(2)过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同上可证得△BCM ≌△ABO ，∴CM ＝OB ＝3，BM ＝OA ＝4，∴OM ＝7，∴C(7，3)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0，k ，b 为常数)，代入B(3，0)，C(7，3)得，⎩⎪⎨⎪⎧7k ＋b ＝33k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝34b ＝－94，∴y ＝34x －94 (3)存在．点P 与点B 重合时，P 1(3，0)，点P 与点B 关于点C 对称时，P 2(11，6)．【点评】 本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的开放性．3．已知一次函数y ＝－x －4和反比例函数y ＝k x(k ≠0)． (1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？(2)设(1)中的两个交点为A ，B ，试问∠AOB 是锐角还是钝角？为什么？解：(1)解两个函数关系式构成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝k x（k ≠0），由此可求得：k<4且k ≠0； (2)当0<k<4时，∠AOB<90°，是锐角；当k<0时，∠AOB>90°，是钝角．综合开放型问题【例4】 (2012·南京)看图说故事．请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系式，要求：①指出变量x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．解：①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位： km )与他所用的时间x(单位：min )的关系．②小明以400 m / min 的速度匀速骑了5 min ，在原地休息了6 min ，然后以500 m / min 的速度匀速骑车回出发地．(本题答案不唯一)【点评】解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．4．已知两数4和8，试写出第三个数，使三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是±42或2或16．(只需写出一个)试题在五环图案中，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，其中a，b，c是三个连续偶数，a＜b＜c，d，e是两个连续奇数，d＜e，且满足a＋b＋c＝d＋e，例如，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图中：错解剖析(1)在0到20之间，符合条件的答案除例题外，还有两组，因题目要求只画一个图，为了完整准确起见，两组答案都应写出，用“或”字连接；(2)正确的解题方法可使答案完整无漏，例如：此题中可采用二元一次方程不定解的方法来解答，设最小偶数为x，最小奇数为y，则三个连续偶数为x，x＋2，x＋4，两个连续奇数为y，y＋2.据题意，a＋b＋c＝d＋e，得x＋(x＋2)＋(x＋4)＝y＋(y＋2)，3x＋6＝2y＋2，整理得y＝32x＋2，下面列表表示它的解：故符合条件的解有⎩⎨⎧x＝2，y＝5，或⎩⎨⎧x＝6，y＝11，或⎩⎪⎨⎪⎧x＝10，y＝17.正解专题三方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案．操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化．三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．统计测量型方案设计【例1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．解：(1)方案1最后得分：110³(3.2＋7.0＋7.8＋3³8＋3³8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18³(7.0＋7.8＋3³8＋3³8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4 (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较．1．(2012·宜宾)如图，飞机沿水平方向(A ，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解：(1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM (2)第一步骤：在Rt △AMN 中，tan α＝MN AN，∴AN ＝MN tan α，第二步骤：在Rt △BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MN tan β，其中：AN ＝d ＋BN ，解得：MN ＝d·tan α²tan βtan β－tan α，此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理．利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】 (2013·茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．解：(1)设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x ＋2y ＝20，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝6，答：A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元(2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用为W 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12（360－a ）①W ＝8a ＋6（360－a ）②，由①，得a ≥120.由②，得W ＝2a ＋2160.∵k ＝2＞0，∴W 随a 的增大而增大，∴a ＝120时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240棵．∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵．【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．2．(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备 A 型 B 型价格(万元/台) m m －3月处理污水量(吨/台)220 180 (1)求m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)由90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：90m ＝75m －3，解得m ＝18，经检验m ＝18是原方程的解，即m ＝18(2)设买A 型污水处理设备x 台，则B 型(10－x)台，根据题意得：18x ＋15(10－x)≤165，解得x ≤5，由于x 是整数，则有6种方案，当x ＝0时，y ＝10，月处理污水量为1800吨，当x ＝1时，y ＝9，月处理污水量为220＋180³9＝1840吨，当x ＝2时，y ＝8，月处理污水量为220³2＋180³8＝1880吨，当x ＝3时，y ＝7，月处理污水量为220³3＋180³7＝1920吨，当x ＝4时，y ＝6，月处理污水量为220³4＋180³6＝1960吨，当x ＝5时，y ＝5，月处理污水量为220³5＋180³5＝2000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．图形类方案设计【例3】 (2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具 带刻度的三角板 带刻度三角板、量角器、圆规．带刻度三角板、圆规. 画出示意图简述设计方案 作⊙O 两条互相垂直的直径AB ，CD ，将⊙O 的面积分成相等的四份. (1)以点O 为圆心，以3个单位长度为半径作圆；(2)在大⊙O 上依次取三等分点A ，B ，C ；(3)连接OA ，OB ，OC.则小圆O 与三等份圆环把⊙O 的面积四等分．(4)作⊙O 的一条直径AB ；(5)分别以OA ，OB 的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O 1，⊙O 2；则⊙O 1，⊙O 2和⊙O 中剩余的两部分把⊙O 的面积四等分. 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键． 3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：。

考点跟踪突破14 函数的应用一、选择题(每小题7分，共35分) 1．(2019·河北)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例函数，当x ＝2时，y ＝20.则y 与x 的函数图象大致是( C )2．(2013·嘉兴)若一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y ＝ax 2＋bx 的对称轴为( C ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－2 C ．直线x ＝－1 D ．直线x ＝－4 解析：∵一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，∴－2a ＋b ＝0，即b ＝2a ，∴抛物线y ＝ax 2＋bx 的对称轴为直线x ＝－b2a＝－1.故选C3．(2014·咸宁)如图，双曲线y ＝mx 与直线y ＝kx ＋b 交于点M ，N ，并且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程mx＝kx ＋b 的解为( A )A ．－3，1B ．－3，3C ．－1，1D ．－1，3解析：∵M(1，3)在反比例函数图象上，∴m ＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y ＝3x ，∵N 也在反比例函数图象上，点N 的纵坐标为－1.∴x ＝－3，∴N(－3，－1)，∴关于x 的方程mx＝kx ＋b 的解为－3，14．(2015·金华)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA ＝10米，则桥面离水面的高度AC 为( B )A ．16940米B .174米C ．16740米D .154米5．(2015·随州)甲骑摩托车从A 地去B 地，乙开汽车从B 地去A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．设甲、乙两人间的距离为s(单位：千米)，甲行驶的时间为t(单位：小时)，s 与t 之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60干米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；④甲的速度是乙的速度的一半． 其中，正确结论的个数是( B ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：1小时时，甲、乙两人的距离为0，即甲、乙两人相遇，则①正确；甲的速度是(120－60)÷(3－1.5)＝40 km /h ，设乙的速度为x km /h ，有(1.5－1)(x ＋40)＝60，解得x ＝80 km /h ，所以1.5×(80－40)＝60 km ，则②正确；由图知，乙出发1.5小时，甲出发3小时分别到达目的地，则③错误；甲的速度是40 km /h ，乙的速度是80 km /h ，则④正确二、填空题(每小题7分，共21分) 6．(2015·温州)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m ，则能建成的饲养室面积最大为__75__m 2.,第6题图) ,第7题图)7．(2014·苏州)如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合)，过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA.设PA ＝x ，PB ＝y ，则(x －y)的最大值是__2__．解析：如图，作直径AC ，连接CP ，∴∠CPA ＝90°，∵AB 是切线，∴CA ⊥AB ，∵PB ⊥l ，∴AC ∥PB ，∴∠CAP ＝∠APB ，∴△APC ∽△PBA ，∴AP AC ＝BPAP ，∵PA ＝x ，PB ＝y ，半径为4∴x 8＝y x ，∴y ＝18x 2，∴x －y ＝x －18x 2＝－18x 2＋x ＝－18(x －4)2＋2，当x ＝4时，x －y有最大值是28．(2014·长春)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A ，B 之间(C 不与A ，B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为__a ＋4__．(用含a 的式子表示)三、解答题(共44分) 9．(14分)(2014·湖州)已知某市2013年企业用水量x(吨)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图．(1)当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式；(2)若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量； (3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．解：(1)设y 关于x 的函数关系式y ＝kx ＋b ，∵直线y ＝kx ＋b 经过点(50，200)，(60，260)，∴⎩⎨⎧50k ＋b ＝200，60k ＋b ＝260，解得⎩⎨⎧k ＝6，b ＝－100，∴y 关于x 的函数关系式是y ＝6x －100(2)由图可知，当y ＝620时，x ＞50，∴6x －100＝620，解得x ＝120.答：该企业2013年10月份的用水量为120吨(3)由题意得6x －100＋x20(x －80)＝600，化简得x 2＋40x －14000＝0，解得：x 1＝100，x 2＝－140(不合题意，舍去)．答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨10．(14分)(2014·鄂州)大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x 天的销售量p 件与销售的天数x 的关系如下表：销售单价q(元/件)与x 满足：当1≤x ＜25时，q ＝x ＋60；当25≤x ≤50时，q ＝40＋1125x. (1)请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系；(2)求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式； (3)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？ 解：(1)p ＝120－2x (2)y ＝p·(q －40)＝⎩⎪⎨⎪⎧（120－2x ）·（60＋x －40）（1≤x ＜25）（40＋1125x －40）·（120－2x ）（25≤x ≤50）＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋80x ＋2400（1≤x ＜25）135000x－2250（25≤x ≤50）(3)当1≤x ＜25时，y ＝－2(x －20)2＋3200，∴x ＝20时，y 的最大值为3200元；当25≤x ≤50时，y ＝135000x－2250，∴x ＝25时，y 的最大值为3150元，∵3150＜3200，∴该超市第20天获得最大利润为3200元11．(16分)(2015·丽水市)某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x(米)，与桌面的高度为y(米)，运行时间t 为(秒)，经多次测试后，得到如下部分数据：(2)乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y ＝a(x －3)2＋k.①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为0.14米，球桌长(1.4×2)米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A ，求a 的值．解：以点A 为原点，以桌面中线为x 轴，乒乓球水平方向为正方向，建立平面直角坐标系．(1)由表格中数据，可得当t 为0.4秒时，乒乓球达到最大高度(2)由表格中数据，可画出y 关于x 的图象．根据图象的形状，可判断y 是x 的二次函数．可设y ＝a(x －1)2＋0.45.将(0，0.25)代入，可得a ＝－15.∴y ＝－15(x －1)2＋0.45.当y ＝0时，x 1＝52，x 2＝－12(舍去)，即乒乓球与端点A 的水平距离是52米(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为(52，0)，代入y ＝a(x －3)2＋k ，得(52－3)2a＋k ＝0，化简整理，得k ＝－14a.②由题意可知，扣杀路线在直线y ＝110x 上，由①，得y ＝a(x －3)2－14a.令a(x －3)2－14a ＝110x ，整理，得20ax 2－(120a ＋2)x ＋175a ＝0.当△＝(120a ＋2)2－4×20a ×175a ＝0时符合题意，解方程，得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510.当a 1＝－6＋3510时，求得x ＝－352，不合题意，舍去．当a 2＝－6－3510时，求得x ＝352，符合题意．故当a ＝－6－3510时，能恰好将球扣杀到点A2016年甘肃名师预测1．某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2__．2．如图，某大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的关系式为y ＝ax 2＋bx ，小强骑自行车从拱梁一端O 匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需__36__秒．。

第14讲 函数的应用考查，且都稳定在第21题，分值为8分，考查形式一般有两种，一种是结合图象考查，一种为涉及图象，而对于反比例函数和二次函数的实际应用没有考查过．预计在2015年的中考中，本节内容仍会在解答题第21题考查一次函数的实际应用，结合图象考查的可能性较大，考生在复习时应熟练掌握本节的考点，通过做习题多加训练，以便从容应考．1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤： (1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义； (4)利用函数的性质解决问题； (5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．一种模型函数的图象与性质是研究现实世界的一个重要手段，对于函数的实际问题要认真分析，构建函数模型，从而解决实际问题．函数的图象与性质也是中考重点考查的一个方面．两种技巧(1)实际问题中函数解析式的求法：设x 为自变量，y 为x 的函数，在求解析式时，一般与列方程解应用题一样先列出关于x ，y 的二元方程，再用含x 的代数式表示y.(2)利用题中的不等关系，或结合实际求出自变量x 的取值范围．三种题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际； (2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．1．(2014·陕西)小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg 收费22元，超过1 kg ，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg )．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg 樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？解：(1)由题意，得，当0＜x≤1时，y ＝22＋6＝28；当x ＞1时y ＝28＋10(x －1)＝10x＋18；∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0＜x≤1）10x ＋18（x ＞1） (2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43.∴这次快寄的费用是43元2．(2013·陕西)“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？ (2)求出AB 段图象的函数表达式；(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？解：(1)由图象可设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx ，当x ＝1.5时，y ＝90；所以：1.5k ＝90解得k ＝60即y ＝60x(0≤x ≤1.5)，当x ＝0.5时，y ＝60×0.5＝30，答：行驶半小时时，他们离家30千米 (2)由图象可设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x＋b ，因为A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB 上，代入得⎩⎪⎨⎪⎧90＝1.5k′＋b ，170＝2.5k′＋b 解得：k′＝80，b ＝－30，所以y ＝80x －30(1.5≤x ≤2.5) (3)当x ＝2时，代入得：y ＝80×2－30＝130，所以170－130＝40，答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米3．(2012·陕西)科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y 与x 的函数表达式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？解：(1)设y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝299，2000k ＋b ＝235解之，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4125，b ＝299.∴y ＝－4125x ＋299 (2)当x ＝1200时，y ＝－4125×1200＋299＝260.6(克/立方米)，∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米一次函数相关应用题【例1】 (2014·绵阳)绵州大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别建立两种优惠方案中y 与x 的函数关系式；(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．解：(1)按优惠方案①可得y 1＝20×4＋(x －4)×5＝5x ＋60(x≥4)，按优惠方案②可得y 2＝(5x ＋20×4)×90%＝4.5x ＋72(x≥4) (2)因为y 1－y 2＝0.5x －12(x≥4)，①当y 1－y 2＝0时，得0.5x －12＝0，解得x ＝24，∴当购买24张学生票时，两种优惠方案付款一样多．②当y 1－y 2＜0时，得0.5x －12＜0，解得x ＜24，∴4≤x ＜24时，y 1＜y 2，优惠方案①付款较少．③当y 1－y 2＞0时，得0.5x －12＞0，解得x ＞24，当x ＞24时，y 1＞y 2，优惠方案②付款较少【点评】 解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x 的取值，再进一步讨论．1．(2013·黔东南州)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．(1)根据图象，求y 与x 之间的函数关系式； (2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；(3)若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案．哪种方案获利最大？最大获利为多少元？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧250＝50k ＋b ，100＝200k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝300，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋300 (2)∵y＝－x ＋300，∴当x ＝120时，y ＝180.设甲品牌进货单价是a 元，则乙品牌的进货单价是2a 元，由题意得120a ＋180×2a＝7200，解得a ＝15，∴乙品牌的进货单价是30元．即甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元 (3)设甲品牌文具盒进货m个，则乙品牌文具盒的进货(－m ＋300)个，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧15m ＋30（－m ＋300）≤6300，4m ＋9（－m ＋300）≥1795，解得180≤m≤181，∵m 为整数，∴m ＝180，181.∴共有两种进货方案：方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌的进货120个；方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌的进货119个；设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W 元，由题意得W ＝4m ＋9(－m ＋300)＝－5m ＋2700.∵k＝－5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m ＝180时，W 最大＝1800元反比例函数相关应用题【例2】 (2013·德州)某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：(1)由题意得y ＝360x ，把y ＝120代入y ＝360x ，得x ＝3.把y ＝180代入y ＝360x，得x ＝2，∴自变量的取值范围为2≤x≤3，∴y ＝360x(2≤x≤3)(2)设原计划平均每天运送土石方x 万立方米，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万立方米，根据题意得360x －360x ＋0.5＝24，解得x ＝2.5或x ＝－3.经检验x ＝2.5或x ＝－3均为原方程的根，但x ＝－3不符合题意，故舍去．答：原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米【点评】 本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．2．(2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少元钱？ (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p ＝优惠金额购买商品的总金额)，写出p 与x 之间的函数关系式，并说明p 随x 的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少？请说明理由．解：(1)510－200＝310(元) (2)p ＝200x，∴p 随x 的增大而减小 (3)购x 元(200≤x＜400)在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x －0.6x ＝0.4x ，当0.4x ＜100，即200≤x＜250时，选甲商场优惠；当0.4x ＝100，即x ＝250时，选甲、乙商场一样优惠；当0.4x ＞100，即250＜x ＜400时，选乙商场优惠二次函数相关应用题【例3】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC —CB ，使C ，D 点在抛物线上，A ，B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？解：(1)M 点的坐标为(12，0)，顶点P 的坐标为(6，6) (2)设抛物线为y ＝a(x －6)2＋6，∵抛物线y ＝a(x －6)2＋6经过点(0，0)．∴0＝a(0－6)2＋6，36a ＝－6，a ＝－16.∴抛物线解析式为y ＝－16(x －6)2＋6＝－16x 2＋2x (3)设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，C(12－m ，－16m 2＋2m)，D(m ，－16m 2＋2m)．∴“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－16m 2＋2m)＋(12－2m)＋(－16m 2＋2m)＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.∵a＝－13＜0.∴当m ＝3时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为15米【点评】 根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．3．(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少元？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．解：(1)当1≤x＜50时，y ＝(200－2x)(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋2000，当50≤x≤90时，y ＝(200－2x)(90－30)＝－120x ＋12000，综上所述：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x＜50）－120x ＋12000（50≤x≤90） (2)当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050，当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元 (3)当20≤x ≤60时，每天销售利润不低于4800元．即60－20＋1＝41(天)试题 杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y ＝ax 2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g 也是关于x 的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？错解 解：(1)由题意，得x ＝1，y ＝2；x ＝2，y ＝4，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2，故y ＝2x.(2)纯收益g ＝33x －150－2x ＝31x －150.(3)由g ＝31x －150可知，x 越大，g 越大，则纯收益无最大值；要收回成本，即g ＞0，∵x ＝4时，g ＝－26＜0；x ＝5时，g ＝5＞0，∴5个月后，能收回投资．剖析 这种解法没有认真读题、审题，忽略题中“累计”二字，误以为x ＝2时y ＝4，而应该是“x ＝2时，y ＝2＋4＝6”，这个理解的失误，导致后面的两问虽然思路正确，但由于关系式出错，(2)(3)问都错了．在建立函数关系解实际问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解题习惯．正解 解：(1)由题意，得x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，代入y ＝ax 2＋bx 中，有⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ，6＝4a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故y ＝x 2＋x.(2)纯收益g＝33x－150－(x2＋x)＝－x2＋32x－150.(3)∵g＝－x2＋32x－150＝－(x－16)2＋106，∴x＝16时，g有最大值，即设施开放16个月后游乐场的纯收益最大．由二次函数的增减性可知，当0＜x≤16时，g随x的增大而增大；又当x＝5时，g＝－(5－16)2＋106＝－15＜0；当x＝6时，g＝－(6－16)2＋106＝6＞0，所以6个月后，能收回成本．。