2.2.1对数与对数运算(一)

2.2.1 对数与对数运算 （1） ）
• 截止到 截止到1999年底，我们人口约13亿，如 年底，我们人口约 亿 年底 思 考 果今后能将人口年平均均增长率控制在 1%，那么经过 年后，我国人口数最多 年后， ，那么经过20年后 为多少（精确到亿） 为多少（精确到亿）？
y = 13 ×1.01
x
问：哪一年的人口数可 达到18亿 达到 亿，20亿，30亿？ 亿 亿
例1、 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 、 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
讲 解 例 题
（1）5 = 625 ⇒ log 5 625 = 4 ） 1 1 −6 = −6 （2） 2 = ⇒ log 2 ） 64 m 64
4
1 = 5.13 ⇒ log 1 5.13 = m （3） 3 ） 3
1 （4）log1 16 = −4 ⇒ = 16 ） 2 2 -2 lg （5） 0.01= −2 ⇒ 10 = 0.01 ）
（6）ln10 = 2.30= 10
例2 求出下列各式中 x 值：
2 （1）log64 x = − ） 3
（2） ）
log x 8 = 6
y x 当 = 18 ,有 ＝ ×1.01 ,求 时 18 13
x
一般地， 一般地，如果a = N ( a > 0, 且a ≠ 1) 叫做以a为底 那么数 x叫做以 为底 的对数， 叫做以 为底N的对数， 对数定义 其中a叫做对数 记作 x = log a N ，其中 叫做对数 底数， 叫做真数。 叫做真数 的底数，N叫做真数。式子log a N 叫做对数式 对数式. 叫做对数式
x
所 上 问 中 由 ＝ ×1.01 , 以 面 题 ， 18 13

2.2.1对数与对数运算（第一课时）1、2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝182、在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是( )A ．a ＞5或a<2B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5C ．2<a<5D ．3＜a ＜43、有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx ，则x ＝10；④若e ＝lnx ，则x ＝e 2，其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 4、log a b ＝1成立的条件是( )A ．a ＝bB ．a ＝b ，且b>0C ．a>0，且a≠1D ．a>0，a ＝b≠1 5、若log a 7b ＝c ，则a 、b 、c 之间满足( ) A ．b 7＝a c B ．b ＝a 7c C ．b ＝7a c D ．b ＝c 7a 6、如果f(e x )＝x ，则f(e)＝( ) A ．1 B ．e e C ．2e D ．07、方程2log3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝98、若log 2(log 3x)＝log 3(log 4y)＝log 4(log 2z)＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．69、已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc)＝( ) A.47 B.27 C.72 D.7410、方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________.11、若a>0，a 2＝49，则log 23a ＝________.12、若lg(lnx)＝0，则x ＝________.13、方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 14、将下列指数式与对数式互化：(1)log 216＝4； (2)log 1327＝－3； (3)log3x ＝6(x ＞0); (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)(14)－2＝16.15、计算：23＋log23＋35－log39.16、已知log a b ＝log b a(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1b.17、 将下列指数式与对数式进行互化.（1）64)41(=x （2）51521=- （3）327log 31-= （4）664log -=x18、求下列各式中的x.（1）32log 8-=x ； （2）4327log =x ；（3）0)(log log 52=x ；19、计算：（1）lg14－2lg 37+lg7－lg18； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+.20、 计算下列各式的值：（1）245lg 8lg 344932lg 21+-；（2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.21、（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45；（2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 344yxa a ⋅；（3）已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc ，求x.。

§2.2.1 对数与对数运算（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a = ，log a a N N = ¤例题精讲：【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值：（1）lg0.001； （2）4log 8； （3）.第14练 §2.2.1 对数与对数运算（一）※基础达标1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）. A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.A. 10B. 0.01C. 100D. 10004．设13log 82x=，则底数x 的值等于（ ）. A. 2 B. 12 C. 4 D. 145．已知432log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）.A.13 B. C. D. 6．若21log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .7．计算：= ； 6lg 0.1= .※能力提高8．求下列各式的值：（1）8； （2）9log9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.※探究创新10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算（二）¤知识要点：1. 对数的运算法则：log ()log log a a a M N M N =+，log log log aa a MM N N=-，log log n a a M n M =，其中0,1a a >≠且，0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ，则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log log n n a a N N =，log log m n a a nN N m=，log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲：【例2】若2510a b ==，则11a b+= .【例4】（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.第15练 §2.2.1 对数与对数运算（二）※基础达标 1．）. A. 1B. －1C. 2D. －2 2．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（ ）. A.12B. 1C. 24．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 125．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质（一）¤知识要点：1. 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）.2. 由2log y x =与12log y x =的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为(0,)+∞，值域为R ；当1x =时，0y =，即图象过定点(1,0)；当01a <<时，在(0,)+∞上递减，当1a >时，在(0,)+∞上递增.¤例题精讲：【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41log 3.【例2】求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质（一）※基础达标1．下列各式错误的是（ ）.A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.AC3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）A.log (0,1)a xy aa a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y4．函数y ）.A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6．函数y = . （用区间表示）7．比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8．求下列函数的定义域：（1） ()()3log 1f x x =++； （2）y =9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求： （1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质（二）¤知识要点：1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数（inverse function ）. 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究，口诀是“同增异减”，即两个函数同增或同减，复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是：（i ）求定义域；（ii ）拆分函数；（iii ）分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性；（iv ）按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲：【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例2】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<第17练 §2.2.2 对数函数及其性质（二）※基础达标 1．函数1lg1xy x+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y ＝x 对称2．函数212log (617)y x x =-+的值域是（ ）.A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）.A.2B. 2C. 22D. 44．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，15，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.A.2，43，15，310 B. 2，43，310，15 C. 15，310，43，2 D. 43，2，310，155．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 . ※能力提高8．已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-，讨论()f x 的单调性.0 x C 1C 2C 4C 3 1y第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像，了解它们的变化情况.知识要点：1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数.（2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大.¤例题精讲：【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.解：设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．解：∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴{6020m m -<-<，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）. A ．101n m -<<<< B ．1,01n m <-<< C ．10,1n m -<<> D ．1,1n m <->解：由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需10年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的22. （1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年？ 解：（1）设每年平改坡的百分比为(01)x x <<，则101(1)2a x a -=，即11011()2x -=，解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.（2）设到今年为止，该工程已经进行了n 年，则2(1)2na x a -=，即110211()()22n=，解得n =5.所以，到今年为止，该工程已经进行了5年.（3）设今后最多还需平改坡m 年，则 51(1)4m a x a +-=，即521011()()22m +=，解得m =15. 所以，今后最多还需平改坡15年.点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1．如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 122．下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3．设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4．如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x =B. 4y x =C. 2y x -=D.13y x = 6．幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 . 7．比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.※能力提高8．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？※探究创新4251c 4c 3c 2c 110．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=； ⑤ 13y x =；⑥ 43y x =；⑦ 12y x -=；⑧ 53y x =. 第19讲 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习¤学习目标：理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解.¤例题精讲：【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且，则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明：121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a++++-=-0==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. （注：此性质为函数的凹凸性） 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bxf x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1，b =1.【例3】（01天津卷.19）设a ＞0， ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值； （2）证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．解：（1）∵ ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数，∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a ---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a-=⇒--=.e x －e -x 不可能恒为“0”， ∴ 当1a－a ＝0时等式恒成立， ∴a ＝1．（2）在(0,)+∞上任取x 1＜x 2，1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e ＞1，x 1＜x 2， ∴ 121x x e e >>， ∴12x x e e ＞1，121212()(1)x x x x x x e e e e e e --＜0，∴ 12()()0f x f x -<， ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数．点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．此题中的函数，也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合，可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t 年后的世界人口数y （亿）与t 的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x %，写出2010年底世界人口数为y （亿）与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？解：（1）经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.（2）2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8， 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以，人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评：解应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案. 此题由增长率的知识，可以得到指数型或幂型函数，并得到关于增长率的简单不等式，解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习※基础达标 1．（06年全国卷II.文2理1）已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N =（ ）.A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2．（08年北京卷.文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）.A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.（05年福建卷）函数()x b f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4．（06年广东卷）函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是（ ）.A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-5．（06年陕西卷）设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 66．（06年辽宁卷.文14理13）设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g = .7．如图所示，曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象，已知α分别取11,1,,22-四个值，则相应图象依次为 .※能力提高8．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9．已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4). （1）求输入x =234时对应的y 值； （2）令2log t x =，求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新10．设121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值； （2）证明()f x 在区间（1，＋∞）内单调递增；（3）若对于区间[3,4]上的每一个x 值，不等式()f x >1()2x m +恒成立，求实数m 的取值范围．。

x
练习
求下列各式中的x 1 (1) log 4 x 2 3 (2) log x 27 4 (3) log 5 (lg x) 1
x2
x 81
x 10
5
拓展提高
1.(1)若 log(x 1) (3 x)有意义，则x的取值
1 x 3且x 范围 _____________ 2
x
引例2. 2009年临沂河东区国民经济生产总值为a 亿元,如果平均每年增长率为8.2%,问经过 多少年后国民生产总值是2009年的2倍？
解：
a(1+8.2%)x=2a 1.082x=2
x=?
已知 2 = 128 求 x?
x
已知 1.082 2
x
求
x?
上述问题，实质就是已知 底数 和 幂 的值， 求 指数 .
2
(2)若(lg x) 2lg x 3 0, 则x
1 或1000 10 _____
2 (3)若 lห้องสมุดไป่ตู้g 2 log 1 (log 2 x) 0, 求x ____ 2
１．关系：
指数式
底数对底数
指数对以a为底N的对数
ab=N
b = log a N
幂值对真数
对数的概念 x 一般地，如果 N (a 0, 且a 1), a 那么数x叫做以a为底N的对数， 记作 x log a N , 其中a叫做对数的底数， 叫做真数 N
指数式 a N x log a N
x
幂底数 指数 幂
a 对数底数 a 0, 且a 1时 x 对数 xR
引例1：
1.如果我们拿出一张纸对折，纸就变成了两 层，再对折，就变成了四层，继续对折……