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方程模型及其求解算法 实验报告

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>> double x1,double x2,double x3
ans =
120 49
ans =
120 50
ans =
分法求方程根的函数M文件。
求解方程
functionf=ex4_fun(x)
f=x-x^2+10;
M文件：
x1=0;x2=100;
fori=1:100
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2011年04月07日
课程
名称
数学实验
实验项目
名称
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导
教师
李东
成绩
一、实验目的及意义
[1]复习求解方程及方程组的基本原理和方法；
[2]掌握迭代算法；
[3]熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；
x1 =
.56714329040978387299996866221036
x2 =
.56714329040978387299996866221036
(2)
[x1,x2,x3]=solve('x1^2-5*x2^2+7*x3^2+12','3*x1*x2+x1*x3-11*x1','2*x2*x3+40*x1');
x=(x1+x2)/2;
if(ex4_fun(x)==0)
break
elseif(ex4_fun(x1)*ex4_fun(x1)<0)
x1=x;
else
x2=x;
end
end
s=(x1+x2)/2
输出结果
s =
3.9443e-029
应用实验
2.炮弹发射角的问题
炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200 m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。
Columns 11 through 20
0.3959 + 0.2809i 0.3967 + 0.2879i 0.4010 + 0.2885i 0.4020 + 0.2861i 0.4007 + 0.2851i 0.3999 + 0.2857i 0.4002 + 0.2863i 0.4005 + 0.2862i 0.4005 + 0.2860i 0.4004 + 0.2859i
[4]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容
1．方程求解和方程组的各种数值解法练习
Columns 21 through 22
2.0160 + 0.8224i 2.0162 - 0.8222i
迭代不收敛
3．求解下列方程组
直接使用MATLAB命令：solve()和fsolve()对方程组求解。
(1)
[x1,x2]=solve('2*x1-x2-exp(-x1)','2*x2-x1-exp(-x2)')
Columns 19 through 22
Inf Inf Inf Inf
迭代不收敛
M文件二：
x=-1;
fork=1:20
x=(1/5*(2*x-x^5-1))^(1/3);
end
X =
Columns 1 through 10
-1.0000 -1.0000 0.3684 + 0.6381i 0.5514 + 0.3825i 0.4927 + 0.2208i 0.3754 + 0.2131i 0.3517 + 0.2934i 0.3983 + 0.3152i 0.4170 + 0.2919i 0.4066 + 0.2770i
t=linspace(0,10,100);
x=200*cos(0.4642 ).*t;
y=200*sin(0.4642).*t-1/2*10.*t.^2;
plot(x,y,'b');
进一步思考：如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s），结果又如何？此时炮弹的运行轨迹如何？试进行动态模拟。
>> double(A.a)
ans =
-219.4807
>> double(A.t)
ans =
2.2077
(a =0.4218)
t=linspace(0,10,100);
x=-2000*cos(0.4218)*exp(-0.1.*t)+2000*cos(0.4218);
y=200*sin(0.4218).*t-1/2*10.*t.^2;
1.202
1.823
2.526
3.360
请确定该小行星绕太阳运行的轨道，并且画出小行星的运动轨迹。
椭圆曲线方程:
a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1=0
M文件：
X=[5.764; 6.286; 6.759; 7.168; 7.408];
Y=[0.648; 1.202; 1.823; 2.526; 3.360];
ezplot('0.0508*x^2+2*(-0.0351)*x*y+0.0381*y^2+2*(-0.2265)*x+2*0.1321*y+1=0',[3,8,-2,4]),grid
画出图像：
如果x的取值在-∞到+∞之间时，有无穷个根
2．将方程x5+5x3- 2x+ 1 = 0改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。
M文件一：
x=1;
fork=1:20
x=1/2*(x^5+5*x^3+1)
end
X =
1.0e+062 *
Columns 1 through 18
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2.5565 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf
Columns 11 through 20
1.9889 + 0.8249i 2.0055 - 0.8091i 2.0057 + 0.8233i 2.0121 - 0.8172i 2.0122 + 0.8227i 2.0147 - 0.8204i 2.0147 + 0.8225i 2.0156 - 0.8216i 2.0156 + 0.8224i 2.0160 - 0.8221i
2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习
3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；
2．根据各种数值解法步骤编写M文件
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果(数值或图形)；
5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
B=[-1; -1 ;-1 ;-1 ;-1];
A=[X.*X 2*X.*Y Y.*Y 2.*X 2.*Y ]
a=A\B
运行结果
a =
0.0508
-0.0351
0.0381
-0.2265
0.1321
求得轨道方程为：
0.0508*x^2+2*(-0.0351)*x*y+ 0.0381*y^2+2*( -0.2265)*x+2*0.1321*y+1=0
Columns 21 through 22
0.4004 + 0.2860i 0.4004 + 0.2860i
迭代收敛
M文件三：
x=-1;
fork=1:20
x=(2*x-5*x^3-1)^(1/5);
end
X =
Columns 1 through 10
1.0000 1.0000 1.0675 + 0.7756i 1.5607 - 0.3514i 1.5818 + 0.8381i 1.8323 - 0.6099i 1.8377 + 0.8353i 1.9443 - 0.7354i 1.9458 + 0.8285i 1.9884 - 0.7881i
四、实验要求与任务
基础实验
1．用图形放大法求解方程xsin(x) = 1.并观察该方程有多少个根。
从图中可以看出，在区间[-20,20]内曲线f(x)=xsin(x)-1和X轴有14个交点，即方程有14个根
M文件：
x=-20:0.1:20;
y=x.*sin(x)-1;
plot(x,y,'r','linewidth',2),grid;
x=200*cos(x)*t=360
y=200*sin(x)*t-1/2*10*t^2=160
A=solve('t*200*cos(x)=360','200*sin(x)*t-1/2*10*t^2=160');
double(A.x)ans = 1.5248 -1.6168 0.4642 -2.6774

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大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解

大学数学实验报告----迭代(一)——方程求解


Do M n , n, 2, 100
运行结果：
M n_Integer : Module y, k , m 2; k m ^ n 1 ;
x Mod k, n ;
Print n, " ", PrimeQ n , " ", x, "
", GCD m, n
Do M n , n, 2, 100
2 True 0 2 3 True 1 1 4 False 0 2 5 True 1 1 6 False 2 2 7 True 1 1 8 False 0 2 9 False 4 1 10 False 2 2 11 True 1 1 12 False 8 2 13 True 1 1 14 False 2 2 15 False 4 1 16 False 0 2 17 True 1 1 18 False 14 2 19 True 1 1 20 False 8 2 21 False 4 1 22 False 2 2 23 True 1 1 24 False 8 2 25 False 16 1 26 False 2 2 27 False 13 1 28 False 8 2 29 True 1 1 30 False 2 2 31 True 1 1 32 False 0 2 33 False 4 1 34 False 2 2 35 False 9 1 36 False 32 2 37 True 1 1 38 False 2 2 39 False 4 1 40 False 8 2
99 False 3 27 100 False 1 67 Null2
m=4 时
输入程序：
M n_Integer : Module y, k , m 4; k m ^ n 1 ; x Mod k, n ; Print n, " ", PrimeQ n , " ", GCD m, n , " ", x Do M n , n, 2, 100
求解系统方程实验报告

求解系统方程实验报告

一、实验目的1. 理解线性方程组的基本概念和解法；2. 掌握高斯消元法和矩阵求逆法求解线性方程组；3. 通过实验加深对理论知识的理解，提高解决实际问题的能力。

二、实验原理线性方程组是由线性方程构成的方程组，其一般形式为：Ax = b其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。

求解线性方程组的方法有很多，如高斯消元法、矩阵求逆法等。

三、实验器材1. 计算机；2. 线性代数软件（如MATLAB、Mathematica等）。

四、实验步骤1. 设计实验数据：构造一个线性方程组，例如：2x + 3y - z = 8-x + 2y + 3z = 6x - y + 2z = 22. 使用高斯消元法求解：（1）将方程组转化为增广矩阵：[ 2 3 -1 | 8 ][ -1 2 3 | 6 ][ 1 -1 2 | 2 ]（2）进行行变换，将增广矩阵化为行最简形：[ 1 0 1 | 2 ][ 0 1 -1 | 4 ][ 0 0 0 | 0 ]（3）从行最简形中解出未知数：x = 2y = 4z = -23. 使用矩阵求逆法求解：（1）计算系数矩阵A的行列式：| 2 3 -1 || -1 2 3 || 1 -1 2 |det(A) = 2 (2 2 - 3 (-1)) - 3 (-1 2 - 3 1) + (-1) (-1 2 - 3 1)= 2 (4 + 3) - 3 (-2 - 3) + (-1) (-2 - 3)= 14 + 21 + 5= 40（2）计算系数矩阵A的伴随矩阵A：A = [ 6 3 1 ][ -3 2 -1 ][ 1 1 2 ]（3）计算系数矩阵A的逆矩阵A-1：A-1 = (1/det(A)) A= (1/40) [ 6 3 1 ][ -3 2 -1 ][ 1 1 2 ]（4）计算未知数向量x：x = A-1 b= [ (1/40) 6 (1/40) 3 (1/40) 1 ][ (1/40) (-3) (1/40) 2 (1/40) (-1) ][ (1/40) 1 (1/40) 1 (1/40) 2 ]= [ 0.15 0.075 0.025 ][ -0.075 0.05 -0.025 ][ 0.025 0.025 0.05 ]= [ 2 4 -2 ]五、实验结果与分析1. 使用高斯消元法求解线性方程组，得到解为x = 2，y = 4，z = -2。

微分方程数值解法实验报告

微分方程数值解法实验报告

微分方程数值解法实验报告2篇微分方程数值解法实验报告（一）在实际科学与工程问题中，我们经常会遇到微分方程的求解。

然而，许多微分方程往往没有解析解，这就需要我们利用数值方法来获得近似解。

本篇实验报告将介绍两种常见的微分方程数值解法：欧拉方法和改进的欧拉方法。

一、欧拉方法欧拉方法是最简单的微分方程数值解法之一。

其基本原理为离散化微分方程，将微分方程中的导数用差商代替。

设要求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，步长为h，则可用以下公式进行递推计算：y_{n+1} = y_n +hf(x_n, y_n)二、算法实现为了对欧拉方法进行数值实验，我们以一阶线性常微分方程为例：dy/dx = x - y, y(0) = 1步骤如下：（1）选择合适的步长h和求解区间[a, b]，这里我们取h=0.1，[a, b] = [0, 1]；（2）初始化y_0 = 1；（3）利用欧拉方法递推计算y_{n+1} = y_n + 0.1(x_n - y_n)；（4）重复步骤（3），直到x_n = 1。

三、实验结果与讨论我们通过上述步骤得到了在[0, 1]上的近似解y(x)。

下图展示了欧拉方法求解的结果。

从图中可以看出，欧拉方法得到的近似解与精确解有一定的偏差。

这是因为欧拉方法只是通过递推计算得到的近似解，并没有考虑到更高阶的误差。

所以在需要高精度解时，欧拉方法并不理想。

四、改进的欧拉方法针对欧拉方法的不足，我们可以考虑使用改进的欧拉方法（也称为改进的欧拉-柯西方法）。

它是通过利用前后两个步长欧拉方法得到的结果作为差商的中间项，从而提高了求解精度。

一阶线性常微分方程的改进欧拉方法可以表示为：y_{n+1} = y_n + h(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n,y_n)))/2五、算法实现与结果展示将改进的欧拉方法应用于前述的一阶线性常微分方程，我们同样选择h=0.1，[a, b] = [0, 1]。

数学建模实验报告11详解

数学建模实验报告11详解

《数学建模实验》实验报告学号： 姓名：一只小船渡过宽为d 的河流，目标是起点A 正对着的另一岸B 点，已知河水流速v 1与船在静水中的速度v 2之比为k .1.建立小船航线的方程，求其解析解；2.设d =100m,v 1=1m/s,v 2=2m/s ，用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。

一、问题重述我们建立数学模型的任务有：1.由已给定的船速、水速以及河宽求出渡河的轨迹方程；2.已知船速、水速、河宽，求在任意时刻船的位置以及渡船所需要的时间。

二、问题分析此题是一道小船渡河物理应用题，为典型的常微分方程模型，问题中船速、水速、河宽已经给定，由速度、时间、位移的关系，我们容易得到小船的轨迹方程，同时小船的起点和终点已经确定，给我们的常微分方程模型提供了初始条件。

三、模型假设1.假设小船与河水的速度恒为定值21v v 、,不考虑人为因素及各种自然原因；2.小船行驶的路线为连续曲线，起点为A ，终点为B ；3.船在行驶过程中始终向着B 点前进，即船速2v 始终指向B ；4.该段河流为理想直段，水速1v 与河岸始终保持平行。

四、模型建立68.7000 -0.0000 100.000068.8000 -0.0000 100.000068.9000 -0.0000 100.000069.0000 -0.0000 100.0000我们看到，在=t 66.6s 时，小船到达对岸B 。

接下来我们给出小船的t y t x --,图像以及小船的轨迹以及与解析法的比较图像如下图：由第三个图，我们可以看出数值解与解析解图像几乎重合，差别不大。

六、附录：（1）建立m文件boat1.mfunction dx=boat1(t,x)v1=1;v2=2;d=100;dx=[v1-v2*x(1)/sqrt(x(1)^2+(d-x(2))^2);v2*(d-x(2))/sqrt((d-x(2))^2+x(1)^ 2)];end（2）主程序如下：tt=0:0.1:100;x0=[0,0];[t,x]=ode23s(@boat1,tt,x0);%用龙格-库塔方法计算微分；[t,x]figure(1)plot(t,x),gridtitle('xy分位移-时间曲线图');legend('x-t','y-t')figure(2)plot(x(:,1),x(:,2))title('小船轨迹图');Y=0:0.1:100;d=100;v1=1;v2=2;k=v1/v2;X=0.5*d*((1-Y./d).^(1-k)-(1-Y./d).^(1+k));figure(3)plot(X,Y,'r',x(1:100:end,1),x(1:100:end,2),'g')。