十字相乘法分解因式专项练习30题（有答案）1．x3+5x2+6x．2．（x2+x）2﹣8（x2+x）+12．3．（1）a2﹣4a+3；（2）2m4﹣16m2+32．4．3x2﹣5x﹣2．5．x（x﹣5）﹣6．6．x2﹣5x+6．7．x3+5x2y﹣24xy2．8．﹣2x2+10x﹣12．9．16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2．10．2ax2﹣10ax﹣100a．11．x2﹣x﹣12．12．（x2+2x）2﹣11（x2+2x）+24．13．x4﹣2x2﹣8．14．（x2﹣2x）2﹣11（x2﹣2x）+24．15．ax8﹣5ax4﹣36a．16．x2﹣x﹣6．17．x2﹣x4+12．18．x4﹣13x2+36．19．（a2﹣a）2﹣14（a2﹣a）+24．20．﹣a4+13a2﹣36．21．3ax2﹣18ax+15a．22．x2﹣3x﹣10．23．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．24．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．25．2ab4+2ab2﹣4a．26．x2﹣11x﹣2627．阅读下面因式分解的过程：a 2+10a+9=a 2+2•a •5+52﹣52+9=（a+5）2﹣16=（a+5）2﹣42=（a+5+4）（a+5﹣4）=（a+9）（a+1）请仿照上面的方法，分解下列多项式：（1）x 2﹣6x ﹣27（2）a 2﹣3a ﹣28．28．在因式分解中，有一类形如x 2+（m+n ）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x 2+（m+n ）x+mn=（x+m ）（x+n ）．例如：x 2+5x+6=x 2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）．你能运用上述方法分解多项式x 2﹣5x ﹣6吗？29．根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x 2﹣x ﹣6=（x+2）（x ﹣3），右边的两个一次两项式的系数有关系11×﹣32，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题．（1）填空：①分解因数：6x 2﹣x ﹣2=_________．②解方程：3x 2+x ﹣2=0，左边分解因式得（_____）（_____）=0，∴x 1=______，x 2=_______．（2）解方程．30．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a ）（x+b ）=x 2+（a+b ）x+ab ，即x 2+（a+b ）x+ab=（x+a ）（x+b ）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如：（1）x 2+5x+6=x 2+（3+2）x+3×2=（x+2）（x+3）；（2）x 2﹣5x ﹣6=x 2+（﹣6+1）x+（﹣6）×1=（x ﹣6）（x+1）．请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：（1）x 2﹣8x+7；（2）x 2+7x ﹣18．十字相乘法分解因式30题参考答案：1．x3+5x2+6x=x（x2+5x+6）=x（x+2）（x+3）2．（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=（x2+x﹣2）（x2+x﹣6）=（x﹣1）（x+2）（x﹣2）（x+3）3．（1）a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3）；（2）2m4﹣16m2+32=2（m4﹣8m2+16）=2（m2﹣4）2=2（m+2）2（m﹣2）2．4．3x2﹣5x﹣2=（x﹣2）（3x+1）．5．x（x﹣5）﹣6=x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）6．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x-3）7．原式=x（x2+5xy﹣24y2）=x（x+8y）（x﹣3y）．8．﹣2x2+10x﹣12=﹣2（x2﹣5x+6）=﹣2（x﹣3）（x﹣2）．9．16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2=（x2﹣3x﹣4）2=[（x﹣4）（x+1）]2=（x﹣4）2（x+1）2．10．2ax2﹣10ax﹣100a=2a（x2﹣5x﹣50）=a（x+5）（x﹣10）．11．x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）12．原式=（x2+2x﹣3）（x2+2x﹣8）=（x+3）（x﹣1）（x+4）（x﹣2）13．x4﹣2x2﹣8=（x2﹣4）（x2+2）=（x+2）（x﹣2）（x2+2）．14．原式=（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x﹣8）=（x﹣3）（x+1）（x﹣4）（x+2）15.ax8﹣5ax4﹣36a=a（x8﹣5x4﹣36）=a（x4﹣9）（x4+4）=a（x2+3）（x2﹣3）（x4+4）=a（x2+3）（x﹣）（x+）（x4+4）．16．x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）17．原式=﹣（x4﹣x2﹣12）=﹣（x2﹣4）（x2+3）=﹣（x+2）（x﹣2）（x2+3）18.x4﹣13x2+36=（x2﹣4）（x2﹣9）=（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）19．原式=（a2﹣a﹣2）（a2﹣a﹣12）=（a+1）（a﹣2）（a+3）（a﹣4）20．﹣a4+13a2﹣36=﹣（a4﹣13a2+36）=﹣（a2﹣9）（a2﹣4），=﹣（a﹣3）（a+3）（a﹣2）（a+2）．21．3ax2﹣18ax+15a=3a（x2﹣6x+5）=3a（x﹣1）（x﹣5）．22．x2﹣3x﹣10=（x﹣5）（x+2）．23．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5）=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）24．（a2+a）2﹣8（a2+a）+12=（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）=（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）25．2ab4+2ab2﹣4a=2a（b4+b2﹣2）=2a（b2﹣1）（b2+2）=2a（b2+2）（b+1）（b﹣1）26．x2﹣11x﹣26=（x﹣13）（x+2）27．（1）原式=x2﹣2•x•3+32﹣32﹣27=（x﹣3）2﹣36=（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）=（x+3）（x﹣9）；（2）原式=a2﹣2•a•+（）2﹣（）2﹣28=（a﹣）2﹣=（a﹣+）（a﹣﹣）=（a+4）（a﹣5）．28．x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）29．（1）①、6x2﹣x﹣2=（2x+1）（3x﹣2）．②、3x2+x﹣2=0，左边分解因式得（x+1）（3x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=；（2）解方程两边都乘以（x2﹣3），得x2（x2﹣3）+2=0，化简得x4﹣3x2+2=0设y=x2，则原方程为y2﹣3y+2=0，解这个方程得y1=1，y2=2，即x2=1或x2=2，解这两个方程得，经检验，均为原方程的根30．（1）x2﹣8x+7=x2﹣（1+7）x+（﹣1）×（﹣7）=（x﹣1）（x﹣7）；（2）x2+7x﹣18=x2+（﹣2+9）x+（﹣2）×9=（x﹣2）（x+9）。
十字相乘法分解因式练习题及答案十字相乘法是一种分解因式的方法。
我们可以将多项式分解成两个一次多项式相乘的形式，然后再将这两个一次多项式分解成更简单的形式。
例如，对于多项式$x^2+5x+6$，我们可以将其分解为$(x+3)(x+2)$。
具体操作是，我们找到两个数，它们的和为5，积为6，这两个数分别为3和2，然后将$x^2+5x+6$分解为$(x+3)(x+2)$。
同样的，我们可以使用十字相乘法分解其他多项式。
例如，$2x^2+5x+2$可以分解为$(2x+1)(x+2)$，$3x^2+7x-6$可以分解为$(3x-2)(x+3)$，$x^2-7x+6$可以分解为$(x-1)(x-6)$，$x^2+10x+9$可以分解为$(x+1)(x+9)$等等。
除了十字相乘法，我们还可以使用因式分解法来解决一些方程。
例如，对于方程$a^2-7a+6=0$，我们可以将其因式分解为$(a-1)(a-6)=0$，从而得到$a=1$或$a=6$。
同样的，$2x^2-7x+6=0$可以分解为$(2x-3)(x-2)=0$，从而得到$x=\frac{3}{2}$或$x=2$。
总之，十字相乘法和因式分解法是解决分解因式和解方程的重要方法，值得我们掌握和应用。
x2+2x-63=(x-3)(x+21)x2-8x+15=(x-3)(x-5)x2+12x+32=(x-6)(x+2)x2+10x+9=(x+9)(x+1)x2-3x-10=(x-5)(x+2)x2-2x-15=(x-5)(x+3)2x2+5x+2=(2x+1)(x+2)2x2-5x-3=(2x-1)(x+3)2x2-3x-20=(2x-5)(x+4) 2x2+5x-7=(x-1)(2x+7) 2x2+7x+3=(2x+1)(x-3) 2x2-7x+3=(2x+1)(x-3) 2x2-7x+6=(2x-1)(x-3) 2x2+7x+6=(2x+3)(x+1) 3x2+7x-6=(3x-1)(x-2) 3x2+8x-3=(3x-1)(x+3) 3x2-5x+2=(3x-2)(x+1) 5x2-3x-2=(5x-2)(x+1)5x2+6x-8=(5x-4)(x+2)6x2-5x-25=(2x-5)(3x+5)6x2-7x+3=(2x-1)(3x-1)4x2+15x+9=(4x+3)(x+3)x2-7x+6=(x-1)(x-6)x2+13x+36=(x+4)(x+9)x2+5x-24=(x-3)(x+8)x2+2x+3=(x+3)(-x+1)4m2+8mn+3n2=(2m+n)(2m+3n) 5x2+6xy-8y2=(5x-8y)(x+2y)6y2-11y-10=(-2y+5)(3y+2)8x2+26xy-15y2=(2x-1)(4x+15)3a2b2-17abxy+10x2y2=(3ab-2xy)(a-5xy) 3x3-10x2+3x=3x(3x-1)(x-1)2x-3)2+3(2x-3)+2=(2x-1)(2x-2)改写：1.x2+2x-63可以因式分解为(x-3)(x+21)。
因式分解之“十字相乘法”【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax 2+bx+c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数a c a c 1122，，，满足a a a c c c 1212==，，并且a c a c b 1221+=，那么二次三项式ax 2+bx+c 即()a a x a c a c x c c 122122112+++ 可以分解为()()a x c a x c 1122++。
这里要确定四个常数a c a c 1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
【思考】10~20以内的平方数心算办法。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1. 在方程、不等式中的应用例1. 已知：x 2－11x +24>0，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
例1解： ∵x 2－11x +24>0 ∴(x －3)(x －8)>0 分解为⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-08030803x x x x 或 ∴ x >8 或 x <3例2. 如果x 4－x 3+mx 2－2mx －2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m 的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x 4分成x 2·x 2，而对于常数项－2，可能分解成(－1)×2，或者分解成(－2)×1，由此分为两种情况进行讨论。
例2解：（1）待定系数法，设原式分解为(x 2+ax －1)(x 2+bx +2)，其中a 、b 为整数，去括号，得： x 4+(a +b )x 3+x 2+(2a －b )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： a +b =－1, m =1, 2a －b =－2m解得：a =－1，b =0，m =1 此时，原式=(x 2+2)(x 2－x －1)（2）设原式分解为(x 2+cx －2)(x 2+dx +1)，其中c 、d 为整数，去括号，得：x 4+(c +d )x 3－x 2+(c －2d )x －2将它与原式的各项系数进行对比，得： c +d =－1, m =－1, c －2d =－2m解得：c =0, d =－1, m =－1 此时，原式=(x 2－2)(x 2－x +1)2. 在几何学中的应用例3. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x －y －x 2+2xy －y 2+2=0，求长方形的面积。
十字相乘法练习题及答案一、选择题1. 下列哪个表达式不能通过十字相乘法进行因式分解？A. x^2+5x+6B. x^2-4x+3C. x^2+3x+2D. x^2-x+12. 利用十字相乘法分解因式x^2+8x+7，正确的结果是：A. (x+1)(x+7)B. (x+2)(x+3)C. (x+1)(x+6)D. (x+7)(x+1)3. 以下哪个表达式通过十字相乘法分解后，得到的因式是(x-1)(x-2)？A. x^2-3x+2B. x^2-x-2C. x^2+x-2D. x^2+3x+2二、填空题4. 利用十字相乘法将表达式x^2-6x+8分解因式，应得到______。
5. 表达式x^2+11x+28通过十字相乘法分解，得到的因式是______。
三、解答题6. 利用十字相乘法，将下列表达式分解因式：(1) x^2-9(2) x^2+10x+217. 已知一个二次多项式可以分解为(x+a)(x+b)，其中a和b是整数，求出当二次多项式为x^2-7x+12时，a和b的值。
四、应用题8. 一个矩形的长和宽的乘积是24，且长比宽多4厘米。
如果用x表示矩形的宽，那么长可以表示为x+4厘米。
利用十字相乘法，求出矩形的长和宽。
9. 一个二次方程的系数为a和c，且方程可以分解为(x-3)(x-4)。
如果方程的根是x1和x2，求出a和c的值。
答案：1. B2. D3. A4. (x-2)(x-4)5. (x+7)(x+4)6. (1) (x+3)(x-3) (2) (x+3)(x+7)7. a=-3, b=-48. 矩形的宽为x=2厘米，长为x+4=6厘米9. a=-7, c=12请注意，以上题目和答案仅供参考，实际解题时需要根据具体情况进行分析和计算。
