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。 证明：依题设有a+b=1-c ； ① a 2
+b 2
=1-c 2
； ② ①２－②得ab=c 2
-c 。 ③
由①、③两式说明：a 、b 是关于x 的一元二次方程：x 2-（1-c ）x+c 2
-c=0，④的两个不相等的实根，且因为已知a>b>c ，表明方程④的两根都大于c 。
设f （x ）=x 2-（１－c ）x+c 2
-c ，∴012()0
c c f c ∆>⎧⎪-⎪>⎨⎪
>⎪⎩⇒103c -<<，由①知，413a b <+<。
从该例中抽象出解题方法为：构造法，这也是我们今天要讲解的课题：用构造法解题。
它在数学解题过程中有着较为广泛的应用。
构造法：就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它认识与解决原问题的一种思想方法。
用构造法解题的关键在于寻找到合理的数学模型。 【例题部分】
例1 设x 、y ∈R ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)2(2002)
2(1)1(2002)
1(2003
2003
y y x x ，求x+y 的值。 解：构造函数f(t)=t 2003
+2002t ，易知f(t)是R 上的奇函数也是单调函数，由此可得：
f(x-1)= -f(y-2)，∴f(x-1)=f(2-y)，∴x-1=2-y ，∴x+y=3。
例2 四面体S —ABC 的三组对棱分别相等，且依次为52，13，5，试求四面体 S —ABC 的体积。
解：如图1，构造长方体SA 1CB 1—S 1AC 1B ，分别连结
SA 、SB 、SC 、AB 、BC 、CA 。
设长方体的三度分别为：x 、y 、z 。 令5,13,52===SC SB SA ，
S A 1
S 1
A
C
B
B 1
C 1
图1 x
y
z
则有222222
22220x 213 y 43
25SA x y SB x z z SC y z ⎧=+==⎧⎪⎪=+=⇒=⎨⎨⎪⎪==+=⎩⎩
。
由图1，则四面体S —ABC 的体积为长方体的体积减去四个等积的三棱锥体积， ∴xyz xyz xyz V V V B AS S B AC S CB SA ABC S 3
1
32411111=-
=-=---=8。 例3 求方程a+b+c+d=6有多少组正整数解？
解：构造模式：有6个形状、大小、颜色完全相同的球分成四组，每组中至少有一个球的分法有多少种：○ ○ ○ ○ ○ ○。
该问题利用构造模型转化为了一个组合问题，实际上是在五个空中插入3个隔板，共
35C =10种正整数解。
例4 设x ，y 均为正实数，证明：不等式()ln ln ln 2
x y
x y x x y y ++≤+。 证明：① 当x=y 时，yIny xInx y
x In
y x +=++2
)(； ② 当x ≠y 时，不失一般性，设x>y>0，并取y=m ，则x ∈(m ，+∞)，
设g(x)=xlnx+ylny-(x+y)In
2y x +，即g(x)=xlnx-(x+m)ln 2m
x ++mlnm ，（x ∈(m ，+∞)） 又∵m
x x
m x x m x m x m x x x g +=+-=+⋅+++-+='2ln
2ln ln )222(ln 1ln )(， ∵2x>x+m ，∴12>+m x x ，∴02ln )(>+='m
x x
x g ，∴g(x)在（m ，+∞）上单调递增，又
g(m)=0，∴g(x)>0，即xlnx-(x+m)In 2
m
x ++mlmm>0，∴m m x x m x m x ln ln 2ln )(+<++，
即y y x x y
x y x ln ln 2
ln )(+<++。
综合①②知：有y y x x y
x y x ln ln 2
ln )(+≤++。
例5 对一切非零自然数n ，求证：
证明： 构造数列｛an ｝，使其通项为
1(11)1,a =
+=>=
又∵1n n a a +==
=
1=>=，
1()n n a a n N ++>∈，∴ 对一切自然数n ，都有a n ≥a 1>1，即
111)(1)(1)1,432n ++⋅⋅⋅⋅+>-∴11(11)(1)(1)432n ++⋅⋅⋅⋅+>-
本题一般用数学归纳法证明，但应用构造思想求解，更有情趣，更见功力.
【课堂小结】
（1）用构造法解题，可构造表达式，构造图形等，在构造表达式中我们又可构造函数，构造数列等进行解题。
（2）应用好构造法的关键有两点：① 要有明确的方向，即为什么目的而构造；② 要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。
（3）运用构造法解题，关键在于寻找到合理的数学模型，一旦运用成功，它所呈现的是问题的本质规律和数学内在的美，往往给人耳目一新的感觉，同时也告诉我们大家数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美，而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝。
2007-11-20
