【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第十二章 算法初步、复数、推理与证明 12-3 Word版含解析
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基础达标检测一、选择题1．(文)若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i[答案] B[解析] 本题主要考查复数的基础知识，利用复数相等及复数的乘法运算．x i ＋1＝y ＋2i ，所以x ＝2，y ＝1. (理)若z ＝1＋2ii ，则复数z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i [答案] D[解析] 本题主要考查复数的运算.z －＝1－2i －i ＝(1－2i )i－i·i ＝2＋i ，故选D.2．(文)(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 [答案] D[解析] a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义知a －3＝0，所以a ＝3.(理)(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i[答案] A[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ·z i ＋2＝2z ，得 (x 2＋y 2)i ＋2＝2(x ＋y i)＝2x ＋2y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2y ，2＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i[答案] D[解析] CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →＝－1－3i －(2＋i) ＝－3－4i.4．(文)(2013·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i 对应的点(1,2)位于第一象限． (理)(2013·北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ， ∴复数对应复平面内的点(3，－4)．选D.5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 本题考查了复数的概念，充分必要条件与分类讨论的思想．由ab ＝0知a ＝0且b ＝0或a ＝0且b ≠0或a ≠0且b ＝0，当a ＝0且b ≠0时，复数a ＋b i 为纯虚数，否则a ＋b i 为实数，反之若a ＋bi 为纯虚数，则b ≠0且a ＝0，则ab ＝0，故“ab ＝0”是“a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．6．(文)(2013·江西高考)复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] D[解析] 本题主要考查复数的乘法及复平面内的点与复数的一一对应关系．由z ＝i(－2－i)＝－2i －i 2＝1－2i 知复数z 对应点在第四象限．(理)(2013·江西高考)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i[答案] C[解析] 本题考查集合的交集概念．复数的乘法． M ∩N ＝{4}，∴z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i.选C. 二、填空题7．(文)若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.[答案] 3[解析] 本题主要考查了复数的运算和复数的相等的条件． 3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b 2＋b ＋3i2＝a ＋b i ， 即⎩⎨⎧3－b 2＝ab ＋32＝b解得a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.(理)已知复数z ＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z |＝________. [答案] 10[解析] 本题考查复数的模的运算． 由题意知：z ＝(3＋i)2，∴|z |＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝(32＋1)2＝10.注意求复数的模的方法的技巧，如|(a ＋b i)2|＝|a ＋b i|2.8．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是复数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.[答案] －6 [解析]a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i. ∴⎩⎨⎧a ＋65＝0，3－2a5≠0，∴a ＝－6.9．(文)(2013·重庆高考)设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.[答案]5[解析] 本题考查复数的模． |z |＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.(理)(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.[答案] 1＋2i[解析] 本题考查了复数的运算及相等． 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得，a ＋(1＋a )i －1＝b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，1＋a ＝b ，∴b ＝2，a ＝1，∴a ＋b i ＝1＋2i. 三、解答题10．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z 对应的点在复平面内的第二象限内．[解析] (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0，得m ＝－2.(2)若z 为虚数，则m 2＋5m ＋6≠0， ∴m ≠－2且m ≠－3.(3)若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0m 2－m －6m ＋3＝0，解得m ＝3.(4)若z 对应的点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3<0m 2＋5m ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－3或－2<m <3m <－3或m >－2，∴m <－3或－2<m <3. 能力强化训练一、选择题1．设z 是复数，f (z )＝z n (n ∈N ＋)，对于虚数单位i ，则f (1＋i)取得最小正整数时，对应n 的值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] ∵f (z )＝z n ，∴f (1＋i)＝(1＋i)n 由i 的运算性质可知(1＋i)2＝2i ， 要使(1＋i)n 取得最小正整数，则n ＝8.2．(文)(2013·陕西高考)设z 是复数，则下列命题中的假．命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<0 [答案] C[解析] 本题考查复数的相关概念．z 2能与0比较大小且z 2≥0，则z 为实数，A 正确．由i 2＝－1知，B 、D 正确．C 中不防取z ＝1＋i ，则z 2＝2i 不能与0比较大小．(理)(2013·陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22[答案] D[解析] 本题考查复数相等，共轭复数．设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，a ，b ，c ，d ∈R ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，∴a ＝c ，b ＝d ，所以z 1＝z 2，故A 项正确．若z 1＝z 2，则a ＝c ，b ＝－d ，所以z 1＝z 2，故B 项正确．若|z 1|＝|z 2|，则a 2＋b 2＝c 2＋d 2，所以z 1z 1＝z 2·z 2，故C 项正确．z 21＝a 2－b 2＋2abi ，z 22＝c 2－d 2＋2cdi ，在a 2＋b 2＝c 2＋d 2的条件下，不能得出a 2－b 2＝c 2－d 2,2ab ＝2cd ，故D 项错误．二、填空题3．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．[答案] 3[解析] |z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知(y x )max ＝31＝ 3.4．(文)(2013·天津高考)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________. [答案] 5－5i[解析] 本题考查了复数的乘法运算． (3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i.(理)已知复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋(1－a 2)i ，在复平面内的对应点分别为P 1、P 2，P 1P 2→对应复数为－3＋i ，则a ＝______.[答案] －1[解析] 由条件可知z 2－z 1＝－3＋i ， 即(a －2)＋(2－a 2)i ＝－3＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝－32－a 2＝1，∴a ＝－1. 三、解答题5．已知A (1,2)，B (a,1)，C (2,3)，D (－1，b )(a ，b ∈R )是复平面上的四点，且向量AB →，CD →对应的复数分别为z 1，z 2.(1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求1＋i z 1＋1－iz 2.(2)若z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数，求a ，b . [解析] (1)∵AB →＝(a,1)－(1,2)＝(a －1，－1)， CD →＝(－1，b )－(2,3)＝(－3，b －3)， ∴z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i ， ∴z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ，又z 1＋z 2＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1b －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝5，∴z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i ， ∴1＋i z 1＋1－i z 2＝1＋i 4－i ＋1－i－3＋2i＝(1＋i )(4＋i )42＋12＋(1－i )(－3－2i )(－3)2＋22＝3＋5i 17＋－5＋i 13＝－46221＋82221i. (2)由(1)得z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ， z 1－z 2＝(a ＋2)＋(2－b )i ，∵z 1＋z 2为纯虚数，z 1－z 2为实数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝0b －4≠02－b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2.6．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解析] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P . 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.。
