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微分方程的普通解法

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微分方程的解法
1. 微分方程的基本概念
常微分方程, 微分方程的阶, 微分方程的解、通解, 初始条
件和特解的概念。


2. 一阶微分方程

掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
会解齐次方程和贝努利方程并从中领会变量代换求解微分
方程的思想。
3. 可降阶的高阶方程

会)()(xfyn,),(yxfy,),(yyfy的降阶解
法。
4. 二阶线性微分方程

理解二阶线性微分方程解的结构。
掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法，了解高阶常系数
线性齐次微分方程的解法。
会求非齐次项形如

xmexP
)(

, )sin)(cos)((xxPxxPenlx

的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
5.例题
例
验证函数212Cxy是微分方程012yyx的解。

解
将212Cxy和Cxy2代入012yyx的左边

得
0112222CxCx
,

所以212Cxy是方程012yyx的解。

例
求微分方程xyy212的通解。

解
这是可分离变量的微分方程, 分离变量得xdxydy212,解

此方程如下:

1
lnln2111ln21Cxyy11yyCx
.
即得通解为 )1(1yCxy.

例
求微分方程22xxyyy的通解。

解
这是齐次方程,即12xyxydxdy，令

x

y
u
udxduxdxdy
得1uudxdux,分离变量得dxxduu1)11(解得
u
Cexu

即 xyCey.

例
求微分方程xxxydxdysin的通解。

解
这是一阶线性非齐次微分方程

x
xP1)(
, xxxQsin)(.

由公式可得通解为Cdxexxeyxdxxdxsin,即
xCx
xycos

.

例
微分方程xeyxcos2的解。

解
对方程两端积分三次得

1
2sin21Cxeyx



,

21
2cos41CxCxeyx


,

3221
221sin81CxCxCxeyx


.

例
求微分方程yxyx2)1(2满足条件

1)0(y
,3)0(y

的特解。
解
这是),(yxfy型的，设pypy，代入原方

程得
dxxxpdp212

,

积分得 12ln)1ln(lnCxp.
即 )1(21xCyp,由3)0(y得 31C,所以
)1(32xy

,

再积分得233Cxxy,由1)0(y得 12C.
于是所求特解为 133xxy.

例
求微分方程2)(2yyy满足条件11xy,21xy的

特解。

解
这是),(yyfy型的，设pydydppy，代入原

方程得

ydyp
dp2

,

积分得 1lnln2lnCyp.
即 21yCyp,由21xy得21C,所以22yy,再

积分得221Cxy,由11xy得 32C.于是所求特解
为 xy231 (或321xy).
例
求微分方程0134yyy的通解。

解
这是二阶常系数线性齐次微分方程,对应的特征方程为

01342rr
,
解得的特征根为 ir322,1,
原方程的通解为 )3sin3cos(212xCxCeyx.

例
求微分方程25xyy的通解。

解
对应的齐次方程的通解为xxeCeCY21.

又因25)(xxf,即25)(xxPm,0,不是特征根,
所以可设原方程的一个特解为cbxaxy2,代入得
22
5)(2xcbxaxa

,

比较两边同次幂的系数得 5a,0b,10c,所以得
1052xy
.

故所给方程的通解为 xxeCeCyYy211052x.

例
设函数)(x连续,且满足


xxxdttxdtttex00)()()(
,

求)(x.

解
由题设得)()()()(0xxdttxxexxx


xxdtte0)(
,


)()(xexx

,即

x
exx)()(

(1)

且 1)0(,1)0( (2)
和(1)对应的齐次方程的通解为 xCxCYsincos21.
由于xexf)(1,它不是特征根,可设方程(1)的特

解为xAey,代入(1)式得21A,即得xey21.于是(1)的
通解为
xCxCyYxsincos)(21

x
e21

.

由(2)可得 2121CC, 故所求的)(x为
xxxsin(cos21)(
)xe
.

例
求微分方程xeyyy2的通解。

解
对应的齐次方程的特征方程为022rr，解得1,2r.

对应的齐次方程的通解为xxeCeCY221.
又因xexf)(,即1)(xPm,1,不是特征根,所以可

设原方程的一个特解为xAey,代入原方程得21A,所以
得xey21.
故所给方程的通解为 xxeCeCyYy221xe21.

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常微分方程常见形式及解法

常微分方程常见形式及解法


常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的 最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程：
2021/10/10
（其中y为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔
函数。
常微分方程毕文彬
2
2021/10/10
常见例子
以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变 数为x，c及ω均为常数。
2021/10/10
常微分方程毕文彬
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
2021/10/10
常微分方程毕文彬
5
01 一阶线性常微分方程
l对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数 变易法： l对于方程：
l可知其通解：
l然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x) 的值
2021/10/10
常微分方程毕文彬
6
02 二阶常系数齐次常微分方程
l对于二阶常系数齐次常微分方程，常用 方法是求出其特征方程的解 l对于方程： l可知其通解： l其特征方程： l根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 l一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
l(在的r1≠r2情况下): l(在共轭复数根的情况下)：
l 非齐次一阶常系数线性微分方程：
l 齐次二阶线性微分方程：
l 描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
l 非齐次一阶非线性微分方程：
l 描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
常微分方程毕文彬
3
微分方程的解
l微分方程的解通常是一个函数表达式（含一个 或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： ldy/dx=sinx， l的解是 ly=-cosx+C， l其中C是待定常数； l例如，如果知道 l y=f(π)=2， l则可推出 l C=1， l而可知 ly=-cosx+1，
常微分方程的常见解法

常微分方程的常见解法


# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
微分方程的求解方法

微分方程的求解方法

微分方程的求解方法微分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。

解微分方程是求解方程中未知函数与它的导数之间的关系，从而揭示出问题的特解或通解。

本文将介绍微分方程的求解方法，包括分离变量法、线性微分方程的常数变易法和齐次线性微分方程的特征方程法。

首先，我们来介绍分离变量法。

对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶微分方程，我们可以将其改写为g(y)dy = f(x)dx。

然后，我们对方程两边同时积分，得到∫g(y)dy = ∫f(x)dx。

这样，我们就将原方程分离成了两个变量的函数关系式。

接下来，我们对左右两边进行积分，得到了方程的解析解。

需要注意的是，积分常数的引入要根据具体问题中的初始条件来确定。

接下来，我们来介绍线性微分方程的常数变易法。

对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性非齐次微分方程，我们可以通过常数变易法来求解。

首先，我们假设方程的解为y = u(x)v(x)，其中u(x)是一个待定函数，v(x)是一个已知函数。

然后，我们对方程两边同时求导，得到dy/dx = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。

将这个结果代入原方程，整理后可以得到u'(x)v(x) + P(x)u(x)v(x) = Q(x)。

然后，我们将结果与方程以及原方程比较，可以得到两个关于u(x)和v(x)的方程。

通过求解这两个方程，我们可以求得待定函数u(x)和已知函数v(x)。

进而，我们就可以得到微分方程的解析解。

同样地，积分常数的引入要根据具体问题中的初始条件来确定。

最后，我们来介绍齐次线性微分方程的特征方程法。

对于形如dy/dx + P(x)y = 0的一阶线性齐次微分方程，我们可以通过特征方程法来求解。

首先，我们假设方程的解为y = e^(αx)，其中e为自然对数的底数，α为待定常数。

然后，我们将这个解代入原方程，得到αe^(αx)+ P(x)e^(αx) = 0。

高中数学中的微分方程与解法

高中数学中的微分方程与解法

高中数学中的微分方程与解法微分方程作为高中数学的重要内容之一，是数学与实际问题相结合的桥梁。

它在物理、经济、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍微分方程的基本概念和解法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、微分方程的概念微分方程是利用导数和未知函数之间的关系来描述某种变化规律的方程。

一般地，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程中未知函数的变量只有一个，而偏微分方程中未知函数的变量有多个。

常微分方程又可分为一阶和高阶两种。

一阶常微分方程中未知函数的导数最高为一阶导数，高阶常微分方程则包含更高阶的导数。

二、微分方程的解法解微分方程的方法有很多种，以下将介绍常见的几种解法。

1. 变量可分离的一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以通过将未知函数与自变量分离后进行分别积分的方式求解，就称为变量可分离的一阶常微分方程。

例如，对于方程dy/dx = x/y，可以将方程改写为ydy = xdx，然后分别对两边进行积分，得到y^2/2 = x^2/2 + C，其中C为常数。

这就是方程的通解。

2. 齐次的一阶常微分方程如果一阶常微分方程可化为dy/dx = f(y/x)，其中f(u)是一个只与u 有关的函数，那么称该方程为齐次的一阶常微分方程。

对于这种类型的方程，可以通过变量代换u = y/x来解。

3. 一阶常系数线性微分方程一阶常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是已知函数。

这种类型的微分方程可以通过乘上一个积分因子来解。

常见的积分因子有指数函数和三角函数。

4. 高阶线性微分方程高阶线性微分方程的一般形式为d^n(y)/dx^n + a_(n-1) d^(n-1)(y)/dx^(n-1) + ... + a_1 dy/dx + a_0 y = f(x)，其中a_i和f(x)都是已知函数。

对于这种类型的微分方程，可以使用特征方程的方法来求解。