2018届高三虹口区一模数学Word版(附解析)

上海市普陀区2018届高三一模数学试卷2017.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则U C A = 2. 若1sin 4θ=，则3cos()2πθ+= 3. 方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x =4. 91)x的二项展开式中的常数项的值为5. 不等式11|1|x ≥-的解集为6. 函数2()2cos 2xf x x =+的值域为7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若1012z ii+=，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限8. 若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++（*n N ∈），则lim3nn a n→∞=9. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为10. 设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为11. 已知正三角形ABC 点M 是ABC ∆所在平面内的任一动点，若||1MA =， 则||MA MB MC ++的取值范围为12. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函 数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3()22或3)22-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④ 函数()y f x x =-有两个零点； 则其中所有真命题的序号为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若数列{}n a （*n N ∈）是等比数列，则矩阵124568a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所表示方程组的解的个数 是（ ）A. 0个B. 1个C. 无数个D. 不确定14. “0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件15. 用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A. 2582cm B. 4142cm C. 4162cm D. 4182cm16. 定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ）A. 4B. 5C. 7D. 8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17.，底面直径2AB =，点C 是弧AB 的中点，点D 是母 线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小.18. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降 低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元. （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件 送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 百分之几？19. 设函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<），已知角ϕ的终边经过点(1,，点11(,)M x y 、22(,)N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的 最小值是2π. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知ABC ∆面积为，角C所对的边c =，cos ()4C f π=，求ABC ∆的周长.20. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2-，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量1F M 与 向量2F N 平行.（1）求椭圆C 的方程；（2）当120F N F N ⋅=时，求1F MN ∆的面积； （3）当21||||6F N F M -=时，求直线2F N 的方程.21. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2nn n n T b +=- （*n N ∈），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（*k N ∈，3k ≥），则称m 具有性质k P .（1）请判断1b 、2b 是否具有性质6P ，并说明理由；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{2}n n S a λ-是单调递增数列，求证：对任意的k （*k N ∈，3k ≥），实数λ都不具有性质k P ；（3）设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，21n H -都具有性质k P ，求所有满足条件的k 的值.上海市普陀区2018届高三一模数学试卷参考答案一. 填空题1. {1,2}2.143. 1-4. 84-5. [0,1)(1,2]6. [1,3]-7. 一8. 2-9. 16 10. 15 11. [0,6] 12. ①②二. 选择题13. C 14. A 15. C 16. B三. 解答题 17.（1）2π；（2）4π. 18.（1）300；（2）75%.19.（1）()sin(2)3f x x π=-；（2）ABC C ∆=20.（1）22184x y +=；（2）43；（3）2x =+. 21.（1）2b 具有性质6P ，1b 不具有性质6P ；（2）证明略；（3）3和4.。

上海虹口区教育学院附属中学2018年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A. B. C. D.参考答案：A体积最大的球即正方体的内切球,因此,体积为,故选A.点睛:本题考查学生的是球的组合体问题,属于基础题目.根据题意,正方体木块削成体积最大的球,即正方体的内切球,球的直径即正方体的边长,从而可得球的体积.解决内切球问题和平面图形的内切圆问题,基本的方法为等体积和等面积.2. 下列命题中，假命题为（）A．存在四边相等的四边形不是正方形B．为实数的充分必要条件是为共轭复数C．若R，且则至少有一个大于1D．命题：的否定是：。

参考答案：B只要的虚部相反，则就为实数，比如，则有为实数，所以B错误，选B.3. 对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：上述数据的统计分析中，一部分计算见如下图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是（）A．43 B．56 C．7D．8参考答案：C4. 下列说法正确的是(A)“a>b”是“”的充分不必要条件(B)命题“”的否定是：(C)若为假命题，则p、g均为假命题(D)若为R上的偶函数，则的图象关于直线x=l对称参考答案：略5. 若函数，则是（）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为2的偶函数D．最小正周期为的奇函数参考答案：D6. 已知是虚数单位，则等于( )A. B. C. D.参考答案：D7. 已知等差数列的前项和为，＝4，＝110，则的最小值为（）A．7 B.C． 8 D.参考答案：D由＝4，＝110，得，所以，解得，，所以，。

因此（时取等号），故选择D。

8. 如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入以，则输出的值为( )A．0 B．3 C．7 D．14参考答案：C9. 函数的值域是（）A． B． C． D．参考答案：A略10. 已知函数(其中且a≠1)，若，则在同一坐标系内的图象大致是（）A．B． C.D．参考答案：B试题分析：当时，与的单调性一致，这样A与D排除，根据条件，故C排除，因为显然，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在上是奇函数，则实数= ．参考答案：12. 已知函数(＞0，＞0，＜)的部分图象如下图所示．则．参考答案：13. 已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 .参考答案：14. 已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=．参考答案：﹣1【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=1，∵α∈（0，π），∴α﹣=，即α=，则tanα=﹣1．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．15. 已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，8）【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】将关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，转化成△＜0，从而得到关于a 的不等式，求得a的范围．【解答】解：因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=（﹣a）2﹣8a＜0，解得0＜a＜8故答案为：（0，8）．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．16. 已知双曲线的渐近线与圆相交，则双曲线离心率的取值范围是．参考答案：17. （4分）（2015?上海模拟）已知，||=||=2，与的夹角为，则在上的投影为．参考答案：3【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解：∵||=||=2，与的夹角为，∴|+|2=4+4+2||||cos=12，∴|+|=2，∵与的夹角为，∴在上的投影为|+|cos=3故答案为：3【点评】：本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷2017.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合{1,2,3,4}B=，则A B =A=，{1,3,5,7}2. 不等式11<的解集为x，3. 已知函数()21=-的反函数是1()f x-f x x则1(5)f-=4. 已知向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a在向量b的方向上的投影为5. 已知i是虚数单位，复数z满足(1)1z ⋅=，则||z =6. 在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为8. 已知函数()y f x=是定义在R上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f+≤，则实数a的取值范围是9. 已知等比数列11,,1,93⋅⋅⋅前n项和为n S，则使得2018n S>的n的最小值为10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为23π的扇形，则此圆锥的表面积为 11. 已知函数()sin f x xω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线22124x y -=上的两个动点，动 点P满足2OP OM ON=-，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若实数,x y R∈，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 14. 已知ABC∆中，2A π∠=，1AB AC ==，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则BQ CP⋅的最小值为（ ）A. 4- B. 2- C. 1- D. 015. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系kx b y e+=（ 2.718e=⋅⋅⋅为自然对数的底数，k、b为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）小时A. 22B. 23C. 24D. 3316. 关于x的方程2arcsin(cos)03x x a++=恰有个实数根1x、2x、3x，则222123++=x x x（）A. 1B. 2C. 2π D. 22π2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.（1）求异面直线1BC 与1CD 所成的角； （2）求三棱锥1B D AC-的体积.18. 在ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b 、c ，已知(2,1)m =，(cos ,cos cos )n c C a B b A =+，且m n⊥.（1）求C；（2）若227c b =，且ABC S ∆=b的值.19. 已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n项和22n S pn n=+（*n N ∈，p R∈）.（1）求p的值及{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n b 中，21b a =，324b a =+，令(21)(2)nn na n k cb n k =-⎧=⎨=⎩（*k N ∈），求数列{}n c 的前n项和nT .20. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为4+.（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB 与AC的斜率之和为1-，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP∆面积S的不同取值范围，讨论AEP∆存在的个数，并说明理由.21. 已知函数()f x 的定义域为D，值域为()f D ，即(){|(),}f D y y f x x D ==∈，若()f D D⊆，则称()f x 在D上封闭.（1）分别判断函数2017()2017log xf x x=+，2()1x g x x =+在(0,1)上是否封闭，说明理由；（2）函数()f x k=的定义域为[,]D a b =，且存在反函数1()y f x -=，若函数()f x在D上封闭，且函数1()f x -在()f D 上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数()f x 的定义域为D，对任意,x y D∈，若x y≠，有()()f x f y ≠恒成立，则称()f x 在D上是单射，已知函数()f x 在D上封闭且单射，并且满足()x f D D，其中 1()(())n n f x f f x +=（*n N ∈），1()()f xf x =，证明：存在D的真子集，nD 1n D -⋅⋅⋅3D 2D 1D D，使得()f x 在所有iD （1,2,3,,i n=⋅⋅⋅）上封闭.参考答案一. 填空题 1. {}1,32.(,0)(1,)-∞+∞U 3. 34. 1- 5. 126. 807. 16338. []5,3- 9. 1010. 36π11. π12.二. 选择题13. B 14.B 15. C 16. B 三. 解答题17.（1）11//AD BC Q1A D C∴∠是异面直线1BC 与1CD 所成的角或其补角.2分在等腰1ACD ∆中，11AC CD AD ==易得110CD A ∠=……………………4分即：异面直线1BC 与1CD所成的角arccos10……………………1分（2）11B D AC D ABCV V --=……………………4分111(12)1323=⨯⨯⨯⨯=……………………3分 18. （1）由m n⊥u r r，∴2cos cos cos 0c C a B b A ++=， (2)分由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，……2分∴()2sin cos sin 0C C A B ++=；2sin cos sin 0C C C +=；由sin 0C ≠，∴1cos 2C =-，……………………2分 ∴23C π=；……………………1分 （2）由2222cos c a b ab C=+-，∴22272cos b a b ab C=+-，∴2260a ab b +-=，∴2a b=；……………………4分由ABC S ∆=知，1s i 232a b C=，∴122b b ⋅⋅=，……………2分∴2b = (1)分19. （1）22n S pn n=+Q*22,n a pn p n N ∴=-+∈ (3)分1p ∴=，122)1(3+=-+=n n a n ……………………3分（2）∵21323,49b a b a ===+=，∴3=q ，2212333n n n n b b q ---==⨯=，……………………2分 当*2,n k k N =∈时，1234212n k kT a b a b a b -=++++++L(1)3(31)28n n n +-=+ (3)分 当*21,n k k N =-∈时，1n +是偶数，**(1)3(31);2,28(1)(2)33;21,28n n nn n n k k N T n n n k k N ⎧+-+=∈⎪⎪∴=⎨++-⎪+=-∈⎪⎩……………………3分 20. （1）由1223F AF π∠=得：13F AO π∠=，所以2a b ==………① 又12AF F ∆周长为43+，所以224a c +=+………②解①②方程组，得21a b =⎧⎨=⎩所以椭圆方程为2214x y +=………………………4分（2）设直线l方程：y k x m=+，交点1122(,),(,)B x yC x y22222(14)84(1)044y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩………………………1分212122284(1),1414km m x x x x k k -+=-⋅=++…………………………1分121211,AB AC y y k k x x --== ………………………………………1分依题：1AB AC k k +=-即：1212111y y x x --+=-…………………………1分21m k ⇒=-- ……………………………………………………………1分21y kx m kx k ∴=+=--过定点(-…………………………………………1分 （3）:10AE l x y +-=，(0,1),(2,1),A E AE -=………………………1分设直线:l y x t=-+与椭圆2214x y +=相切，22225210414y x tx tx txyt=-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩∆=⇒=……………………1分得两切线到:10AEl x y+-=的距离分别为12d d==()2112AEP dS∆=⋅=………………………1分当1AEPS∆>+时，AEP∆个数为0个当1AEPS∆=+时，AEP∆个数为1个11AEP S ∆<<+时，AEP ∆个数为2个当1AEP S ∆时，AEP ∆个数为3个当01AEP S ∆<<时，AEP∆个数为4个……………………3分 21. （1）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，值域为(,)-∞+∞，（取一个具体例子也可）， 所以()f x 在()0,1上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）上封闭……………………()g x在()0,1（结论和理由各1分）（2）函数()f x在D上封闭，则()f D D⊆.函数1()f x-在()f D上封闭，则()D f D⊆，得到：=.………………………………()D f D…………（2分）()f x k=在[],D a b =单调递增.则(),()f a a f b b ==()f x k x⇔==在[)1,-+∞两不等实根．…………（1分）(){221g()2110x x x k x k x k ≥-⎛⎫=-++-= ⎪≥⎝⎭，故22(21)4(1)0g(1)0g()02122112k k k k k k ⎧⎪+-->⎪-≥⎪≥⎨+⎪>⎪+⎪>-⎩，解得(5,14k ⎤∈--⎥⎦． …………（3分） 另解：()f x k x⇔==在[)1,-+∞两不等实根．令0)t t =≥21k t t+=-在[)0,t ∈+∞有两个不等根，画图，由数形结合可知，(11,04k ⎤+∈-⎥⎦解得(5,14k ⎤∈--⎥⎦．（3）如果()f D D=，则()n f D D=，与题干()n f D D≠⊂矛盾. 因此()f D D≠⊂，取1()D f D =，则1D D≠⊂.…………………………（2分）接下来证明11()f D D ≠⊂，因为()f x 是单射，因此取一个1\p D D ∈，则p是唯一的使得()()f x f p =的根，换句话说1()()f p f D ∉.……………（2分） 考虑到1\p D D ∈，即{}1\D D p ⊆，因为()f x 是单射，则{}(){}{}111()\()\()\()f D f D p f D f p D f p D ≠≠⊂==⊂这样就有了11()f D D ≠⊂.………………………………………………（3分）接着令1()n n D f D +=，并重复上述论证证明1n nD D +≠⊂.…………（1分）。

上海市虹口区2018届高三二模数学试卷12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54 分)2. 直线ax (a 1)y 1 0与直线4x ay 20互相平行，则实数 a _________33. 已知 (0, )， cos，则 tan( )______544. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为、、，贝U6.从集合｛ 1,1,2,3｝随机取一个为m ，从集合｛ 2, 1,1,2｝随机取一个为n ,则方程7.已知数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，且a 2、a °、a 3成等差数列，则q _____________ 8.若将函数 f(x) x 6表示成 f(x) a 。

a/x 1) a 2(x 1)2 a 3(x 1)3 则a 3的值等于 _________9. 如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的边长AB AA 1 1 ,AD J 2，它的外接球是球 O ，则A 、A 这两点的球面距离等于 _________10. 椭圆的长轴长等于 m ，短轴长等于n ，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为 __________ 7 111. [X]是不超过x 的最大整数，则方程(2x )2 — [2x]— 4 412. 函数 f(x) sinx ，对于捲 x X 3X n 且 X 1,X 2,M |f(xj 仏)| |f(X 2)仏)| g) fgl的最大值等于 __________.选择题(本大题共 4题，每题5分，共20 分) 13.下列函数是奇函数的是()A. f (x) X 1 C. f(x) arccosx2018.041•已知A ( ,a]，B [1,2]，且 Al B，则实数a 的范围是__________.填空题(本大题共2 2cos cos2cos5.已知函数f(x)2x x x21 x，则f 1[f 1(9)]—，人[0,8 ] (n 10)，记| 心1) f(X n )|，则 Ma 6(x 1)6 ,B.f (x) sinx cosxx x 0 D. f (x)x x 00满足x 1的所有实数解是—14. 在Rt ABC 中，AB AC ,点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运uuu uur umu umr动且满足PC k BC ，当PM PN 取得最小值时，实数 k 的值为（） 1111A. -B. -C. -D.-234815. 直线l:kx y k 1 0与圆x 2 y 2 8交于A 、B 两点，且| AB | 42，过点A 、B.解答题（本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形， AB AC 1， 点M 1、M 2、N 1、N 2为所在线段的三等分点.（1） 求此三棱柱的体积和三棱锥 A, AM 1N 2的体积； （2） 求异面直线 AN 2、AM 1所成的角的大小.18.已知 ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、c ， z cosA i si nA （ i 是 虚数单位）是方程z 2 z 10的根，a 3.（1 ）若B 一，求边长c 的值；4（2 ）求 ABC 面积的最大值.分别作丨的垂线与y 轴交于点M 、N ，则| A. 2.2B. 416.已知数列｛a .｝的首项& a ，且0 a 项和，则以下结论正确的是（）A.不存在a 和n 使得S n 2015 C.不存在a 和n 使得S n 2017MN |等于（）C. 4、、2D. 8a n 4 a n 44，a n 1，S n 是此数列的前n6 a n a n 4B.不存在a 和n 使得S n 2016 D.不存在a 和n 使得S n 2018BAC -，高等于3，q 称为"公比”2X 220.如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆 C:专 y 2 1，点M (m, n)是椭圆C 上的任意一点，直线 丨过点M 且是椭圆C 的“切线” • (1) 证明：过椭圆C 上的点M(m,n)的“切线”方程是 竺 ny 1 ；2(2 )设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点 M(m, n)不在坐标轴上，直线 MA 、MB 分 别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线”丨交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点； (3) 点M (m,n)不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为 F 1和F 2，判断过M 的椭圆C 的 丨与直线MF 1、MF 2所成夹角是否相等？并说明理由uu uuur 19.平面内的“向量列”｛a ,｝，如果对于任意的正整数 n ，均有a n 1ud 称为“公差向量”，平面内的“向量列”uu 量列”为“等差向量列”，uuu任意的正整数n ，均有b n 1uu ua n d ，则称此“向 ur｛b n ｝，如果对q b n ( q 0)，则称此“向量列”为“等比向量列”， 常数(1)如果“向量列” ｛^｝是“等差向量列”，用u 和“公差向量”u uu，“公差向量” d (3,0)，a i (1,1)，ur uu iu ur 2，b (1,3)，b n (m n ，k n )，求 a b (2)已知｛當｝是“等差向量列” 是“等比向量列”，“公比” qu und 表示a 1 uu anuu I a 2 I u uauu a n；uu 区必），{b n } uu bu u a uub n .“切线”3 x21.已知函数f (x) ax x a ( a R，x R)，g(x) 3( x R).1 x如果x 二4是关于x的不等式f(x) 0的解，求实数a的取值范围;(1)(2) 判断g(x)在(1 ,1)的单调性，并说明理由;和(3) 证明：函数f (x)存在零点q，使得a q q4 q73n 2q 成立的充要条件是2x5.已知函数f(x) x2 13 2 124 47.已知数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，且a 2、1【解析】a 2 a 3 2a 4 2q 2 q 1 0 ,「• q 1 或 q —28.若将函数 f(x) x 6表示成 f (x) a 0 a 1(x 1) a 2(x 1)2 a 3(x 1)3 则a 3的值等于 _________ 【解析】x 6[(x 1) 1]6, a 3 C 209.如图，长方体 ABCD A,B 1C 1D 1的边长AB AA 1 ,AD J2，它的外接球是球 O ，则A 、A 这两点的球面一.填空题(本大题共 12题，1-6每题4分, 7-12每题5分，共54分)1.已知 A ( ,a], B [1,2]，且 AI B，则实数a 的范围是【解析】画数轴,a 12.直线 ax (a 1)y 1 0与直线4x ay2 0互相平行，则实数a【解析】 由a 2 4(a 1) 0 a 23.已知 (0, ),cos3，则 tan(5 7) 【解析】tan41tan()3474.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 、、2cos2cos2cos【解析】设三边为a 、 b、 c ,对角线为d ,「.2 2 2 2a b c d，则2 2a b 22, cos d 2也可取正方体的特殊情况去求 2 cos b 2 c 22CO S2二COS2cos2小cos2【解析】f tx) x, x log 2(x 1),f 1( 9)3, f 1[f 1(9)] f1(3) 26.从集合｛ 1,123｝随机取一个为 m ，从集合｛ 2, 1,1,2｝随机取一个为n ,则方程上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.041[f1(9)]a 6(x 1)6 ,a 3成等差数列，则q _________m n【解析】距离等于【解析】外接球半径为1, 3，球面距离为310.椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______________7 111. [x]是不超过x的最大整数，则方程(2x)2— [2x] — 0满足x 1的所有实数解是_4 41 1【解析】当0x1 , [2x] 1 (2x)22 x -；当x 0 , [2x] 0 , (2x)2 -,2 4••• x 1，二满足条件的所有实数解为x 0.5或x 112. 函数f(x) sinx，对于x1 x2 x3x n且x1, x2,,人[0,8 ] ( n 10)，记M |f(Xj f(X2)| |f(X2)f(X3)| |f(X3)f(x4)| |f(X n1)f(x n)|，则M的最大值等于_________【解析】在[0,8 ]有4个周期，最大值为4 4 16二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.下列函数是奇函数的是( )A. f(x)X 1B. f(x)sinx cosxx x 0C. f(x)arccosxD. f(x)x x 0【解析】由f (x) f(x)，选B14.在Rt ABC 中，AB AC , 点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运uun uur uur umr动且满足PC k BC，当PM PN取得最小值时，实数k的值为( )11 c 11A.-B c.—D1 —2.34'8uuur umr 2【解析】建系, 设P(x,3x), M(1,0), N(2,0) , PM PN 2x9x 11 , x [0,3],9 PC 1--x 时取到最小值，此时k ，选C4 BC 415.直线l: kx y k 1 0与圆x2 y2 8交于A、B两点，且| AB | 4.2，过点A、B分别作丨的垂线与y轴交于点M、N，则| MN |等于( )A. 2、2B. 4C. 4.2D. 8【解析】AB长为直径，•••l:kx y k 1 0经过原点，k 1 , MN 2AB 8，选Da n 4 a n 416.已知数列｛%｝的首项印a,且0 a 4, a. 1 「,, &是此数列的前n6 a n a n 4【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为mn项和，则以下结论正确的是( )数项都为2,偶数项都为4，排除D ，故选A..解答题（本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分）点M 1、M 2、N 1、N 2为所在线段的三等分点.（1） 求此三棱柱的体积和三棱锥 A AM 1N 2的体积； （2） 求异面直线 AN ?、AM 1所成的角的大小.1 31 3 1【解析】（1）V 3 2 ； V A 1 AMZ V M 1 A 1AN 2 3 2 1 2（2 ）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为 一318.已知 ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、c ， z cosA i si nA （ i 是 虚数单位）是方程z 2 z 10的根，a 3.（1 ）若B ，求边长c 的值；4（2 ）求 ABC 面积的最大值.【解析】（1）解为1 丄3i ,.•• A ―,由正弦定理b 6 , c 丄6 匸2 ；2 23 2 9/3 （2）画出△ ABC 的外接圆可知， AB AC 3时，面积最大，为4uiq b n （ q 0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数 q 称为“公比”.uuuuu u m uu(1)如果“向量列” {a ,}是“等差向量列”，用a 1和“公差向量” d 表示a 1 a 2a n :uuuuu urur (2) 已知{a n }是“等差向量列”，“公差向量”d (3,0) , a 1(1,1), a n(x n ,y n ), {0}uruu ur ur uu uuuu uu 是“等比向量列”，“公比” q 2, b 1(1,3) , b n (m n ,k n )，求 a b 1 a 2 b ,a nb n .A.不存在a 和n 使得S n 2015B.不存在a 和n 使得S n 2016C.不存在a 和n 使得S n 2017D.不存在a 和n 使得S n 2018【解析】令a ! 1，则所有奇数项都为1,偶数项都为5，排除B 、C ;令Q2，则所有奇17.如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形,AB AC 1，BAC -，高等于3，19.平面内的“向量列” ur {%}，如果对于任意的正整数 ujiT ur urn ，均有a n 1 a , d ，则称此“向量列”为“等差向量列”， ud 称为“公差向量”，平面内的“向量也 {b n }，如果对于uiu任意的正整数n ，均有b n 13【解析】(1)uu ai uu a 2 uu uu On na 1n(n 2(3n 1)u ; uu (2) a n ur b n (3n 2,1) (2n1 n 1、,3 2 )1) 2n 1，错位相减求和为(3n 2) 2n 2x 2 20.如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆 C:y 2 1,2点M (m, n)是椭圆C 上的任意一点，直线丨过点M 且是椭圆C 的“切线”. (1)证明：过椭圆 C 上的点M(m,n)的“切线”方程是 凹仝ny 1 ；2(2 )设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点 M(m, n)不在坐标轴上，直线 MA 、MB 分 别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线”丨交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点； (3) 点M (m,n)不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为 F 1和F 2，判断过M 的椭圆C 的丨与直线MF 1、MF 2所成夹角是否相等？并说明理由(3)证明：函数f (x)存在零点q ，使得a qq 4 q 7 q 3n 2成立的充要条件是34“切线” 【解析】 (1) 设直线y k(x m) n ，联立椭圆,0，可证结论;：2(x ①，2n --y Pm v24ny p y Q-m 2 同理* m ty D2 22y D ，即点D 是线段PQ 的中点n(3)相等,k MF 1,,k MF 1 k切 tan 1|—1 k MF 1k ®tan，k 切m 1| k MF 2k 切 | 1 k MF 2k 切m，由夹角公式2n 11，所以所成夹角相等•n21.已知函数f (x) 3ax x a ( a R , x (1)如果x2是关于 x 的不等式f(x)xR ), g(x) 3( x R)1 x0的解，求实数a 的取值范围;(2) 判断g(x)在(1,y,1)的单调性，并说明理由;【解析】（1）f （ -）0 a —；23（2）根据单调性定义分析，在 （1,4]上递减，在2(3) “函数 f （x ）存在零点q ，使得a q q 4 q 73n 2q成立”说明3n 2q成立，根据无穷等比数列相关性质，q （ 1,1)，结合第（2） 问, 上递减，在3) mina 宀在（11 q g （-）-，反之亦然.2,1）上递增,[4,i ）上递增; 2。