专题11 牛顿运动定律的应用之传送带模型
水平传送带问题
求解的关键在于对物体所受的摩擦力进行正确的分析判断。物体的速度与传送带速度相等的时刻就是物体所受摩擦力发生突变的时刻。
【例1】如图所示，水平长传送带始终以v匀速运动，现将一质量为m的物体轻放于A端，物体与传送带之间的动摩擦因数为μ，AB长为L，L足够长。问：
(1)物体从A到B做什么运动？
(2)当物体的速度达到传送带速度v时，物体的位移多大？传送带的位移多大？
(3)物体从A到B运动的时间为多少？
(4)什么条件下物体从A到B所用时间最短？
【答案】(1)先匀加速，后匀速(2)v2
2μg
v2
μg
(3)
L
v
＋
v
2μg
(4)v≥2μgL
【解析】(1)物体先做匀加速直线运动，当速度与传送带速度相同时，做匀速直线运动。
(2)由v＝at和a＝μg，解得t＝v
μg
(4)当物体从A到B一直做匀加速直线运动时，所用时间最短，所以要求传送带的速度满足v≥2μgL。
倾斜传送带问题
求解的关键在于分析清楚物体与传送带的相对运动情况，从而确定其是否受到滑动摩擦力作用。当物体速度与传送带速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变。
【例2】如图所示，传送带与地面夹角θ＝37°，AB长度为16 m，传送带以10 m/s的速率逆时针转动。
在传送带上端A 无初速度地放一个质量为0.5 kg 的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5。求物体从A 运动到B 所需时间是多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2)
【答案】 2 s
【解析】 物体放在传送带上后，开始阶段，由于传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿传送带向下的滑动摩擦力F f ，物体受力情况如图甲所示。物体由静止加速，由牛顿第二定律有mg sin θ＋μmg cos θ＝ma 1，得
a 1＝10×(0.6＋0.5×0.8) m/s 2＝10 m/s 2。
物体加速至与传送带速度相等需要的时间t 1＝v a 1＝1010
s ＝1 s ， 时间t 1内的位移x ＝12
a 1t 21＝5 m 。
由于μ【跟踪训练】
1.在民航和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。当旅客把行李放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进。设传送带匀速前进的速度为0.25 m/s ，把质量为5 kg 的木箱静止放到传送带上，由于滑动摩擦力的作用，木箱以6 m/s 2
的加速度前进，那么这个木箱放在传送带上后，传送带上将留下的摩擦痕迹约为( )
A.5 mm
B.6 mm
C.7 mm
D.10 mm
【答案】 A 【解析】 木箱加速的时间为t ＝v a ，这段时间内木箱的位移为x 1＝v 2
2a
，而传送带的位移为x 2＝vt ，传送带上将留下的摩擦痕迹长为l ＝x 2－x 1，联立各式并代入数据，解得l ＝5.2 mm ，选项A 正确。
2. 如图甲所示的水平传送带AB 逆时针匀速转动，一物块沿曲面从一定高度处由静止开始下滑，以某一初速度从传送带左端滑上，在传送带上由速度传感器记录下物块速度随时间的变化关系如图乙所示(图中取向左为正方向，以物块刚滑上传送带时为计时起点)。已知传送带的速度保持不变，重力加速度g 取10 m/s 2
。关于物块与传送带间的动摩擦因数μ及物块在传送带上运动第一次回到传送带左端的时间t ，下列计算结果正确的是( )
A.μ＝0.4
B.μ＝0.2
C.t ＝4.5 s
D.t ＝3 s
【答案】 BC
2.如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v 0逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m 的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ【答案】 D
【解析】开始阶段，木块受到竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力和沿传送带向下的摩擦力作用，做加速度为a1的匀加速直线运动，由牛顿第二定律得
mg sin θ＋μmg cos θ＝ma1，所以a1＝g sin θ＋μg cos θ
木块加速至与传送带速度相等时，由于μmg sin θ－μmg cos θ＝ma2
所以a2＝g sin θ－μg cos θ
根据以上分析，有a23.如图甲所示，水平传送带沿顺时针方向匀速运转。从传送带左端P先后由静止轻轻放上三个物体A、B、C，物体A经t A＝9.5 s 到达传送带另一端Q，物体B经t B＝10 s到达传送带另一端Q，若释放物体时刻作为t ＝0时刻，分别作出三物体的v－t图象如图乙、丙、丁所示，取g＝10 m/s2，求：
(1)传送带的速度大小v0；
(2)传送带的长度L；
(3)物体A、B、C与传送带间的动摩擦因数；
(4)物体C从传送带左端P到右端Q所用的时间t C。
【答案】(1)4 m/s (2)36 m (3)0.4 0.2 0.012 5 (4)24 s
【解析】(1)物体A与B先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，说明物体的速度与传送带的最终速度相等，所以由图乙、丙可知传送带的速度大小是4 m/s。
