第1讲等差数列与等比数列
A组基础题组
时间:40分钟分值:65分
1.已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和,a2·a4 =16,S3 =7,则a8=( )
A.32
B.64
C.128
D.256
2.已知等比数列{a n}的各项都是正数,且3a1,a3,2a2成等差数列,则=( )
A.6
B.7
C.8
D.9
3.(2017湖南五市十校联考)已知S n是数列{a n}的前n项和,且S n+1=S n+a n+3,a4+a5=23,则S8=( )
A.72
B.88
C.92
D.98
4.(2017陕西质量检测(一))已知数列{a n}的前n项和S n=an2+bn(a,b∈R),且a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13
B.49
C.35
D.63
5.在等差数列{a n}中,a1=1,-=2,则a2 017为( )
A.4 031
B.4 033
C.4 035
D.2 017
6.(2017北京理,10,5分)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则
= .
7.(2017湖北武汉武昌调研)设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1= .
8.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.
9.已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求{b n}的前n项和.
10.设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1. (1)求a4的值;
(2)证明:为等比数列;
(3)求数列{a n}的通项公式.
B组提升题组
时间:25分钟分值:35分
1.(2017甘肃张掖模拟)等差数列{a n}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )
A.{1}
B.
C. D.
2.(2017贵州贵阳检测)在数列{a n}中,a1+++…+=2n-1(n∈N),且a1=1,若存在n∈N,使得
a n≤n(n+1)λ成立,则实数λ的最小值为.
3.(2017广东惠州第三次调研)已知数列{a n}中,点(a n,a n+1)在直线y=x+2上,且首项a1=1.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}中,b1=a1,b2=a2,数列{b n}的前n项和为T n,请写出适合条件T n≤S n的所有n的值.
4.(2017湖南长沙模拟)已知数列{a n}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)数列{b n}中,b1=1,b2=2,从数列{a n}中取出第b n项记为c n,若{c n}是等比数列,求{b n}的前n项和.
答案精解精析
A组基础题组
1.C∵{a n}为等比数
列,a2·a4=16,∴a3=4,∵a3=a1q2=4,S3=7,∴S2==3,∴(1-q2)=3(1-q),即
3q2-4q-4=0,∴q=-或q=2,∵a n>0,∴q=2,则a1=1,∴a8=27=128.
2.D ∵3a1,a3,2a2成等差数列,∴a3=3a1+2a2,
∴q2-2q-3=0,∴q=3或q=-1(舍去).
∴===q2=32=9.故选D.
3.C解法一:由S n+1=S n+a n+3,得a n+1-a n=3,∴数列{a n}是公差为3的等差数列,又
a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,∴a1=1,∴S8=8a1+d=92.
解法二:由S n+1=S n+a n+3,得a n+1-a n=3,∴数列{a n}是公差为3的等差数列,∴S8===92.
4.B由S n=an2+bn(a,b∈R)可知数列{a n}是等差数列,依题意得,d===2,则
a n=a2+(n-2)d=2n-1,所以a1=1,a7=13,所以S7=×7=×7=49,选B.
5.B 解法一:由题意得 - =2.
化简得d=2.
∴a2 017=1+(2 017-1)×2=4 033,故选B.
解法二:由-=得=2,即d=2.
∴a2 017=1+(2 017-1)×2=4 033,故选B.
6.答案 1
解析设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.
∵a1=b1=-1,a4=b4=8,
∴∴∴a2=2,b2=2.
∴==1.
7.答案-1
解析由S2=3a2+2,S4=3a4+2得a3+a4=3a4-3a2,即q+q2=3q2-3,解得q=-1(舍)或q=,将q=代入S2=3a2+2中得a1+a1=3×a1+2,解得a1=-1.
8.答案
解析设自上而下第一节竹子容积为a1升,则第9节容积为a9升,且数列{a n}为等差数列,
则解得a1=,d=.故a5=a1+4d=.
9.解析(1)由已知,得a1b2+b2=b1,
因为b1=1,b2=,所以a1=2,
所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,故a n=3n-1.
(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=,
因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.
记{b n}的前n项和为S n,
则S n==-.
10.解析(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1,整理得a4=,
又a2=,a3=,所以a4=.
(2)证明:当n≥2时,有4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1,即4S n+2+4S n+S n=4S n+1+4S n+1+S n-1,
所以4(S n+2-S n+1)=4(S n+1-S n)-(S n-S n-1),
即a n+2=a n+1-a n(n≥2).
