插值法的事后误差估计

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第三章 插 值 法

在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。

§1.插值的基本概念

插值定义：

设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n10x,,x,x为［a,b］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：

n,,2,1,0i),x(f)x(yii (3—１)

则称y(x)为f(x)关于节点n10x,,x,x在Ｙ上的插值函数，点n10x,,x,x称为插值节点,f(x)称为被插值函数。包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

关于函数插值，我们要回答以下几个问题：

(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n10x,,x,x及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。

(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。

(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。

现在首先回答第一个问题：

由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。

定理：设)x(Mn表示次数不超过n次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x(Mn的插值多项y(x)存在且唯一。 24 证明：因为对)x(M)x(yn必可写成：nn10xaxaa)x(y，只要能证唯一确定ia 即可（i=0,1,…，n）

心理学探新２０１５，Ｖｏ１．３５，Ｎｏ．３，２５１—２５６　ＰＳＹＣＨＯＬ０ＧＩＣＡＬ　ＥＸＰＬＯＲＡ．Ｉ’１０Ｎ　

用Ｄｅｌｔａ法估计误差相关测验合成信度的　

置信区问：以ＦＡＤ为例　

叶宝娟　，杨　强　

（１．江西师范大学心理学院，江西省心理与认知科学重点实验室，南昌３３００２２；２．江西师范大学教育学院，南昌３３００２２）　

摘要：诸多研究显示用合成信度可以较好地估计测验信度。文献上对合成信度置信区间估　计的研究都假设题目测量误差不相关，而在实证研究中，也会遇到误差相关的情况，此时Ｏｔ系数往　

往高估测验信度，使用合成信度估计测验信度比较准确。本文给出用Ｄｅｌｔａ法计算一般的单维测　验合成信度的标准误公式，此公式无论测验误差是否相关都适用，据此可以计算合成信度的置信　区间。通过对６ＯＯ名青少年调查发现，中文版ＦＡＤ分测验“总的功能”的反向题测验误差存在相　关。演示了如何估计此分测验的合成信度及其置信区间。　

关键词：合成信度；误差相关；Ｄｅｌｔａ法；置信区间；家庭功能评价　中图分类号：Ｂ８４１．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—５１８４（２０１５）０３—０２５１—０６　

１　引言　

信度是衡量测验质量的重要指标，　系数是目　

前最常用的评价测验信度的指标，但在题目测量误　

差（简称误差）相关的情况下往往会高估测验信度，　

这种高估的偏差可以高达两成（Ｇｒｅｅｎ＆Ｙａｎｇ，　

２００９；Ｒｅｖｅｌｌｅ＆Ｚｉｎｂａｒｇ，２００９；Ｓｉｊｔｓｍａ，２００９；温忠麟，　

叶宝娟，２０１１）。虽然在大多数的研究中，假定误差　

不相关是合理的，但在一些情况下误差之间会相关，　

如速度测验、刺激材料相同的测验题目、测验分数有　

瞬间误差（ｔｒａｎｓｉｅｎｔ　ｅｒｒｏｒ，被试对测验有某种特殊的　

感情、态度等会影响其测验分数而产生的误差）等　

等（Ｇｒｅｅｎ，２００３；Ｇｒｅｅｎ＆Ｈｅｒｓｈｂｅｒｇｅｒ，２０００；Ｇｒｅｅｎ＆　

Ｙａｎｇ，２００９；Ｓｔｅｉｎｂｅｒｇ，２００１）。在心理与教育中，经　

浅析拉格朗日插值法

目录：

一、引言

二、插值及多项式插值的介绍

三、拉格朗日插值的理论及实验

四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式

五、参考文献

一、引言

插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange）、牛顿

（Newton）、高斯（Gauss）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常

生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最

初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的

位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科

研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际

中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点

处的值的问题。

二、插值及多项式插值

1、插值问题的描述

设已知某函数关系()yfx在某些离散点上的函数值：

x

0x

0yy

1y

1ny

ny1x

1nx

nx



插值问题：根据这些已知数据来构造函数()yfx的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,ixxin的函数值()fx，或计算函数的一阶、二阶导数

值。2、插值的几何意义

插值的几何意义如图1所示：

图1

3、多项式插值

3.1基本概念

假设()yfx是定义在区间,ab上的未知或复杂函数，但一直该函数在

点01naxxxb处的函数值01,,

nyyy。找一个简单的函数，例如函数

()Px，使之满足条件

(),0,1,2,,,

iPxyin（3.1）

通常把上述01nxxx称为插值节点，把()Px称为()fx的插值多项

式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()Px的过程称为插值法。

3.2插值多项式的存在性和唯一性

如果插值函数是如下m次的多项式：

1

011()mm

mmmPxaxaxaxa



那么插值函数的构造就是要确定()mPx表达式中的m+1个系数

011,,,

mmaaaa

拉格朗日 插值 区间误差限

拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。

一、拉格朗日插值法简介

拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：

P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n

其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：

Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j

这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。

二、插值误差限的计算

尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。 在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：

| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |

其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。

三、拉格朗日插值法的应用示例

为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。

假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。