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插值及其误差

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插值及其误差

x sin x cos x tan x

992 8 796 3 25

996 1 796 3 06

998 4 796 3 98

999 7 796 3 59

用表中的数据和任一插值公式求：

（1）用tan x表格直接计算tan 5。

（2）用sin 5和cos 5来计算tan 5。并讨论这两个结果中误差变化的原因。

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。

1 插值方法

下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插

值、Hermite 插值和三次样条插值。

拉格朗日多项式插值

1.1.1 插值多项式

用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数fx在区间,ab上1n个不同点01,,,nxxx处的函数值0,1,,iiyfxin，求一个至多n次多项式

01nnnxaaxax（1）

使其在给定点处与fx同值，即满足插值条件

niiixfxy（2）

nix称为插值多项式，0,1,,ixin称为插值节点，简称节点，,ab称为插值区间。从几何上看，n次多项式插值就是过1n个点,0,1,,iixfxin，作一条多项式曲线nyx近似曲线yfx。

n次多项式（1）有1n个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1n个方程

010000111101nnnnnnnnnaaxaxyaaxaxyaaxaxy（3）

记此方程组的系数矩阵为A，则

001111det1nnnnnxxxxAxx

是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当01,,,nxxx互不相同时，此行列式值不为零。因此方程组（3）有唯一解。这表明，只要1n个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。

插值多项式与被插函数之间的差

nnRxfxx

称为截断误差，又称为插值余项。当fx充分光滑时，

11,,1!nnnnfRxfxLxxabn

其中10nnjjxxx。

1.1.2

拉格朗日插值多项式

实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数

0110110,0,1,,iiniiiiiiinnjjijjixxxxxxxxlxxxxxxxxxxxinxx

ilx是n次多项式，满足

01ijjilxji

令

000nnnjniiijiiijjixxLxylxyxx（4）

上式称为n次 Lagrange 插值多项式，由方程（3）解的唯一性，1n个节点的n次Lagrange 插值多项式存在唯一。

1.1.3 用Matlab作Lagrange插值

Matlab中没有现成的Lagrange插值函数，必须编写一个M文件实现Lagrange插值。

设n个节点数据以数组0,0xy输入，m个插值点以数组x输入，输出数组y为

m个插值。编写一个名为的M文件：

function y=lagrange(x0,y0,x);

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=;

for k=1:n

p=;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=p*y0(k)+s;

end

y(i)=s;

end

sin =0.

cos =

tan =

分段线性插值

1.2.1 插值多项式的振荡

用Lagrange插值多项式nLx近似fxaxb，虽然随着节点个数的增加，nLx的次数n变大，多数情况下误差nRx会变小。但是n增大时，nLx的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。理论上，当n，在,ab内并不能保证nLx处处收敛于fx。Runge给出了一个有名的例子：

21,5,51fxxx

对于较大的x，随着n的增大，nLx振荡越来越大，事实上可以证明，仅当3.63x时，才有limnnLxfx，而在此区间外，nLx是发散的。

高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。

1.2.2 分段线性插值

简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作nIx，它满足niiIxy，且niiIxy在每个小区间1,iixx上是线性函数0,1,,in。

nIx可以表示为

0nniiiIxylx

1-11+11+1,,0,,0,iiiiiiiiiiixxxxxixxxxlxxxxinxx时舍去时舍去其它

nIx有良好的收敛性，即对于,xab，

limnnIxfx

用nIx计算x点的插值时，只用到x左右的两个节点，计算量与节点个数n无关。但n越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就

足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

1.2.3 用Matlab实现分段线性插值

用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab 中有现成的一维插值函数interp1。

y=interp1(x0,y0,x,'method')

method指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：

'nearest' 最近项插值

'linear' 线性插值

'spline' 逐段3次样条插值

'cubic' 保凹凸性3次插值。

所有的插值方法要求x0是单调的。

当 x0 为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、'*spline'、'*cubic'。

样条插值

许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

1.3.1 样条函数的概念

所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。

数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间,ab的一个分划

011:nnaxxxxb

如果函数sx满足：

（1）在每个小区间1,0,1,,1iixxin上sx是k次多项式；

（2）sx在,ab上具有1k阶连续导数。

则称sx为关于分划的k次样条函数，其图形称为k次样条曲线。01,,,nxxx称为样条节点，121,,,nxxx称为内节点，0,nxx称为边界点，这类样条函数的全体记做,PSk，称为k次样条函数空间。

显然，折线是一次样条曲线。

若,PsxSk，则sx是关于分划的k次多项式样条函数。k次多项式样条函数的一般形式为

100!k!iknkiikjijxsxxxi

其中0,1,,iik和1,2,,1jjn均为任意常数，而

,,1,2,,10,kkjjjjxxxxxxjnxx

在实际中最常用的是k =2和3的情况，即为二次样条函数和三次样条函数。

二次样条函数：对于,ab上的分划011:nnaxxxxb，则

12222010,22!2!nijPjsxxxxxS（5）

其中22,,1,2,,10,jjjjxxxxxxjnxx。

三次样条函数：对于,ab上的分划011:nnaxxxxb，则

1323323010,32!3!2!nijPjsxxxxxxS（6）

其中33,,1,2,,10,jjjjxxxxxxjnxx。

利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如分段线性插值是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。

1.3.2 二次样条函数插值

首先，我们注意到2,2PsxS中含有2n个特定常数，故应需要2n个插值条件，因此，二次样条插值问题可分为两类：

问题（1）：

已知插值节点ix和相应的函数值0,1,,iyin以及端点0x（或nx）处的导数值0'y（或）'ny，求2,2PsxS使得

22000,1,2,,''iinnnsxyinsxysxy或（7）

事实上，可以证明这两类插值问题都是唯一可解的。

对于问题（1），由条件（7）

220010200221011211122201202012001212112,3,,22''njjjijijjsxxxysxxxysxxxxxyjnsxxy

引入记号01211,,,,,TnX为未知向量，010,,,,'nCyyyy为已知向量。

200211222221222110110021100211102211112220100nnnnnxxxxxxxxAxxxxxxx

于是，问题转化为求方程组AXC的解01211,,,,,TnX的问题，即可得到二次样条函数2sx的表达式。

1.3.3 三次样条函数插值

由于3,3PsxS中含有3n个特定常数，故应需要3n个插值条件，已知插值节点ix和相应的函数值0,1,,iifxyin，这里提供了1n个条

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插 值 法(3)

插 值 法(3)

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第三章 插 值 法

在观察或总结某些现象时，往往会发现所关心变量之间存在着某种联系，但是这种联一般很难用解析式表达。有时即便找出了其解析表达式，由于表达式过于复杂，使用或计算起来也可能十分困难。于是就想到能否用形式比较简单的函数去近似原来很困难得到或应用起来不便的函数。本章所讨论的插值法就是函数近似表达的一种方法。这里介绍的插值方法本身也是以后介绍的方法如：数值积分，数值微分，以及微分方程的数值解的基础。本章主要介绍插值函数的构造，误差估计及简单介绍方法的收敛性和稳定性。

§1.插值的基本概念

插值定义：

设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n10x,,x,x为［a,b］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：

n,,2,1,0i),x(f)x(yii (3—１)

则称y(x)为f(x)关于节点n10x,,x,x在Ｙ上的插值函数，点n10x,,x,x称为插值节点,f(x)称为被插值函数。包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

关于函数插值，我们要回答以下几个问题：

(1)给定了被插函数（即f(x)），插值节点n10x,,x,x及插值函数类Ｙ，那么满足插值条件的插值函数是否存在？若存在，是否唯一？即插值的存在性与唯一性问题。

(2)如若插值函数存在唯一，如何构造插值函数?即采用何种插值方法问题。

(3)y(x)作为f(x)的近似函数，存在误差R(x)=f(x)-y(x)。如何估计其误差？当不斯地增加插值节点，那么插值函数列是否收敛被插函数。

现在首先回答第一个问题：

由于我们这里介绍的插值函数类Ｙ是多项式类。故要求插值函数是多项式的情况下，来回答存在性与唯一性问题。

定理：设)x(Mn表示次数不超过n次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x(Mn的插值多项y(x)存在且唯一。 24 证明：因为对)x(M)x(yn必可写成：nn10xaxaa)x(y，只要能证唯一确定ia 即可（i=0,1,…，n）

Ch22插值余项与误差估计精

Ch22插值余项与误差估计精

2.2.3插值多项式中的误差

一、插值余项

从上节可知y = f(x)^JLagrang^值

)=0

满足 厶”3)= /(兀)心0,1,・・・,〃

但 ^xe[a,b] LnM = f(x)不会完全成立

因此，插值多项式存在着截断误差，那么我们怎样估 计这个截断误差呢？

1OI2M

切上/Xr)的插值多项式為(x)

令 & (x) = /(x)-化(x)

显然在插值节点为;(心0丄・・/)上

&(齐)=/(兀)-出(兀)=o ,t=O,l,--,n

因此人(力右巾切上至少有乃+1个零点

设 R”(x) = K(x)%(x)

其中 叫+](x) = (x-xt))(Ai-召)…仗一占)K(x)为待定函数 R3 = f(x)-pn(x) =

K(xQ,|(x)

I0I2M I =0

若W入辅助换数7") =/(/)-化(/)-K(x)^・|(/)

则有 讽x) =/(朗-化(x)- K(x)%](x) = 0

=心兀）-K（x>w讪（兀）=0 / = 0丄…』

因此若令"兀，X）在区间a勿上至少伽+2个零点即

（P（x） = 0,倾兀）=0 • i = O.I2・・・M

由于巴（X）和为多项式因此若f（x）町微则凶）也可微

K12H

再由Rolle定理,矿⑴在区卩％b） 1:/f至州个零点

依此类推

在区MR"）内至少仃个点^使得卩⑴的舁+1阶导数为零

0 E 它）=0 倚）=几 KO- K（x）

由于 0"⑴可曲⑴-於⑷⑴-K（对砒:;”⑴ 且 张兀）=/（兀）一出（气）一 “讪―（兀） 一心叽Q）

了理,0（/）在区间（。上）上右至州+ 1个零点 也可令炉⑴

W•叽⑴ 因此 严始）=严©）_叩《）_2加@）

KI2M 二f”°(G_K(x).(“ + ])! =0 K12"

—L—(rrrW-

所以 Rn(x) = K(x)a)n9l(x) = _ %©)

S + l)!

称/?”(x)为插值多项工巴(X舶余项截断误痢

拉格朗日 插值 区间误差限

拉格朗日 插值 区间误差限

拉格朗日 插值 区间误差限

拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。

一、拉格朗日插值法简介

拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：

P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n

其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：

Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j

这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。

二、插值误差限的计算

尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。 在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：

| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |

其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。

三、拉格朗日插值法的应用示例

为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。

假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。

几种克里金温度插值的比较

几种克里金温度插值的比较

几种克里金温度插值的比较

1克里金插值法

克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型/克里金点模型)和块克里金插值。 常规克里金插值，其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。克里金插值有多种方式，可分为简单克里金插值、普通克里金插值、泛克里金插值等线性插值法，指示克里金插值、析取克里金插值等非线性插值法和概率克里金插值、贝叶斯克里金插值等。克里金法提供了一个在有限区域内对空间变量进行无偏最优估计的方法。

1.1简单克里金插值

图1 未经数值变换的简单克里金插值（作图：曹源飞）

图2 数值变换后的简单克里金插值（作图：曹源飞）

采用简单克里金插值时，由于原温度数据不满足正态分布，故进行数值转换，即在Transformation Type中选择Normal Score，Order of trend removal 中选择Second得到图2.

simple kriging很少直接用于估计，因为它假设空间过程的均值依赖于空间位置，并且是已知的，但在实际中均值一般很难得到。它可以用于其它形式的克立格法中例如指示和析取克立格法，在这些方法中数据进行了转换，平均值是已知的。

1.2 普通克里金插值

图3 普通克里金插值（作图：杨敏）

Ordinary kriging是单个变量的局部线形最优无偏估计方法，也是最稳健常用的一种方法。普通克里金(Ordinary Kriging)提供 了一个在有限区域 内对空间变量进行无偏最优估计的方法，是根据样本空间位置不同、样本间相关程度不同，对每个样品赋予了不同的权 ，进行滑动加权平均 ，以估计待测点的值。普通克里金法为一种广泛使用的地理统计的插值方法，但一般都只依据经验使用一个变异函数来计算插值结果。