空间直角坐标系概念

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1．3.1 空间直角坐标系

知识点一 空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{}i，j，k，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．

知识点二 空间一点的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA→，且点A的位置由向量OA→唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA→＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 OA→ 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．

知识点三 空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA→＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，

使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．

【题型目录】

题型一、空间中点的位置及坐标特征

题型二、求空间图形上的点的坐标

题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标

题型四、求空间两点的中点坐标

题型五、空间向量的坐标

题型一、空间中点的位置及坐标特征

1．下列命题中错误的是 ( )

A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)

B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)

C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)

1 【课题】4.3.1空间直角坐标系

【教材】 人教A版普通高中数学必修二第134页至136页.

【课时安排】 1个课时.

【教学对象】 高二（上）学生.【授课教师】 ***

一．教材分析：

本节内容主要引入空间直角坐标系的基本概念，是在学生已学过的二维平面直角坐标系的基础上进行推广，为以后学习用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题、研究空间几何对象等内容打下良好的基础。

空间直角坐标系的知识是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；通过空间直角坐标系内任一点与有序数组的对应关系，实现了形向数的转化，将数与形紧密结合，提供一个度量几何对象的方法。其对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。

二．教学目标：

 知识与技能

（1）能说出空间直角坐标系的构成与特征；

（2）掌握空间点的坐标的确定方法和过程；

（3）能初步建立空间直角坐标系。

 过程与方法

（1）结合具体问题引入，诱导学生自主探究；

（2）类比学习，循序渐进。

2  情感态度价值观

（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，进而拓展自己的思维空间。

（2）通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程。

（3）通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力。

三．教学重点与难点：

教学重点：空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示。

教学难点：右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应。

四．教学方法： 启发式教学、引导探究

五．教学基本流程：

复习旧知，创设情境

↓

引导探究，动手实践

↓

建构数学，类比学习

↓

应用迁移，拓展升华

空间直角坐标系

空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。

一、空间直角坐标系的定义

空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。

二、空间直角坐标系的特点

1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。

2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。

3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。

三、空间直角坐标系的使用方法 1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。

2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。

3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。例如，两点A(x1, y1,

z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² +

(y2-y1)² + (z2-z1)²]。

四、应用举例

空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。以下是一些例子：

1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。

空间直角坐标系的定义和坐标

一、空间直角坐标系的定义和坐标

1.空间直角坐标系

在单位正方体$oabc-d′a′b′c′$中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od′$的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od′$的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。

2.空间矢量的坐标

一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如$a(x_1,y_1,z_1)$，$b(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{ab}=$$\overrightarrow{ob}-$$\overrightarrow{oa}=$$(x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1)$。

3.空间向量的坐标运算

设$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则

（1） $\boldsymbola+\boldsymbolb=（x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2）$

（2）$\boldsymbola-\boldsymbolb=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。

（3） $\boldsymbola·\boldsymbolb=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$

（4）$|\boldsymbola|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。

（5） $λ\boldsymbola=（λx_1，λy_1，λz_1）$

4、空间向量平行（共线）与垂直的充要条件