推荐中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形2课时相似三角形真题精选含解析-

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。

理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1。

比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。

平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

E ABD C中考专题专题复习——相似三角形1．如果532x =，那么x 的值是（ ） A ． 310 B ．215 C ．152 D ．1032．如果4:7:2x =，那么x 的值是（ ）A ．14B ．78 C ．67 D ．723．已知：四条线段a 、b 、c 、d 之间有如下关系a ∶b= c ∶d ，且a =12，b=8，c=15，则线段d= 10 ．4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则下列比例式一定成立的是（ ）A ．AE DE EC BC =B ．AE CF AC BC = C ．AD BF ABBC=D ．DE DF BCAC=5．如图，在ΔABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，连接DE ， 那么ΔADE 与ΔABC 的面积之比是A ．1:16B ．1:9C ．1:4D ．1:26．如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 边上，且DE ∥BC .若3:2:=BC DE ，则ABC ADE S S ∆∆:为的值为 A. 4:9 B. 9:4 C. 3:2 D. 3:27．已知：ABC ∆中，E D ,分别是AC AB ,的中点，16=∆ABC S 2cm ，则=∆ADE S （ ）A ．216cm B ．212cmC ．28cmD ． 24cm8．已知ABC DEF △∽△，AB :DE =2:1，且ABC △的周长为16，则DEF △的周长为 A ．4 B ．6C ．8D ．32（第2题）E D CBA9. 如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个相似三角形的周长比是 ．10. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ， 若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .11．已知两个相似三角形的周长比是1:3，它们的面积比是 12．如果两个相似三角形的相似比是1︰2，那么它们的面积比是_______．13． 如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，DEF △的面积为2，则△ABF 的面积为A ．2B ．C ．6D ．814. 已知:2:3,a b = 那么下列等式中成立的是A ．32a b =B ．23a b =C ．52a b b +=D ．13a b b -=15. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =6，BD =2，AE =9，则EC 的长是A ．8B ．6C ．4D ．316．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若 AD ：DB =1：2，AE =2，则AC = ．17.如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD . 要使ACD ∆与ABC ∆相似, 应添加的条件是 . (只需写出一个条件即可)18．如图，在等边ABC △中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且60APD ∠=︒,2BP =,43CD =，则ABC △的边长为 （ ） Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6AB CDA BCＰＤ60DCBAE DCBAAC E B6题图19.已知：如图，在ABC △中，D 是AC 上一点，联结BD ，且∠ABD =∠ACB . （1）求证：△ABD ∽△ACB ；（2）若AD =5，AB = 7，求AC 的长.20．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则CD 长是 Ａ．43 Ｂ．23 Ｃ．21 Ｄ．3221．如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点＝6，DE ＝3，则AE的长为A ．3B ．4C ．5D ．622．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ． 求AD 的长．23. 如图，在ABC △中，90C =∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．ADBD CBAEDA B24. 已知：如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、AB 两边上，ABC ADE ∠=∠，3,7==AD AB ， 2.7AE =,求AC 的长．25.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8， D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．26.如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，则CD ∶DB =27. 已知:如图,在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，BE=2AE ，且AD=6sin ∠BCE=13. 求CE 的长.F EDC B AABCDM28.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点，即12AD AE =，BE 交DC 于点F，已知1AB =，求CF 的长 .29.（本小题满分6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=2，DC=5，BC=3，AC 与BD 相交于点M ，且DM=207. （1）求证：△AMB ∽△CMD ；（2）求∠BDC 的正弦值.30． 如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：ΔABE ∽ΔDFA ；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长．31．如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 在AC 上， ∠DFC ＝∠AEB ．（1）求证：△ADF ∽△CAE ；（2）当AD ＝8，DC ＝6，点E 、F 分别是BC 、 AC 的中点时，求直角梯形ABCD 面积．（第18题）FEDCBA32．已知Rt △ABC 中，AC =3，BC = 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ， 垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去， 得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…， 则CA 1= ，8999C A A C .33．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上．求证：△ACB ∽△DCE .34. 如图，已知每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形. 图中的△ABC 是一个格点三角形.（1）请你在第一象限内画出格点△AB 1C 1， 使得△AB 1C 1∽△ABC ，且△AB 1C 1与△ABC 的相似比为3：1； （2）写出B 1、C 1两点的坐标.35. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（ ）.x87 6 5 432 11 2 3 4 5 6 7 8 BC A 0 yA ．1B ．13C ．12D ． 2236．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的 位似图形，则P 点的坐标是（ ）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--37．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知，ABC △的顶点都在格点上，︒=∠90C ,8=AC ,4=BC ,若在边AC 上以某个格点E 为端点画出长是52的线段EF ，使线段另一端点F 恰好落在边BC 上，且线段EF 与点C 构成的三角形与ABC △相似，请你在图中画出线段EF （不必说明理由）．38．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点 均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（ ）.A ．(4,3)--B ．(3,3)--C ．(4,4)--D ．(3,4)--39．如图，A ，B ，C 三点均为格点，△ABC 与△A ′B ′C ′关于y 轴对称.(1) 画出△A ′B ′C ′；(2) 如果△ABC 边上任意一点M 的坐标为()x y ，， 那么它的对应点M ' 的坐标是 ．第18题ACBxyCABAC40. 如图，在5×6的网格图中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在格点（每个小正方形的顶点）上，请在网格图中画一个．．△1A 1B 1C ，使△1A 1B 1C ∽△ABC （相似比不为1），且点1A 、1B 、1C 必须在格点上．。

2019-2020年中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第22课时相似三角形练习含解析基础过关1. (xx东营)若yx＝34，则x＋yx的值为( )A. 1B. 47C.54D.742. (xx盐城校级月考)给出4个判断：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似．其中判断正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. (xx河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( )第3题图4. (xx 兰州)已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF对应中线的比为( )A. 34B. 43C. 916D. 1695. (xx 安徽)如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( ) A. 4 B. 4 2 C. 6 D. 4 3第5题图 第6题图6. (xx 咸宁)如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE .下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADE ＝13.其中正确的个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7. (xx 济宁)如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE的值等于________．第7题图 第8题图8. (xx 随州)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接DM 、DN 、MN .若AB ＝6，则DN ＝________．9. (xx 临沂)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，若AB ＝8，BD ＝3，BF ＝4，则FC 的长为________．第9题图 第10题图10. (xx 盐城射阳一模)如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB ＝________米．11. (xx 杭州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DFCG. (1)求证：△ADF ∽△ACG ;(2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．第11题图12. (xx 南京一模)如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点F ，点E 在BD 上，且AB AE ＝BCED＝AC AD. (1)∠1与∠2相等吗？为什么？(2)判断△ABE 与△ACD 是否相似？并说明理由．第12题图满分冲关1. (xx 常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA ∶O 1A 1＝k (k 为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB ＝∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③ABA 1B 1＝k ；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为k 2.成立的个数为( )第1题图A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. (xx 绵阳)如图，点E ，点F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若AF DF ＝2，则HFBG的值为( )第2题图A. 23B. 712C. 12D. 5123. (xx 龙东地区)已知：在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连接CE 交BD于点F ，则EF ∶FC 的值是________．4. (xx 扬州二模)已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，BE ⊥AC ，垂足为点E ，M为AB 边的中点，连接ME 、MD 、ED .设AB ＝4，∠DBE ＝30°，则△EDM 的面积为________．第4题图 第5题图5. (xx 南京一模)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(0，1)和(3，0)，若在第四象限存在点C ，使得△OBC 和△OAB 相似，则点C 的坐标是________________．6. (xx 武汉)如图，△ABC 中，点E ，P 在边AB 上，且AE ＝BP ，过点E ，P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F ，Q .记△AEF 的面积为S 1，四边形EFQP 的面积为S 2，四边形PQCB 的面积为S 3.(1)求证：EF ＋PQ ＝BC ； (2)若S 1＋S 3＝S 2，求PEAE 的值；(3)若S 3－S 1＝S 2，直接写出PEAE的值．第6题图答案基础过关1. D 【解析】∵y x ＝34，x ＋y x ＝1＋y x ，∴原式＝1＋34＝74.2. B 【解析】∵所有的等腰三角形不一定相似，∴①不正确；∵所有的等边三角形都相似，∴②正确；∵所有的直角三角形不一定相似，∴③不正确；∵所有的等腰直角三角形都相似，∴④正确．正确的有2个．3. C 【解析】根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得A 和B 都正确；根据有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得D 正确，C 中AC ＝6，不是BC ＝6，∴C 错误．4. A 【解析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为34.5. B 【解析】∵∠B ＝∠DAC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC .∴BC AC ＝ACDC，即AC 2＝BC ·DC .∵AD 是中线，BC ＝8，∴DC ＝12BC ＝4.∴AC 2＝8×4，∴AC ＝4 2.6. C 【解析】∵BE 、CD 都是中线，∴点D 、点E 分别是边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴结论①正确；∵DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ，其相似比为1∶2，面积比为相似比的平方，即S △DOE S △COB ＝(DE BC )2＝14，∴结论②错误；∵△DOE ∽△COB ，∴OE OB ＝DE CB ＝12，由△ADE ∽△ABC可知，AD AB ＝DE BC ＝12，∴AD AB ＝OEOB，∴结论③正确；在△ABE 中，点D 是边AB 的中点，∴△ADE和△BDE 等底等高，两个三角形面积相等．在△BDE 中，△ODE 和△ODB 共高，底边比为OEOB＝DE CB ＝12，∴△ODE 和△ODB 面积比为1∶2，∴△ODE 和△EDB 面积比为1∶3，∴结论④正确．综上，正确的个数有3个．7. 35 【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴BC CE ＝AD DF ，而AD ＝AG ＋GD ＝3，DF ＝5，∴BC CE 的值为35. 8. 3 【解析】∵点M 、N 分别是线段AB 、AC 的中点，∴AN AC ＝12，又∵CD ＝13BD ，∴DC BC ＝12，在△DNC 和△BAC 中，两边对应成比例，且夹角都等于90°，∴△DNC ∽△BAC ，∴DN BA ＝DCBC＝12，∴DN ＝12AB ＝3. 9. 2.4 【解析】∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形BFED 是平行四边形，∴EF ＝BD ＝3.∵EF ∥AB ，∴EF AB ＝FC BC ，∵BC ＝BF ＋FC ＝4＋FC ，∴38＝FC 4＋FC，解得FC ＝2.4.10. 6 【解析】如解图，当王华在C 处时，Rt △DCG ∽Rt △DBA ，即CD BD ＝CG AB；当王华在E 处时，Rt △FEH ∽Rt △FBA ，即EF BF ＝EH AB ＝CG AB ，∴CD BD ＝EFBF，∵CG ＝EH ＝1.5米，CD ＝1米，CE ＝3米，EF ＝2米，设AB ＝x ，BC ＝y ，由CD BD ＝EF BF ，得1y ＋1＝2y ＋5，即2(y ＋1)＝y ＋5，解得y ＝3，∴BD ＝BC ＋CD ＝4，则1.5x ＝14，解得x ＝6米．即路灯A 的高度AB ＝6米．第10题解图11. (1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ， ∴∠ADF ＝∠C ， 又∵AD AC ＝DF CG， ∴△ADF ∽△ACG ； (2)解：∵△ADF ∽△ACG ， ∴AD AC ＝AF AG，又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12， ∴AF FG＝1.12. 解：(1)∠1与∠2相等； ∵在△ABC 和△AED 中，AB AE ＝BC ED ＝ACAD，∴△ABC ∽△AED ， ∴∠BAC ＝∠EAD ， ∴∠1＝∠2；(2)△ABE 与△ACD 相似．理由： 由AB AE ＝AC AD ，得AB AC ＝AEAD，在△ABE和△ACD中，∵ABAC＝AEAD，∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD.满分冲关1. D 【解析】由扇形相似的定义可得：nπr180n1πr1180＝rr1，所以n＝n1，故①正确；∵∠AOB＝∠A1O1B1，OA∶O1A1＝k，∴△AOB∽△A1O1B1，故②正确；∵△AOB∽△A1O1B1，故ABA1B1＝OAO1A1＝k，故③正确；由扇形面积公式nπr2360可得到④正确．2. B 【解析】设AF＝2x，则DF＝x＝AE，BE＝2x.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△DHF∽△ABF，∴HDBA＝DFAF＝HFBF＝12，∴BF＝2HF，HD＝12AB＝1.5x，同理△DHG∽△EBG，∴HDBE＝HGBG ＝DGEG＝1.5x2x＝34，∴DGDE＝37，过点E作EM∥BH，交AD于点M，如解图，则FGEM＝DGDE＝37，△AEM ∽△ABF，则MEBF＝AEAB＝13，∴BF＝3ME＝7FG，则BG＝6FG，∵HFBF＝12，∴HF＝3.5FG，∴HFBG＝3.56＝712.第2题解图3. 2∶3或4∶3【解析】点E在直线AD上，分两种情况进行讨论：当点E在边AD上时，如解图①，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴EF∶CF＝DE∶BC.又∵AE＝13AD，∴DE∶BC＝2∶3，∴EF∶CF＝2∶3；当点E在DA的延长线上时，如解图②，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴△DEF∽△BCF，∴EF∶CF＝DE∶BC，又∵AE＝13AD，∴DE∶BC＝4∶3，∴EF∶CF＝4∶3.综上可得EF∶FC＝2∶3或4∶3.第3题解图4. 3 【解析】在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴△ABE ，△ADB 是直角三角形，∴EM ，DM 分别是它们斜边上的中线，∴EM ＝DM ＝AM ＝BM ＝12AB ，∴∠MAE ＝∠MEA ，∴∠BME ＝2∠MAE ，同理，∠MAD ＝∠MDA ，∴∠BMD ＝2∠MAD ，∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2∠DAC ＝60°，∴△DEM 是边长为2的等边三角形，∴S △DEM ＝ 3. 5. (3，－1)或(3，－3)或(34，－34)或(334，－34) 【解析】∵A (0，1)，B (3，0)，∴OA ＝1，OB ＝3，AB ＝OA 2＋OB 2＝2，∠ABO ＝30°.当∠OBC ＝90°时，如解图①，①若△BOC ∽△OBA ，则∠BOC ＝∠ABO ＝30°，BC ＝OA ＝1，OB ＝3，∴C (3，－1)；②若△BCO ∽△OBA ，则∠BOC ＝∠BAO ＝60°，OB ＝3，BC ＝3OB ＝3，∴C (3，－3)；当∠OCB ＝90°时，如解图②，过点C 作CP ⊥OB 于点P ，①当△CBO ∽△OBA 时，∠OBC ＝∠ABO ＝30°，∴OC ＝12OB ＝32，同理：OP ＝12OC ＝34，∴PC ＝3OP ＝34，∴C (34，－34)；②当△CBO ∽△OAB 时，∠BOC ＝∠ABO ＝30°，∴BC ＝12OB ＝32，同理：BP ＝12BC ＝34，∴PC ＝3BP ＝34，OP ＝OB －BP ＝334，∴C (334，－34)；综上所述：点C 的坐标为(3，－1)或(3，－3)或(34，－34)或(334，－34)．第5题解图6. (1)证明：如解图①，过点Q 作QN ∥AB 交BC 于点N ， ∵PQ ∥BC ，∴四边形PQNB 是平行四边形，第6题解图①∴BN ＝PQ ，QN ＝PB ＝AE ，∵QN ∥AB ，EF ∥BC ，∴∠EAF ＝∠NQC , ∠AFE ＝∠C ， ∴△AEF ≌△QNC (AAS )， ∴EF ＝NC ，∴CN ＋BN ＝EF ＋PQ ＝BC .【一题多解】如解图②，过点C 作CD ∥AB ，交PQ 的延长线于点D ， ∵BC ∥PQ ，∴四边形BCDP 是平行四边形， ∴∠DCQ ＝∠A ，∠CQD ＝∠AQP ，第6题解图②BP ＝CD ，PD ＝BC .∵EF ∥BC ∥PQ ， ∴∠AFE ＝∠AQP ， ∴∠CQD ＝∠AFE . ∵AE ＝BP ，∴AE ＝CD ， ∴△CQD ≌△AFE (AAS)， ∴QD ＝FE ，∴EF ＋PQ ＝QD ＋PQ ＝DP ＝BC ； (2)解：∵EF ∥PQ ∥BC ， ∴△AEF ∽△APQ ∽△ABC ， ∴S 1S 1＋S 2＝AE 2AP 2＝AE 2（AE ＋PE ）2， 整理得S 2＝2AE·PE＋PE2AE2S 1； 同理S 1S 1＋S 2＋S 3＝ AE 2AB 2＝AE 2（AE ＋PE ＋PB ）2＝AE2（2AE ＋PE ）2，∵S 1＋S 3＝S 2，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝S 12S 2＝AE 2（2AE ＋PE ）2，整理得S 2＝（2AE ＋PE ）22AE 2S 1， 即2AE·PE＋PE 2AE 2S 1＝ （2AE ＋PE ）22AE2S 1， 整理得PE 2＝4AE 2，∴PE AE＝2.【一题多解】作▱ABCT ，设PQ 、EF 的延长线分别交CT 于点D ，G ，如解图③，第6题解图③∵EF ∥BC ∥PQ ∥AT ，∴四边形BCDP ，AEGT ，EPDG 均为平行四边形，则S ▱BCDP ＝S ▱AEGT ＝S 1＋S 3， S ▱EPDG ＝2S 2.∵S 1＋S 3＝S 2，∴S ▱EPDG ＝2S BCDP .∴PE ＝2BP ＝2AE ，∴PE AE＝2.(3)解：PE AE＝ 2. 【解法提示】∵△AEF ∽△ABC ，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝AE 2AB 2＝AE 2（AE ＋PE ＋PB ）2＝AE 2（2AE ＋PE ）2 ， ∵S 3－S 1＝S 2，∴S 1S 1＋S 2＋S 3＝S 12S 3＝AE 2（2AE ＋PE ）2. 整理得S 3＝（2AE ＋PE ）22AE2S 1， 又∵S 2＝2AE·PE ＋PE 2AE2S 1， ∴（2AE ＋PE ）22AE 2S 1－S 1＝2AE·PE＋PE 2AE2S 1, 整理得PE 2＝2AE 2，∴PE AE ＝ 2. 8E37491 9273 鉳,j26690 6842 桂B40085 9C95 鲕I.O32495 7EEF 绯30793 7849 硉。

第四章 三角形第22课时 相似三角形 江苏近4年中考真题精选命题点1 平行线分线段成比例(2015年3次)1. (2015淮安8题3分)如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB BC ＝23，DE ＝4，则EF 的长是( )A. 83B.203C. 6D. 10第1题图 第2题图2. (2015连云港16题3分)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2.且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为________．命题点2 相似三角形的性质与判定(2016年8次，2015年9次，2014年3次，2013年5次)3. (2016盐城7题3分)如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个(2013～2016)第3题图 第4题图4. (2014宿迁8题3分)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. (2015泰州14题3分)如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为________．第5题图 第6题图6. (2015南通17题3分)如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB ＝12，△CEF的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于________．7. (2015扬州18题3分)如图，已知△ABC 的三边长a 、b 、c ，且a ＜b ＜c ，若平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3的大小关系是________．(用“＜”号连接)第7题图8. (2015南京20题8分)如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD ＝CDBD.第8题图(1)求证△ACD ∽△CBD ；(2)求∠ACB 的大小．9. (2015连云港25题10分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC＝3CD ，过点D 作DH ∥AB ，交BC 的延长线于点H .(1)求BD ·cos∠HBD 的值；(2)若∠CBD ＝∠A ，求AB 的长．第9题图10. (2013徐州26题8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)．(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为________；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________；(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．第10题图命题点3 相似三角形的实际应用11. (2015镇江26题7分)某兴趣小组开展课外活动．如图，A、B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H ，此时他(GH )在同一灯光下的影长为BH (点C 、E 、G 在一条直线上)．(1)请在图中画出光源O 点的位置，并画出他位于点F 时在这个灯光下的影长FM (不写画法)；(2)求小明原来的速度．第11题图答案1. C 【解析】由DE EF ＝AB BC ＝23，得EF ＝3DE 2＝3×42＝6.2.2321 【解析】过点B 作EF ⊥l 2，交l 1于点E ，交l 3于点F ，如解图．∵∠BAC ＝60°，∠ABC ＝90°，∴tan ∠BAC ＝BC AB＝ 3.∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴EF ⊥l 1，EF ⊥l 3，∴∠AEB ＝∠BFC ＝90°.∵∠ABC ＝90°，∴∠EAB ＝90°－∠ABE ＝∠FBC ，∴△BFC ∽△AEB ，∴FC EB ＝BCAB＝ 3.∵BE ＝1，∴FC ＝ 3.在Rt △BFC 中，BC ＝BF 2＋FC 2＝22＋（3）2＝7，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝BC AC ＝32，AC ＝2BC 3＝273＝2213.第2题解图3. C 【解析】∵AF ∥CD ，∴△AEF ∽△DEC ；∵AE ∥BC ，∴△AEF ∽△BCF .4. C 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠A ＝180°－∠B ＝90°，∴∠PAD ＝∠PBC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，设AP 的长为x ，则BP 长为8－x ，若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况：①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ：(8－x )＝3∶4，解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x )，解得x ＝2或x ＝6.∴满足条件的点P 有3个．5. 5 【解析】∵∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠B ，∴△BAD ∽△BCA ，则BA 2＝BD ·BC ，即36＝4·(4＋CD )，解得CD ＝5.6.116【解析】∵BF ⊥AC ，∴∠CFB ＋∠FCE ＝90°，∠CFB ＋∠CBF ＝90°，∴∠FCE ＝∠CBF .∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠CAB ，∴∠CAB ＝∠CBF .∵∠BCF ＝∠ABC ，∴△FCB ∽△CBA ，∴CF ∶CB＝CB ∶AB ＝1∶2，∴FC ∶AB ＝1∶4.∵FC ∥AB ，∴△FCE ∽△BAE ，∴S 1S 2＝(FC AB )2＝116.7. S 1＜S 3＜S 2 【解析】如解图，设在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，周长为3＋4＋5＝12，根据题意得，AD ＋AE ＝6，设AE ＝x ，则AD ＝6－x ，由于DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ，∴6－x5＝x 4＝DE 3，解得x ＝83，DE ＝2，故S 1＝12DE ·AE ＝12×2×83＝83，同理可求得S 2＝21649，S 3＝278，∴S 1＜S 3＜S 2.第7题解图8. (1)证明：∵CD 是边AB 上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°.又∵AD CD ＝CD BD，∴△ACD ∽△CBD ；(2)解：∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD .在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB＝90°.9. 解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DHC，∴ACDC＝BCHC，∵AC＝3CD，BC＝3，∴CH＝1，BH＝BC＋CH＝4.在Rt△BHD中，cos∠HBD＝BHBD，∴BD·cos∠HBD＝BH＝4；(2)∵∠A＝∠CBD，∠ABC＝∠BHD. ∴△ABC∽△BHD.∴BCHD＝ABBH.∵△ABC∽△DHC，∴ABDH＝ACDC＝31，∴AB＝3DH，∴3DH＝3DH4，DH＝2，∴AB＝6.【一题多解】∵∠CBD＝∠A，∠BDC＝∠ADB，∴△CDB∽△BDA，∴CDBD＝BDAD，BD2＝CD·AD，∴BD2＝CD·4CD＝4CD2，∴BD＝2CD.∵△CDB∽△BDA，∴CDBD＝BCAB，∴CD2CD＝3AB，∴AB＝6.10. 解：(1)①2；②1.8或2.5.第10题解图①【解法提示】若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如解图①所示．此时D为AB边中点，AD＝22AC＝ 2.②当AC ＝3，BC ＝4时，有两种情况：a ．若CE ∶CF ＝3∶4，如解图②所示．第10题解图②∵CE ∶CF ＝AC ∶BC ，∴EF ∥AB .由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴cos A ＝AC AB ＝35.AD ＝AC ·cos A ＝3×35＝1.8；b ．若CF ∶CE ＝3∶4，如解图③所示．第10题解图③∵△CEF ∽△CBA ，∴∠CEF ＝∠B .由折叠性质可知，∠CEF ＋∠ECD ＝90°，又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠ECD ，∴AD ＝CD .同理可得：∠B ＝∠FCD ，CD ＝BD ，∴AD ＝12AB ＝12×5＝2.5. 综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为1.8或2.5.(2)解：当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△CBA 相似． 理由如下：如解图④所示，连接CD ，与EF 交于点Q .第10题解图④∵CD 是Rt △ABC 的中线，∴CD ＝DB ＝12AB ，∴∠DCB＝∠B.(6分)由折叠性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，∴∠DCB＋∠CFE＝90°.∵∠B＋∠A＝90°，∴∠CFE＝∠A.又∵∠ACB＝∠FCE，∴△CEF∽△CBA.11. (1)解：如解图，点O为光源；第11题解图FM为影长．(2)解：∵点C、E、G在一条直线上，CG∥AB，∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，∴CEAM＝OEOM，EGMB＝OEOM.则CEAM＝EGMB.设小明原来的速度为v m/s ， 2v 4v －1.2＝3v 12－4v ＋1.2， 解得：v ＝1.5.经检验v ＝1.5是方程的根． 答：小明原来的速度为1.5 m/s.。