平行四边形单元 易错题难题同步练习(1)
一、解答题
1．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，
CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；
（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．
（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形
ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．
2．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）． （1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为
3cm 2
； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
3．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由． （2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长．
4．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是 ，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为 ；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =13
2
，DB =5，则△ABC 的面积为 ．（直接写出答案）
5．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于
F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECF
G ．
（1）求证：四边形ECFG 是菱形；
（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=?，则BDG ?是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=?，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 6．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE 2． （1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ． ①连结BH ，BG ，求
BH
BG
的值；
②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
7．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．
（1）求证：BP ＝CQ ； （2）若BP ＝
1
3
PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．
8．如图，锐角ABC ?，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ?，使
AE AD =，EAD BAC ∠=∠．
（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）
①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；
（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
9．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，且交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD .
（1）①求证：四边形BFDE 是菱形；②求∠EBF 的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE 进行分离研究，如图2，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG =BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH ，并延长FH 交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG ．试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD 满足AB =AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ．请直接写出线段AG ，GE ，EC 三者之间满足的数量关系．
10．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒． （1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值； （3）当32
5
t =
时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =． 【分析】
（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可； （2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得
△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；
（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD +∠CAE ＝90° ∵∠BAD +∠ABD ＝90°， ∴∠CAE ＝∠ABD 在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；
（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示： ∵四边形AEFC 是菱形， ∴CE ⊥AF ，
∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，
同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ）， ∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4， ∴S △AOC ＝
12OA ?OC ＝1
2
×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24， 故答案为：24；
（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，
∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形， ∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，
同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），
∴EM ＝AH ＝GN ， 在△EMI 和△GNI 中，
EIM GIH EMI GNI EM GN ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△EMI ≌△GNI （AAS ）， ∴EI ＝GI ， ∴I 是EG 的中点，
∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°， ∴∠EAG ＝90°，
在Rt △EAG 中， EG ＝22AE
AG +
＝2286+＝10， ∵I 是EG 的中点， ∴AI ＝
12EG ＝1
2
×10＝5．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1． 【分析】
（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN 3＝
3cm ，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．
【详解】
证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，∴DF＝BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，
∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，
∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝1
2
AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，
∴S△ADF＝1
2×DF×AN＝
1
2
×
1
2
t×3＝
3
2
，
∴t＝2；
（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴FA＝CE，
∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，
∴FG＝CH，
∴四边形FGHC是平行四边形，
∴CF∥GH，
∵四边形EHFG为菱形，∴EF⊥GH，
∴EF⊥CD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
又∵DM⊥AB，
∴四边形DFEM是矩形，∴DF＝ME，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AM＝1
2
AD＝1cm，∵AM+ME+BE＝AB，
∴1+1
2t+
1
2
t＝2，
∴t＝1．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．（1）四边形AGFP是菱形，理由见解析；（2）四边形AGFP的周长为：2
【分析】
（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）四边形AGFP是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAP＝90°，
∵PF⊥BD，PA＝PF，
∴∠PBA＝∠PBF，
∵AE⊥BD，
∴∠PBF+∠BGE＝90°，
∵∠BAP＝90°，
∴∠PBA+∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠BGE，
∵∠AGP＝∠BGE，
∴∠APB＝∠AGP，
∴AP＝AG，
∵PA＝PF，
∴AG＝PF，
∵AE ⊥BD ，PF ⊥BD ， ∴AE ∥PF ，
∴四边形AGFP 是平行四边形， ∵PA ＝PF ，
∴平行四边形AGFP 是菱形； （2）在Rt △ABP 和Rt △FBP 中， ∵PB ＝PB ，PA ＝PF ， ∴Rt △ABP ≌Rt △FBP （HL ）， ∴AB ＝FB ＝1， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ＝2，
∴BD =
设PA ＝x ，则PF ＝x ，PD ＝2﹣x ，PF 1， 在Rt △DPF 中，DF 2+PF 2＝PD 2，
∴2221)(2)x x +=-
解得：x ，
∴四边形AGFP 的周长为：4x ＝4×1
22
=． 【点睛】
此题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题．
4．（1）BC ⊥CF ，CF +CD =BC ；（2）CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ，证明详见解析；（3）494
． 【分析】
（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF =BD ，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD =CF ，即可得到CF ﹣CD =BC ；
（3）先证明△BAD ≌△CAF ，进而得出△FCD 是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长，再求出CD ，BC 即可解决问题． 【详解】 （1）如图1中，
∵∠BAC =90°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =∠ABC =45°， ∴AB =AC ，
∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，
∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ， ∴∠BAD =∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =??
∠=∠??=?
， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°， ∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ， ∵BD +CD =BC ， ∴CF +CD =BC ；
故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ． （2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ． 理由：如图2中，
∵∠BAC =90°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =∠ABC =45°， ∴AB =AC ，
∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，
∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ， ∴∠BAD =∠CAF ，
∵在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =??
∠=∠??=?
， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°， ∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ， ∴BC +CD =CF ， ∴CF ﹣CD =BC ； （3）如图3中，
∵∠BAC =90°，∠ABC =45°， ∴∠ACB =∠ABC =45°， ∴AB =AC ，
∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD =AF ，∠DAF =90°，
∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ， ∴∠BAD =∠CAF ， ∵在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =??
∠=∠??=?
， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5， ∵∠ABC =45°， ∴∠ABD =135°， ∴∠ACF =∠ABD =135°， ∴∠FCD =135°﹣45°=90°， ∴△FCD 是直角三角形． ∵OD =OF ， ∴DF =2OC =13，
∴Rt △CDF 中，CD 2222135DF CF -=-12，
∴BC =DC ﹣BD =12﹣5=7，
∴AB =AC ，
∴S △ABC 149
2224
=
?=
． 【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD ≌△CAF 是解本题的关键．
5．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG ，再判断出AB=BE ，进而得出BE=CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM=BM ，
∠DMC=∠BME ，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】 （1）证明： ∵AF 平分∠BAD ， ∴∠BAF=∠DAF ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠CFE ， ∴∠CEF=∠CFE ， ∴CE=CF ，
又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AB=DC ，AD ∥BC ， ∵∠ABC=120°， ∴∠BCD=60°，∠BCF=120° 由（1）知，四边形CEGF 是菱形，
∴CE=GE ，∠BCG=
1
2
∠BCF=60°， ∴CG=GE=CE ，∠DCG=120°， ∵EG ∥DF ，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵
BE CD
BEM DCM EM CM
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD ， ∠DMC=∠BME ．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴△BMD 是等腰直角三角形． ∵AB=10，AD=24， ∴
=26，
∴2
DM BD == 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 6．（1）证明见解析；（2）
①BH
BG
=②BH 的长为
或
． 【分析】
（1）证()DAG BAE SAS △≌△，即可得出结论；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，证
()GAB GFH SAS △≌△，得GH GB =，GHF GBA ∠=∠，证GHB ?为等腰直角三角形，即
得结论；
②分两种情况，证出点B 、E 、G
在一条直线上，求出10AF EG ===，则5OA OG OE ===，由勾股定理求出12OB =，求出BG ，即可得出答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AD =AB =CB ，AG =AE ，∠DAB =∠GCE =90°， ∴∠DAB ﹣∠GAF =∠GCE ﹣∠GAF ， 即∠DAG =∠BAE ， 在△DAG 和△BAE 中，
AD AE DAG BAE AG AE =??
∠=∠??=?
， ∴△DAG ≌△BAE (SAS)， ∴DG =BE ；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，如图2所示：
∵四边形BCHF 是平行四边形， ∴HF //BC ，HF =BC =AB ． ∵BC ⊥AB ， ∴HF ⊥AB ， ∴∠HFG =∠FMB ， 又AG //EF ， ∴∠GAB =∠FMB ， ∴∠HFG =∠GAB ， 在△GAB 和△GFH 中，
AG FG GAB HFG AB FH =??
∠=∠??=?
， ∴△GAB ≌△GFH (SAS)， ∴GH =GB ，∠GHF =∠GBA ， ∴∠HGB =∠HNB =90°， ∴△GHB 为等腰直角三角形， ∴BH 2=
BG ，
∴
2BH
BG
=； ②分两种情况： a 、如图3所示：
连接AF、EG交于点O，连接BE．
∵四边形BCHF为菱形，
∴CB=FB．
∵AB=CB，
∴AB=FB=13，
∴点B在AF的垂直平分线上．
∵四边形AEFG是正方形，
∴AF=EG，OA=OF=OG=OE，AF⊥EG，AE=FE=AG=FG，
∴点G、点E都在AF的垂直平分线上，
∴点B、E、G在一条直线上，
∴BG⊥AF．
∵AE=52，
∴AF=EG2
=AE=10，
∴OA=OG=OE=5，
∴OB2222
135
AB OA
=-=-=12，
∴BG=OB+OG=12+5=17，
由①得：BH2
=BG=172；
b、如图4所示：
连接AF、EG交于点O，连接BE，
同上得：点B、E、G在一条直线上，OB=12，BG=OG+OB﹣OG=12﹣5=7，
由①得：BH2
=2；
综上所述：BH的长为2或2．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．（1）见解析；（2）4.8；（3）128
2x x
-
【分析】
（1）证明△ABP ≌△BCQ 即可得到结论；
（2）证明Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN 求出DQ ，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，利用勾股定理即可求出a ；
（3）过Q 点作QG ⊥BM 于G ，设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，利用勾股定理求出MQ ，再根据面积相减得到答案. 【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC ＝90° ∴∠BAP +∠APB ＝90° ∵BQ ⊥AP
∴∠APB +∠QBC ＝90°， ∴∠QBC ＝∠BAP ， 在△ABP 于△BCQ 中，
ABP BCQ AB BC
BAP QBC ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△ABP ≌△BCQ （ASA ）， ∴BP ＝CQ ，
（2）由翻折可知，AB ＝BC '，
连接BN ，在Rt △ABN 和Rt △C 'BN 中，AB ＝BC '，BN ＝BN ，
∴Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN （HL ）， ∴AN ＝NC '， ∵BP ＝
1
3
PC ，AB ＝8， ∴BP ＝2＝CQ ，CP ＝DQ ＝6， 设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，
∴在Rt △NDQ 中，（8﹣a ）2+62＝（a +2）2 解得：a ＝4．8， 即AN ＝4．8．
（3）解：过Q 点作QG ⊥BM 于G ，由（1）知BP ＝CQ ＝BG ＝x ，BM ＝MQ ．
设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ， ∴在Rt △MQG 中，y 2＝82+（y ﹣x ）2， ∴322
x
y x =
+． ∴S △BMC ′＝S △BMQ ﹣S △BC 'Q ＝11
22
BM QG BC QC ''?-?, ＝1321
()88222
x x x +?-?， ＝
128
2x x -． 【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正确理解题意画出图形辅助做题是解题的关键.
8．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析． 【分析】
（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠； ②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．
（2）根据60BAC ∠=?，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形． 【详解】
解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：
∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠， ∴EAB DAC ∠=∠； ②证明：如下图，连接EB,
在△EAB 和△DAC 中
∵AE AD EAB DAC AB AC =??
∠=∠??=?
∴△EAB ≌△DAC （SAS ） ∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=, ∵AB AC =， ∴ABC ACD ∠=∠, ∴ABE ABC ∠=∠， ∵//EF DC ， ∴EFB ABC ∠=∠, ∴ABE EFB ∠=∠, ∴EB EF =, ∴DC EF =
∴四边形CDEF 为平行四边形； （2）成立；理由如下： 理由如下： ∵60BAC ∠=?，
∴=60EAD BAC ∠=∠?， ∵AE=AD ，AB=AC ，
∴△AED 和△ABC 为等边三角形， ∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED, ∵ED ∥FC ， ∴∠EDB=∠FCB ，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ， ∴∠AFC=∠BDA ， 在△ABD 和△CAF 中，
60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠??
∠=∠=???=?
∴△ABD ≌△CAF （AAS ）， ∴AD=FC ， ∵AD=ED ， ∴ED=CF ， 又∵ED ∥CF ，
∴四边形EDCF 是平行四边形． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．
9．（1）①证明见解析；②60EBF ∠=?；（2）3
IH FH =；（3）222EG AG CE =+.
【分析】
（1）①由DOE BOF ???，推出EO OF =，OB OD =，推出四边形EBFD 是平行
四边形，再证明EB ED =即可．
②先证明2ABD ADB ∠=∠，推出30ADB ∠=?，延长即可解决问题． （2）3IH FH =
．只要证明IJF ?是等边三角形即可．
（3）结论：222EG AG CE =+．如图3中，将ADG ?绕点D 逆时针旋转90?得到
DCM ?，先证明DEG DEM ???，再证明ECM ?是直角三角形即可解决问题． 【详解】
（1）①证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，OB OD =， EDO FBO ∴∠=∠， 在DOE ?和BOF ?中， EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠=∠??
=??∠=∠?
， DOE BOF ∴???，
EO OF ∴=，OB OD =， ∴四边形EBFD 是平行四边形，