专题四 第2讲

专题四 数列第2讲 数列的求和及其综合应用真题试做1．(2012·大纲全国高考，文6)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n＝( )．A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D.12n －12．(2012·江西高考，文13)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝__________.3．(2012·课标全国高考，文14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝__________.4．(2012·天津高考，文18)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)． 5．(2012·安徽高考，文21)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n . 考向分析高考中对数列求和及其综合应用的考查题型，主、客观题均会出现，主观题较多．一般以等差、等比数列的定义以及通项公式、前n 项和公式的运用设计试题．考查的热点主要有四个方面：(1)考查数列的求和方法；(2)以等差、等比数列的知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交会处命题，主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题；(3)数列与解析几何交会的命题，往往会遇到递推数列，通常以解析几何作为试题的背景，从解析几何的内容入手，导出相关的数列关系，再进一步地解答相关的问题，试题难度大都在中等偏上，有时会以压轴题的形式出现；(4)数列应用题主要以等差、等比数列为工具，在数列与生产、生活实际问题的联系上设计问题，考查阅读理解能力、数学建模能力和数学应用的意识与能力，主要以解答题的形式出现，多为中高档题．热点例析热点一 数列的求和【例1】(2012·山东青岛一模，20)已知在等差数列{a n }(n ∈N *)中，a n ＋1＞a n ，a 2a 9＝232，a 4＋a 7＝37.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若将数列{a n }的项重新组合，得到新数列{b n }，具体方法如下：b 1＝a 1，b 2＝a 2＋a 3，b 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，b 4＝a 8＋a 9＋a 10＋…＋a 15，…，依此类推，第n 项b n 由相应的{a n }中2n －1项的和组成，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －14·2n 的前n 项和T n .规律方法 数列求和的关键是分析其通项，数列求和主要有以下方法：(1)公式法：若数列是等差数列或等比数列，则可直接由等差数列或等比数列的求和公式求和；(2)分组求和法：一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列通项公式组成，求和时可以用分组求和法，即先分别求和，然后再合并；(3)若数列{a n }的通项能转化为f (n )－f (n －1)(n ≥2)的形式，常采用裂项相消法求和；(4)若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法；(5)倒序相加法：若一个数列{a n }满足与首末两项等“距离”的两项和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和，可采用倒序相加法，如等差数列的通项公式就是用该法推导的．特别提醒：(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)利用错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应注意两式“错项对齐”；②当等比数列的公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论．变式训练1 (2012·安徽名校第六次联考，文21)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n＝2a n ＋n ，且b n ＝a n －1a n a n ＋1.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列； (2)求数列{b n }的前n 项和T n .热点二 数列与函数、不等式交会【例2】(2012·湖北孝感统考，22)已知数列{a n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n －a n (n ＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)令b n ＝(2－n )(a n －1)(n ＝1,2,3，…)，如果对任意n ∈N *，都有b n ＋14t ≤t 2，求实数t的取值范围．规律方法 (1)由于数列的通项是一类特殊的函数，所以研究数列中的最大(小)项问题可转化为求相应函数的单调性进行求解，但同时注意数列中的自变量只能取正整数这一特点；(2)要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性时，可以通过比较相邻两项的大小进行判断；(3)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2的前n 项和，没有直接可套用的公式，但如果涉及大小比较等一些不等关系，可考虑放缩法：1n 2＜1n (n －1)或1n 2＞1n (n ＋1)，转化为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n (n －1)或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n (n ＋1)，用裂项相消法求和后即可达到大小比较的目的．变式训练2 (文科用)(2012·广东四会统测，21)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n －22n －1≥128的最小的n 值．热点三 数列与解析几何的交会【例3】(2011·陕西高考，理19)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.规律方法 对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，先得出关于数列相邻项a n 与a n ＋1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．变式训练3 设C 1，C 2，…，C n ，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线y ＝33x 相切，对每一个正整数n ，圆C n 都与圆C n ＋1相互外切，以r n 表示C n 的半径，已知{r n }为递增数列．(1)证明：{r n }为等比数列；(2)设r 1＝1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n r n 的前n 项和．热点四 数列在实际问题中的应用【例4】(2011·湖南高考，文20)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．规律方法 能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项、公差(比)、项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键．(1)在数列应用题中，当增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型为等差模型，增加(或减少)的量就是公差，则可把应用题抽象为数列中的等差数列问题，然后用等差数列的知识对模型解析，最后再返回到实际中去；(2)若后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型为等比模型，这个固定的数就是公比，则可把应用题抽象为数列中的等比数列问题，然后用等比数列的知识对模型解析，最后再返回到实际中去；(3)若题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n ＋1，a n 之间的递推关系，或考虑S n ＋1，S n 之间的递推关系．特别提醒：解决实际问题时要注意n 的取值范围．变式训练4 某城市2012年末汽车拥有量为30万辆，预计此后每年将上一年拥有量的6%报废，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车拥有量不超过60万辆．从2012年末起，n 年后汽车拥有量为b n ＋1万辆，若每年末的拥有量不同．(1)求证：{b n ＋1－b n }为等比数列；(2)每年新增汽车数量不能超过多少万辆？ 思想渗透1．函数思想——函数思想解决数列常见的问题： (1)数列的单调性； (2)数列中求最值问题； (3)数列中的恒成立问题． 2．求解时注意的问题及方法：(1)数列是定义在N *或其子集上的特殊函数，自然与函数思想密不可分，因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求；(2)解题时要注意把数列的递推公式、数列的通项公式以及前n 项和公式看作函数的解析式，从而合理地利用函数性质和导数解决问题；(3)解决有关数列的通项公式、单调性、最值、恒成立等问题时要注意项数n 的取值范围． 【典型例题】(2012·湖南长沙模拟，22)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求a 1，d 和T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围； (3)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)(方法一)在a 2n ＝S 2n －1中，分别令n ＝1，n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ， 解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (方法二)∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 2n －12＝a n ，∴S 2n －1＝a 1＋a 2n －12(2n －1)＝(2n －1)a n .由a 2n ＝S 2n －1，得a 2n ＝(2n －1)a n .又∵a n ≠0，∴a n ＝2n －1，则a 1＝1，d ＝2. (T n 求法同方法一)(2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ＜(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n＋17恒成立，∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴此时λ需满足λ＜25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n ＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ＜(n －8)(2n ＋1)n＝2n －8n－15恒成立，∵2n －8n随n 的增大而增大，∴n ＝1时，2n －8n取得最小值－6.∴此时λ需满足λ＜－21.综合①②可得λ的取值范围是λ＜－21.(3)T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n2n ＋1.若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3. (方法一)由m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m2＞0， 即－2m 2＋4m ＋1＞0，∴1－62＜m ＜1＋62.又m ∈N ，且m ＞1， ∴m ＝2，此时n ＝12.因此，当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．(方法二)∵n 6n ＋3＝16＋3n＜16，故m 24m 2＋4m ＋1＜16，即2m 2－4m －1＜0， 解得1－62＜m ＜1＋62(以下同方法一)．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 3＝( )． A.120 B.124 C.128 D.1322．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 3．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )．A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n－14．(2012·皖北协作区联考，文14)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝__________.5．(2012·河北模拟，14)已知数列{a n }满足a n ＝2n －1＋2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.6．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．7．(2012·安徽江南十校高三联考，文19)若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2，(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＞52成立的最小的正整数n .8．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．B 解析：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n －1＝2a n (n ≥2)，两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ，∴a n ＋1a n ＝32.∴数列{a n }从第2项起为等比数列．又n ＝1时，S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴S n ＝a 1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．11 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝a 1·q n ＋1＋a 1·q n －2a 1·q n －1＝0，即q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，所以S 5＝1－－51－－＝11.3．－2 解析：由S 3＝－3S 2，可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)，即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )，化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.4．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *. (2)证明：由(1)得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝－2n 1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1，而当n ＞2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1.所以，T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．5．解：(1)f ′(x )＝12＋cos x ＝0.令f ′(x )＝0，则cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin 2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m π－43π＝－32； 当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m π－23π＝32； 当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin 2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n ＝3m －m ∈N *，32，n ＝3m －m ∈N *，0，n ＝3m m ∈N*精要例析·聚焦热点热点例析【例1】 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 9＝232，a 4＋a 7＝a 2＋a 9＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，a 9＝29，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝29，a 9＝8(由于a n ＋1＞a n ，舍去)．设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝8，a 9＝a 1＋8d ＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝3.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2(n ∈N *)．(2)由题意得b n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＋2＋…＋a 2n －1＋2n －1－1＝(3·2n －1＋2)＋(3·2n －1＋5)＋(3·2n －1＋8)＋…＋[3·2n －1＋(3·2n －1－1)]＝2n －1×3·2n －1＋[2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)]．而2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)是首项为2，公差为3的等差数列的前2n －1项的和，∴2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)＝2n －1×2＋2n －1n －1－2×3＝3·22n －3＋14·2n，∴b n ＝3·22n －2＋3·22n －3＋14·2n ＝98·22n ＋14·2n.∴b n －14·2n ＝98·22n.∴T n ＝98(4＋16＋64＋ (22))＝98×－4n1－4＝32(4n －1)．【变式训练1】 (1)证明：由S n ＝2a n ＋n ，得S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1， ∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ＋1，即a n ＋1＝2a n －1. ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)． 又∵S 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1，a 1－1＝－2.∴{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列．(2)解：∵a n －1＝－2×2n －1＝－2n ，即a n ＝－2n＋1，b n ＝－2n －2n －2n ＋1＝12n ＋1－1－12n －1， 故T n ＝－⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫12－1－122－1＋⎝⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛ 12n －1－⎦⎥⎤⎭⎪⎫12n ＋1－1＝12n ＋1－1－1.【例2】(1)证明：由题意可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝n －a n ，① a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1＝n ＋1－a n ＋1，② ②－①可得2a n ＋1＝1＋a n ，即a n ＋1－1＝12(a n －1)．又∵a 1＝12，∴a 1－1＝－12，所以数列{a n －1}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．(2)解：由(1)可得a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，b n ＝n －22n .由b n ＋1－b n ＝n ＋1－22n ＋1－n －22n ＝n －1－n －2n ＋1＝3－n2n ＋1＞0，得n ＜3，由b n ＋1－b n ＜0，得n ＞3，所以b 1＜b 2＜b 3＝b 4＞b 5＞…＞b n ＞…，故b n 有最大值b 3＝b 4＝18，所以对任意n ∈N *，有b n ≤18.如果对任意n ∈N *，都有b n ＋14t ≤t 2，即b n ≤t 2－14t 恒成立，则(b n )max ≤t 2－14t .故有18≤t 2－14t ，解得t ≥12或t ≤－14，所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 【变式训练2】解：(1)因为S n ＝2a n －n ，令n ＝1，解得a 1＝1. 再分别令n ＝2，n ＝3，解得a 2＝3，a 3＝7. (2)∵S n ＝2a n －n ，∴S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减，得a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)． 又∵a 1＋1＝2，∴{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n ＋1＝2n ，得a n ＝2n－1. (3)∵b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，∴b n ＝(2n ＋1)·2n.∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，①则2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2(20＋21＋22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝2×－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1，∴T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1≥128，则2＋n －n ＋1－22n －1≥128， 即2n ＋1≥27，所以n ＋1≥7，解得n ≥6，∴满足不等式T n －22n －1≥128的最小的n 值为6.【例3】 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x.∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)， 令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)．∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有 |P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e1－ne －1.【变式训练3】 (1)证明：将直线y ＝33x 的倾斜角记为θ， 则有tan θ＝33，sin θ＝12. 设C n 的圆心为(λn,0)(λn ＞0)，则由题意得知r nλn ＝12，得λn ＝2r n ； 同理λn ＋1＝2r n ＋1，从而λn ＋1＝λn ＋r n ＋r n ＋1＝2r n ＋1，将λn ＝2r n 代入，解得r n ＋1＝3r n ， 故{r n }为公比q ＝3的等比数列． (2)解：由于r 1＝1，q ＝3， 故r n ＝3n －1，从而n r n＝n ·31－n.记S n ＝1r 1＋2r 2＋…＋n r n，则有S n ＝1＋2·3－1＋3·3－2＋…＋n ·31－n，①则S n3＝1·3－1＋2·3－2＋…＋(n －1)·31－n＋n ·3－n，② 由①－②，得 2S n 3＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n －n ·3－n＝1－3－n23－n ·3－n ＝32－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32·3－n ，∴S n ＝94－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32·31－n＝9－n ＋1－n4.【例4】 (1)解：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列． a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.(2)证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫348－68＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫349－69＝767996＜80，所以须在第9年初对M 更新．【变式训练4】 (1)证明：设2012年末汽车拥有量为b 1万辆，每年新增汽车数量为x 万辆，则b 1＝30，b 2＝0.94b 1＋x ，可得b n ＋1＝0.94b n ＋x . 又b n ＝0.94b n －1＋x ，∴b n ＋1－b n ＝0.94·(b n －b n －1)． ∵每年末的拥有量不同，∴{b n ＋1－b n }是以b 2－b 1＝x －1.8为首项，且公比q ＝0.94的等比数列．(2)解：由(1)得b n ＋1－b n ＝0.94n·(x －1.8)，于是b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝30＋0.94·(x －1.8)＋0.942·(x －1.8)＋…＋0.94n －1·(x －1.8)＝30＋1－0.94n －10.06·(x －1.8)·0.94，当x －1.8≤0，即x ≤1.8时，{b n }为递减数列，故有b n ＋1≤b n ≤…≤b 1＝30，当x －1.8＞0时，即x ＞1.8时，b n ＜30＋x －0.06×0.94≤60，解得x ≤3.7.∴每年新增汽车数量不能超过3.7万辆． 创新模拟·预测演练1．A 解析：a 3＝S 3－S 2＝3＋13＋2－2＋12＋2＝120.2．B 解析：∵a ，b ，c ，d 成等比数列， ∴ad ＝bc .又∵y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，∴b ＝－－22＝1，c ＝4×1×3－－24＝2.∴ad ＝bc ＝1×2＝2.3．C 解析：因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1(q ≠0)． 因数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1) ⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选择答案C.4．3 解析：∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，则35＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3，又a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，则a 2＝3. 5．2n ＋n 2－1 解析：S n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋＋2n －n 2＝1－2n 1－2＋n 2＝2n ＋n2－1.6.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：∵f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)， ∴a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (n )f (1)＝12a n (n ∈N *)． ∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 7．(1)证明：由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23， 即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23， 所以数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列． (2)解：由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)， 于是累加求和得a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)， 所以1a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 进而1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1＞52⇒n ＞5， ∴最小的正整数为n ＝6.8．解：(1)设这个二次函数为f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2，又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．(2)由(1)得知b n ＝3a n a n ＋1＝3n ＋－n－＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1， 故T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1. 因此，要使12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＜m 20(n ∈N *)成立，m 必须且仅须满足12≤m 20，即m ≥10， 所以满足要求的最小正整数m 为10.。

专题强化训练一、判断题（正确的在括号内写T,错误的写F）1.当前我国经济保持高速增长。

（F）2.必须把科技创新摆在国家发展全局的核心位置。

（T）3.坚持共享发展，必须坚持发展朝着同步富裕方向不断迈进。

（F）4.推动我国经济结构的战略性调整，就是要大力发展第三产业，减少第一、第二产业的数量。

（F）5.绿色发展注重的是解决发展内外联动问题。

（F）二、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）6.我国当前的社会主要矛盾已由人民群众日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾，转变为人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾。

这（）①意味着我国社会主义现代化建设目标已经实现②表明我国居民的生活水平不断提高③意味着我国居民消费己经由生存型消费转变为发展型和享受型消费④源于我国改革开放以来经济的发展和居民收入的增加A.①②B.②③C.②④D.③④解析：选C。

我国社会主要矛盾的转化，源于我国改革开放以来经济的发展和居民收入的增加，表明我国居民的生活水平不断提高，②④符合题意；我国社会主义现代化建设目标还没有实现，①错误；③不符合实际，排除。

7.某市提出下列发展经济思路：统筹外向型经济和内源型经济，外资内资一齐引；统筹先进制造业和现代服务业，二、三产业一块抓；统筹城镇化和新农村建设，促进城乡一体化。

下列说法中能够概括这一思路的是（）A.统筹兼顾，增强发展的协调性B.以人为本，注重发展的目的性C.创新发展，提高对外开放水平D.转型提升，注重发展的科学性解析：选A。

题中内外统筹、制造业与服务业统筹、城镇化和新农村统筹，各方面协调发展，体现的是统筹兼顾，增强发展的协调性，故选A项。

B、C、D三项与题意不符。

8.党的十八大以来，我国经济建设取得重大成就，人民生活不断改善，生态文明建设成效显著。

下面属于经济方面的成就的是（）①经济保持中高速增长，对世界经济增长的贡献率不断提高②合理有序的收入分配格局基本形成，高收入者占人口多数③覆盖城乡居民的社会保障体系基本建立，人民健康大幅提高④创新驱动发展战略大力实施，创新型国家建设成果丰硕A.①②B.①③C.①④D.②④解析：选C。

年高考生物专题辅导与训练四第2讲遗传的基本规律和伴性遗传一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1. 豌豆的高茎对矮茎是显性，现进行高茎豌豆间的杂交，后代既有高茎豌豆又有矮茎豌豆, 若后代中的全部高茎豌豆进行自交，则所有自交后代中高茎豌豆与矮茎豌豆的比为 （）2. 苏格兰牛的耳尖V 形与非V 形是一对相对性状，由一对等位基因控制。

以下是苏格兰牛耳尖性状遗传的家系图，下列叙述正确的是（ ）□ V 形耳尖公牛 □非V 形耳尖公牛 OV形耳尖母牛O 非V 形耳尖母牛A. V 形耳尖由X 染色体上的显性基因控制B. 由川2的表现型可推断1山为杂合子C. 1113中控制非V 形耳尖的基因可来自「D. 1112与川5生出V 形耳尖子代的可能性为1/33. 某班同学对一种单基•因遗传病进行调查，绘制并分析了其中一个家系的系谱图（如下图）。

下列说法正确的是（ ）A. 3 ： 1B. 5 ： 1C.9 ： 6D. 1 ： 1■rr912345A. 该病为常染色体显性遗传病B. 115是该病致病基因的携带者C. Ils 和Ils 再生患病男孩的概率为1/2D. III9与正常女性结婚，建议生女孩4•南瓜果实的颜色是由一对等位基因（A 和a ）控制的，用一株黄色果实南瓜和一株白色果 实南瓜杂交，子代（FJ 既有黄色果实南瓜也有白色果实南瓜，让R 自交产生的F2的表现型如 图甲所示。

为研究豌豆的高茎与矮茎和花的顶生与腋生性状的遗传规律，设计了两组纯种 豌豆杂交实验，如图乙所示。

根据图示分析，说法错误的是 （ ）A. 由图甲③可知黄果是隐性性状，白果是显性性状O 正常女□正常男■I 患病男B. 图甲P 中黄果的基因型是aa,F 2中黄果与白果的理论比例是5 ： 3C. 由图乙可知花的着生位置和茎的高度各由一个基因控制，都遵循基因分离泄律D. 图乙中F,所有个体的基因型相同,该实验中亲代的腋生花都需进行去雄处理5. （xx •南京模拟）下图为某家系中甲、乙两种单基因遗传病的遗传系谱，其中一种是伴性遗传 病。

1．(2012·山西四校联考)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值． 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )，∴AC →＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )， ∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立， 即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE .(2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －ax ＋ay ＝0－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x －λz ＝0，令z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)，∵二面角C －AE －D 的大小为60°，∴cos 〈n ，m 〉＝n·m |n ||m |＝λ1＋2λ2＝12，∵λ∈(0,1]，∴λ＝22.2．(2012·长春调研)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4. (1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角的大小；(3)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值．解：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA 、DF 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．(1)证明：设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD →＝(－1，－3，0)，PC →＝(－3，3，－a )， ∵BD →·PC →＝3－3＝0， ∴BD ⊥PC .(2)由(1)及PD ⊥平面ABCD 易知BD ⊥平面PDC ，则DB →就是平面PDC 的一个法向量． AB →＝(0，3，0)，DB →＝(1，3，0)． 设AB 与平面PDC 所成的角的大小为θ，则sin θ＝|DB →·AB →||DB →|·|AB →|＝323＝32.∵0°<θ<90°，∴θ＝60°，即直线AB 与平面PDC 所成的角的大小为60°.(3)由题意知，AB →＝(0，3，0)，DP →＝(0,0，a )，P A →＝(1,0，－a )，PC →＝(－3，3，－a )， ∵PE →＝λPC →，∴PE →＝(－3λ，3λ，－aλ)， DE →＝DP →＋PE →＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ) ＝(－3λ，3λ，a －aλ)．设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0P A →·n ＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0x －az ＝0.令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)．∵DE ∥平面P AB ，∴DE →·n ＝0，∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，∵a ≠0，∴λ＝14.3.(2012·郑州质量预测)如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD . (1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ；(2)若SE ＝1，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ，SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面ABCD ，∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3， ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°.∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE .又SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面SEC ， ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)由(1)知，直线ES ，EB ，EC 两两垂直．如图，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系． 则E (0,0,0)，C (0,23，0)，S (0,0,1)，B (2,0,0)， ∴CE →＝(0，－23，0)，CB →＝(2，－23，0)，CS →＝(0，－23，1)． 设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0n ·CS →＝0，即⎩⎨⎧2x －23y ＝0－23y ＋z ＝0，令y ＝1，得x ＝3，z ＝2 3.∴平面SBC 的一个法向量为n ＝(3，1,23)． 设直线CE 与平面SBC 所成角的大小为θ，则sin θ＝|n ·CE →|n |·|CE →||＝14，∴直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值为14.4．(2012·高考江西卷)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； (2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．解：(1)证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E .因为AA 1∥BB 1，得OE ⊥BB 1. 因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC . 因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，得AO ⊥BC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ， 所以OE ⊥平面BB 1C 1C .又AO ＝ AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5，得AE ＝AO 2AA 1＝55.(2)如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(－1,2,2)，由AE →＝15AA 1→得点E 的坐标是(45，0，25)，由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE →＝(45，0，25)，设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0，n ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,1，－1)，所以cos 〈OE →，n 〉＝OE →·n |OE →|·|n |＝3010，即平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是3010.5.(2012·山西适应性考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，M ，N 分别是线段PB ，AC 上的动点，且不与端点重合，PM ＝AN . (1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)当MN 的长最小时，求二面角A －MN －B 的余弦值．解：(1)证明：过M 作BA 的平行线交P A 于点E ，过N 作BA 的平行线交AD 于F 点，连接EF ，设PM ＝AN ＝a ，因为ME ∥NF ，ME ＝NF ＝22a ， 所以四边形MEFN 为平行四边形， 所以MN ∥EF .又因为EF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， 所以MN ∥平面P AD .(2)由(1)知MN ＝EF ，在Rt △EAF 中，设AF ＝x ，则可求得EA ＝1－x .所以MN 2＝EF 2＝AF 2＋EA 2＝x 2＋(1－x )2≥12，当且仅当x ＝12时取等号，此时MN 的长最小，且M ，N 分别为PB ，AC 的中点．如图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，M (12，0，12)，N (12，12，0)，B (1,0,0)，所以AM →＝(12，0，12)，AN →＝(12，12，0)，BM →＝(－12，0，12)，BN →＝(－12，12，0)． 设平面AMN 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0m ·AN →＝0，即⎩⎨⎧12x ＋12z ＝012x ＋12y ＝0，令x ＝1，可取m ＝(1，－1，－1)．设平面BMN 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BM →＝0n ·BN →＝0，即⎩⎨⎧－12x 1＋12z 1＝0－12x 1＋12y 1＝0，令x 1＝1，则可取n ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝－13，故二面角A －MN －B 的余弦值为－13.6．(2012·西城区期末考试)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点． (1)求证：A 1B ∥平面ADC 1；(2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD .由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点． 又D 为BC 的中点，所以OD 为△A 1BC 的中位线， 所以A 1B ∥OD ，因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1， 所以A 1B ∥平面ADC 1.(2)由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°，得BA 、BC 、BB 1两两垂直．以BC 、BA 、BB 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz . 设BA ＝2，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,0)，所以AD →＝(1，－2,0)，AC 1→＝(2，－2,1)．设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AC 1→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x －2y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1，－2)．易知平面ADC 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n |·|v |＝－23.因为二面角C 1－AD －C 是锐二面角，所以二面角C 1－AD －C 的余弦值为23.(3)假设存在满足条件的点E .因为点E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2,1)，B 1(0,0,1)， 故可设E (0，λ，1)，其中0≤λ≤2.所以AE →＝(0，λ－2,1)，DC 1→＝(1,0,1)． 因为AE 与DC 1成60°角，所以|cos 〈AE →，DC 1→〉|＝|AE →·DC 1→|AE →|·|DC 1→||＝12.即|1(λ－2)2＋1·2|＝12，解得λ＝1或λ＝3(舍去)． 所以当点E 为线段A 1B 1的中点时，AE 与DC 1成60°角．。

第2讲遗传的基本规律和伴性遗传直击考纲1孟德尔遗传实验的科学方法(C)。

2.基因的分离规律和自由组合规律(C)。

3.伴性遗传(C)。

4.人类遗传病的类型(A)。

5.人类遗传病的监测和预防(A)。

6.人类基因组计划及其意义(A)。

1．(2009·北京理综，29)鸭蛋蛋壳的颜色主要有青色和白色两种。

金定鸭产青色蛋，康贝尔鸭产白色蛋。

为研究蛋壳颜色的遗传规律，研究者利用这两个鸭群做了五组实验，结果如下表所示。

(1)根据第1、2、3、4组的实验结果可判断鸭蛋壳的______色是显性性状。

(2)第3、4组的后代均表现出__________现象，比例都接近________。

(3)第5组实验结果显示后代产青色蛋的概率接近______，该杂交称为________，用于检验________。

(4)第1、2组的少数后代产白色蛋，说明双亲中的________鸭群中混有杂合子。

(5)运用________方法对上述遗传现象进行分析，可判断鸭蛋壳颜色的遗传符合孟德尔的________定律。

答案(1)青(2)性状分离3∶1(3)1/2测交F1相关的基因组成(4)金定(5)统计学基因分离解析根据表中第1组和第2组的杂交结果分析，康贝尔鸭和金定鸭不论是正交还是反交，得到的后代所产蛋均是青色蛋多白色蛋少，第3组和第4组的后代均表现出性状分离现象，并且青色蛋与白色蛋的比例约为3∶1，由此可判断青色蛋为显性性状，白色蛋为隐性性状。

第5组为第2组的F1♀与康贝尔鸭♂(隐性纯合子)杂交，得到后代青色蛋与白色蛋的比例约为1∶1，因此这种杂交应为测交，可用于检测第2组中F1的基因型。

第1组和第2组均为康贝尔鸭(隐性纯合子)和金定鸭杂交，根据少数后代产白色蛋可判断金定鸭中大多数为显性纯合子，少数为杂合子。

将具体的数字转化成表现型比例，对遗传现象进行分析，运用的是统计学的方法，根据表中数据判断，鸭蛋颜色的遗传符合孟德尔的基因分离定律。

2．(2010·大纲全国卷Ⅰ，33)现有4个纯合南瓜品种，其中2个品种的果形表现为圆形(圆甲和圆乙)，1个表现为扁盘形(扁盘)，1个表现为长形(长)。

专题四 数列第2讲 数列的求和及其综合应用真题试做1．(2012·辽宁高考，理6)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )．A ．58B ．88C ．143D ．1762．(2012·大纲全国高考，理5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )． A.100101 B.99101 C.99100 D.1011003．(2012·课标全国高考，理16)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为__________．4．(2012·安徽高考，理21)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．5．(2012·天津高考，理18)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n N *，证明T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n N *)． 考向分析高考中对数列求和及其综合应用的考查题型，主、客观题均会出现，主观题较多．一般以等差、等比数列的定义以及通项公式、前n 项和公式的运用设计试题．考查的热点主要有四个方面：(1)考查数列的求和方法；(2)以等差、等比数列的知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交会处命题，主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题；(3)数列与解析几何交会的命题，往往会遇到递推数列，通常以解析几何作为试题的背景，从解析几何的内容入手，导出相关的数列关系，再进一步地解答相关的问题，试题难度大都在中等偏上，有时会以压轴题的形式出现；(4)数列应用题主要以等差、等比数列为工具，在数列与生产、生活实际问题的联系上设计问题，考查阅读理解能力、数学建模能力和数学应用的意识与能力，主要以解答题的形式出现，多为中高档题．热点例析热点一 数列的求和【例1】(2012·山东青岛一模，20)已知在等差数列{a n }(n N *)中，a n ＋1>a n ，a 2a 9＝232，a 4＋a 7＝37.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若将数列{a n }的项重新组合，得到新数列{b n }，具体方法如下：b 1＝a 1，b 2＝a 2＋a 3，b 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7，b 4＝a 8＋a 9＋a 10＋…＋a 15，…，依此类推，第n 项b n 由相应的{a n }中2n －1项的和组成，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －14·2n 的前n 项和T n .规律方法数列求和的关键是分析其通项，数列求和主要有以下方法：(1)公式法：若数列是等差数列或等比数列，则可直接由等差数列或等比数列的求和公式求和；(2)分组求和法：一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列通项公式组成，求和时可以用分组求和法，即先分别求和，然后再合并；(3)若数列{a n }的通项能转化为f (n )－f (n －1)(n ≥2)的形式，常采用裂项相消法求和；(4)若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法；(5)倒序相加法：若一个数列{a n }满足与首末两项等“距离”的两项和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和，可采用倒序相加法，如等差数列的通项公式就是用该法推导的．特别提醒：(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)利用错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应注意两式“错项对齐”；②当等比数列的公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论．变式训练1(2012·安徽江南十校联考，理17)在等比数列{a n }中，a 1>0(n N *)，且a 3－a 2＝8.又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n N *恒成立？若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．热点二 数列与函数、不等式交会【例2】(2012·安徽合肥第三次质检，理21)已知数列{a n }满足a n ＋1＝(n ＋2)a 2n －na n ＋n ＋1a 2n ＋1(n N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若a 1＝1，求a 2，a 3，a 4并推证数列{a n }的通项公式；(2)若a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪S n －n (n ＋1)2<1(n N *)． 规律方法(1)由于数列的通项是一类特殊的函数，所以研究数列中的最大(小)项问题可转化为求相应函数的单调性进行求解，但同时注意数列中的自变量只能取正整数这一特点；(2)要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性时，可以通过比较相邻两项的大小进行判断；(3)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2的前n 项和，没有直接可套用的公式，但如果涉及大小比较等一些不等关系，可考虑放缩法：1n 2<1n (n －1)或1n 2>1n (n ＋1)，转化为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n (n －1)或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n (n ＋1)，用裂项相消法求和后即可达到比较大小的目的．变式训练2(理科用)(2012·安徽合肥一模，21)已知数列{a n }中，a 1＝1，na n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )．(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求数列{a n }的通项a n ；(3)设数列{b n }满足b 1＝12，b n ＋1＝b 2na 2n ＋1＋b n .试证明：①1b n ＋1－1b n >－1(n ＋1)2；②b n <1.热点三 数列与解析几何的交会【例3】(2011·陕西高考，理19)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.规律方法对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，先得出关于数列相邻项a n 与a n ＋1之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论．变式训练3设C 1，C 2，…，C n ，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线y ＝33x 相切，对每一个正整数n ，圆C n 都与圆C n ＋1相互外切，以r n 表示C n的半径，已知{r n }为递增数列．(1)证明：{r n }为等比数列；(2)设r 1＝1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n r n 的前n 项和．热点四 数列在实际问题中的应用【例4】(2011·湖南高考，文20)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．规律方法能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项、公差(比)、项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键．(1)在数列应用题中，当增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型为等差模型，增加(或减少)的量就是公差，则可把应用题抽象为数列中的等差数列问题，然后用等差数列的知识对模型解析，最后再返回到实际中去；(2)若后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型为等比模型，这个固定的数就是公比，则可把应用题抽象为数列中的等比数列问题，然后用等比数列的知识对模型解析，最后再返回到实际中去；(3)若题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n ＋1，a n 之间的递推关系，或考虑S n ＋1，S n 之间的递推关系．特别提醒：解决实际问题时要注意n 的取值范围．变式训练4某城市2012年末汽车拥有量为30万辆，预计此后每年将上一年拥有量的6%报废，并且每年新增汽车数量相同．为保护城市环境，要求该城市汽车拥有量不超过60万辆．从2012年末起，n 年后汽车拥有量为b n ＋1万辆，若每年末的拥有量不同．(1)求证：{b n ＋1－b n }为等比数列；(2)每年新增汽车数量不能超过多少万辆？ 思想渗透1．函数思想——函数思想解决数列常见的问题： (1)数列的单调性； (2)数列中求最值问题； (3)数列中的恒成立问题． 2．求解时注意的问题及方法：(1)数列是定义在N *或其子集上的特殊函数，自然与函数思想密不可分，因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求；(2)解题时要注意把数列的递推公式、数列的通项公式以及前n 项和公式看作函数的解析式，从而合理地利用函数性质和导数解决问题；(3)解决有关数列的通项公式、单调性、最值、恒成立等问题时要注意项数n 的取值范围． (2012·湖南长沙模拟，22)已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n N *.数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求a 1，d 和T n ；(2)若对任意的n N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)(方法一)在a 2n ＝S 2n －1中，分别令n ＝1，n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝a 1，(a 1＋d )2＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (方法二)∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 2n －12＝a n ，∴S 2n －1＝a 1＋a 2n －12(2n －1)＝(2n －1)a n .由a 2n ＝S 2n －1，得a 2n ＝(2n －1)a n .又∵a n ≠0，∴a n ＝2n －1，则a 1＝1，d ＝2. (T n 求法同方法一)(2)①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n＋17恒成立，∵2n ＋8n≥8，等号在n ＝2时取得，∴此时λ需满足λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n恒成立，即需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n＝2n －8n－15恒成立，∵2n －8n随n 的增大而增大，∴n ＝1时，2n －8n取得最小值－6.∴此时λ需满足λ<－21.综合①②可得λ的取值范围是λ<－21.(3)T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n2n ＋1.若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3. (方法一)由m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m2>0， 即－2m 2＋4m ＋1>0，∴1－62<m <1＋62.又m N ，且m >1， ∴m ＝2，此时n ＝12.因此，当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．(方法二)∵n 6n ＋3＝16＋3n<16，故m24m 2＋4m ＋1<16，即2m 2－4m －1<0，解得1－62<m <1＋62(以下同方法一)．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 3＝( )． A.120 B.124 C.128 D.1322．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝( )． A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8S 4＝3，则S 12S 8＝( )． A ．2B.73C.83D ．3 4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )．A ．2n ＋1－2 B ．3nC ．2nD ．3n－15．(2012·河北模拟，14)已知数列{a n }满足a n ＝2n －1＋2n －1(n N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________.6．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．7．(2012·江西联考，19)已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝8，a n ＋2＝4a n ＋1－4a n . (1)证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列；(2)设b n ＝a n －1n (n ＋1)(n ≥2)，求：b 2＋b 3＋…＋b n (n ≥2且n N *)．8．(2012·皖北协作区第一次联考，理20)已知数列{a n }，{b n }，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝6n ＋2.若⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n，b n 在y ＝x 2＋mx 的图象上，{b n }的最小值为b 2.(1)求{a n }的通项公式； (2)求m 的取值范围．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．B 解析：因为数列{a n }为等差数列，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，所以S 11＝11×162＝88，故选B.2．A 解析：S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1).设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3．1 830 解析：∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.4．(1)证明：先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列； 再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1可得c <0.(2)解：假设{x n }是递增数列．由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1.由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )．② 由①式和②式可得1－c －x n >0， 即x n <1－c .由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )x的性质，得2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0.即证x 0<c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．假设当n ＝k (n ∈N *)时结论成立，即x k <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．综上可知，使得数列{x n }单调递增的c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 5．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n，n ∈N *. (2)证明：(方法一) 由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1.② 由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝12(1－2n －1)1－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n－6n －10，故 T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *. (方法二：数学归纳法)①当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； ②假设当n ＝k 时等式成立，即T k ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时有： T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1 ＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12，即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1， 因此n ＝k ＋1时等式也成立．由①和②，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立． 精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 9＝232，a 4＋a 7＝a 2＋a 9＝37，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，a 9＝29，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝29，a 9＝8(由于a n ＋1>a n ，舍去)．设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝8，a 9＝a 1＋8d ＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，d ＝3.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2(n ∈N *)．(2)由题意得b n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＋2＋…＋a 2n －1＋2n －1－1＝(3·2n －1＋2)＋(3·2n －1＋5)＋(3·2n －1＋8)＋…＋[3·2n －1＋(3·2n －1－1)]＝2n －1×3·2n －1＋[2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)]．而2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)是首项为2，公差为3的等差数列的前2n －1项的和，∴2＋5＋8＋…＋(3·2n －1－4)＋(3·2n －1－1)＝2n －1×2＋2n －1(2n －1－1)2×3＝3·22n －3＋14·2n，∴b n ＝3·22n －2＋3·22n －3＋14·2n ＝98·22n＋14·2n . ∴b n －14·2n ＝98·22n.∴T n ＝98(4＋16＋64＋ (22))＝98×4(1－4n)1－4＝32(4n －1)．【变式训练1】 解：(1)由题a 3＝16，又a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3)4.∴1S n ＝4n (n ＋3)＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229.∴正整数k 可取最小值3.【例2】 解：(1)易知a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，猜想a n ＝n (n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明之： 当n ＝1时等式显然成立，假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝k ，所以a k ＋1＝(k ＋2)a k 2－ka k ＋k ＋1a k 2＋1＝(k ＋2)k 2－k 2＋k ＋1k 2＋1＝k ＋1.即n ＝k ＋1时等式也成立，故a n ＝n (n ∈N *)．(2)证明：因为a n ＋1－(n ＋1)＝(n ＋2)a n 2－na n ＋n ＋1a n 2＋1－(n ＋1)＝a n 2－na n a n 2＋1＝a n a n 2＋1(a n －n )， 所以|a n ＋1－(n ＋1)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n a n 2＋1·|a n－n |(n ∈N *)．①当a n ≠0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n a n 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a n ＋1a n ＝1|a n |＋1|a n|≤12；②当a n ＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n a n 2＋1＝0≤12， 所以|a n ＋1－(n ＋1)|≤12|a n －n |(n ∈N *)．而|a 1－1|≤12，所以|a n －n |≤12|a n －1－(n －1)|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122|a n －2－(n －2)|≤…≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1|a 1－1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪S n －n (n ＋1)2＝|(a 1－1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n )| ≤|a 1－1|＋|a 2－2|＋|a 3－3|＋…＋|a n －n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<1.故⎪⎪⎪⎪⎪⎪S n －n (n ＋1)2<1(n ∈N *)． 【变式训练2】 解：(1)a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4.(2)na n ＋1＝2(a 1＋a 2＋…＋a n )，则可得(n －1)a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a n －1)(n ≥2)， 两式相减，得na n ＋1－(n －1)a n ＝2a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，a n ＋1a n＝n ＋1n(n ≥2)，所以a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1·21·32·…·n n －1＝n (n ≥3)，易得a n ＝n (n ∈N *)． (3)证明：①由(2)得b 1＝12，b n ＋1＝b 2n(n ＋1)2＋b n >b n >b n －1>…>b 1>0，所以数列{b n }是正项单调递增数列，当n ≥1时，b n ＋1＝b 2n(n ＋1)2＋b n<1(n ＋1)2b n b n ＋1＋b n ， 所以1b n ＋1－1b n >－1(n ＋1)2.②当n ＝1时，b 1＝12<1显然成立．当n ≥2时，1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1b 1＋1b 1>－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2＋1(n －1)2＋…＋122＋2>－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋12×1＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1n －2－1n －1＋…＋11－12＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝1＋1n ＝n ＋1n . 所以b n <nn ＋1<1.综上可知，b n <1成立．【例3】 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x，∴y ′＝e x.∴Q k －1(x k －1，1k x e -e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，1k x e -)处的切线方程是y －1k x e -＝1k xe -(x －x k －1)， 令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )． (2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1， ∴x k ＝－(k －1)．∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有 |P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e－(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1， 即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.【变式训练3】 (1)证明：将直线y ＝33x 的倾斜角记为θ， 则有tan θ＝33，sin θ＝12. 设C n 的圆心为(λn,0)(λn >0)，则由题意得知r n λn ＝12，得λn ＝2r n ；同理λn ＋1＝2r n ＋1，从而λn ＋1＝λn ＋r n ＋r n ＋1＝2r n ＋1，将λn ＝2r n 代入，解得r n ＋1＝3r n ， 故{r n }为公比q ＝3的等比数列． (2)解：由于r 1＝1，q ＝3，故r n ＝3n －1，从而n r n＝n ·31－n.记S n ＝1r 1＋2r 2＋…＋n r n，则有S n ＝1＋2·3－1＋3·3－2＋…＋n ·31－n，①则S n3＝1·3－1＋2·3－2＋…＋(n －1)·31－n＋n ·3－n，② 由①－②，得 2S n 3＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n －n ·3－n＝1－3－n23－n ·3－n ＝32－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32·3－n ，∴S n ＝94－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32·31－n＝9－(2n ＋3)·31－n4.【例4】 (1)解：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列． a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.(2)证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6 ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫348－68＝824764>80， A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫349－69＝767996<80， 所以须在第9年初对M 更新．【变式训练4】 (1)证明：设2012年末汽车拥有量为b 1万辆，每年新增汽车数量为x 万辆，则b 1＝30，b 2＝0.94b 1＋x ，可得b n ＋1＝0.94b n ＋x .又b n ＝0.94b n －1＋x ，∴b n ＋1－b n ＝0.94·(b n －b n －1)．∵每年末的拥有量不同，∴{b n ＋1－b n }是以b 2－b 1＝x －1.8为首项，且公比q ＝0.94的等比数列．(2)解：由(1)得b n ＋1－b n ＝0.94n ·(x －1.8)，于是b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝30＋0.94·(x －1.8)＋0.942·(x －1.8)＋…＋0.94n －1·(x －1.8)＝30＋1－0.94n －10.06·(x －1.8)·0.94， 当x －1.8≤0，即x ≤1.8时，{b n }为递减数列，故有b n ＋1≤b n ≤…≤b 1＝30；当x －1.8>0，即x >1.8时，b n <30＋(x －1.8)0.06×0.94≤60，解得x ≤3.7. ∴每年新增汽车数量不能超过3.7万辆．创新模拟·预测演练1．A 解析：a 3＝S 3－S 2＝3＋13＋2－2＋12＋2＝120. 2．B 解析：∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc .又∵y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，∴b ＝－－22＝1，c ＝4×1×3－(－2)24＝2. ∴ad ＝bc ＝1×2＝2.3．B 解析：S 8S 4＝S 4(1＋q 4)S 4＝3，解得q 4＝2，故S 12S 8＝S 4(1＋q 4＋q 8)S 4(1＋q 4)＝1＋2＋41＋2＝73. 4．C 解析：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1(q ≠0)． 因为数列{a n ＋1}也是等比数列， 所以(an ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1) a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1a n (1＋q 2－2q )＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选择C.5．2n ＋n 2－1 解析：S n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋(1＋2n －1)·n 2＝1－2n 1－2＋n 2＝2n ＋n 2－1. 6.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：∵f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)， ∴a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (n )f (1)＝12a n (n ∈N *)．∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 7．(1)证明：由a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )． 又a 2－2a 1＝4，∴{a n ＋1－2a n }是以4为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)可得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列，a n ＝n ·2n (n ≥1，n ∈N *)， ∴b n ＝a n －1n (n ＋1)＝(n －1)2n －1n (n ＋1)＝n ·2n －1－2n －1n (n ＋1)＝2n ·2n －n ·2n －1－2n －1n (n ＋1)＝2n n ＋1－2n －1n(n ≥2)， ∴b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223－212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234－223＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n ＋1－2n －1n ＝2n n ＋1－1(n ≥2且n ∈N *)． 8．解：(1)∵a n ＋1－a n ＝6n ＋2，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝6n －4，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(6n －4)＋(6n －10)＋…＋8＋a 1＝(n －1)[8＋(6n －4)]2＋a 1 ＝3n 2－3n ＋2n －2＋2＝3n 2－n .又a 1也满足a n ＝3n 2－n ，∴a n ＝3n 2－n . (2)∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，b n 在y ＝x 2＋mx 的图象上，∴b n ＝(3n －1)2＋m (3n －1)．∴b 1＝4＋2m ，b 2＝25＋5m ，b 3＝64＋8m ，b 4＝121＋11m . 又{b n }的最小值为b 2， ∴4225564825512111255m m m m m m ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩＋＋，＋＋，＋＋，∴－13≤m ≤－7.∵b n ＋1－b n ＝(3n ＋2)2＋m (3n ＋2)－(3n －1)2－m (3n －1)＝3(6n ＋1＋m )，当n ≥4时，6n ＋1≥25>13，∴当n ≥4，－13≤m ≤－7时，b n ＋1－b n >0，即{b n }是递增数列．∴m 的取值范围为[－13，－7]．。